湖北省十一校2025届高三上学期第一次联考(一模)数学试题【含答案解析】

鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2025届高三湖北省十一校第一次联考数学试题(考试时间:120分钟试卷满分:150分)命题学校:黄冈中学命题教师:李钢锋蔡盛陈晓洁审题学校:荆州中学注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的知识求解即可.【详解】则故选：C.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算化简即可；【详解】由，则，即.故选：A.3.已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（）A B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定义可得，代入坐标计算可求得.【详解】向量在方向上的投影向量为，所以，解得.故选：A.4.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位:厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出.【解答】观察频率分布直方图，得，则，，所以，与最接近的数为.故选：C5.下列选项中，与不相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC，根据正切的和角公式可判断D.详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：D6.已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积.【详解】过点作于点，连接，因为三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，则，设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则，即，且三棱柱外接球球心为中点，则外接球半径，表面积为，故选：.7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围.【详解】椭圆的焦点在轴上，，直线，与椭圆都相切，，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，

点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，又，；椭圆离心率，，.故选：B.8.已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（）A.80 B.75 C.70 D.65【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果.【详解】因为为偶函数，则，求导可得，因为，，则，可得，且，则，可得，即，可得，可知8为的一个周期，且，对于，，令，可得，，可得，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象D.函数在区间上单调递增【答案】AB【解析】【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，的周期，所以A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，将图象向左平移个单位长度，得到的图象，故C错误；对于D中，因为，所以，所以在上不单调，故D错误.故选：AB.10.已知函数，定义域为，则下列结论正确的是（）A若且，则B.已知且，则“”是“”的充分条件C.方程有4个不同的实数解D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用导数可得的单调递增区间为，利用可判断A；计算得可判断B；当时，，当时，进而可判断C，，构造函数，求导可得结论判断D.【详解】由函数的定义域为，且，所以的单调递增区间，对于A，令，得，所以A错误;对于B，由已知得，充分性得证，所以B正确;对于C，当时，，当时，，所以有两个零点，且，所以方程与分别有两个实数解，故方程有4个不同的实数解，故C正确;对于D中，由，即，令，可得，所以在为单调递减函数，所以，即，因，可得，所以，得，所以，故D正确.故选：BCD.11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，，满足的动点的轨迹为曲线.则下列结论正确的是（）A.曲线既是中心对称又是轴对称图形B.曲线上满足的点有2个C.D.曲线上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0【答案】ACD【解析】【分析】由题意中等式结合两点间距离公式表示出曲线方程可得A正确；由可得这样的点只有1个，即为原点可得B错误；由曲线方程整理出可得C正确；由图象观察可得D正确；也可由导数的意义求出.【详解】对于A，设点坐标为则曲线，故正确；对于，若，则，这样的点只有1个，即为原点，故错误；对于C，由得，整理得，，所以，故C正确；对于D，从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为0，另外，由得，则，令或0，经计算曲线在原点处的切线方程为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能利用曲线方程整理出两点间公式，再求出范围.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列是等差数列，且其前项和为.若，则_____.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的下标性质与通项公式求解即可；【详解】由得，，解得，即，解得，所以.故答案为：1.13.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.14.克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是______________，（2）四边形面积的取值范围是_________.【答案】①.2②.【解析】【分析】根据题意可得，利用正弦定理可得，即可得，即可得外接圆半径；分析可知，，取临界状态，分析可知点A在劣弧或上，且与的夹角，进而可求面积.【详解】由托勒密定理，得．因为，所以．设圆的半径为，由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，因为，所以，所以，所以，则，故．因为，可知点到直线的距离，可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线，在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上，取，则；取，则；取，则；取，则；可知点A在劣弧或上，且与的夹角，所以四边形面积.故答案为：2；.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.（1）当时，求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件得、、、、，当时，，则，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.【小问2详解】易知，则，当时，点，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故当时，求直线与平面所成角的正弦值为.16.已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，.（1）求的离心率；（2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件求出时的坐标，根据，列出关于的齐次等式，即可求离心率；（2）先求出双曲线方程与渐近线方程，通过找出坐标之间关系，用坐标表示的坐标，代入双曲线方程得到，再用表示出的面积，整体代入即可.【小问1详解】设，将代入双曲线方程得，此时，所以，即，，则，所以（负值舍去），故的离心率为2.【小问2详解】因为，由（1）知，双曲线方程为：，渐近线方程为，设，则，所以，又在双曲线上，所以，整理得：，由渐近线方程为得，所以的面积为.17.2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．【答案】（1），，事件和事件不独立．（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出.

（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可.【小问1详解】若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，则，，，即事件和事件不独立．【小问2详解】由题意知，，，则外观和内饰均为同色的概率，外观和内饰都异色的概率，仅外观或仅内饰同色的概率，，，，，则的分布列为：150300600则（元）．18.已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；（3）记，若，且，求证：.（参考公式：）【答案】（1）在上为增函数（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，得到，构造函数，再利用导数与函数单调性间的关系，求得，即可求解；（2）构造函数，对求导，得到，利用导数与函数的单调性间的关系，可得，再分和两种情况讨论，即可求解；（3）根据条件得到，令，得到，再利用，可得，即可求解.【小问1详解】当时，，则，令，则，令，得到，当时，，即在区间上单调递减，当时，，即在区间上单调递增，所以，则，所以在上单调递增.【小问2详解】因为，所以，设，则，令，则，所以在区间上单调递增，即在区间为增函数，故，当时，，此时在区间单调递增，故，符合题意；当时，，且在为增函数，故存在满足，则在递减，所以当时，，不符合题意，综上所述，实数的取值范围为.【小问3详解】，由，得，所以，两边同除以，得，所以，令，得，得，因为，所以，因为，又，易知，所以，又，所以，故，得.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19.已知数列的前n项和为