2024-2025学年沪科版初中数学九年级下册课件 第24章小结与复习

小结与复习第24章圆一、旋转的有关概念及性质1.在平面内，一个图形绕着一个定点（如点

O），旋转一定的角度（如

θ），得到另一个图形的变换，叫做_____.定点

O叫做_________，θ

叫做_______.旋转旋转中心旋转角2.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度

后，能够与原图形重合，这样的图形叫做_____________，这个定点就是_________.

旋转对称图形旋转中心(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；(3)旋转中心是唯一不动的点．3.旋转的性质1.把一个图形绕定点

O旋转

180°，得到一个能够与它重合的图形，这时两个图形关于点

O的对称叫做_________，点

O就是_________.这两个图形中的对应点叫做关于中心的_______.二、中心对称的有关概念及性质中心对称对称中心对称点2.把一个图形绕某一个定点旋转

180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做____________，这个定点叫做它的________，互相重合的点叫做______.中心对称图形对称中心对称点

成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心_____.3.中心对称的性质对称中心平分三、圆的基本概念及性质1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念：(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距．O四、点与圆的位置关系●A●B●C点与圆的位置关系点到圆心的距离

d

与圆的半径

r

之间的关系点在圆外点在圆上点在圆内●Odrd﹥rd=rd﹤r五、圆的对称性及各相关元素之间的关系1.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.2.圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.．3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对

的弦也相等．4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分

别相等．●OABCD└

M③AM=BM重视：模型“垂径定理直角三角形”若①CD

是直径②CD⊥AB可推得

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.六、垂径定理及推论④

=

⑤

=

垂径定理的逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.M③AM=BM若①CD

是直径②CD⊥AB可推得④

=

⑤

=

●OCDAB●

┗定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.七、圆周角和圆心角的关系∠BAC

=∠BOC推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.∵∠ACB、∠ADB、∠AEB都是弧AB

所对的圆周角，∴∠ACB=∠ADB=∠AEB．推论：直径所对的圆周角是直角；90°

的圆周角所对的弦是圆的直径.∵AB是

⊙O的直径，∴∠ACB=90°．八、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离

d

与圆的半径

r

的关系直线名称直线与圆的公共点个数相离相切相交●ldr0切线d﹤r割线2d﹥r——d=r1九、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d=rc.判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.2.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.3.切线长及切线长定理十、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点.┐ACI┐┐DEF三角形的内心到三角形三边的距离相等.重要结论B十一、圆内接正多边形1.概念OCDABM半径R圆心角弦心距d弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每一条边所对的圆心角正多边形的中心角弦心距正多边形的边心距M①正多边形的内角和=②中心角=圆内接正多边形的有关概念及性质2.计算公式十二、

圆中的计算问题1.弧长公式半径为

R

的圆中，n°

圆心角所对的弧长

l=______.2.扇形面积公式半径为

R，圆心角为

n°

的扇形面积

S=__________.或3.弓形面积公式OO弓形面积=扇形面积±三角形面积(3)圆锥的侧面积为

.【注意】圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个

.(2)如果圆锥母线长为

l，底面圆的半径为

r，那么这个扇形的半径为

，扇形的弧长为

.扇形l考点一旋转变换例1

如图，在

Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，点

D，E

分别在

AB，AC

上，CE

=

BC，连接

CD，将线段

CD

绕点

C

按顺时针方向旋转

90°

后得

CF，连接

EF．（1）补充完成图形；（2）若

EF∥CD，求证：∠BDC

=

90°．解析：第（2）问由旋转的性质得∠DCF

为直角，由

EF

与

CD

平行，得到∠EFC

为直角，利用

SAS

得到

△BDC

与

△EFC

全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．F解：（1）补全图形，如图所示．（2）由旋转知

CD=CF，∠DCF

=

90°，∴∠DCE

+∠ECF

=

90°.∵∠ACB

=

90°，∴∠DCE

+∠BCD

=

90°.∴∠ECF

=∠BCD.∵

EF∥DC，∴∠EFC

+∠DCF

=

180°.∴∠EFC

=

90°.∴△BDC≌△EFC（SAS）.∴∠BDC

=∠EFC

=

90°.考点二弧、圆心角、圆周角的性质例2

如图，BC是

⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°，则∠BAD的度数是（

）A.72°B.

54°C.45°D.

36°ABCD解析：根据圆周角定理的推论可知，∠B=∠D=36°，AD⊥BC，所以∠BAD

=90°

-∠B

=54°.BO1.如图，四边形

ABCD为

⊙O的内接正方形，点

P为劣弧

BC上的任意一点（不与

B，C重合），则∠BPC的度数是

.135°CDBAPO针对训练2.

如图，线段

AB是直径，点

D是

⊙O上一点，∠CDB=20°，过点

C作

⊙O的切线交

AB的延长线于点

E，则∠E等于

°.OCABED50例3

如图，⊙O的直径

AE=4cm，∠B=30°，则

AC=

cm.ABCEO2解析

连接

CE，则∠E=∠B=30°，∠ACE=90°，所以

AC=AE=2cm.方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.3.（多解题）如图，AB是

⊙O的直径，弦

BC=2，F是弦

BC的中点，∠ABC=60°.若动点

E

以2cm/s的速度从

A点出发沿着

A→B→A的方向运动，设运动时间为

t(s)(0＜t＜3)，连接

EF，当

t=s时，△BEF是直角三角形.ABCEOF

针对训练考点三垂径定理及其应用例4

如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是

10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为

8mm，则这个小圆孔的口宽

AB=

mm.8mmAB解析

连接

OA，过点

O作出弓形的高

CD，则

AO=5mm，OD=3mm，利用勾股定理可算得

AD=4mm，所以

AB=8mm.方法归纳

在圆中涉及弓形求线段长问题时，常构造直角三角形来解决.8CDOABCDPO针对训练4.如图，AB是

⊙O的直径，且

AB=2，C，D是同一半圆上的两点，并且

与

的度数分别是

96°和

36°，动点

P是

AB上的任意一点，则

PC+PD的最小值是

.考点四点或直线与圆的位置关系例5

如图，已知∠MON

=

30°，P

是

ON

上的一点，OP

=

5cm，若以

P

点为圆心，r

为半径画圆，使射线

OM

与⊙P

只有一个公共点，求

r

的值或取值范围.解：当射线

OM

与⊙P

相切时，射线

OM与

⊙P

只有一个公共点.过点

P

作

PA⊥OM

于

A，如图所示.在

Rt△AOP

中，r

=

PA

=

OP·sin∠POA

=2.5(cm).当射线

OM

与⊙P

相交且点

O

在

⊙P

内时，射线

OM

与⊙P只有一个公共点.如图2所示.∵射线

OM

与

⊙P

相交，∴r＞2.5cm.

···①又∵点

O在⊙P内，∴

r＞OP，即

r＞5cm.

···②由①②可得

r＞5cm.综上所述，当射线

OM与⊙P只有一个公共点时，r=2.5cm或

r＞5cm.图2

此类题型中，常常容易混淆“直线与圆只有一个公共点”“线段与圆只有一个公共点”“射线与圆只有一个公共点”的说法.

实际上，当直线与圆只有一个公共点时，直线与圆一定相切；而线段或射线与圆只有一个公共点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能相交.方法总结5.如图，直线

l：y

=

x

+

1

与坐标轴交于

A，B

两点，点

M

(m，0)是

x

轴上一动点，以点

M

为圆心，2

个单位长度为半径作

⊙M，当

⊙M

与直线

l

相切时，m

的值为_______．针对训练例6如图，以△ABC

的边

AB为直径的

⊙O交边

AC于点

D，且过点

D

的切线

DE

平分边

BC.问：BC与

⊙O是否相切？考点五切线的性质与判定及切线长定理解：BC与⊙O相切．理由：连接

OD，BD，如图.∵DE切

⊙O

于

D，AB为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°.又∵DE

平分

CB，∴DE＝

BC＝BE.∴∠EDB＝∠EBD.又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°.∴BC与⊙O相切.6.已知：如图，PA，PB

是

⊙O

的切线，A，B

为切点，过上的一点

C

作

⊙O

的切线，交

PA

于

D，交

PB

于

E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE

的度数；针对训练解：连接

OA，OB，OC．∵⊙O

分别切

PA，PB，DE

于点

A，B，C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE．∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝

∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.(2)

若

PA＝4cm，求△PDE

的周长．解：由(1)知，AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周长为

PD＋PE＋DE

＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm).考点六

圆内接正多边形例7

如图，在正方形

ABCD

内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知

AE

=

6，EF

=

8，FC

=

10，求图中阴影部分的面积.【解析】连接

AC，则

AC

是圆的直径.

易得

AE∥CF，若将

CF

平移到

AE

的延长线上，则点

C

恰好到达圆周上，则可得到圆的一个内接直角三角形，利用勾股定理即可求得

AC的长，进而求得阴影部分的面积.解：延长

AE

交圆于点

C'，连接

AC，CC'，如图所示.∵四边形

ABCD是圆的内接正方形，∴AC为圆的直径.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.∴∴正方形

ABCD的边长

AB=AC·sin45°

=，外接圆的半径为

．∴∠C′=90°，故四边形

EFCC'

是矩形.C'

当图中出现圆的直径时，常常作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于

90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数创造条件.方法总结7.如图，正六边形

ABCDEF

内接于半径为

5

的⊙O，四边形

EFGH

是正方形．(1)求正方形

EFGH

的面积；解：(1)∵正六边形的边长与其半径相等，

∴EF=OF=5.∵四边形

EFGH

是正方形，

∴FG=EF=5.

∴正方形

EFGH的面积是25.针对训练(2)连接

OF、OG，求∠OGF

的度数．解：∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=60°.∴正方形的内角是90°.∴∠OFG=∠OFE+∠EFG=60°

+90°

=150°.由(1)得

OF=FG，∴∠OGF=（180°

-∠OFG）

=×(180°

-

150°)=15°.考点七弧长和扇形面积例8（1）一条弧所对的圆心角为

135°，弧长等于半径为

5cm的圆的周长的

3倍，则这条弧的半径为

cm；（2）一个底面直径为

10cm，母线长为

15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是

度.40120例9

如图是一纸杯，它的母线

AC和

EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形

AOB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长

EF=8cm．（1）求扇形

AOB的圆心角；解:（1）由题意知

AB=6π，CD=4π，设∠AOB=n°，AO=Rcm，则CO=(R-8)cm．由弧长公式变形得：即解得

R=24.即扇形的圆心角∠AOB=45°.（2）求这个纸杯的表面积（计算结果保留π）.解：由（1）知

OA=24cm，则

CO=24-8=16（cm）.∴S扇形COD=(cm2)，S扇形AOB=∴S纸杯侧

=S扇形AOB-

S扇形COD=72π

-

32π=40π(cm2)，S纸杯底

=4π.∴S纸杯表

=40π+4π=44π(cm2).答：这个纸杯的表面积为

44πcm2.(1)要熟记弧长公式，即；(2)要熟记圆锥及其侧面展开图存在的对应数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.

方法归纳8.（1）一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于半径为4cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为

.（2）一个底面半径为4cm，母线长为12cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是

度.（3）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.36cm120针对训练考点八有关圆的综合性题目

例10

如图，在平面直角坐标系中，⊙P

经过

x

轴上一点

C，与

y

轴分别相交于

A，B

两点，连接

AP

并延长，分别交

⊙P，x

轴于点

D，E；连接

DC

并延长，交

y

轴于点

F．若点

F(0，1)，点

D(6，-1).（1）求证：CD

=

CF；证明：如图，过点

D

作

DH⊥x

轴于点

H，则∠CHD=∠COF=90°.由

F(0，1)，D(6，-1)，得

DH=OF=1.H又∵∠FCO=∠DCH，∴△FOC≌△DHC.∴CD=CF.（2）判断

⊙