三角函数与解三角形大题综合归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题4-4三角函数与解三角形大题综合归类

目录

、热点题型归纳

【题型一】三角函数求解析式：“识图”...................................................1

【题型二】图像与性质1：单调性与值域..................................................3

【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型..........................................4

【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数..........................................5

【题型五】图像与性质4：零点与对称轴..................................................6

【题型六】解三角形1：面积与周长常规..................................................8

【题型七】解三角形2：计算角度与函数值................................................9

【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）.............................................10

【题型九】解三角形4：周长最值.......................................................11

【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型.....................................12

【题型十一】解三角形6：最值范围综合.................................................12

二、真题再现..........................................................................13

三、模拟测试..........................................................................15

热点题型归纳

【题型一】三角函数求解析式：“识图”

【典例分析】

7T

（2023・全国•高三专题练习）函数/（x）=Asin（"+e）,xeR（其中A>0,0V9<5）部分图象如图所示,

P（；,A）是该图象的最高点，M,N是图象与x轴的交点.

⑴求/（x）的最小正周期及（P的值；

TT

（2）若NPMN+NPNM=-,求A的值.

4

【提分秘籍】

基本规律

1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。

正弦"第一零点"：x=2k7i.正弦“第二零点"：x=7i+2k7i

71-71-,

余弦“第一零点"：X=--+2k77lX=-+2k7V

2；余弦“第二零点”：2

2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系

【变式演练】

/（x）=Asin（s+°）A>0,a）>0,0<（jo<—

1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数I2J的部分图象如图所示.

⑴求函数“X）的解析式；

⑵将〃力图象上所有点的横坐标缩短到原来的3（纵坐标不变），得到函数》=8（%）的图象，求函数

g（x）2石的解的集合.

2.（2022・四川.宜宾市教科所三模（理））己知函数/（可=$也（8+夕）,>0,网<方）的部分图象如图所示：

⑴求〃力；

(2)若/[■!]=',且ae(0,7i),求cos2c的值.

3.（2022.全国•高三专题练习）已知函数〃x）=Asin（0x+e）［xeR,A>O,0>O,|同<5部分图象如图所示.

⑴求了（力的最小正周期及解析式；

（2）将函数y=/（x）的图象向右平移/个单位长度得到函数户g（x）的图象，求函数g（x）在区间上

的最大值和最小值.

【题型二】图像与性质1:单调性与值域

【典例分析】

（2022•浙江•高三开学考试）已知函数/（x）=cos2x+百sinx•cosx-.

⑴求函数f（x）的单调递增区间；

7T

⑵求"X）在区间［0,1］上的最值.

【提分秘籍】

基本规律

函数y=sinxy=cosxy=tan%

［—71+2kn，

jrjr

［］］（女金）上递2祈］

―/+2E,+2EZ（一9标，畀

单调

增；/WZ）上递增；

ku）

性

［2E,九+2何

弓+2标:，苧+2祈］（左£2）上递减/£Z）上递增

（%£Z）上递减

【变式演练】

1.(2022・湖北•高三开学考试)已知函数/(x)=sin.2x+2^sinxcosx+sinsin

lx--4

⑴求/（x）的最小正周期；

⑵若无6[0,切，求出"X）的单调递减区间.

2.（2022.黑龙江•双鸭山一中高三开学考试）已知函数/（x）=sin12x+gJ+cosJ-2sinxcosx.

（1）求函数/（x）的最小正周期及对称轴方程；

（2）将函数y=f（x）的图象向左平移专个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2

倍，得到函数产g（x）的图象，求y=g（x）在[0,2扪上的单调递减区间.

3.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=sin（%-（yx）coss-cos2[ox+j（0＞O）的最小正周期为一.

⑴求“力图象的对称轴方程；

⑵将“X）的图象向左平移专个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在0,1上的值域.

【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型

【典例分析】

（2023•全国•高三专题练习）在①sina=g,②tai?a+四tana_4=0这两个条件中任选一个，补充到

下面的问题中，并解答.

已知角。是第一象限角，且___________.

（1）求tanc的值；

3兀

(2)求0cos(2。+)+cos(a+))cos(a-3%)的值.

~2

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【变式演练】_

1.（2022・北京•二模）已知函数/（工）=（：0520彳+百5m8＜：0$01+7%（0＞0,相€1＜）.再从条件①、条件②、

条件③这三个条件中选择能确定函数/（X）的解析式的两个作为已知.

⑴求了（X）的解析式及最小值；

⑵若函数〃X）在区间[0刁。＞0）上有且仅有1个零点，求f的取值范围.

条件①：函数Ax）的最小正周期为万；

条件②：函数/⑴的图象经过点（。,£|；

3

条件③：函数Ax）的最大值为万.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.

2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=。$111如8$。%（〃>0,加>0）.从下列四个条件中选择两个作

为已知，使函数〃力存在且唯一确定.

条件①：d=l;

条件②：〃力为偶函数；

条件③：“X）的最大值为1；

条件④：/（X）图象的相邻两条对称轴之间的距离为三.

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

⑴求了（力的解析式；

（2）®g（x）=/（x）-2cos2^x+l,求函数g（x）在（0,兀）上的单调递增区间.

3.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=asinxcosx-\/§cos2Mx£R）,若_________.

条件①：«>0,且“X）在尤WR时的最大值为1_4；

条件②：,[J岑

请写出你选择的条件，并求函数/（X）在区间-全。上的最大值和最小值.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数

【典例分析】

（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（尤）=2sin（x+j）.

⑴若不等式|〃6一帆归3对任意恒成立，求整数根的最大值；

63

⑵若函数g（x）=/g-x）,将函数g（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的；倍（纵坐标不变），再向右

平移专个单位，得到函数y=g）的图象，若关于X的方程9（x）d=0在xe[若,急上有2个不同实

数解，求实数上的取值范围.

【提分秘籍】

基本规律

利用二倍角和降暴公式等进

1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开

2.“重组”：系数次塞一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”

行恒等变形

【变式演练】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量用=12-sin(2x+f,-21,n=(l,sin2x),/(x)=m-n,其中

工£。，彳.

L2j

⑴求函数的单调增区间；

⑵将函数的图象所有的点向右平移3个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的J(纵坐

标不变)，再向下平移1个单位得到g(x)的图象，若g(x)=机在X号]上恰有2个解，求机的取

值范围.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(尤)=Asin(<yx+e)(A>0,0>0,0<夕<的部分图象如图所示.

⑴求函数Ax)的解析式；

(2)先将函数〃x)的图象向右平移2个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2

倍,得到g。)的图象.

(i)若加>0,当xw[0,利时，g(x)的值域为[-g,2],求实数优的取值范围；

JT7T

(ii)若不等式屋⑶-⑵+l)g(x)-t-1W0对任意的xw恒成立，求实数f的取值范围.

3.(2022・全国•高三专题练习)已知：函数/(x)=2sinxcosx+gcos2x.

⑴求的最小正周期；

(2)求/(力的单调递减区间；

⑶若函数g(x)=/(x)-左在。,：上有两个不同的零点，写出实数左的取值范围.(只写结论)

【题型五】图像与性质4：零点与对称轴

【典例分析】

（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=4cos0x-cos[0x-（J-l（0＞O）的部分图像如图所示，若

_2

ABBC^——8,B,C分别为最高点与最低点.

⑴求函数的解析式；

"13万一

⑵若函数y=/（x）-根在0,—,上有且仅有三个不同的零点4，不2，%，（不＜马＜毛），求实数机的

取值范围，并求出COS（XI+2%+X3）的值.

【提分秘籍】

基本规律

重视三角函数画图在解题中的作用:

1.五点画图法；2.换元画图法

【变式演练】

（2023・全国•高三专题练习）已知函数/'（x）=Asin（s+。）+A＞0,。＞0,|夕|＜的部分图象如图所示.

（1）求函数Ax）的解析式;

(2)将函数y=/(x)的图象上所有的点向右平移5个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的

「13万一

2倍(纵坐标不变)，得到函数丫=?(幻的图象.当xe0,—时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实

O

数根石,9,毛(％<x2<%；),求实数a的取值范围和％+2马+七的值.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Asin(ox+°)+4A>0,0>0,|夕|<g)的部分图象如图所示.

⑴求函数的解析式；

(2)将函数y=/(无)的图象上所有的点向右平移・个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的

2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，若方程g(x)-〃z=0在0,—上有三个不相等的实数根

石,%2，W(%<%2<毛)，求的取值范围及tanH+Zz+w)的值.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知数/(x)=6sin［血+小+2sin2仁+->。)的相邻两对称轴间

TT

的距离为

⑴求了(X)的解析式；

(2)将函数Ax)的图象向右平移J个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变)，得到函

ON

TTTT

数y=g(x)的图象，当xw时，求函数g(x)的值域；

12O

4714万

(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在了6上的根从小到大依次为%,多,…相，若〃?=

33_

石+-----1-2x_+x,试求〃与加的值.

2X2+2X3Hn1n

【题型六】解三角形1:面积与周长常规

【典例分析】

(2022・安徽•高三开学考试)在AABC中，点分别在线段8C8A上，且BM=CM,ZACN=NBCN,

AB=y/13,AM=-,AC=2.

2

⑴求BM的长;⑵求Z\BCN的面积.

【提分秘籍】

基本规律

三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下:

（Z）Sz\ABc=14bsinC*=]Z?csin4csinB=4A

②SAA5c=T（a+b+c>r（r是切圆的半径）

【变式演练】

1.(2022・北京•高三开学考试)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2C=sinC.

⑴求“；

(2)若6=1,且AABC的面积为班，求AABC的周长.

2.(2022.江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)已知AABC的三个内角AB,C所对的边分别为°,

b,c,tanBtanC-\/3(tanB+tanC)=1.

(1)求角A的大小；

(2)若a=l,2c-(指+1)。=0,求AABC的面积.

3.(2022・云南昆明•高三开学考试)已知AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

y/3asinB-bcosA=0.

⑴求A;

(2)若。=百，a=立，求AABC的面积.

2

【题型七】解三角形2：计算角度与函数值

【典例分析】

(2022・全国•高三专题练习)在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,6,c.已知a=#,b=2c,cosA=」.

4

⑴求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2A-3)的值.

【提分秘籍】

基本规律

选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

(1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

(2)若式子含有c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”;

(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”;

（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用至I]A+B+C=〃.

【变式演练】

1.（2021.天津静海.高三阶段练习）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足

（2a-Z?）sinA+（2Z>-a）sinB=2csinC.

（1）求角C的大小；

（2）若。=而，a+b=4,求AASC的面积.

（3）若cosA=手，求sin（2A—C）的值.

2.（2022.北京市第二十二中学高三开学考试）已知AABC的内角A,8,C所对的对边分别为a,b,c,周长为

V2+1，且sinA+sin3=^2sinC.

⑴求。的值；

（2）若AMC的面积为!sinC,求角C的大小.

3.（2022.青海玉树.高三阶段练习（文））在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且AABC

的面积s=¥（/+，_〃）.

（1）求角B的大小；

⑵若a+06=2c，求sinC.

【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）

【典例分析】

（2022•云南・昆明一中高三开学考试）已知AABC的内角A,8,C所对边分别为a,b,c,且

sin2A—sin2B=sin2C-5/2sinBsinC•

⑴求A；

（2）若。=相，求AABC面积的最大值.

【提分秘籍】

基本规律

解三角形求最值，主要是两个思路：

1.利用余弦定理，借助均值不等式来求。

2.利用正弦定理，边角互化来求。化角时，要注意角的取值范围限制

【变式演练】

1.（2022•河南•高三开学考试（文））已知a,b,c分别为AABC的内角A及C所对的边，且

（a+c-Z?）（sinA-sinC+sinB）=csinB

(1)求角A的大小；

⑵若4=26，求AABC面积的最大值.

2.(2022.湖南•麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,

c.已知AABC的外接圆半径R=0,且tanB+tanC=3sinA.

cosC

(1)求B和b的值；

⑵求AABC面积的最大值.

3.(2021•江苏•矿大附中高三阶段练习)AABC的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,设

sinAcosB=sinB(2—cosA).

⑴若b+c=V§a,求A；

(2)若。=2,求AABC的面积的最大值.

【题型九】解三角形4：周长最值

【典例分析】

(2022•黑龙江•双鸭山一中高三开学考试)在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB.

⑴求角C的大小；

(2)若△ABC的外接圆半径为6，求△川(7周长的取值范围.

【提分秘籍】

基本规律

利用均值求周长的范围时，注意利用三角形”两边之和大于第三边(任意三角形)”

【变式演练】

1.(2022・广东•深圳外国语学校高三阶段练习)己知△ABC中，内角AB,C所对边分别为a,b,c,若

(2a-c)cosB-&cosC=0.

(1)求角8的大小；

(2)若6=2,求a+c的最大值.

2.(2022・湖北・襄阳五中高三开学考试)在锐角AABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,从条件①：

cos

sinAcosAtanA=—,条件②：/‘由4_=J_,条件③：2acosA-bcosC=ccosB这三个条件中选择

4V3sinA+cosA2

一个作为已知条件.

(1)求角A的大小；

(2)若。=2,求AABC周长的取值范围.

3.(2022.广东•高三开学考试汨知锐角AABC中，角A、8、C所对边为。、b、c,且tan8+tanC+百=上.

tanBtanC

⑴求角A；

(2)若。=4,求b+c的取值范围.

【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型

【典例分析】

（2022・四川成都•模拟预测（理））△A8C中，角A氏C所对边分别是。，4c,叫+吗=义,

tanBtanCbe

Z?cosC+ccosB=l.

⑴求角A及边〃；

⑵求2b+c的最大值.

【提分秘籍】

基本规

“非对称”型，多用正弦定理来“边化角”，最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。

特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。

【变式演练】

1.（2022.全国•南京外国语学校模拟预测）在AABC中，角A、8、C的对边分别为0、％、。，且

5sinBsinC-3=5cosBcosC+cos2A.

（1）求角A的大小；

（2）若a=6，求2Z?+c的最大值.

2..（2022•辽宁・抚顺市第二中学三模）在①（2c-a）sinC=W+c2-/）Xig^cos24jC_cosAcosC=i

③=tanA+tan8这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，

Z?cosA

问题：在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，6=26，.

⑴求角B；

⑵求2a-c的范围.

【题型十一】解三角形6：最值范围综合

【典例分析】

（2022•浙江•高三开学考试）记AABC内角A氏C的对边分别是"c,已知丁上^-7=蚂二

2tanB-tanAtanA

⑴求证：/+02=2/；（2）求9的取值范围.

【变式演练】

（2022•辽宁・渤海大学附属高级中学模拟预测）AABC的内角A、B、C所对边的长分别为。、人、c,己

知有a=V§ccos5+bsinC.

(1)求C的大小；_

⑵若AABC为锐角三角形且c=7L求的取值范围.

4D「tan3=一

2.(2022・湖南湘潭.高三开学考试)设AABC的内角A8，C的对边分别为a/k,c,A为钝角，且a.

(1)探究A与B的关系并证明你的结论；

⑵求cosA+cosB+cosC的取值范围.

公屋真题再现

1.(2022•天津•高考真题)在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知。=#,b=2c,cosA=-L

4

⑴求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2A-B)的值.

2.(2022.全国•高考真题)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三

个正三角形的面积依次为岳,$2,S3，已知凡-邑+包=sin8=；.

⑴求AABC的面积；

(2)若sinAsinC=,求6.

3

3.(2022•全国•高考真题(文))记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴若A=2B,求C；

⑵证明：2/=廿+,2

4.(•浙江・高考真题(理))己知AABC的内角A3,C所对的对边分别为瓦c,周长为0+1,且

sinA+sin2=0sinC•

⑴求c的值；

(2)若AABC的面积为:sinC,求角C的大小.

5.(2。22・全国•高考真题)记△板的内角4B,C的对边分别为a,…,已知黑不及

⑴若c=2T7r，求&

(2)求《4^的最小值・

C

6.(2020•山东・高考真题)小明同学用“五点法”作某个正弦型函数》=心皿8+。)卜＞0,0＞0,倒＜想在

一个周期内的图象时，列表如下:

n式717〃57r

X

~~61212-6~

713TI

CDX+(p

0~271~22TV

Asin(0x+°)030-30

根据表中数据，求：

(1)实数A,。，。的值；

(2)该函数在区间［彳,彳上的最大值和最小值.

7.(山东・高考真题)已知函数y=2sin(2x+。)，xeR,0<<p<^,函数的部分图象如下图，求

(1)函数的最小正周期T及夕的值:

(2)函数的单调递增区间.

8.(2021・天津,高考真题)在AABC,角所对的边分别为a,b,c,已知sinA:sin2:sinC=2:1:忘,

b=V2.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

V的值.

(III)求sin|2C-

9.(2021•全国•高考真题)在AABC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面积；

(2)是否存在正整数“，使得AABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

10.(2021・北京・高考真题)在AABC中，c=2bcos3,C=—.

3

(1)求D8；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，求BC边

上中线的长.

条件①：c=叵b;

条件②：AABC的周长为4+26；

条件③：AABC的面积为更；

4

11.(2023.全国.高三专题练习)在AABC中.sinAcosI=|

⑴求角A;

（2）若AC=8,点。是线段3c的中点，DELAC于点E,且Z）£=女叵，求CE的长.

也模拟检测,

1.（2022•浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数y=/（x）=Asin（ox+0）+8（其中A,。，（P,B均为

常数，且A＞0,。＞0,|。＜万）的部分图像如图所示.

⑴求了⑴的解析式;

xe(-],oj,求g(x)的值域.

2.（2022・全国•高三专题练习）已知向量Z=1inx,6）,S=（l,cosx）.

（D若〃_LZ?,求sin2x的值；

（2）令把函数/（%）的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的

图像沿X轴向左平移］个单位长度，得到函数g（x）的图像，求函数g（x）在0,；上的最大值和最小值.

O2

3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃无）=sin（s+0，＞O,|d＜m，再从条件①、条件②、条件③这

三个条件中选择两个作为一组已知条件，使/（力的解析式唯一确定.

⑴求“X）的解析式；

⑵设函数8何="2+/卜+高，求g（x）在区间0,（上的最大值.

条件①：/（力的最小正周期为万；

条件②：/（0）=0；

条件③：“X）图象的一条对称轴为x=j

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数7'(x)=-x|x-3a|+a(