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文档简介
专题4-4三角函数与解三角形大题综合归类
目录
、热点题型归纳
【题型一】三角函数求解析式:“识图”...................................................1
【题型二】图像与性质1:单调性与值域..................................................3
【题型三】图像与性质2:恒等变形:结构不良型..........................................4
【题型四】图像与性质3:恒成立(有解)求参数..........................................5
【题型五】图像与性质4:零点与对称轴..................................................6
【题型六】解三角形1:面积与周长常规..................................................8
【题型七】解三角形2:计算角度与函数值................................................9
【题型八】解三角形3:求面积范围(最值).............................................10
【题型九】解三角形4:周长最值.......................................................11
【题型十】解三角形5:巧用正弦定理求“非对称”型.....................................12
【题型十一】解三角形6:最值范围综合.................................................12
二、真题再现..........................................................................13
三、模拟测试..........................................................................15
热点题型归纳
【题型一】三角函数求解析式:“识图”
【典例分析】
7T
(2023・全国•高三专题练习)函数/(x)=Asin("+e),xeR(其中A>0,0V9<5)部分图象如图所示,
P(;,A)是该图象的最高点,M,N是图象与x轴的交点.
⑴求/(x)的最小正周期及(P的值;
TT
(2)若NPMN+NPNM=-,求A的值.
4
【提分秘籍】
基本规律
1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。
正弦"第一零点":x=2k7i.正弦“第二零点":x=7i+2k7i
71-71-,
余弦“第一零点":X=--+2k77lX=-+2k7V
2;余弦“第二零点”:2
2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系
【变式演练】
/(x)=Asin(s+°)A>0,a)>0,0<(jo<—
1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数I2J的部分图象如图所示.
⑴求函数“X)的解析式;
⑵将〃力图象上所有点的横坐标缩短到原来的3(纵坐标不变),得到函数》=8(%)的图象,求函数
g(x)2石的解的集合.
2.(2022・四川.宜宾市教科所三模(理))己知函数/(可=$也(8+夕),>0,网<方)的部分图象如图所示:
⑴求〃力;
(2)若/[■!]=',且ae(0,7i),求cos2c的值.
3.(2022.全国•高三专题练习)已知函数〃x)=Asin(0x+e)[xeR,A>O,0>O,|同<5部分图象如图所示.
⑴求了(力的最小正周期及解析式;
(2)将函数y=/(x)的图象向右平移/个单位长度得到函数户g(x)的图象,求函数g(x)在区间上
的最大值和最小值.
【题型二】图像与性质1:单调性与值域
【典例分析】
(2022•浙江•高三开学考试)已知函数/(x)=cos2x+百sinx•cosx-.
⑴求函数f(x)的单调递增区间;
7T
⑵求"X)在区间[0,1]上的最值.
【提分秘籍】
基本规律
函数y=sinxy=cosxy=tan%
[—71+2kn,
jrjr
[]](女金)上递2祈]
―/+2E,+2EZ(一9标,畀
单调
增;/WZ)上递增;
ku)
性
[2E,九+2何
弓+2标:,苧+2祈](左£2)上递减/£Z)上递增
(%£Z)上递减
【变式演练】
1.(2022・湖北•高三开学考试)已知函数/(x)=sin.2x+2^sinxcosx+sinsin
lx--4
⑴求/(x)的最小正周期;
⑵若无6[0,切,求出"X)的单调递减区间.
2.(2022.黑龙江•双鸭山一中高三开学考试)已知函数/(x)=sin12x+gJ+cosJ-2sinxcosx.
(1)求函数/(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移专个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2
倍,得到函数产g(x)的图象,求y=g(x)在[0,2扪上的单调递减区间.
3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=sin(%-(yx)coss-cos2[ox+j(0>O)的最小正周期为一.
⑴求“力图象的对称轴方程;
⑵将“X)的图象向左平移专个单位长度后,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在0,1上的值域.
【题型三】图像与性质2:恒等变形:结构不良型
【典例分析】
(2023•全国•高三专题练习)在①sina=g,②tai?a+四tana_4=0这两个条件中任选一个,补充到
下面的问题中,并解答.
已知角。是第一象限角,且___________.
(1)求tanc的值;
3兀
(2)求0cos(2。+)+cos(a+))cos(a-3%)的值.
~2
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【变式演练】_
1.(2022・北京•二模)已知函数/(工)=(:0520彳+百5m8<:0$01+7%(0>0,相€1<).再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择能确定函数/(X)的解析式的两个作为已知.
⑴求了(X)的解析式及最小值;
⑵若函数〃X)在区间[0刁。>0)上有且仅有1个零点,求f的取值范围.
条件①:函数Ax)的最小正周期为万;
条件②:函数/⑴的图象经过点(。,£|;
3
条件③:函数Ax)的最大值为万.
注:如果选择的条件不符合要求,得。分;如果选择多组符合要求的条件分别解答,按第一组解答计分.
2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=。$111如8$。%(〃>0,加>0).从下列四个条件中选择两个作
为已知,使函数〃力存在且唯一确定.
条件①:d=l;
条件②:〃力为偶函数;
条件③:“X)的最大值为1;
条件④:/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为三.
注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个
解答计分.
⑴求了(力的解析式;
(2)®g(x)=/(x)-2cos2^x+l,求函数g(x)在(0,兀)上的单调递增区间.
3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=asinxcosx-\/§cos2Mx£R),若_________.
条件①:«>0,且“X)在尤WR时的最大值为1_4;
条件②:,[J岑
请写出你选择的条件,并求函数/(X)在区间-全。上的最大值和最小值.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【题型四】图像与性质3:恒成立(有解)求参数
【典例分析】
(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(尤)=2sin(x+j).
⑴若不等式|〃6一帆归3对任意恒成立,求整数根的最大值;
63
⑵若函数g(x)=/g-x),将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐标不变),再向右
平移专个单位,得到函数y=g)的图象,若关于X的方程9(x)d=0在xe[若,急上有2个不同实
数解,求实数上的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
利用二倍角和降暴公式等进
1.角度不一致,可以“打散”:角度不一致,可以拆开
2.“重组”:系数次塞一致,合并为正弦余弦,便于使用辅助角“化一”
行恒等变形
【变式演练】
1.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量用=12-sin(2x+f,-21,n=(l,sin2x),/(x)=m-n,其中
工£。,彳.
L2j
⑴求函数的单调增区间;
⑵将函数的图象所有的点向右平移3个单位,再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的J(纵坐
标不变),再向下平移1个单位得到g(x)的图象,若g(x)=机在X号]上恰有2个解,求机的取
值范围.
2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(尤)=Asin(<yx+e)(A>0,0>0,0<夕<的部分图象如图所示.
⑴求函数Ax)的解析式;
(2)先将函数〃x)的图象向右平移2个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2
倍,得到g。)的图象.
(i)若加>0,当xw[0,利时,g(x)的值域为[-g,2],求实数优的取值范围;
JT7T
(ii)若不等式屋⑶-⑵+l)g(x)-t-1W0对任意的xw恒成立,求实数f的取值范围.
3.(2022・全国•高三专题练习)已知:函数/(x)=2sinxcosx+gcos2x.
⑴求的最小正周期;
(2)求/(力的单调递减区间;
⑶若函数g(x)=/(x)-左在。,:上有两个不同的零点,写出实数左的取值范围.(只写结论)
【题型五】图像与性质4:零点与对称轴
【典例分析】
(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=4cos0x-cos[0x-(J-l(0>O)的部分图像如图所示,若
_2
ABBC^——8,B,C分别为最高点与最低点.
⑴求函数的解析式;
"13万一
⑵若函数y=/(x)-根在0,—,上有且仅有三个不同的零点4,不2,%,(不<马<毛),求实数机的
取值范围,并求出COS(XI+2%+X3)的值.
【提分秘籍】
基本规律
重视三角函数画图在解题中的作用:
1.五点画图法;2.换元画图法
【变式演练】
(2023・全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=Asin(s+。)+A>0,。>0,|夕|<的部分图象如图所示.
(1)求函数Ax)的解析式;
(2)将函数y=/(x)的图象上所有的点向右平移5个单位,再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
「13万一
2倍(纵坐标不变),得到函数丫=?(幻的图象.当xe0,—时,方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实
O
数根石,9,毛(%<x2<%;),求实数a的取值范围和%+2马+七的值.
2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Asin(ox+°)+4A>0,0>0,|夕|<g)的部分图象如图所示.
⑴求函数的解析式;
(2)将函数y=/(无)的图象上所有的点向右平移・个单位,再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若方程g(x)-〃z=0在0,—上有三个不相等的实数根
石,%2,W(%<%2<毛),求的取值范围及tanH+Zz+w)的值.
3.(2023•全国•高三专题练习)已知数/(x)=6sin[血+小+2sin2仁+->。)的相邻两对称轴间
TT
的距离为
⑴求了(X)的解析式;
(2)将函数Ax)的图象向右平移J个单位长度,再把各点的横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变),得到函
ON
TTTT
数y=g(x)的图象,当xw时,求函数g(x)的值域;
12O
4714万
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在了6上的根从小到大依次为%,多,…相,若〃?=
33_
石+-----1-2x_+x,试求〃与加的值.
2X2+2X3Hn1n
【题型六】解三角形1:面积与周长常规
【典例分析】
(2022・安徽•高三开学考试)在AABC中,点分别在线段8C8A上,且BM=CM,ZACN=NBCN,
AB=y/13,AM=-,AC=2.
2
⑴求BM的长;⑵求Z\BCN的面积.
【提分秘籍】
基本规律
三角形面积,不仅仅有常见的“底乘高”,还有以下:
(Z)Sz\ABc=14bsinC*=]Z?csin4csinB=4A
②SAA5c=T(a+b+c>r(r是切圆的半径)
【变式演练】
1.(2022・北京•高三开学考试)在AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2C=sinC.
⑴求“;
(2)若6=1,且AABC的面积为班,求AABC的周长.
2.(2022.江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)已知AABC的三个内角AB,C所对的边分别为°,
b,c,tanBtanC-\/3(tanB+tanC)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若a=l,2c-(指+1)。=0,求AABC的面积.
3.(2022・云南昆明•高三开学考试)已知AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
y/3asinB-bcosA=0.
⑴求A;
(2)若。=百,a=立,求AABC的面积.
2
【题型七】解三角形2:计算角度与函数值
【典例分析】
(2022・全国•高三专题练习)在AABC中,角A、B、C的对边分别为a,6,c.已知a=#,b=2c,cosA=」.
4
⑴求c的值;
(2)求sin8的值;
(3)求sin(2A-3)的值.
【提分秘籍】
基本规律
选择“边化角”或“角化边”,变换原则常用:
(1)若式子含有sinx的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”;
(2)若式子含有c的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”;
(3)若式子含有cosx的齐次式,优先考虑余弦定理,“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理使用;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用至I]A+B+C=〃.
【变式演练】
1.(2021.天津静海.高三阶段练习)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足
(2a-Z?)sinA+(2Z>-a)sinB=2csinC.
(1)求角C的大小;
(2)若。=而,a+b=4,求AASC的面积.
(3)若cosA=手,求sin(2A—C)的值.
2.(2022.北京市第二十二中学高三开学考试)已知AABC的内角A,8,C所对的对边分别为a,b,c,周长为
V2+1,且sinA+sin3=^2sinC.
⑴求。的值;
(2)若AMC的面积为!sinC,求角C的大小.
3.(2022.青海玉树.高三阶段练习(文))在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且AABC
的面积s=¥(/+,_〃).
(1)求角B的大小;
⑵若a+06=2c,求sinC.
【题型八】解三角形3:求面积范围(最值)
【典例分析】
(2022•云南・昆明一中高三开学考试)已知AABC的内角A,8,C所对边分别为a,b,c,且
sin2A—sin2B=sin2C-5/2sinBsinC•
⑴求A;
(2)若。=相,求AABC面积的最大值.
【提分秘籍】
基本规律
解三角形求最值,主要是两个思路:
1.利用余弦定理,借助均值不等式来求。
2.利用正弦定理,边角互化来求。化角时,要注意角的取值范围限制
【变式演练】
1.(2022•河南•高三开学考试(文))已知a,b,c分别为AABC的内角A及C所对的边,且
(a+c-Z?)(sinA-sinC+sinB)=csinB
(1)求角A的大小;
⑵若4=26,求AABC面积的最大值.
2.(2022.湖南•麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)在AABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,
c.已知AABC的外接圆半径R=0,且tanB+tanC=3sinA.
cosC
(1)求B和b的值;
⑵求AABC面积的最大值.
3.(2021•江苏•矿大附中高三阶段练习)AABC的内角A,B,C的对边分别是。,b,c,设
sinAcosB=sinB(2—cosA).
⑴若b+c=V§a,求A;
(2)若。=2,求AABC的面积的最大值.
【题型九】解三角形4:周长最值
【典例分析】
(2022•黑龙江•双鸭山一中高三开学考试)在AABC中,角A,B,C的对边分别为。,b,c,且
sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB.
⑴求角C的大小;
(2)若△ABC的外接圆半径为6,求△川(7周长的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
利用均值求周长的范围时,注意利用三角形”两边之和大于第三边(任意三角形)”
【变式演练】
1.(2022・广东•深圳外国语学校高三阶段练习)己知△ABC中,内角AB,C所对边分别为a,b,c,若
(2a-c)cosB-&cosC=0.
(1)求角8的大小;
(2)若6=2,求a+c的最大值.
2.(2022・湖北・襄阳五中高三开学考试)在锐角AABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,从条件①:
cos
sinAcosAtanA=—,条件②:/‘由4_=J_,条件③:2acosA-bcosC=ccosB这三个条件中选择
4V3sinA+cosA2
一个作为已知条件.
(1)求角A的大小;
(2)若。=2,求AABC周长的取值范围.
3.(2022.广东•高三开学考试汨知锐角AABC中,角A、8、C所对边为。、b、c,且tan8+tanC+百=上.
tanBtanC
⑴求角A;
(2)若。=4,求b+c的取值范围.
【题型十】解三角形5:巧用正弦定理求“非对称”型
【典例分析】
(2022・四川成都•模拟预测(理))△A8C中,角A氏C所对边分别是。,4c,叫+吗=义,
tanBtanCbe
Z?cosC+ccosB=l.
⑴求角A及边〃;
⑵求2b+c的最大值.
【提分秘籍】
基本规
“非对称”型,多用正弦定理来“边化角”,最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。
特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。
【变式演练】
1.(2022.全国•南京外国语学校模拟预测)在AABC中,角A、8、C的对边分别为0、%、。,且
5sinBsinC-3=5cosBcosC+cos2A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,求2Z?+c的最大值.
2..(2022•辽宁・抚顺市第二中学三模)在①(2c-a)sinC=W+c2-/)Xig^cos24jC_cosAcosC=i
③=tanA+tan8这三个条件中,任选一个,补充在下面问题中,
Z?cosA
问题:在AABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,6=26,.
⑴求角B;
⑵求2a-c的范围.
【题型十一】解三角形6:最值范围综合
【典例分析】
(2022•浙江•高三开学考试)记AABC内角A氏C的对边分别是"c,已知丁上^-7=蚂二
2tanB-tanAtanA
⑴求证:/+02=2/;(2)求9的取值范围.
【变式演练】
(2022•辽宁・渤海大学附属高级中学模拟预测)AABC的内角A、B、C所对边的长分别为。、人、c,己
知有a=V§ccos5+bsinC.
(1)求C的大小;_
⑵若AABC为锐角三角形且c=7L求的取值范围.
4D「tan3=一
2.(2022・湖南湘潭.高三开学考试)设AABC的内角A8,C的对边分别为a/k,c,A为钝角,且a.
(1)探究A与B的关系并证明你的结论;
⑵求cosA+cosB+cosC的取值范围.
公屋真题再现
1.(2022•天津•高考真题)在AABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知。=#,b=2c,cosA=-L
4
⑴求c的值;
(2)求sin8的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
2.(2022.全国•高考真题)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三
个正三角形的面积依次为岳,$2,S3,已知凡-邑+包=sin8=;.
⑴求AABC的面积;
(2)若sinAsinC=,求6.
3
3.(2022•全国•高考真题(文))记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).
⑴若A=2B,求C;
⑵证明:2/=廿+,2
4.(•浙江・高考真题(理))己知AABC的内角A3,C所对的对边分别为瓦c,周长为0+1,且
sinA+sin2=0sinC•
⑴求c的值;
(2)若AABC的面积为:sinC,求角C的大小.
5.(2。22・全国•高考真题)记△板的内角4B,C的对边分别为a,…,已知黑不及
⑴若c=2T7r,求&
(2)求《4^的最小值・
C
6.(2020•山东・高考真题)小明同学用“五点法”作某个正弦型函数》=心皿8+。)卜>0,0>0,倒<想在
一个周期内的图象时,列表如下:
n式717〃57r
X
~~61212-6~
713TI
CDX+(p
0~271~22TV
Asin(0x+°)030-30
根据表中数据,求:
(1)实数A,。,。的值;
(2)该函数在区间[彳,彳上的最大值和最小值.
7.(山东・高考真题)已知函数y=2sin(2x+。),xeR,0<<p<^,函数的部分图象如下图,求
(1)函数的最小正周期T及夕的值:
(2)函数的单调递增区间.
8.(2021・天津,高考真题)在AABC,角所对的边分别为a,b,c,已知sinA:sin2:sinC=2:1:忘,
b=V2.
(I)求a的值;
(II)求cosC的值;
V的值.
(III)求sin|2C-
9.(2021•全国•高考真题)在AABC中,角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b=a+l,c=a+2..
(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面积;
(2)是否存在正整数“,使得AABC为钝角三角形?若存在,求出。的值;若不存在,说明理由.
10.(2021・北京・高考真题)在AABC中,c=2bcos3,C=—.
3
(1)求D8;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使AABC存在且唯一确定,求BC边
上中线的长.
条件①:c=叵b;
条件②:AABC的周长为4+26;
条件③:AABC的面积为更;
4
11.(2023.全国.高三专题练习)在AABC中.sinAcosI=|
⑴求角A;
(2)若AC=8,点。是线段3c的中点,DELAC于点E,且Z)£=女叵,求CE的长.
也模拟检测,
1.(2022•浙江省杭州学军中学模拟预测)已知函数y=/(x)=Asin(ox+0)+8(其中A,。,(P,B均为
常数,且A>0,。>0,|。<万)的部分图像如图所示.
⑴求了⑴的解析式;
xe(-],oj,求g(x)的值域.
2.(2022・全国•高三专题练习)已知向量Z=1inx,6),S=(l,cosx).
(D若〃_LZ?,求sin2x的值;
(2)令把函数/(%)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的
图像沿X轴向左平移]个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在0,;上的最大值和最小值.
O2
3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃无)=sin(s+0,>O,|d<m,再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择两个作为一组已知条件,使/(力的解析式唯一确定.
⑴求“X)的解析式;
⑵设函数8何="2+/卜+高,求g(x)在区间0,(上的最大值.
条件①:/(力的最小正周期为万;
条件②:/(0)=0;
条件③:“X)图象的一条对称轴为x=j
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数7'(x)=-x|x-3a|+a(
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