人教版高二数学上学期复习：空间向量大题专练（斜棱柱不规则体建系距离角度存在性问题最值等11类大题）原卷版

空间向量11类大题综合归类

（斜棱柱不规则体建系，距离，角度，存在性问

题，最值等11类大题）

总览卜题型解读

重点题型

【题型1］求点到平面距离........................................................1

【题型2】求线面角..............................................................4

【题型3】求面面角，二面角......................................................7

中档题型

【题型4】斜棱柱建系问题.......................................................10

【题型5】斜棱锥建系问题.......................................................13

【题型6］台体建系问题.........................................................14

【题型7】不规则几何体体建系..................................................15

【题型8】已知点到平面距离求其它量............................................17

【题型9】已知线面角求其它量..................................................18

【题型10】已知二面角求其它量.................................................21

【题型11】最值与范围问题......................................................24

1/29

题型汇编，知识梳理与常考题型

【题型1】求点到平面距离

核心•技巧

点到平面的距离

如图已知平面。的法向量为［,4是平面a内的任一点，P是平面二外一点，过点P作则平面二

4P.〃

的垂线/,交平面。于点。，则点尸到平面a的距离为尸0=---（如图）.

\n\

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解.

….IAS-HI,一

直线a与平面a之间的距离：d=------,其中Nn是平面a的法向量.

\n\

两平行平面见，C之间的距离：d=-\-A-B----A-1-,其中Ze%Be"C,历是平面a的法向量.

\n\

:“典型例题/

1.（22-23高二上•广东深圳•期末）如图，在直三棱柱/3C-44G中，AB=AA,=3,

ZABC=90°,“是的中点，N在棱C。上，且GN=2NC.己知平面&W与平面/8C的

夹角为30。.

2/29

⑴求的长；

(2)求点A到平面的距离.

/“巩固练习/

【巩固练习1】(22-23高二上•福建泉州•阶段练习)已知：在四棱锥尸-"BCr(中，底面480为正

方形，侧棱尸/，平面48co，点/为即中点，PA=AD=\.

(1)求证：平面M4C_L平面尸CD；

(2)求点P到平面MAC的距离.

【巩固练习2】(22-23高二上•广东深圳•期末)如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面/BCD为直角梯

形，且月51.3,AD=2BC＞已知侧棱/尸」平面/5CD,设点E为棱PD的中点.

⑴证明：CE〃平面48尸;

3/29

(2)若/8=/尸=/。=2,求点P到平面8CE的距离.

【巩固练习3】(2024•天津•高考真题)已知四棱柱/BCD-4瓦G2中，底面42。为梯形，

ABIICD,平面/BCD,AD±AB,其中48=/4=2,40=DC=1.N是与G的中点，河是

。〃的中点.

⑴求证〃平面。印W；

(2)求平面C2M与平面网C£的夹角余弦值;

(3)求点B到平面CB、M的距离.

【题型2】求线面角

强心•技巧/

1、求线面角的步骤

1、在底面选择合适的点作为原点建立空间坐标系(一般为直角的顶点)

2、写出相关点的坐标，个别特殊点要用到中点坐标公式或向量之间的倍数关系来得出坐标(如例

1)

3、写出相关向量坐标，

4、设法向量，赋值得出平面的一^个法向量

5、结合线面角公式计算求值

若直线/的方向向量分别为Z,平面。的法向量分别为「，则

4/29

a*u

直线/与平面a所成的角为夕0<^<|sin"

2、直线与平面所成角公式的解释

设直线/的方向向量为所，平面《的法向量为几直线与平面所成的角为。，A0与7的角为夕，

POn..POn

则有①cos。=忸酮，②sin。引cos°|=（注意此公式中最后的形式是:sin。）

PO\\n

思考：为什么COS0要加绝对值？

///典型例题I

2.（24-25高三上•山东烟台・开学考试）如图，四边形/BCD与区D斯均为菱形，FA=FC,且

ZDAB=ZDBF=60°.

⑴求证：ACBDEF；

（2）求直线ND与平面48尸所成角的正弦值.

JT

3.（高二下•广东•期末）四边形N2是平行四边形，"%,四边形”叼是梯形,

5/29

BEHAF,且AB=BE=-AF=1,BC=42,平面48。。J■平面/8£F.

2

(1)求证：ACVEF-,

(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值.

【巩固练习1】(23-24高二下•广东•期末)如图，四棱锥尸-ABCD的侧面尸CD为正三角形，底面488

——•1——■

为梯形，AB//CD,平面PCD_L平面ABCD,已知CD=448=4,PM=^MD.

⑵若AC=AD,PA=372,求直线AM与平面R4S所成角的正弦值.

【巩固练习2】如图，在直三棱柱NBC-44G中，N4=2,tan/N8C=tan//C8=；，点4到平面

BCQBI的距离为\,M,N分别为B©,48的中点.

6/29

(1)证明：CMLAXB.

(2)求直线4区与平面CMN所成角的正弦值.

【巩固练习3】在长方体48。＞一/4GA中，AB=BC=1,叫=2,E为5月中点.

(1)证明：ACVD{E.

(2)求DE与平面AD}E所成角的正弦值.

【巩固练习4】(24-25高二上•河北保定•开学考试)如图，在四棱锥尸-4BCD中，已知底面48co

是边长为2百的菱形，NB4D=60。，PA=PB=PD=2拒，且P£_L平面4BCD,垂足为E.

(1)证明：3c，平面P8E.

(2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.

7/29

【题型3】求面面角，二面角

/核心•技巧/

1、公式：若〃，加分别为面的法向量

二面角°一/一广的平面角为°,则|coso|"cos（%冽，

平面a与平面所成角为。，则cos8=cos（%加）

2、面面角与二面角公式推导

如图，若PG_La于G,PHL。于H,平面PHG爻I于E,则NH£G为二面角a—/—/的平面

角，NHEG+NHPG=180。.

/---»\n・m

若兀而分别为面a,/的法向量，贝"扁

①设二面角a-l-P的平面角为0,则|cosd—cos（乙加

②设平面a与平面广所成角为，，贝Ucos8=cos,，加）

【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解

决。

/一歹典型例题/

4.（24-25高三上•湖北•开学考试）如图，长方体/BCD-Z百G2中，点瓦厂分别在5稣。〃上,

且ZE_L48，af1A\D.

8/29

DiG

4

c

(1)求证：4。，平面/EV；

(2)当AB=AD=1,AAX=2时，求平面AEF与平面A{BD的夹角的余弦值.

5.(23-24高二下•广东深圳•期末)在二棱锥A-BCD中，AD1平面BCD,M,P分别是

AD,BM的中点，点Q在棱AC上，且AQ=3QC.

(1)求证：PQI/平面BCD;

(2)若AD=BD=BC=2CD,求平面BCM与平面ACD夹角的余弦值.

6.(2024•北京•高考真题)如图，在四棱锥尸-AB8中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,点E

(1)若尸为线段尸E中点，求证：BF〃平面PCD.

⑵若48,平面尸4D,求平面9与平面尸CD夹角的余弦值.

7.(2024•全国•高考真题)如图，平面四边形/BCD中，48=8,CD=3,AD=5人,

9/29

—►2—、—►1—►

ZADC=90°,ZBAD=3Q°,点、E,尸满足/E=14D,AF=-AB,将ANE尸沿E尸翻折至

APEF,使得尸。=46.

(1)证明：EFLPD；

(2)求平面PCD与平面尸3尸所成的二面角的正弦值.

【巩固练习1】(高二下•广东深圳•期末)如图，已知三棱锥尸-/BC的三个顶点4瓦C在圆。上，AB

为圆。的直径，△尸/C是边长为2的正三角形，且平面P3CL平面P4C.

P

(2)若点石为总的中点，点尸为圆。上一点，且尸与C位于直径4B的两侧，当所〃

平面尸NC时，求平面EEB与平面48c的夹角的余弦值.

【巩固练习2】如图，四边形/3DC为圆台。。2的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的

角为45。，母线长为Q,E是四的中点.

(1)已知圆口内存在点G,使得平面8EG,作出点G的轨迹(写出解题过程);

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⑵点K是圆。2上的一点（不同于A,C）,2CK=AC,求平面/3K与平面。K所成角的正弦值.

【巩固练习3】（24-25高三上•广东•阶段练习）如图，在三棱锥/-BCD中，平面平面BCD,

jr

NBCD=NBDC=I，P为棱4c的中点，点。在棱。上，PQVBC,且。。=2QC.

（1）证明：平面88；

（2）若AB=BD,求平面W0与平面48。的夹角的余弦值.

模块二中档题型

【题型4】斜棱柱建系问题

基础知识

斜棱柱这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以从以下几方面思考：

1、如果是菱形，多是60。角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中

线就是高”，寻找z轴

2、让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度

3、借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标

4、结合已知的线面垂直通过做垂线，来得出线面垂直（如第二题）

/一F典型例题/

8.（23-24高二下•广东广州•期中）如图，三棱柱/3C-48c所有棱长均为2,/。。/=60。，侧

面/CG4与底面48C垂直，D、£分别是线段/C、C£的中点.

11/29

⑴求证：Afi^BE.

(2)若点尸为棱4G上靠近用的三等分点，求点尸到平面3OE的距离.

9.如图，已知斜三棱柱/3C-44G的侧面8CG4是菱形，/B\BC=600,B、B=2,

43=4。=6"_L4c.

(1)求证：AB上BC；

(2)求平面ABB、与平面BB、C夹角的余弦值.

10.如图，在四棱柱4BCD—。中，已知底面48co是菱形，AC=2BD=2AA,=4,AC^CCj,

AAi±BD,£是侧棱38/上一点.

⑴若BE=BjE,证明：CQJ_平面NGE；

(2)若BE=gB】E,求二面角E一/「一C的余弦值.

【巩固练习1】如图，在斜三棱柱/3C-44G中，ABYBC,M为NC的中点，MBJAB.

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⑴证明：MCX±AB.

(2)若AB=BC=2,BB[=4,W,=V14,求平面NCG4与平面A所成锐二面角的余弦值.

【巩固练习2】(23-24高二上•广东深圳•期中)在斜二棱柱ABC-/4G中，AA.1BC,

AB=AC=AAi=AW=也,

⑴证明：4在底面48c上的射影是线段2c的中点;

(2)求直线AC[与平面43c所成角的余弦值.

【巩固练习3】如图，平行六面体/BCD-4用的体积为6,截面NCG4的面积为6.

(1)求点B到平面/”也的距离;

⑵若/2=4。=2,/氏4。=60。，A4=&,求直线3。与平面CG2。所成角的正弦值.

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【题型5】斜棱锥建系问题

基础知识

斜面型棱锥，不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：一半从棱锥顶点向下底面做垂线，通

过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高，在底面寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系

/―7典型例题/

11.如图(1),在平面五边形尸48CD中，AB//CD,AB±AD,AP±DP,CD=3AB=3,AD=2AP=4,

将△尸40沿3折起得到四棱锥P-/BCD,如图(2),满足尸8=6，且通=4荏.

图⑴图⑵

(1)求证：平面平面尸CE；

(2)求直线CE与平面PCD所成角的正弦值.

【巩固练习1】(重庆•高二统考期末)如图，在三棱锥P-/3C中，03c为等腰直角三角形,

兀71

NBAC=—,ZPAC=ZPAB=-.

23

(1)求证：PA1BC；

(2)若PA=3AC=6,求平面PA8与平面PBC的夹角的余弦值.

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【题型6】台体建系问题

基础知识1

台体建系型方法

正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。

非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系

12.如图，在多面体48CFDE中，四边形团9£。是菱形，CB//FE,CB=2FE,CB_L平面N2ED,

点G是线段CD的中点.

(1)证明：FG1平面BCD；

(2)若AB=BC=BD,求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.

【巩固练习1](2024・贵州贵阳•二模)由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台

/BCD-/SC，中，分别为的中点，23=24片=4,侧面ABGC与底面/BCD所成

角为45。.

(1)求证：8。〃平面4£厂；

15/29

（2）线段上是否存在点使得直线。”与平面4跖所成的角的正弦值为土，若存在，求出

10

线段■的长；若不存在，请说明理由.

【题型7】不规则几何体体建系

温心•技巧/

不规则几何体型建系

不规则几何体建系型思维：

1、多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标

2、如有垂线，则可以垂线型建系。

3、无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设

点。

/―7典型例题/

13.（2024•全国•高考真题）如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形48co与

四边形斯均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,4B=BC=EF=2,

ED=M,FB=26”为4D的中点.

⑴证明：即///平面。。£；

⑵求二面角尸的正弦值.

【巩固练习1】如图，在直角梯形4BCD中，ADHBC,ADA.CD,四边形O叱为平行四边形，

对角线CE和。尸相交于点“，平面CZ）即，平面/BCD,BC=2AD,ZDCF=60°,G是线段BE

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上一动点(不含端点).

(1)当点G为线段8E的中点时，证明：AGHTffiCDEF-

Q)若AD=1,CD=DE=2,且直线DG与平面。叱成45。角，求二面角E-DG-尸的正弦值.

【巩固练习2】如图所示，在多面体48co吐中，底面为直角梯形，AD//BC,AB1BC,

侧面N8EF为菱形，平面平面48CD,M为棱班的中点.

⑴若点N为DE的中点，求证：AGVII平面/BCD；

(2)若43==ZEBA=60°,求平面M4D与平面EFQ夹角的余弦值.

—►1—>—>1—.

【巩固练习3】如图，在正四棱锥尸-A8CD中，ACr>BD=O,PF=-AD,PE=-DC,已知

22

AB=2,PC=3,其中G,“分别为的中点.

G

C

17/29

(1)证明：EGHFH；

(2)求二面角E-PC-尸的正弦值.

【题型8】已知点到平面距离求其它量

/—7典型例题/

14.(23-24高三上•浙江杭州•期末)已知直三棱柱4BC-4月G，AB^AC^AA{=2,AB1AC,

D,E分别为线段CG，8片上的点，CD=1.

⑴证明：平面8D4_L平面EC4；

4

(2)若点4到平面EC4的距离为亍，求直线助与平面所成的角的正弦值.

15.如图，三棱台/3C-/4G中，4G=4,AC=6,。为线段/C上靠近C的三等分点.

(1)线段3c上是否存在点E,使得48〃平面GOE,若不存在，请说明理由；若存在，请求出黑

BC

的值；

JT

(2)若44=AB=4,N4/C=N8/C=§,点4至I］平面/5C的距离为3,且点4在底面Z5C的射影

落在“8C内部，求直线B{D与平面ACCtA,所成角的正弦值.

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【巩固练习1]（2024•福建泉州•模拟预测）在四棱锥尸-4BCO中,

BC±BP,AD±AP,ADUBC,AB=AD=2BC,PA=PB.

（1）求证：ACLPD

⑵当点A到平面尸CD的距离为2板,48=4时，求直线P3与平面尸8所成的角的正弦值.

【巩固练习2】（23-24高二下•河南濮阳•阶段练习）如图，在四棱锥尸中，正方形488的

边长为3,点E,G分别在棱4B,CD上（不含端点）PELAB,PGLCD,且

tanZPEG=2tanZPGE,点尸在棱/£）上，AF=\.

（1）证明：PF上AD；

⑵若点尸到平面4BCD的距离为2,PA=y/6,求直线北与平面P8C所成角的大小.

【题型9】已知线面角求其它量

/—7典型例题/

16.（2025•广东深圳•一模）如图，阳，平面/BCD,

AD1CD,AB"CD,PQUCD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,彘E,F,M分别为/P,CD,

BQ的中点.

19/29

⑴求证：E尸//平面cm；

7T

(2)若N为线段C。上的点，且直线ON与平面。尸M所成的角为T，求QN:NC的值.

6

17.如图，四棱锥？-48。的底面为正方形，4B=AP=2,尸/，平面4BCD,E,尸分别是线段

的中点，G是线段PC上的一点.

(2)若直线/G与平面/环所成角的正弦值为;，且G点不是线段尸C的中点，求三棱锥E-N8G体

积.

18.(23-24高二下•浙江宁波•期末)如图，在五面体48CDEF中，四边形4BC。为矩形，AFBC为

等腰直角三角形，且/C_L五8.面BCF1面ABCD,EFUAB,AB=4EF=4,3C=2后.

(1)求证：BELCF：

(2)在线段48上是否存在点7,使得。7与平面NC尸所成角的正弦值为手？若存在，请求出37的

长度；若不存在，请说明理由.

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【巩固练习1】(24-25高三上•湖南•阶段练习)己知四棱锥P-月BCD中，平面底面

ABCD,AD//BC,4B工BC,PA=PB=^AB,AB=BC=2AD,E为AB的中点、,尸为棱PC上异于

尸,C的点.

(1)证明：BD1EF；

(2)试确定点尸的位置，使斯与平面尸8所成角的余弦值为噜.

【巩固练习2】(2025•安徽一模)如图，在四棱锥尸-4BCD中，

PD=PC=CB=BA=^AD=2,AD//CB,NCPD=/ABC=90°,平面尸CZ>_L平面为尸。

中点.

(1)求证：PD,平面尸C4；

(2)点。在棱P4上，C。与平面尸。C所成角的正弦值为"，求平面尸CD与平面CQ。夹角的余弦值.

3

【巩固练习3】如图，四棱柱4BCZ?-481G2中，侧棱4/，底面48。，AB//DC,ABLAD,

4D=CD=1,AAt=AB=2,E为棱44的中点.

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⑴求平面BXCE与平面B'QE夹角的余弦值；

(2)线段CE上是否存在点M使得直线⑷/与平面4D04所成角的正弦值为"，若存在，请求出

6

EM

少的值，若不存在，请说明理由.

【巩固练习4】在底面48co为梯形的多面体中.43〃CD,8CLCD,4B=2CD=20,NCBD=

45°,BC=AE=DE,且四边形8DEN为矩形.

(1)求证：BDLAE；

(2)线段EN上是否存在点Q,使得直线与平面。所成的角为60。？若不存在，请说明理由.若

存在，确定点。的位置并加以证明.

【题型10】已知二面角求其它量

/核心•技巧/................................................

已知二面角的题，蓬系计/稍微复杂，可以先尝试几何法，比如2021年新高考1卷的立体几何大题

几何法比建系计算方便很多

几何法补充：三垂线法求二面角、面面角

使用前提：已知其中某个平面的垂线段

22/29

a

A

具体步骤

(1)已知AB垂直平面B,垂足为B(/±AB)

(2)过垂足B作交线/的垂线B。(/±OB)

(3)易知/，平面AOB,则N40B即为所求，

且△AOB为直角三角形，邻比斜即可

/—7典型例题/

19.(23-24高二下•湖南长沙•期末)由四棱柱NBCD-4月G2截去三棱锥。-/QG后得到如图所

示的几何体，四边形N8CD是菱形，ZC=4,B。=2,。为NC与8。的交点，平面/BCD.

⑴求证：及。//平面4。。1；

(2)若二面角。-4G-。的正切值为£，求平面4OG与平面8CG4夹角的大小.

6

20.已知四棱柱Z8CA-45G2如图所示，底面力8。为平行四边形，其中点。在平面内

的投影为点4，且==2/Z),N/BC=120°.

23/29

(I)求证：平面48。，平面

⑵已知点E在线段G。上(不含端点位置)，且平面45E与平面的夹角的余弦值为手，求

DE

T3T的值.

【巩固练习1】(2025•江苏南通•一模)如图，四边形48。为菱形，P3,平面NBCZ).

⑴证明：平面尸/C，平面尸

(2)若尸/1PC,二面角的大小为120。，求尸C与AD所成角的余弦值.

【巩固练习2】如图，在四棱锥S-HBCD中，四边形4BC。是矩形，是正三角形，且平面“

平面4BC。，AB=\,P为棱盘)的中点，四棱锥S-N5s的体积为拽.

3

(1)若E为棱5B的中点，求证：PE//平面SCD；

(2)在棱阳上是否存在点M,使得平面PA"与平面所成锐二面角的余弦值为手？若存在，指

出点”的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

24/功

【巩固练习3】（23-24高二上•湖南长沙•期中）如图，在正三棱柱NBC-44G中，AA,=2,AB=1.

2

点。，E,尸分别在棱44，BB1,eq上，AlD=CF=~,BE=1.M为/C中点，连接W.

B

（1）证明：BM〃平面DEF；

⑵点尸在棱上，当二面角尸-Z）尸-E为30。时，求EP的长.

【题型11］最值与范围问题

/核心♦技巧/

一、函数法

大多数情况下，把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值

二、解不等式法

利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解

三、变量分析法

在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值

21.如图，在四棱锥尸一48co中，ADHBC,AB=AD=CD=l,3c=2.平面PS。_L平面48c,

△心C为等边三角形，点E是棱3C上的一动点.

25/29

(I)求证：。。1平面良。;

(II)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值.

22.如图1，在等边AASC中，点、D,E分别为边4S,ZC上的动点，且满足QE〃BC,记窃=彳.

nC

将△/£)£沿DE翻折到zJWDE位置，使得平面&DE_L平面。EC3,连接MB,MC得到图2,