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文档简介
难点与解题模型13特殊相似三角形五大热考模型题型一:8字模型题型二:A字模型题型三:8字与A字模型综合题型四:旋转(手拉手)模型题型五:一线三等角模型题型一:8字模型8字——平行型条件:CD∥AB,结论:ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等,但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件:CD∥AB,PD=PC.结论:ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等;四边形ABCD为等腰梯形;8字——不平行型条件:∠CDP=∠BAP.结论:ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);【中考母题学方法】【典例1-1】(2024·山东日照·中考真题)如图,以的顶点为圆心,长为半径画弧,交于点,再分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,画射线,交于点,交的延长线于点.(1)由以上作图可知,与的数量关系是_______(2)求证:(3)若,,,求的面积.【典例1-2】(2024·宁夏·中考真题)如图,在中,点在边上,,连接并延长交的延长线于点,连接并延长交CD的延长线于点F.求证:.小丽的思考过程如下:参考小丽的思考过程,完成推理.【典例1-3】(2024·黑龙江大庆·中考真题)如图,平行四边形中,、分别是,的平分线,且E、F分别在边,上.(1)求证:四边形是平行四边形;(2)若,,求的面积.【中考模拟即学即练】【变式1-1】(2024·湖北·模拟预测)如图,将正方形沿直线折叠,使点的对应点落在边AD上,点C落在点N处,与CD交于点,折痕分别与边AB,CD交于点,,连接BM.若,则的值是.【变式1-2】(2023·江苏南通·一模)正方形中,,点是对角线上的一动点,将沿翻折得到,直线交射线于点.(1)当时,求的度数用含的式子表示;(2)点在运动过程中,试探究的值是否发生变化?若不变,求出它的值若变化,请说明理由;(3)若,求的值.【变式1-3】(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的顶点,在轴上,在轴上,,的长是方程的两个根.请解答下列问题:(1)求点的坐标;(2)若直线分别交轴、轴、于点,,,且是的中点,直线交延长线于点,,求的值;(3)在(2)的条件下,在直线上是否存在点(不与点重合),使与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.题型二:A字模型A字模型如图一如图二如图三【中考母题学方法】【典例2-1】(2022·四川巴中·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,为的边上一点,,过作交于点,、两点纵坐标分别为1、3,则点的纵坐标为(
)A.4 B.5 C.6 D.7【典例2-2】(2022·贵州铜仁·中考真题)如图,在四边形中,对角线与相交于点O,记的面积为,的面积为.(1)问题解决:如图①,若AB//CD,求证:(2)探索推广:如图②,若与不平行,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图③,在上取一点E,使,过点E作交于点F,点H为的中点,交于点G,且,若,求值.【典例2-3】(母子型)(2024·四川资阳·中考真题)(1)【观察发现】如图1,在中,点D在边上.若,则,请证明;(2)【灵活运用】如图2,在中,,点D为边的中点,,点E在上,连接,.若,求的长;(3)【拓展延伸】如图3,在菱形中,,点E,F分别在边,上,,延长,相交于点G.若,,求的长.【典例2-4】(2024·山东济南·中考真题)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后,对三角形的相似进行了深入研究.(一)拓展探究如图1,在中,,垂足为.(1)兴趣小组的同学得出.理由如下:①______②______请完成填空:①______;②______;(2)如图2,为线段上一点,连接并延长至点,连接,当时,请判断的形状,并说明理由.(二)学以致用(3)如图3,是直角三角形,,平面内一点,满足,连接并延长至点,且,当线段的长度取得最小值时,求线段的长.【典例2-5】(2024·江苏镇江·中考真题)主题学习:仅用一把无刻度的直尺作图【阅读理解】任务:如图1,点D、E分别在的边、上,,仅用一把无刻度的直尺作、的中点.
操作:如图2,连接、交于点P,连接交于点M,延长交于点N,则M、N分别为、的中点.理由:由可得及,所以,.所以,.同理,由及,可得,.所以.所以,则,,即M、N分别为、的中点.【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.(1)如图3,,点E、F在直线上.①作线段的中点;②在①中作图的基础上,在直线上位于点F的右侧作一点P,使得;(2)小明发现,如果重复上面的过程,就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍(k为正整数)的线段.如图4,,已知点、在上,他利用上述方法作出了.点E、F在直线上,请在图4中作出线段的三等分点;【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.(3)如图5,是的中位线.请在线段上作出一点Q,使得(要求用两种方法).【中考模拟即学即练】【变式2-1】(2024·四川乐山·模拟预测)如图,已知线段AB,CD相交于点,,,.求.【变式2-2】(2024·江苏南京·模拟预测)已知:中,为边上的一点.(1)如图①,过点作交边于点,若,,,求的长;(2)在图(2),用无刻度的直尺和圆规在边上作点,使;(保留作图痕迹,不要求写作法)(3)如图③,点在边上,连接、,若,的面积等于,以为半径作,试判断直线与的位置关系,并说明理由.【变式2-3】(2024·辽宁沈阳·一模)【知识回顾】(1)如图1,在中,是边上的中线,,求的取值范围.小明和小刚两名同学从不同角度进行思考,给出了两种解题思路.①小明同学的思考过程:在中,已知两边和的长度,根据条件只能直接求出BC边的取值范围.而要想求中线的取值范围,只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上.如图2,可以延长到点E,使,连接,这样就构造了,将求的取值范围,转化为求的边的取值范围;②小刚同学的解题思路与小明基本一致,也是构造三角形,只是构造方法不同.如图3,过点C作交延长线于点F,于是得到.进而将求的取值范围,转化为求的取值范围.请你选择一名同学的解题思路,写出解答过程.【迁移应用】(2)请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路,解答下面问题.如图4,在中,D是边的中点,点E在边上,,求的取值范围.【能力提升】(3)如图5,在正方形中,O为对角线的中点,,点G在边上,E为平面内一点且,以为斜边,在的右侧作等腰直角三角形,连接,求的取值范围.【变式2-4】(2023·江苏淮安·二模)我们知道,三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半,如何证明三角形中位线定理呢?(1)【方法回顾】证明:三角形中位线定理.已知:如图,在中,、分别是、的中点.求证:,.
证明三角形中位线性质定理的方法很多,但多数都需要通过添加辅助线构图去完成,下面是其中一种证法的添加辅助线方法,阅读并完成填空:添加辅助线,如图1,在中,过点作,与的延长线交于点.可证______,根据全等三角形对应边相等可得,然后判断出四边形是______,根据图形性质可证得,.
(2)【方法迁移】如图2,在四边形中,,,,为的中点,、分别为、边上的点,若,,,求的长.
(3)【定理应用】如图3,在中,,是的中点,是边上一点,,延长至点,使,延长交于点,直接写出的值(用含的式子表示).
【变式2-5】(母子模型)(2024·安徽·模拟预测)如图,在四边形中,,点在边上,且,点在边上,且,连接,交于点.(1)求证:;(2)如图,若,求证:;(3)如图,若延长恰好经过点,求的值.题型三:8字与A字模型综合如图,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图①为“A”字形,图②为“8”字形,它们都是平行线型的基本图形.【中考母题学方法】【典例3-1】(2023·四川雅安·中考真题)如图,在中,F是上一点,交于点E,的延长线交的延长线于点G,,,则的长为(
)
A.4 B.6 C.8 D.10【典例3-2】(2024·山东淄博·中考真题)如图,在边长为10的菱形中,对角线,相交与点,点在延长线上,与相交与点.若,,则菱形的面积为.【中考模拟即学即练】【变式3-1】(2024·浙江宁波·二模)已知在等腰中,,是的三等分点且靠近点,是的中点,过点作交延长线于点.(1)求的值;(2)连接,若,,求的值.【变式3-2】(2023·江苏泰州·一模)如图,在菱形中,,,为对角线上一点,在上运动,连接并延长交的延长线于点,交于点.(1)求菱形的面积;(2)如图,若点是的中点;当时,求的长;若的面积为,求的长;(3)记,是否存在一个的值,使得点在上运动时,为定值,若存在,请求出这个定值,并直接写出的长的取值范围;若不存在,请说明理由.题型四:旋转(手拉手)模型模型展示:将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图②,图②为“旋转型”相似的基本图形,即△ABC∽△ADE.【中考母题学方法】【典例4-1】(2023·湖南常德·中考真题)如图1,在中,,,,D是上一点,且,过点D作交于E,将绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为.
【典例4-2】(2022·山东烟台·中考真题)
(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.①求的值;②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.【典例4-3】(2023·四川巴中·中考真题)综合与实践.
(1)提出问题.如图1,在和中,,且,,连接,连接交的延长线于点O.①的度数是___________.
②__________.(2)类比探究.如图2,在和中,,且,连接并延长交于点O.①的度数是___________.
②___________.(3)问题解决.如图3,在等边中,于点D,点E在线段上(不与A重合),以为边在的左侧构造等边,将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为的中点,N为的中点.①试说明为等腰三角形.②求的度数.【典例4-4】(2024·四川成都·中考真题)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中,,,.【初步感知】(1)如图1,连接,,在纸片绕点旋转过程中,试探究的值.【深入探究】(2)如图2,在纸片绕点旋转过程中,当点恰好落在的中线的延长线上时,延长交于点,求的长.【拓展延伸】(3)在纸片绕点旋转过程中,试探究,,三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形的面积;若不能,请说明理由.【中考模拟即学即练】【变式4-1】(2022·广西钦州·模拟预测)【问题发现】和可以绕点旋转且均为等边三角形,班长在探究发现,当点,,在同一条直线上如图1所示,则有:①;②.他的理由如下:∵和均为等边三角形,∴,,,,∴,即,在和中,,∴,∴,,∵点B,D,E在同一直线上,∴,∴,∴,综上,可得;.(1)【类比探究】和可以绕点旋转且均为等腰直角三角形,其中,,.当点,,在同一条直线上如图2所示,请你类比以上(1)【问题发现】先判断线段,之间的数量关系及的度数,然后写出你的理由.(2)【拓展应用】如图3,和可以绕点旋转且均为直角三角形,其中,,,.现将绕点旋转,当所在直线经过点B时,的长是多少?(直接写出答案)【变式4-2】(2023·黑龙江齐齐哈尔·三模)在综合实践课上,老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动,下面是同学们进行相关问题的研究.【观察猜想】如图①,和均为等边三角形,当点E、D分别在边上,易证:,.
【实践发现】如图②,将图①中的绕着点B逆时针旋转,连接、,线段与线段的数量关系为,直线与直线相交,所夹锐角为°;【类比探究】和均为直角三角形,.(1)观察感知:如图③,当且点E、D分别在边上,易证:;(2)问题呈现:如图④,将图③中的绕着点B逆时针旋转,连接、.直线与直线交于点M.线段与线段的数量关系为,°;(3)探究证明:如图⑤,当时,线段与线段的数量关系是什么?请说明理由,此时,°;(4)拓展应用:在(3)的条件下,若,,将绕点B逆时针旋转一周,在整个旋转过程中,当点A、E、D三点共线时,请直接写出点C到直线的距离.【变式4-3】(2022·黑龙江齐齐哈尔·一模)综合与实践“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型,可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等,来解决有关线段的长、角的度数等问题,在学习和生活中应用广泛,有着十分重要的地位和作用.某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究:如图①,已知和均是等腰直角三角形,,且,,易证:,.深入探究:(1)如图②,将图①中绕点A逆时针旋转,连接、,并延长分别与、相交于点、,求证:,.解决问题:(2)如图③,将图①中绕点逆时针旋转,使与重合,其他条件不变,若,,则_______,_______.拓展应用:(3)如图④,将图①中绕点逆时针旋转,连接、,若,,,则______,______.(提示:求时,可过点作于点)【变式4-4】(2024·陕西西安·模拟预测)【计算与推理】(1)如图1,,与交于点,为的中点,,,则的长为_______;(2)数学课上张老师拿了一块大三角板和一块小三角板,其中,按如图2所示位置放置,使两个三角板的角的顶点重合.连接、,当绕点顺时针旋转时,试判断,的值是否变化?如果不变,请求出,的值,如果变化,请说明是如何变化并加以证明:【操作与探究】(3)现有一块足够大的木板,为参加学校科技节比赛,小明想在这块木板上裁出一个等边三角形()部件做模型,他的操作如下:第一步:用两块大小不一的含角的直角三角板和按如图3所示位置放置,其中,含有角的顶点重合,分别延长交于点,连接,得到;第二步:取的中点,分别连接,,得到.请问,按上述操作,裁得的部件是否符合要求?请说明理由.题型五:一线三等角模型模型展示:如图,已知:∠A=∠CPD=∠B,则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角,故称为“一线三等角”型相似.【中考母题学方法】【典例5-1】(2023·山东东营·统考中考真题)如图,为等边三角形,点,分别在边,上,,若,,则的长为(
)
A. B. C. D.【典例5-2】(2023·黑龙江·统考中考真题)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上,某位同学进行了如下操作:第一步:将矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;第二步:将图①中的矩形纸片折叠,使点C恰好落在点F处,得到折痕,如图②.根据以上的操作,若,,则线段的长是(
)
A.3 B. C.2 D.1【典例5-3】(2024·湖北·中考真题)如图,矩形中,分别在上,将四边形沿翻折,使的对称点落在上,的对称点为交于.(1)求证:.(2)若为中点,且,求长.(3)连接,若为中点,为中点,探究与大小关系并说明理由.【中考模拟即学即练】【变式5-1】(2023·河南周口·三模)(1)问题发现:如图1,在中,,将边绕点C顺时针旋转得到线段,在射线上取点D,使得,线段与的数量关系是______;(2)类比探究:如图2,若,作,且,其他条件不变,写出变化后线段与的数量关系,并给出证明;(3)拓展延伸:如图3,正方形的边长为6,点E是边上一点,且,把线段逆时针旋转得到线段,连接,直接写出线段的长.【变式5-2】(2024·广东佛山·模拟预测)综合探究如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,,直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q.(1)当时,求证:.(2)探究线段、之间的数量关系,并说明理由.(3)在x轴上是否存在点M,使得,且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似,若存在,请求出此时t的值以及点M的坐标;若不存在,请说明理由.【变式5-3】(1)问题如图1,在四边形中,点P为上一点,当时,求证:.(2)探究若将角改为锐角(如图2),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.(3)应用如图3,在中,,,以点A为直角顶点作等腰.点D在上,点E在上,点F在上,且,若,求的长.【变式5-4
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