2025年中考数学一轮知识梳理难点04 特殊三角形的常考题型（8大热考题型）（解析版）

难点04特殊三角形的常考题型

（8大热考题型）

题型一：等腰三角形的性质

题型二：等腰三角形的判定

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题

题型五：等边三角形的性质与判定的综合

题型六：含有30°锐角的直角三角形

题型七：斜边上的中线

题型八：勾股定理及其应用

题型一：等腰三角形的性质

【中考母题学方法】

1

【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，VABC中，ABAC，分别以B，C为圆心，大于BC长为

2

半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．

(1)求证：△ABD≌△ACD；

(2)若BD2，BDC120，求BC的长．

【答案】(1)见解析

(2)BC23

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：

（1）直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可；

（2）利用全等三角形的性质可求出BDACDA60，利用三线合一性质得出DABC，BECE，在

Rt△BDE中，利用正弦定义求出BE，即可求解．

【详解】（1）证明：由作图知：BDCD．

在△ABD和ACD中，

ABAC，

BDCD，

ADAD．

△ABD≌△ACD．

（2）解：ABD≌ACD，BDC120，

BDACDA60．

又BDCD，

DABC，BECE．

BD2，

3

BEBDsinBDA23，

2

BC2BE23．

【变式1-1】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其

中△OAB与ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，

OEOF．下列推断错误的是（）

A．OBODB．BOCAOB

C．OEOFD．BOCAOD180

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

11

A.由对称的性质得AOBDOC，由等腰三角形的性质得BOEAOB，DOFDOC，即可

22

判断；

B.BOC不一定等于AOB，即可判断；

C.由对称的性质得OAB≌ODC，由全等三角形的性质即可判断；

D.过O作GMOH，可得GODBOH，由对称性质得BOHCOH同理可证AOMBOH，

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键．

【详解】解：A.OEOF，

BOEBOF90，

由对称得AOBDOC，

点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与ODC都是等腰三角形，

11

BOEAOB，DOFDOC，

22

BOFDOF90，

OBOD，结论正确，故不符合题意；

B.BOC不一定等于AOB，结论错误，故符合题意；

C.由对称得OAB≌ODC，

∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，

OEOF，结论正确，故不符合题意；

D.

过O作GMOH，

GODDOH90，

BOHDOH90，

GODBOH，由对称得BOHCOH，

GODCOH，

同理可证AOMBOH，

AODBOCAODAOMDOG180，结论正确，故不符合题意；

故选：B．

【变式1-2】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案．

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，

662，

能构成三角形，

第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，

226，

不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6，

故答案为：6．

【变式1-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知l1∥l2，VABC是等腰直角三角形，BAC90，顶点

A,B分别在l1,l2上，当∠170时，2．

【答案】65/65度

【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到31，等边对等角，得

到ABC45，再根据角的和差关系求出2的度数即可．

【详解】解：∵VABC是等腰直角三角形，BAC90，

∴ABCACB45，

∵l1∥l2，

∴3170，

∴21803ABC65；

故答案为：65．

【变式1-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在VABC和VADE中，ABAC，BACDAE40，

将VADE绕点A顺时针旋转一定角度，当ADBC时，BAE的度数是．

【答案】60或120

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案；

【详解】解：如图，当ADBC时，延长AD交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE204060；

如图，当ADBC时，延长DA交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE1802040120，

故答案为：60或120

【中考模拟即学即练】

1．（2025·山东临沂·一模）如图，在同一平面内，将VABC绕点A旋转得到△ABC，使得CC∥AB，已

知ACC75，则CAB（）

A．30B．35C．40D．45

【答案】D

【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，由ACAC，先证

ACCACC，然后由CC∥AB，得到ACCCAB75，再进一步即可解决问题．

【详解】解：由题意得：ACAC，

ACCACC75；

∵CC∥AB，

ACCACCBAC75，

CAC18027530；

BACCAB，

BABCAC30，

∴CAB753045，

故选：D．

2．（2023·辽宁营口·三模）已知AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图：

①在OA边上取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C，连接CD．

②以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点E，连接DE．若CDE30，则AOB的度数为（）

A．20B．30C．40D．50

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握等

边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键．

根据画图过程，得到ODOCDE，由等边对等角可得ODCOCD，AOBDEO，根据三角形内角和

1

定理与三角形外角的性质可得，OCD180AOB，OCDCDECED30AOB，则

2

1

180AOB30AOB然后求解即可解答．

2

【详解】解：∵以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C；以D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于

点E，连接DE，

∴ODOCDE，

∴ODCOCD，AOBDEO，

1

∵OCD180AOB，OCDCDECED30AOB，

2

1

∴180AOB30AOB，

2

解得：AOB40．

故选：C．

3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中ABAC10，BC12，按如下步骤折纸：

第一步：将该纸片对折，点B与点C重合，折痕为AD；

第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE，点A的对称点A恰好落在AC上

根据以上折纸过程，可以求出折痕BE的长度为（）

A．10B．9.8C．9.7D．9.6

【答案】D

【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，勾股定理，先由折叠的性质得到

1

∠ADB∠ADC∠AEB∠AEB90，再由三线合一定理得到BDCDBC6，则由勾股定理得到

2

11

22，再根据进行求解即可．

ADABBD8S△ABCADBCACBE

22

【详解】解：由折叠的性质可得∠ADB∠ADC∠AEB∠AEB90，

∵ABAC10，BC12，

1

∴BDCDBC6，

2

∴ADAB2BD28，

11

∵S△ADBCACBE，

ABC22

ADBC128

∴BE9.6，

AC10

故选：D．

4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，

且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CMAB，CNBF，

根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABCCBF，进而得到CMCN，得到SCBFSACE，进而得

到四边形EBFC的面积等于SABC，设AMx，勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出VABC的面积

即可．

【详解】解：∵ABAC，

∴∠ABCACB，

∵BF∥AC，

∴ACBCBF，

∴ABCCBF，

∴BC平分ABF，

过点C作CMAB，CNBF，

则：CMCN，

11

∵SAECM,SBFCN，且BFAE，

ACE2CBF2

∴SCBFSACE，

∴四边形EBFC的面积SCBFSCBESACESCBESCBA，

∵AC13，

∴AB13，

设AMx，则：BM13x，

由勾股定理，得：CM2AC2AM2BC2BM2，

2

∴132x210213x，

119

解：x，

13

2

2119120

∴CM13，

1313

1

∴SABCM60，

CBA2

∴四边形EBFC的面积为60．

故答案为：60．

1

5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，A40，分别以点A，点B为圆心，大于AB

2

为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接，则DBC的度数

为．𝐵

【答案】/30度

【分析】本30题°考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和

性质是解题的关键．

根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得ABCC70，由作图可得垂直平分线，则有ADBD，

所以DABDBA40，再根据DBCABCDBA704030，即可求解．

【详解】解：∵ABC是等腰三角形，A40，

11

∴ABCC180A1804070，

22

根据作图可得，MN是线段的垂直平分线，

∴ADBD，��

∴DABDBA40，

∴DBCABCDBA704030，

故答案为：．

6．（2024·安3徽0°合肥·三模）如图，在VABC和VADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90，分

别连接BD，CE，延长EC交BD于F．

（1）若CBD66，则ACE；

（2）连接AF，若AF3，DF4，则EF的长为．

【答案】111432

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全

等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．

（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质求出ABDACE，根据等腰直角三角形的

性质求出ABC45，再根据角的和差求解即可；

（2）过点A作AHAF，交EF于H，利用ASA证明△AHE≌△AFD，根据全等三角形的性质求出EHDF，

AHAF，根据等腰直角三角形的性质求出FH2AF，再根据线段的和差求解即可．

【详解】解：（1）BACDAE90，

BADCAE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

BADCAE，

ADAE

ABD≌ACESAS，

ABDACE，

BAC90，ABAC，

ABCACB45，

CBD66，

ABDABCCBD111，

ACE111，

故答案为：111；

（2）如图，过点A作AHAF，交EF于H，

FAHDAE90，

DAFEAH．

ABD≌ACE，

AEHADF，

在AHE和△AFD中，

EAHDAF

AEAD，

AEHADF

AHE≌AFDASA，

EHDF，AHAF，

FH2AF，

EFEHFH，

DF2AFEF，

AF3，DF4，

EF432，

故答案为：432．

题型二：等腰三角形的判定

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，ADa，AB10．以

点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分

1

别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在AEC的

2

内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为（用含a的代数式表示）．

【答案】a10

【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关

键．

利用基本作图得到AEAB10，EF平分AEC，，接着证明AEFAFE得到AFAE10，然后

利用FDADAF求解．

【详解】解：由作法得AEAB10，EF平分AEC，

∴AEFCEF，

∵AD∥BC，

∴AFECEF，

∴AEFAFE，

∴AFAE10，

∴FDADAFa10．

故答案为：a10．

【变式2-1】（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是VABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若

AEDBEC,DE2，则BE的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE∥BC,BC2DE4,得出CAEDBEC,得出BEBC4

【详解】解：∵D，E分别是VABC边AB，AC的中点，

∴DE是VABC的中位线，

∴DE∥BC,BC2DE4,

∴AEDC,

∵AEDBEC,

∴CBEC,

∴BEBC4,

故答案为：4

【变式2-2】（2024·四川自贡·中考真题）如图，在VABC中，DE∥BC，EDFC．

(1)求证：BDFA；

(2)若A45，DF平分BDE，请直接写出VABC的形状．

【答案】(1)见解析

(2)VABC是等腰直角三角形．

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．

（1）由平行证明AEDC，由等量代换得到EDFAED，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平

行”证明DF∥AC，即可证明BDFA；

（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得BDE90，ÐB=90°，据此即可得到VABC是等腰直角

三角形．

【详解】（1）证明：∵DE∥BC，

∴AEDC，

∵EDFC，

∴EDFAED，

∴DF∥AC，

∴BDFA；

（2）解：VABC是等腰直角三角形．

∵BDFA，

∴BDFA45，

∵DF平分BDE，

∴BDE2BDF90，

∵DE∥BC，

∴B180BDE90，

∴C180AB45A，

∴VABC是等腰直角三角形．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，CF平分BCD交

AD于点F，若BC7,EF1，则AB为（）

A．4B．3.5C．3D．2.5

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行线与角平分线相结合可得

AEAB,DFCD，再结合平行四边形的性质即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD,AD∥BC，ADBC7

∴AEBCBE,CFDBCF，

∵BE平分ABC，CF平分BCD，

∴ABECBE,DCFBCF，

∴ABEAEB,DCFCFD，

∴AEAB,DFCD，

∴ABAEADDEADDFEFADABEF7AB1，

∴AB4．

故选：A

2．（2024·海南三亚·二模）如图，EF是VABC的中位线，BD平分ABC交EF于点D，若AE2，DF1，

则边BC的长为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由三角形中位线

定理得出BEAE2，EF∥BC，BC2EF，由平行线的性质结合角平分线的定义得出EBDEDB，

由等角对等边得出DEBE2，求出EF的长即可得解．

【详解】解：EF是VABC的中位线，

BEAE2，EF∥BC，BC2EF，

EDBCBD，

BD平分ABC，

EBDCBD，

EBDEDB，

DEBE2，

EFDEDF213，

BC2EF6，

故选：B．

3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在AOB上，两把直尺的

接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是

【答案】3

【分析】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边．根据图形可得OP是AOB的角平分线，

再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；

【详解】解：作PEOC，PFOB，

由题意可得，如图所示，

∵PEPF，PEOC，PFOB，

∴POEPOF，

∵CP∥OB，

∴CPOPOF，

∴CPOPOE，

∴OCPC，

∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，

∴OCPC523，

故答案为：3．

4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在VABC中，AD平分BAC，DE∥AC交AB于点E，若DE2，

BE2DE，则AB的长为．

【答案】32

【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念和等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点．

首先根据平行线的性质和角平分线的概念得到EADEDA，进而得到DEAE2，然后结合

BE2DE求解即可．

【详解】∵AD平分BAC，

∴EADCAD

∵DE∥AC

∴EDACAD

∴EADEDA

∴DEAE2

∴BE2DE22

∴ABBEAE32．

故答案为：32．

5．（2024·湖南长沙·二模）如图，在VABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交

AB于M，交AC于N，若BMCN8，则线段MN的长为．

【答案】8

【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得∠MBE∠EBC，

ECNECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得∠MBE∠MEB，NECECN，

然后即可求得结论．解题的关键是证明BMME，ENCN．

【详解】解：∵ABC和ACB的平分线交于点E，BMCN8，

∴∠MBE∠EBC，ECNECB，

∵MN∥BC，

∴EBCMEB，NECECB，

∴∠MBE∠MEB，NECECN，

∴BMME，ENCN，

∴MNMEENBMCN8，

∴线段MN的长为8．

故答案为：8．

6．（2024·山西太原·二模）如图，在ABCD中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以

适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F；②分别以E，F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧

交于点G，作射线BG，与边AD交于点H；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交于边BC于点M．若AB5，

BH8，则点A，M之间的距离为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形ABMH是菱形是解题的

关键．连接AM、MH，设AM交BH于点O，根据题意证明四边形ABMH是菱形，从而得出OB的长，

再根据勾股定理即可得出结果．

【详解】解：如图，连接AM、MH，设AM交BH于点O，

由题意可知，BH是ABC的角平分线，

ABHCBH，

又四边形ABCD是平行四边形，

AD∥BC，

AHBCBH，

ABHAHB，

ABAH，

以B为圆心，BA长为半径画弧，交于边BC于点M，

ABBM，

AHBM，

又AH∥BM，

四边形ABMH是平行四边形，

又ABAH，

四边形ABMH是菱形，

1

AMBH，OBOHBH4，OAOM，

2

∴AOB90，

OAAB2OB252423，

AM2OA6，

故选：B

7．（23-24九年级下·宁夏中卫·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的96网格，点A，B，C，D，E，

F均在格点上．下列结论：

①连接BD，点A与点F关于BD成轴对称；

②连接BC，BF，CF，则VBCF是等腰三角形；

③连接AF，点B，E到线段AF的距离相等．

其中，正确结论的序号是．

【答案】①②③

【分析】本题考查轴对称，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形性质及应用等，根据轴对称

概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练

掌握相关知识点．

【详解】解：如图，连接BD，

由图可知，ADDF5，ABBF124217，

∵BDBD，

∴ABD≌FBDSSS，

∴点A与点F关于BD成轴对称，故①正确；

如图，连接BC，BF，CF，

由图可知，BFBC124217，FC32，

∴VBCF是等腰三角形，故②正确；

如图，连接AF，AE，AB，BF，

设点B，E到线段AF的距离分别为h1，h2．

111151

由图可知，S△55111414AFh，

ABF222221

11151

S△EFAD35AFh，

AEF22222

∴S△ABFS△AEF，则h1h2，

∴点B，E到线段AF的距离相等，故③正确；

综上，正确的有①②③；

故答案为：①②③．

8．（2024·海南海口·一模）如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点D是AC边上的一点，

过点D作DFAB，交BC于点F，作BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若ABE的面积是2，则点

DE

E到的距离为，的值是．

EF

��

42

【答案】

53

【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边，解题关

键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．

先根据勾股定理求出，即可分别用三角形面积公式推得点C到的距离和点E到的距离，再根据

CDDF2

DFAB判定CDF∽��CAB即可推得相似比，从而由相似三角形的��性质得到��，由AE平分

CAAB3

4

BAC和DFAB可得DAEAED，根据等角对等边推得DEAD后即可得解．

3

【详解】解：RtABC中，ABAC2BC232425，

ACBC12

点C到的距离h，

AB5

�1�

SABh2，

ABE21

4

点E到的距离h，

15

��1248

点C到DF的距离hhh，

21555

DFAB，

2

CDF∽CAB，且相似比为h2:h，

3

CDDF2

，

CAAB3

28210

CD4，DF5，

3333

4

ADACCD，

3

AE平分BAC，

BAEDAE，

DFAB，

BAEAED，

即DAEAED，

4

DEAD，

3

104

EFDFDE2，

33

4

DE2．

3

EF23

4

故答案为：；．

52

3

9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在VABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥交CO的

延长线于点E．𝐵

(1)求证：AEBD；

(2)若ACB90，BDOCAO，AC6，求的长．

【答案】(1)见解析；𝐵

(2)6．

【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性

质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键．

（1）由O是AB边的中点，得AOBO，由AE∥，得EBDO，OAEOBD，可得

OAE≌OBDAAS，即可证明结论成立；𝐵

（2）由O是AB边的中点，ACB90，得AO=BO=OC，进而ACOCAO，由（1）BDAE，

BDOE，由BDOCAO，得ACOCAOE，从而ACAE6，进而即可得解．

【详解】（1）证明：∵O是AB边的中点，

∴AOBO．

又∵AE∥，

∴E�B�DO，OAEOBD，

在△OAE与OBD中，

EBDO

OAEOBD，

OAOB

∴OAE≌OBDAAS

∴AEBD；

（2）解：∵O是AB边的中点，ACB90，

1

∴AOBOOCAB．

2

∴ACOCAO，

∵OAE≌OBDAAS，

∴BDAE，BDOE，

∵BDOCAO，

∴ACOCAOE，

∴ACAE6，

∴BDAE6．

10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：ACBC，ADBD，ACBD．

(1)如图1，求证：ADBC；

(2)如图2，AC交BD于点E，连接CD，若DEC135，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

中所有的等腰三角形．

【答案】(1)见解析

(2)VADE，CDE，ABE，BCE

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等：

（1）只需要证明RtABC≌RtBADHL，即可证明ADBC；

（2）由平角的定义得到AEDBEC45，则可证明△ADE，△BEC都是等腰直角三角形，由全等三角

形的性质得到EABEBA，则EAEB，进而可得EDEC，则可证明△AEB，△ECD都是等腰三角形．

【详解】（1）证明：∵ACBC，ADBD，

∴DC90，

又∵ACBD，ABBA，

∴RtABC≌RtBADHL，

∴ADBC；

（2）解：∵DEC135，

∴∠AED∠BEC180DEC45，

∵DC90，

∴△ADE，△BEC都是等腰直角三角形，

∵Rt△ABC≌Rt△BAD，

∴EABEBA，

∴EAEB，

又∵ACBD，

∴EDEC，

∴△AEB，△ECD都是等腰三角形．

综上所述，VADE，CDE，ABE，BCE都是等腰三角形．

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是55的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三

角形、直�角�三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在��格点上．

【答案】见解析

【分析】根据勾股定理可得AB5，结合题意与网格的特点分别作图即可求解．

【详解】解：如图所示，

如图①，ACAB12225，则VABC是等腰三角形，且VABC是锐角三角形，

如图②，ADAB12225，BD123210，则AD2AB2BD2，则△ABD是等腰直角三角

形，

如图③，AEAB12225，则ABE是等腰三角形，且ABE是钝角三角形，

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【典例2】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点

上）．

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的PAB．

(2)将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90，画出经旋转后的△ABC．

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析

【分析】（1）先画等腰三角形PAB，PAPB，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；

（2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可．

【详解】（1）解：如图，PAB，PAB即为所求作的三角形；

（2）如图，△ABC即为所求作的三角形，

【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行

作图是解本题的关键．

1k

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线yx与反比例函数y(x0)的图象交于点A(a,1)，将直线OA

6x

8

向上平移个单位，与y轴交于点C，与双曲线交于点B．

3

(1)求反比例函数和直线BC的表达式；

(2)求点B的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点P，使PAB是以PA为腰的等腰三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请

说明理由．

618

【答案】(1)反比例函数的表达式为y，直线BC的表达式为yx

x63

(2)B(2，3)

(3)存在，点P坐标为(3，0)或(619，0)

1k

【分析】（1）把点A的坐标代入yx中，求得a的值，再代入y中，求得k的值，即得反比例函数的

6x

8

表达式，再根据直线OA向上平移个单位，即可求得直线BC的表达式；

3

186

（2）因B是直线BC与双曲线的交点，故得方程x，求解方程，即得答案；

63x

（3）设P(t，0)，分PAPB和PABA两种情况，分别列方程求解，即得答案．

11

【详解】（1）把A(a，1)代入yx中，得1a，

66

解得a6，

A(6，1)，

k166，

6

y，

x

8

BC∥OA，且直线OA向上平移个单位，

3

18

∴直线BC表达式为yx；

63

186

（2）由题意得：x，

63x

x216x360，

x12，x218（舍去），

∴y3，

B(2，3)；

（3）设P(t，0)，

当PAPB时，(6t)2(10)2(t2)2(03)2，

解得t3，

P(3，0)；

当PABA时，(62)2(13)2(6t)2(10)2，

解得t619，

P(619，0)；

综上所述，点P坐标为(3，0)或(619，0)．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式，一次函

数的平移，直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

【变式3-1】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且VABC是等腰三角

形，则这样的点C最多有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，AB为半径作弧交直线l于点C1、C2，再

先以B点为圆心，BA为半径作弧交直线l于点C3，C4，最后作AB的垂直平分线交直线l于点C5．

【详解】解：如图，点C1、C2、C3、C4、C5为所作，

故答案为：A．

【变式3-2】（2023·贵州遵义·三模）四边形ABCD是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形ABE的

是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可．

【详解】A．根据作图痕迹可知，BE为ABC的角平分线，故ABEEBC，根据平行线的性质可得，

EBCAEB，即ABEAEB，故ABE为等腰三角形，A不符合题意；

B．根据作图痕迹可知，点B，E在以A为圆心，AB的长为半径的圆上，故ABAE，即ABE为等腰三

角形，B不符合题意；

C．根据作图痕迹可知，令BAD的角平分线与BC交于点M，如图，则∠EAM∠MAB，根据平行线的

性质可得，EAMAMB，即BAMAMB，故ABM为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点B为

圆心，画弧，与AM边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点B，延长交AD于点

E，故BE为ABC的角平分线，故ABEEBC，根据平行线的性质可得，EBCAEB，即

ABEAEB，故ABE为等腰三角形，C不符合题意；

D．作图痕迹没有依据，D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．

【变式3-3】（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形

的点是（）

A．P1B．P2C．P3D．P4

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理

△、△，△△

可得ABP1ABP4ABP3都是等腰三角形，而ABP2不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可

得到答案．

△、△，△

【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得ABP1ABP4ABP3都是等腰三角形，即这三个三角形

都是轴对称图形，

△

ABP2不是轴对称图形，

故选：B．

【中考模拟即学即练】

32．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断VABC是等腰三角形的是（）．

A．B．C．

D．

【答案】D

【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．

【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知BC，VABC是等腰三角形，不符合题意，选项错

误；

B、根据垂直平分线的作法可知ABAC，VABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，ACBCBD，

根据角平分线的作法可知，ABCCBD，

ABCACB，VABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

D、不能判断VABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，

故选D．

【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．

4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，抛物线y=x2+4x3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

与y轴交于点C，连接BC．

(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线BC的解析式；

(2)点P是BC上方抛物线上一点，当S△PBCS△ABC时，求出点P的坐标（不与点A重合）；

(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使MAC是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标．

【答案】(1)A(1,0)，B3,0，直线BC的解析式yx3，

(2)(2,1)

(3)(2,3)或(2,2)或(2,36)或(2,36)，

【分析】（1）分别令y0和x0，即可求点A、B、C的坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析

式；

（2）先求出VABC的面积，可求△PBC的面积为3，从而可以求出P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求

出P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y)，根据坐标系中两点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求

解即可．

【详解】（1）解：令y0，得：

x24x30，

解得：x11，x23，

A(1,0)，B(3,0)，

令x0，得：

y=3，

C(0,3)，

点A、B、C的坐标分别为：A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)．

设直线BC的解析式为ykxb，可得：

3kb0k1

，解得：，

b3b3

∴直线BC的解析式为yx3，

11

（2）S△ABCABOC(31)33，

22

S△PBCS△ABC3，

过点P作PHx轴，交BC于点H，设点P的横坐标为a，则有P(a,a24a3)，Ha,a3，

∴PH(a24a3)(a3)a23a

111

∵SSSPHxPH(xx)PHx

PBCPHCPHB2P2BP2B

1

3(a23a)3，

2

a11，a22，

当a1时，y0，此时与点A重合，

当a2时，y224231，

点P的坐标为：(2,1)．

（3）∵抛物线y=x2+4x3=(x2)2+1，

∴抛物线对称轴为直线x2，

设在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y)，

∵A(1,0)、C(0,3)．

∴AC2123210，

AM2(12)2y21y2，

CM222(y3)2y26y13，

当ACAM时，1y210，解得：y3，即点M坐标为(2,3)或(2,3)，

当点M坐标为(2,3)时，AM10，CM210，AC10，不能构成三角形，故M(2,3)舍去；

当ACCM时，y26y1310，解得：y36，即点M坐标为(2,36)或(2,36)，

当AMCM时，y26y131y2，解得：y2，即点M坐标为(2,2)，

综上所述：点M坐标为(2,3)或(2,2)或(2,36)或(2,36)，

【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求

函数解析式、勾股定理、三角形的面积等知识，解题（3）的关键是根据点距离公式结合等腰三角形的定义

列方程求解．

题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的

方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法