2025年中考数学一轮知识梳理考前突破05二次函数性质综合题（2大必考题型）原卷版

考前突破05二次函数性质综合题（2大必考题型）题型一：纯性质综合题题型二：交点问题题型一：纯性质综合题【中考母题学方法】1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．4．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．5．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．(1)求的值；(2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范围；(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．7．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．(1)求抛物线的对称轴；(2)求的值；(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．①求的值；②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．8．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．【中考模拟即学即练】9．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求的值以及抛物线的对称轴；(2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值．10．（2025·江西景德镇·模拟预测）抛物线的顶点到轴的距离为3．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与轴有两个交点，当，求的取值范围．11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．(1)求的函数表达式及其顶点坐标；(2)若点和在抛物线上，且，．①求A，B两点的坐标；②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．12．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．(1)求二次函数的表达式(2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m的值；(3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值．13．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题：(1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）；(2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式．14．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为，若点A的坐标为，，点为某个动点．(1)直接写出点B，C的坐标；(2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集；(3)如图2，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，记，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围．15．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直，且，、之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离.(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中，两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．16．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．(1)（填“”或“”）；当时，求的值；(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．求的取值范围；若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．题型二：交点问题【中考母题学方法】1．（2020·江苏盐城·中考真题）若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．（1）抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；（2）求直线相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式．2．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数．（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．3．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点．（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值．4．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点的坐标；（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．【中考模拟即学即练】5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等．(1)求二次函数图像的对称轴；(2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值．6．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和．(1)用含a的代数式表示m;(2)若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．7．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点．(1)求点、的坐标；(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值．8．（2024·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且．(1)求抛物线的对称轴及m与a的数量关系；(2)若将此抛物线在点A、B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为C，当在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出a的取值范围．9．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线．(1)填空：①a与b的数量关系为：；②图像与轴的另一个交点坐标为．(2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标．10．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数．(1)当时，①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；②若方程有两个相等的实数根，求证：；(2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围．11．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；(2)将二次函数向左平移1个单位，得函数__________；与轴的交点坐标为__________；(3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．12．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）．(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标．(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．(3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．13．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数．(1)求该二次函数图象与轴的交点坐标，(2)若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值；(3)已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段有且只有一个公共点时