函数的概念及其表示（考点清单）（解析版）

专题04函数的概念及其表示（考点清单）

目录

一、思维导图........................................................2

二、知识回归........................................................2

三、典型例题讲与练..................................................3

考点清单01定义域................................................3

【期末热考题型1】求常规函数的定义域..........................3

【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域................4

考点清单02值域..................................................6

【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域................6

【期末热考题型21根式型值域..................................7

【期末热考题型31分式型值域..................................9

考点清单03解析式...............................................11

【期末热考题型1】待定系数法.................................11

【期末热考题型2】换元法.....................................13

【期末热考题型3】方程组（消去）法...........................14

【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式...................15

一、思维导图

二、知识回归

知识回顾1:函数的定义

一般地，设A,3是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数》,按照某种确定的对应关系了,

在集合8中都有唯一确定的数V和它对应,那么就称f:Af3为从集合A到集合8的一个函数(function),

记作y=/(x)，xeA.其中，了叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的V值

叫做函数值，函数值的集合｛/COIxeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合8的子集.

函数的四个特征：

①非空性：A，5必须为非空数集(注意不仅非空，还要是数集)，定义域或值域为空集的函数是不存在

的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应(可以多对一，不能一对多).

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

知识回顾2：数的三要素

（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围.

（2）对应关系：对应关系/是函数的核心，它是对自变量X实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.

（3）值域：与x的值相对应的丁值叫做函数值，函数值的集合｛/（x）|xeA｝叫做函数的值域（range）.

知识回顾3：求函数解析式

（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法.

（2）换元法：主要用于解决己知/（g（x））这类复合函数的解析式，求函数/（尤）的解析式的问题，在使用

换元法时特别注意，换元必换范围.

（3）配凑法：由已知条件/（g（x））=E（x）,可将/（天）改写成关于g（x）的表达式，

（4）方程组（消去）法：主要解决已知/（%）与/（—九）、fI的方程，求/（%）解析式。

三、典型例题讲与练

I考点清单01定义域

【期末热考题型11求常规函数的定义域

【解题方法】使得函数有意义的范围

2x

【典例1】（2023上•江苏苏州•高一统考期中）函数/⑺=&二a+x的定义域为（）

A.(l,+oo)B.(-1,1)C.(-1,4-00)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【详解】因为/(x)=Jx[J]+X

x-l>0

所以解得％>1，

l+x>0

故选：A

【典例2】（2023上•广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中）函数“力=1工）一的定义域

L7-X2-3X+4

为.

【答案】

f—X?—3x+4〉0

【详解】由题意知，《，c，解得T<X<1且XH-1,

x+1wO

故函数/（x）=/>+1）的定义域为（-4,-1）U（-1,1）.

V-x2-3x+4

故答案为：（-4,—1）口（—1,1）.

【专训1-1]（2016上咛夏银川•高三阶段练习）函数〃x）=八：的定义域为_________.

Jl-logz%

【答案】（。，2）

【详解】因为〃无）=",

<l-log2x

fl-log9x>0

所以n,

[x>0

flogx<l

即162?

[x>0

解得0<x<2,

所以函数的定义域为（0,2）,

故答案为：（0,2）

【专训1-2]（2023上•北京朝阳•高一校考阶段练习）函数>=^/5=1・7^万的定义域是—；函数

〃x）=£1的定义域为,

【答案】{1}（f,O）u（O,2]

/]fl-120,、

【详解】由丫=71二知]、c，得尤=1,故定义域为{1};

[%—12U

Jo_x（%W0

由/（尤）=^------知<,得x<0或0<xW2,

v7x[2-x>0

故定义域为（3,0）5。,2]

故答案为：{1}；（f,O）u（O,2]

【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域

【解题方法】对应关系“/”作用下的整体取值范围相同

【典例1】（2022上.江西南昌.高一校考期中）已知函数〃x）的定义域为（0,2）,则函数的

Vx-4

定义域为（）

A.（3,-HK）B.{2,4}C.（4,5）D.{-2,3}

【答案】C

【详解】因为函数外力的定义域为（0,2）,所以〃x-3）满足0<x-3<2,即3Vx<5,

/\—3）_f3<x<5

又函数gX=J有意义,得“八，解得4<x<5,

Jx一-4/1x-4>0

所以函数8（刈=（；禄的定义域为（4,5）.

故选：C

【典例2】（2023上•广东惠州•高一校考阶段练习）若函数/（2x-D的定义域为[-1,1],则函数、=少"的

VX-1

定义域为.

【答案】（L2]

【详解】解：因为〃2x-l）的定义域为[-1』，

即所以2尤-le[-3,1],

即函数Ax）的定义域为

所以y的定义域为不等式组的解集，

5/尤-1[尤-1>0

解此不等式组得：1<%W2,

所以函数>=坐驾的定义域为。,2].

y/x-l

故答案为：（1,2]

【专训1-1]（2023下•辽宁•高二校联考阶段练习）若函数/（2x-l）的定义域为[-3,1],则y/（二）的

Vx-1

定义域为（）

A.律B.C.[|，|]D.

【答案】D

【详解】由题意可知一3VxVl,所以—7V2X—1V1,要使函数y="二）有意义,则[-解得

Vx-1[x-l>0,

l<x<—.

2

故选：D

【专训1-21（2023上•天津北辰・高一天津市第四十七中学校考期中）设函数〃力=^/^^，则fX

的定义域为.

【答案】[4,5]

【详解】函数=二的定义域满足：%-2>0,故X42,+8）,

昌2

2

的定义域满足：,斗22,解得4WXW5,故定义域为[4,5].

xw0

故答案为：[4,5]

I考点清单02值域

【期末热考题型11一次、二次、反比例函数的值域

【解题方法】分离常数法

【典例1】（2023上•贵州黔东南•高一凯里一中校考阶段练习）函数”到=展的值域是（）

x+2

A.(-℃,1)B.(1,+<»)C.(—0,-2)。(—2收)D.(-00,1)(1,+co)

【答案】D

%+2—22

【详解】〃尤）=—三------------=1----------

%+2x+2x+1

2#0,

.-.1--—

X+1X+1

X

从而可知函数/。）=—^的值域为（—1）51，口）.

x+2

故选：D.

【典例2】（2023上•北京•高一校考期中）函数y=/+2x-8,的值域为.

【答案】[-9,-5]

【详解】二次函数y=/+2x-8的开口向上，对称轴为％=-1,

所以当尸一1时，》取得最小值为（T）2+2X（-1）—8=—9,

当x=l时，y取得最大值为1。+2xl-8=-5,

所以函数的值域为[-9,-5].

故答案为：

【专训1-1]（2023上•北京•高一北京市十一学校校考期中）函数y=/的值域为（）

x+3

A.UBJ』）C.[o,1]D,[o,i

【答案】D

【详解】因为Y+3N3,

1

所以0<<-

X2+3-3

故函数y==二的值域为

+3I，

故选：D.

【专训1-2]（2023上•广西南宁•高一南宁市第一中学校考阶段练习）函数ynr-Zx+SeWxWB）的值域

为.

【答案】[2,6]

【详解】由函数y=f-2x+3=（x-l）2+2,

根据二次函数的性质，当x=l时，得至当x=3时，得至1」%缄=6,

所以函数,=/-2工+3在[0,3]的值域为[2,6].

故答案为：[2,6].

【期末热考题型2】根式型值域

【解题方法】换元法

【典例1】（2023上嘿龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中期中）函数/（幻=后々=7的值域为（）

A.[0,4]B.（-oo,2]C.[2,+co）D.[0,2]

【答案】D

【详解】解：令，=-无2+2了+3=-（尤-1）2+4,

当尤=1时，tinax=4,又让0,

所以te[0,4],即t+2x+3=-（x-1尸+4e[0,4]

2

所以f（x）=yj3+2x-xe[0,2],

故选：D.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）求函数y=.+/j20—尤（OV尤V20）的值域为______.

o2

【答案】[75,3]

【详解】令t=420-x（0MtM2非）,贝鼠=20-2,

二y=型二-+，=」（/_书_20）=」”2）2+3

8288

容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为r=2,

0<t<2^/5,所以该函数在f=2时取到最大值3,当"2斯时，函数取得最小值百，

所以函数y=9+^^/^7（0WxW20）值域为yep?,3].

O2L」

故答案为：[6,3]

【专训1-1】(2023上•江苏镇江•高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习)函数/(x)=x-，2x+3的值域

为.

【答案】[-2,+功

______1Q

【详解】设后存=/,?>0,则x=

1319

所以y==f等号成立

所以函数/(x)=x-72773的值域为[-2,+8).

故答案为：[-2,+8).

【专训1-2】(2023•高一课时练习)求下列函数的值域：

(1)y=x+Jl-2x；

(2)y="\/x—3+J5-x；

【答案】(1)(-8内；(2)[3,2].

【详解】(1)函数y=x+F石，定义域为，0；，

t_____1_产

令％=J1-2%>0,贝!J%=—-—,

[—产产11

所以>♦=一万+.+,=一”-1)2+1/20,

对称轴方程为，=1,

所以/=1时，函数Wax=-)+1+[=1，

故值域为(-00」]；

[x-3>0..

(2)由题思得|,解得

p-x>0

贝U丁=2+2j(x-3)(5-x)=2+2^-(x-4)2+1,3<x<5,

山—(x—4)+le[0,1]可得2，-(尤-4)-+1e[0,2],

:.2<y2<4,

由y的非负性知，V2<y<2,

故函数的值域为[&，2].

【期末热考题型3】分式型值域

【解题方法】分离常数法，换元法，△判别法

【典例1］(2023上.浙江宁波・高一余姚中学校考阶段练习)函数/(*)=竺上亘把在xeR上的值域是

x+X+4

【答案】目,日］

炉+()

23%+8_2%2+%+4+%X

【详解】函数f(x)=——=2+

/+%+4/+%+4x2+x+4

当x=0时，八%)=2；

当XH0时，/5)=2+—

XH----F1

X

根据对勾函数的性质可知:

11一

4则°<----------<—11

当x>0时,x+—>4,.4-----5,所以2V/(x)?-

xxr4十十IJ

X

4-1<——i——<05

当xvO时,XH—«—4,则3-^4,所以W？/(%)2,

X------1-13

X

函数/。)=竺士亚2在xeR上的值域是它当・

综上所述,

x+x+435

故答案为:

(2022上•辽宁・高一辽宁实验中学校考阶段练习)已知函数/(x)=£^(x>l),则函数的值域

【典例2】

是

x-11

f(x}=

【详解】因为I)(x-iy+3(x-l)+2(x-l)+(:)+3,

2

因为％〉1,所以%-1>0,则有(1-1)++3>2+3=20+3,

(x-1)V(x-D

7

当且仅当》-1=-即x=l+0时取等号,

X-L

1二"乩="20

所以(尤T)+~^2

(1)

因为x>l,所以/'(x)>0,则函数的值域为(0,3-2应］,

故答案为：（0,3-20].

【专训1-1]（2023上•天津红桥•高一天津市第五中学校考期中）已知函数/（力=二^,则函数的值域

X—1

为.

【答案】（，,一3）_（-3,y）

【详解】“X）=定义域为（F,l）L（l,y）,

x—1

2-3x_-3（x-l）-l

小）==-3-£

X-1X~1

因为x-lwO,所以一1-/0,即一3---^-3,

x-1x-1

o=3r

所以“X）=的值域为（3,-3）.（-3,内）.

X-L

故答案为：（一°，-3）（-3,心）.

【专训1-2】（2。2/浙江杭州.高一校联考期中）函数小）=”

的值域是.

【答案】|a]

【详解】解：/（力=—+：

x—x+2

因为龙2-尤+2=（x-g）+：＞0

所以函数“X）的定义域为xeR

令+l,整理得方程：（y-l）x2+（l-y）^+2y-l=0

x-x+2

当y=i时，方程无解；

当ywl时，A=（l-y）2-4x（y-l）（2y-l）＞0

不等式整理得：7y2Toy+3V0

解得：ye*1]

所以函数八尤）=;111;的值域为1,1].

故答案为：川

考点清单03解析式

【期末热考题型11待定系数法

【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解

【典例1】(2023上•河南南阳•高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习)已已知AM是一次函数，且

/(/(x))=16x-25,求/(x)=.

25

【答案】4x-5或-4x+

【详解】设/(x)=fcv+b(、=。),

贝!J=k{kx+b)+b=lex+kb+b=16x-25,

k~=16

kb+b=-25'

f(x)=4x-5或/(x)=-4x+.

25

故答案为：4%-5或-4x+石.

【典例2】(2022上•江苏南京•高一江苏省江浦高级中学校联考期中)已知二次函数满足

f(x+l)-f(x-l)=4x+2,M/(0)=0.

(1)求了(力的解析式；

⑵解关于x的不等式f(x)>(m+2)x-m.

【答案】(l)/(x)=/+x

(2)答案见解析

【详解】(1)设/(x)=加+Zzx+c,awO

由/(。)=0,f#c=O=>f(x)=ax2+bx

X/(x+l)-f(x-l)=4x+2

=a{x+1)2+b(x+l)-[a(x-I)2+b(x-1)]

f4。=4[ci—1

=4双+2b=4%+2,则L)，解得「[，

[2b=2[b=l

所以/(x)=f+x.

(2)由已知，x2+x>(m+2)x-mBPx2-(m+I)x+m>0,

即(x-m)(x-l)>0,

①当m=1时，原不等式即为：(x-l)2>0,解得XW1：

②当机<1时，解得x〈加或r>l；

③当r>1时，解得x<l或x>相

综上，当机=1时，不等式的解集为：(-»，1)51,物)，

当机<1时，不等式的解集为：(T»,m)(l,+oo),

当R>1时，不等式的解集为：(-»/)(加,欣).

【专训1-1](2022.全国•高一专题练习)设是一次函数，且/[〃x)]=4x+3,求的解析式.

【答案】〃x)=2x+l或〃力=-2尤-3

【详解】设〃x)=ox+b(awO),则

=af^x)+b=a^ax+b)+b=a2x+ab+b=^x+3.

a2=4a=2a=-2

所以ab+b=3'解得6=1或

b=-3'

所以函数〃x)的解析式为〃x)=2x+l或〃x)=-2x-3.

【专训1-2】(2021上.高一课前预习)(1)已知了⑺是一次函数，且"/(x))=4x-l,求f(x)；

(2)已知/")是二次函数，且满足/(O)=1J(尤+l)-/(x)=2x,求“X).

【答案】(1)/(x)=2x-1^f(x)=-2x+l.(2)/(%)=x2-%+l.

【详解】(1)设洋%)=q+仅aw。),

则/(/(%))-于(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

因为/(/(x))=4x-l,所以々2%+4。+。=4%—1

a=2

a2=4

所以解得71或

ab+b=-lb=一一

I3

所以/'(无)=2x-；或f(x)=-2x+l

(2)设/(x)=ar?+b%+c(〃w0)

由/(。)=1,得。=1

由/(x+l)-/(x)=2x

得a{x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-l=2x

整理，得2tzx+a+b=2x

2Q=2a=1

所以所以

a+b=0b=—l

所以f(x)=x2-x+l

【期末热考题型2】换元法

【解题方法】换元法

【典例1】(2023上•浙江•高一校联考期中)已知函数了(«-2)=彳-46+5,则Ax)的解析式为()

A.f(x)=x2+l(x>0)B./(x)=尤？+l(x2-2)

C.f(x)=x2(x>0)D./(X)=%2(%>-2)

【答案】B

【详解】令f=«-22-2,则x=(f+2)2,

所以/(。=«+2)2—4«+2)+5=产+1,

综上，f(x)=x2+l(x>-2).

故选:B

x2

【典例2】（2023上•湖北•高一洪湖市第一中学校联考期中）已知函数/（x）满足了则函数/'（X）

2X2+1

值域为.

【答案】［o,l

1

112

【详解】令/=上（玲0）,则无=二所以“1

r+2’

*t4+i

所以“X）的解析式为〃尤）=9^，其中无力0.

%2+2>2,0<^—<1,所以f（x）值域为（0,：

当xw0时,

X十乙乙1乙

故答案为：

【专训1-1］（2023上•江苏镇江•高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）解答下面两题

⑴已知，（占+D=V+2,求AM的函数解析式；

［答案】⑴/(X)=/一4/+6x2-4x+3(%>1)

【详解】(1)令/=y［x+19则/21,X=(1-1)?,

4

代入原式有于(t)=(t—I)+2=八一4尸+6/2—4/+39

所以/(x)=x4-4x3+6x2—4x+3(%>1).

【专训1-2］（2023•全国•高三对口高考）⑴已知小+£p+,求小

(2)已知/［：+,=lgx,求F3；

2

【答案】(1)/(X)=X3-3<X>2^X<-2)；(2)/(x)=lg--(x>l);

x-1

【详解】小+4，+5干一

因为当尤>0时XH—>2,当尤<0时XH—<—2,

XX

所以于(x)=x3-3x(x22或x4-2).

⑵令2+1=々>1),

尤

22

则—,.../(r)=lg—

>D

【期末热考题型3】方程组（消去）法

【解题方法】联立方程组消元

【典例1】（2023上•四川达州•高一校考期中）⑴己知一次函数/⑺满足条件/■（x+DtfabZx,求函数

“X）的解析式；

【答案】（1）〃耳=无一;：

【详解】（1）设/（x）=Ax+b,上/0,

〃龙+1）+/（力=2尤，

.•.左（x+l）+b+Ax+Z?=2x,BP2kx+k+2b=2x,

⑵t=2『=1

5„1解得八1，

女+2Z?=0b=——

iI2

【典例2】（2023上•山东泰安・高一泰安一中校考期中）已知函数y=/（x）满足：

八村+2/己］=2五+；（x>0）.

⑴求函数y=/（x）的解析式：

【答案】⑴小）4，”。

【详解】(1)Vx>0,/(X)+2/Q^|=2^+-^,①

**•—>0,f^—^+2f^x^=2—j=+y/x,②

3“x)W，"(x)=；,

・••②x2—①得,x>0.

7x\x

【专训1-1](2023上•宁夏银川•高一校考期中)分别求满足下列条件的f(x)的解析式:

⑴已知2〃力—/(2—》)=犬+2彳，求函数f(x)的解析式；

9Q

【答案】(1)/(%)=%2

【详解】(1)由2/(%)-/(2-％)=f+2%,2/(2-x)-/(X)=(2-x)2+2(2-x),

2/(x)—/(2-x)=x2+2xOQ

于是消去y(2-x)得“无)=/一,无+，

2/(2—x)—/(x)=x2—6x+8

9Q

所以函数“X)的解析式为/(x)=V-,x+,

【专训1-2](2023上•吉林通化•高一梅河口市第五中学校考阶段练习)(1)已知/a)+2