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文档简介
专题04函数的概念及其表示(考点清单)
目录
一、思维导图........................................................2
二、知识回归........................................................2
三、典型例题讲与练..................................................3
考点清单01定义域................................................3
【期末热考题型1】求常规函数的定义域..........................3
【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域................4
考点清单02值域..................................................6
【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域................6
【期末热考题型21根式型值域..................................7
【期末热考题型31分式型值域..................................9
考点清单03解析式...............................................11
【期末热考题型1】待定系数法.................................11
【期末热考题型2】换元法.....................................13
【期末热考题型3】方程组(消去)法...........................14
【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式...................15
一、思维导图
二、知识回归
知识回顾1:函数的定义
一般地,设A,3是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数》,按照某种确定的对应关系了,
在集合8中都有唯一确定的数V和它对应,那么就称f:Af3为从集合A到集合8的一个函数(function),
记作y=/(x),xeA.其中,了叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的V值
叫做函数值,函数值的集合{/COIxeA}叫做函数的值域.显然,值域是集合8的子集.
函数的四个特征:
①非空性:A,5必须为非空数集(注意不仅非空,还要是数集),定义域或值域为空集的函数是不存在
的.
②任意性:即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性:每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应(可以多对一,不能一对多).
④方向性:函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向,那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识回顾2:数的三要素
(1)定义域:函数的定义域是自变量的取值范围.
(2)对应关系:对应关系/是函数的核心,它是对自变量X实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.
(3)值域:与x的值相对应的丁值叫做函数值,函数值的集合{/(x)|xeA}叫做函数的值域(range).
知识回顾3:求函数解析式
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数,反比例等),可用待定系数法.
(2)换元法:主要用于解决己知/(g(x))这类复合函数的解析式,求函数/(尤)的解析式的问题,在使用
换元法时特别注意,换元必换范围.
(3)配凑法:由已知条件/(g(x))=E(x),可将/(天)改写成关于g(x)的表达式,
(4)方程组(消去)法:主要解决已知/(%)与/(—九)、fI的方程,求/(%)解析式。
三、典型例题讲与练
I考点清单01定义域
【期末热考题型11求常规函数的定义域
【解题方法】使得函数有意义的范围
2x
【典例1】(2023上•江苏苏州•高一统考期中)函数/⑺=&二a+x的定义域为()
A.(l,+oo)B.(-1,1)C.(-1,4-00)D.(-oo,-l)u(l,+oo)
【答案】A
【详解】因为/(x)=Jx[J]+X
x-l>0
所以解得%>1,
l+x>0
故选:A
【典例2】(2023上•广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中)函数“力=1工)一的定义域
L7-X2-3X+4
为.
【答案】
f—X?—3x+4〉0
【详解】由题意知,《,c,解得T<X<1且XH-1,
x+1wO
故函数/(x)=/>+1)的定义域为(-4,-1)U(-1,1).
V-x2-3x+4
故答案为:(-4,—1)口(—1,1).
【专训1-1](2016上咛夏银川•高三阶段练习)函数〃x)=八:的定义域为_________.
Jl-logz%
【答案】(。,2)
【详解】因为〃无)=",
<l-log2x
fl-log9x>0
所以n,
[x>0
flogx<l
即162?
[x>0
解得0<x<2,
所以函数的定义域为(0,2),
故答案为:(0,2)
【专训1-2](2023上•北京朝阳•高一校考阶段练习)函数>=^/5=1・7^万的定义域是—;函数
〃x)=£1的定义域为,
【答案】{1}(f,O)u(O,2]
/]fl-120,、
【详解】由丫=71二知]、c,得尤=1,故定义域为{1};
[%—12U
Jo_x(%W0
由/(尤)=^------知<,得x<0或0<xW2,
v7x[2-x>0
故定义域为(3,0)5。,2]
故答案为:{1};(f,O)u(O,2]
【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域
【解题方法】对应关系“/”作用下的整体取值范围相同
【典例1】(2022上.江西南昌.高一校考期中)已知函数〃x)的定义域为(0,2),则函数的
Vx-4
定义域为()
A.(3,-HK)B.{2,4}C.(4,5)D.{-2,3}
【答案】C
【详解】因为函数外力的定义域为(0,2),所以〃x-3)满足0<x-3<2,即3Vx<5,
/\—3)_f3<x<5
又函数gX=J有意义,得“八,解得4<x<5,
Jx一-4/1x-4>0
所以函数8(刈=(;禄的定义域为(4,5).
故选:C
【典例2】(2023上•广东惠州•高一校考阶段练习)若函数/(2x-D的定义域为[-1,1],则函数、=少"的
VX-1
定义域为.
【答案】(L2]
【详解】解:因为〃2x-l)的定义域为[-1』,
即所以2尤-le[-3,1],
即函数Ax)的定义域为
所以y的定义域为不等式组的解集,
5/尤-1[尤-1>0
解此不等式组得:1<%W2,
所以函数>=坐驾的定义域为。,2].
y/x-l
故答案为:(1,2]
【专训1-1](2023下•辽宁•高二校联考阶段练习)若函数/(2x-l)的定义域为[-3,1],则y/(二)的
Vx-1
定义域为()
A.律B.C.[|,|]D.
【答案】D
【详解】由题意可知一3VxVl,所以—7V2X—1V1,要使函数y="二)有意义,则[-解得
Vx-1[x-l>0,
l<x<—.
2
故选:D
【专训1-21(2023上•天津北辰・高一天津市第四十七中学校考期中)设函数〃力=^/^^,则fX
的定义域为.
【答案】[4,5]
【详解】函数=二的定义域满足:%-2>0,故X42,+8),
昌2
2
的定义域满足:,斗22,解得4WXW5,故定义域为[4,5].
xw0
故答案为:[4,5]
I考点清单02值域
【期末热考题型11一次、二次、反比例函数的值域
【解题方法】分离常数法
【典例1】(2023上•贵州黔东南•高一凯里一中校考阶段练习)函数”到=展的值域是()
x+2
A.(-℃,1)B.(1,+<»)C.(—0,-2)。(—2收)D.(-00,1)(1,+co)
【答案】D
%+2—22
【详解】〃尤)=—三------------=1----------
%+2x+2x+1
2#0,
.-.1--—
X+1X+1
X
从而可知函数/。)=—^的值域为(—1)51,口).
x+2
故选:D.
【典例2】(2023上•北京•高一校考期中)函数y=/+2x-8,的值域为.
【答案】[-9,-5]
【详解】二次函数y=/+2x-8的开口向上,对称轴为%=-1,
所以当尸一1时,》取得最小值为(T)2+2X(-1)—8=—9,
当x=l时,y取得最大值为1。+2xl-8=-5,
所以函数的值域为[-9,-5].
故答案为:
【专训1-1](2023上•北京•高一北京市十一学校校考期中)函数y=/的值域为()
x+3
A.UBJ』)C.[o,1]D,[o,i
【答案】D
【详解】因为Y+3N3,
1
所以0<<-
X2+3-3
故函数y==二的值域为
+3I,
故选:D.
【专训1-2](2023上•广西南宁•高一南宁市第一中学校考阶段练习)函数ynr-Zx+SeWxWB)的值域
为.
【答案】[2,6]
【详解】由函数y=f-2x+3=(x-l)2+2,
根据二次函数的性质,当x=l时,得至当x=3时,得至1」%缄=6,
所以函数,=/-2工+3在[0,3]的值域为[2,6].
故答案为:[2,6].
【期末热考题型2】根式型值域
【解题方法】换元法
【典例1】(2023上嘿龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中期中)函数/(幻=后々=7的值域为()
A.[0,4]B.(-oo,2]C.[2,+co)D.[0,2]
【答案】D
【详解】解:令,=-无2+2了+3=-(尤-1)2+4,
当尤=1时,tinax=4,又让0,
所以te[0,4],即t+2x+3=-(x-1尸+4e[0,4]
2
所以f(x)=yj3+2x-xe[0,2],
故选:D.
【典例2】(2023•全国•高三专题练习)求函数y=.+/j20—尤(OV尤V20)的值域为______.
o2
【答案】[75,3]
【详解】令t=420-x(0MtM2非),贝鼠=20-2,
二y=型二-+,=」(/_书_20)=」”2)2+3
8288
容易看出,该函数转化为一个开口向下的二次函数,对称轴为r=2,
0<t<2^/5,所以该函数在f=2时取到最大值3,当"2斯时,函数取得最小值百,
所以函数y=9+^^/^7(0WxW20)值域为yep?,3].
O2L」
故答案为:[6,3]
【专训1-1】(2023上•江苏镇江•高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习)函数/(x)=x-,2x+3的值域
为.
【答案】[-2,+功
______1Q
【详解】设后存=/,?>0,则x=
1319
所以y==f等号成立
所以函数/(x)=x-72773的值域为[-2,+8).
故答案为:[-2,+8).
【专训1-2】(2023•高一课时练习)求下列函数的值域:
(1)y=x+Jl-2x;
(2)y="\/x—3+J5-x;
【答案】(1)(-8内;(2)[3,2].
【详解】(1)函数y=x+F石,定义域为,0;,
t_____1_产
令%=J1-2%>0,贝!J%=—-—,
[—产产11
所以>♦=一万+.+,=一”-1)2+1/20,
对称轴方程为,=1,
所以/=1时,函数Wax=-)+1+[=1,
故值域为(-00」];
[x-3>0..
(2)由题思得|,解得
p-x>0
贝U丁=2+2j(x-3)(5-x)=2+2^-(x-4)2+1,3<x<5,
山—(x—4)+le[0,1]可得2,-(尤-4)-+1e[0,2],
:.2<y2<4,
由y的非负性知,V2<y<2,
故函数的值域为[&,2].
【期末热考题型3】分式型值域
【解题方法】分离常数法,换元法,△判别法
【典例1](2023上.浙江宁波・高一余姚中学校考阶段练习)函数/(*)=竺上亘把在xeR上的值域是
x+X+4
【答案】目,日]
炉+()
23%+8_2%2+%+4+%X
【详解】函数f(x)=——=2+
/+%+4/+%+4x2+x+4
当x=0时,八%)=2;
当XH0时,/5)=2+—
XH----F1
X
根据对勾函数的性质可知:
11一
4则°<----------<—11
当x>0时,x+—>4,.4-----5,所以2V/(x)?-
xxr4十十IJ
X
4-1<——i——<05
当xvO时,XH—«—4,则3-^4,所以W?/(%)2,
X------1-13
X
函数/。)=竺士亚2在xeR上的值域是它当・
综上所述,
x+x+435
故答案为:
(2022上•辽宁・高一辽宁实验中学校考阶段练习)已知函数/(x)=£^(x>l),则函数的值域
【典例2】
是
x-11
f(x}=
【详解】因为I)(x-iy+3(x-l)+2(x-l)+(:)+3,
2
因为%〉1,所以%-1>0,则有(1-1)++3>2+3=20+3,
(x-1)V(x-D
7
当且仅当》-1=-即x=l+0时取等号,
X-L
1二"乩="20
所以(尤T)+~^2
(1)
因为x>l,所以/'(x)>0,则函数的值域为(0,3-2应],
故答案为:(0,3-20].
【专训1-1](2023上•天津红桥•高一天津市第五中学校考期中)已知函数/(力=二^,则函数的值域
X—1
为.
【答案】(,,一3)_(-3,y)
【详解】“X)=定义域为(F,l)L(l,y),
x—1
2-3x_-3(x-l)-l
小)==-3-£
X-1X~1
因为x-lwO,所以一1-/0,即一3---^-3,
x-1x-1
o=3r
所以“X)=的值域为(3,-3).(-3,内).
X-L
故答案为:(一°,-3)(-3,心).
【专训1-2】(2。2/浙江杭州.高一校联考期中)函数小)=”
的值域是.
【答案】|a]
【详解】解:/(力=—+:
x—x+2
因为龙2-尤+2=(x-g)+:>0
所以函数“X)的定义域为xeR
令+l,整理得方程:(y-l)x2+(l-y)^+2y-l=0
x-x+2
当y=i时,方程无解;
当ywl时,A=(l-y)2-4x(y-l)(2y-l)>0
不等式整理得:7y2Toy+3V0
解得:ye*1]
所以函数八尤)=;111;的值域为1,1].
故答案为:川
考点清单03解析式
【期末热考题型11待定系数法
【解题方法】设出函数解析式,对比系数求解
【典例1】(2023上•河南南阳•高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习)已已知AM是一次函数,且
/(/(x))=16x-25,求/(x)=.
25
【答案】4x-5或-4x+
【详解】设/(x)=fcv+b(、=。),
贝!J=k{kx+b)+b=lex+kb+b=16x-25,
k~=16
kb+b=-25'
f(x)=4x-5或/(x)=-4x+.
25
故答案为:4%-5或-4x+石.
【典例2】(2022上•江苏南京•高一江苏省江浦高级中学校联考期中)已知二次函数满足
f(x+l)-f(x-l)=4x+2,M/(0)=0.
(1)求了(力的解析式;
⑵解关于x的不等式f(x)>(m+2)x-m.
【答案】(l)/(x)=/+x
(2)答案见解析
【详解】(1)设/(x)=加+Zzx+c,awO
由/(。)=0,f#c=O=>f(x)=ax2+bx
X/(x+l)-f(x-l)=4x+2
=a{x+1)2+b(x+l)-[a(x-I)2+b(x-1)]
f4。=4[ci—1
=4双+2b=4%+2,则L),解得「[,
[2b=2[b=l
所以/(x)=f+x.
(2)由已知,x2+x>(m+2)x-mBPx2-(m+I)x+m>0,
即(x-m)(x-l)>0,
①当m=1时,原不等式即为:(x-l)2>0,解得XW1:
②当机<1时,解得x〈加或r>l;
③当r>1时,解得x<l或x>相
综上,当机=1时,不等式的解集为:(-»,1)51,物),
当机<1时,不等式的解集为:(T»,m)(l,+oo),
当R>1时,不等式的解集为:(-»/)(加,欣).
【专训1-1](2022.全国•高一专题练习)设是一次函数,且/[〃x)]=4x+3,求的解析式.
【答案】〃x)=2x+l或〃力=-2尤-3
【详解】设〃x)=ox+b(awO),则
=af^x)+b=a^ax+b)+b=a2x+ab+b=^x+3.
a2=4a=2a=-2
所以ab+b=3'解得6=1或
b=-3'
所以函数〃x)的解析式为〃x)=2x+l或〃x)=-2x-3.
【专训1-2】(2021上.高一课前预习)(1)已知了⑺是一次函数,且"/(x))=4x-l,求f(x);
(2)已知/")是二次函数,且满足/(O)=1J(尤+l)-/(x)=2x,求“X).
【答案】(1)/(x)=2x-1^f(x)=-2x+l.(2)/(%)=x2-%+l.
【详解】(1)设洋%)=q+仅aw。),
则/(/(%))-于(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b
因为/(/(x))=4x-l,所以々2%+4。+。=4%—1
a=2
a2=4
所以解得71或
ab+b=-lb=一一
I3
所以/'(无)=2x-;或f(x)=-2x+l
(2)设/(x)=ar?+b%+c(〃w0)
由/(。)=1,得。=1
由/(x+l)-/(x)=2x
得a{x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-l=2x
整理,得2tzx+a+b=2x
2Q=2a=1
所以所以
a+b=0b=—l
所以f(x)=x2-x+l
【期末热考题型2】换元法
【解题方法】换元法
【典例1】(2023上•浙江•高一校联考期中)已知函数了(«-2)=彳-46+5,则Ax)的解析式为()
A.f(x)=x2+l(x>0)B./(x)=尤?+l(x2-2)
C.f(x)=x2(x>0)D./(X)=%2(%>-2)
【答案】B
【详解】令f=«-22-2,则x=(f+2)2,
所以/(。=«+2)2—4«+2)+5=产+1,
综上,f(x)=x2+l(x>-2).
故选:B
x2
【典例2】(2023上•湖北•高一洪湖市第一中学校联考期中)已知函数/(x)满足了则函数/'(X)
2X2+1
值域为.
【答案】[o,l
1
112
【详解】令/=上(玲0),则无=二所以“1
r+2’
*t4+i
所以“X)的解析式为〃尤)=9^,其中无力0.
%2+2>2,0<^—<1,所以f(x)值域为(0,:
当xw0时,
X十乙乙1乙
故答案为:
【专训1-1](2023上•江苏镇江•高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习)解答下面两题
⑴已知,(占+D=V+2,求AM的函数解析式;
[答案】⑴/(X)=/一4/+6x2-4x+3(%>1)
【详解】(1)令/=y[x+19则/21,X=(1-1)?,
4
代入原式有于(t)=(t—I)+2=八一4尸+6/2—4/+39
所以/(x)=x4-4x3+6x2—4x+3(%>1).
【专训1-2](2023•全国•高三对口高考)⑴已知小+£p+,求小
(2)已知/[:+,=lgx,求F3;
2
【答案】(1)/(X)=X3-3<X>2^X<-2);(2)/(x)=lg--(x>l);
x-1
【详解】小+4,+5干一
因为当尤>0时XH—>2,当尤<0时XH—<—2,
XX
所以于(x)=x3-3x(x22或x4-2).
⑵令2+1=々>1),
尤
22
则—,.../(r)=lg—
>D
【期末热考题型3】方程组(消去)法
【解题方法】联立方程组消元
【典例1】(2023上•四川达州•高一校考期中)⑴己知一次函数/⑺满足条件/■(x+DtfabZx,求函数
“X)的解析式;
【答案】(1)〃耳=无一;:
【详解】(1)设/(x)=Ax+b,上/0,
〃龙+1)+/(力=2尤,
.•.左(x+l)+b+Ax+Z?=2x,BP2kx+k+2b=2x,
⑵t=2『=1
5„1解得八1,
女+2Z?=0b=——
iI2
【典例2】(2023上•山东泰安・高一泰安一中校考期中)已知函数y=/(x)满足:
八村+2/己]=2五+;(x>0).
⑴求函数y=/(x)的解析式:
【答案】⑴小)4,”。
【详解】(1)Vx>0,/(X)+2/Q^|=2^+-^,①
**•—>0,f^—^+2f^x^=2—j=+y/x,②
3“x)W,"(x)=;,
・••②x2—①得,x>0.
7x\x
【专训1-1](2023上•宁夏银川•高一校考期中)分别求满足下列条件的f(x)的解析式:
⑴已知2〃力—/(2—》)=犬+2彳,求函数f(x)的解析式;
9Q
【答案】(1)/(%)=%2
【详解】(1)由2/(%)-/(2-%)=f+2%,2/(2-x)-/(X)=(2-x)2+2(2-x),
2/(x)—/(2-x)=x2+2xOQ
于是消去y(2-x)得“无)=/一,无+,
2/(2—x)—/(x)=x2—6x+8
9Q
所以函数“X)的解析式为/(x)=V-,x+,
【专训1-2](2023上•吉林通化•高一梅河口市第五中学校考阶段练习)(1)已知/a)+2
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