湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二年级上册12月联考数学试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考数学试题。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.椭圆5+卷=1的长轴长为()

A.V7B.3C.2V7D.6

2.在空间直角坐标系。一4/z中，点(1,-2,3)关于>轴的对称点为()

A.(-1-2-3)B.(-1,2-3)C.(-1-2,3)D.(1,2,3)

3.在四棱台4BCD-力IBICIDI中，一定能作为空间向量的一个基底的是()

A.B.{AB,AAi,C-^D

C.［^AB,AiA,A^DD.^AA^,AC,CC^

4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全,

如图，已知考试分数均在区间［65,135］内，记分数的平均数为X,中位数为匕则()

A.X>YB.X=Y

C.X<YD.X,Y的大小关系不能确定

5.动直线Z：(k+2)x—(k-l)y-3=。被定圆。截得的弦长等于2,则圆C的方程为()

A.(%+I)2+(y+1/=1B.(x—I)2+(y—1)2=1

C.(x+l)2+(y+1)2=4D.(x—l)2+(y-1)2=4

6.在平面直角坐标系中，若点4(-2,0)到直线/的距离为1,点B(2,0)到直线/的距离为3,则这样的直线/

有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

7.直线/经过抛物线C:y2=2px(p〉0)的焦点尸，与抛物线C相交于8两点，与j，轴相交于点M.若

FM=3FA,\FB\=5,则|48|=()

AZ5B15c20D35

A.3G.2L.3L>.6

8.点尸是正方体4BCD-4/1的。1的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2,若

AB-AP=2,/尸与平面4BCD所成的角为30°,则点尸的轨迹的形状是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.随机事件/,8满足P(4)=0.4,P(B)=0.6,PQ4UB)=O.8,则有()

A.PQ4B)=0.2B.PQ48)=0.24C.A,8不是互斥事件D.A,8相互独立

10.平行六面体力86-4再住1。1所有棱长都等于1,^ArAB=^ArAD=/.BAD=60°,如图，则有()

A.\BDr\=2

B.BDi1CD

C.平面44iCiC1平面8当。1。

D,平行六面体4BCD-a/©/的体积为苧

11.在平面直角坐标系内，动点尸到两定点%(-2,0),&(2,0)的距离之积等于6,点P的轨迹记为曲线C.曲

线。与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于/,8两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称B.\OA\-V6

C.当点P位于8点处时，最大D.点P到x轴的最大距离为|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知4(3,0),5(0,4),直线y=kx+l将△AOB分割成面积相等的两部分(。为坐标原点)，则/c=.

13.在直棱柱力BC-A/iCi中，AB=AC=近,BC=4,BB1=2,。为BiQ中点，则直线AD,&C所成

角的余弦值为.

14.双曲线民乌―哈=1的左，右焦点分别为％,尸2,P是双曲线£的右支上的一点，的内切圆圆

心为记△2％/,/的面积分别为Si，S2，则Si-52=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点离心率e=遮.求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐近

线方程.

16.(本小题15分)

甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为心答对第2道题的概率为小乙

答对每道题的概率都为称.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.

(1)求甲答对一道题的概率；

(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-HBCD中，平面平面/BCD,平面PAD_L平面NBCD,ABLAD,BC//AD,

AD=2,AB=BC=1,经过点C的平面a与侧棱P4、PB、PD分别相交于点。、E、F,且BD〃平面a.

(1)求证：PAI平面力BCD;

(2)若平面a与平面尸/C的夹角为仇且cos8=^,求线段的长度.

18.(本小题17分)

如图，已知圆M:(x-2)2+0-1)2=25,过坐标原点。作圆M的两条互相垂直的弦48,CD.

(1)求证：\AB\2+|CD12为定值;

(2)当月C〃BD时，求直线NC的方程和直线2。的方程.

19.(本小题17分)

已知直线Z：y=kx+b与圆。:/+必=1相切.

(1)求的值；

(2)己知椭圆E4+9=1在点P3，yo)处的切线方程为竽+等=1,若直线/与椭圆E相交于4,2两

点，分别过/,3作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q,求点。的轨迹方程；

(3)是否存在这样的二次曲线F：忒2+〃y2=i,当直线/与曲线尸有两个交点M,N时，总有。MLON?若

存在，求出％+〃的值;若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题.

根据椭圆的方程即可求解.

【解答】

解：由已知可得：。2=9,所以a=3,所以椭圆的长轴长为2a=6,

故选D.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查空间中点的对称，属于基础题.

根据一个点关于〉轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可.

【解答】

解：；一个点关于V轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，

・••点(1,—2,3)关于y轴对称的点的坐标为(—1,—2,—3),

故选：A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查空间向量的基底，属于基础题.

根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.

【解答】

解：对于四棱台4BCD-A/iCiDi，

/选项中，AB,AD,瓦瓦共面，不符合要求；

5选项中ZB,Ci/可能共线，不符合要求；

。选项中，京，AC,西共面，不符合要求，

故选C.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题.

计算出y的值，估计出x的范围，即可判断.

【解答】

解：r=85+^^x10=88,

X>70x0.2+80X0.225+90X0.25+100X0.125+110X0.1+115X0,1=89.5,

故选4

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查求圆的标准方程，属于基础题.

求出动直线/恒过定点(1,1),即圆的圆心，结合圆半径即可得圆方程.

【解答】

解：动直线/:(k+2)x-(k-l)y-3=0,即k(x-y)+(2x+y—3)=0,

由｛戛、］_°3=；，即动直线/恒过定点(1,1)，

因为动直线Z：(k+2)x-(fc-l)y-3=0被定圆C截得的弦长等于2,

则定点(1,1)为圆的圆心，半径为1，

故圆C的方程为(乂―1尸+(y—1)2=1,

故选区

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.

根据点到直线的距离公式分情况即可判断.

【解答】

解：当直线/的斜率不存在时，设其方程为x=a,

由题意可知|a-(―2)|=1且|a—2|=3,则a=-1使得两个式子同时成立.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+6,即依-y+b=0,因为点4(一2,0)到直线/的距离为

1,

\-2k+b\

=1©.

所以JH+(-1)2

因为点B(2,0)到直线/的距离为3,所以jG+(二7=3②.

由父得喘胃=P则°=轨或6="

当b=4/c时，

代入①中，得3k2-1=0,该方程有2个不相等的实数根，即k=±孚；

当b=k时，代入①中，得k2=k2+l,该方程无解.

所以这样的直线/共有3条，

故选C.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题.

根据抛物线的几何性质得出以知=?，根据已知条件得出必=舄利用抛物线的定义得出P，再利用抛物

线的定义即可得出结论.

【解答】

解：设4(右,％0，8(函月?)，

抛物线的焦点F&0),直线AB的方程为x=my+

由卜2一7+名消去x得，y2-2pmy-p2=0,

(片=2px

贝1Jy4yB=",

则有以独=。蠹"=

由于前=3FA,'FA=(XA-^,%),前=(-?._%)，

所以心=(则=当，

所以|FB|=切+"当+*==5,所以P=4,

故|4B|=\BF\+\AF\=xA+xB+p=^-,

故选4

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题.

由A8-4P=2可得，x-1,由cos(4P,44。=|＞可得3z2-y2=1，故可判断点尸的轨迹的形状.

【解答】

解:分别以N5,AD,441所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设P(x,y,z),由屈・而=2,可得X=1,①

又cos(而，京)=舅枭=",

可得3z2—产=1,②

由①②可知，尸点轨迹为双曲线，

故选C.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题.

利用PQ4U8)=PQ4)+P(B)-P(48),求出P(48),再对各选项逐项判定，即可求出结果.

【解答】

解：由PQ4UB)=P(4)+P(8)—PQ4B)=0.4+0.6—P(4B)=0.8,

得PQ4B)=0.2,故/正确，2错误；

因为P(4B)=0.2K0,所以N,8不是互斥事件，故C正确；

因为P(4B)=0.2RP(4)P(B)=04x0.6=0.24,所以/,8不是相互独立事件，故。错误.

故选2U

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题.

利用向量对选项逐个计算即可判断.

【解答】

解：对于选项由|西j=I瓦？+前+西>1=J(BA+AD+~DD[y=Vl+1+1-1-1+1=V2>所以

A错误；

对于选项8,~BDi-CD=(BA+AD+DD^)-CD=所以8正确；

对于选项C,丽•痂=(前一同)•京=0,.-.BDlAAi，又BD1AC,AA1CiAC=A,44i，4Cu平面

A41C1C,所以平面44忑修，所以平面441cle，平面故C正确；

由题易知，4-4BD为正四面体，其体积为匕)=9乎.乎=皆

3431Z

所以平行六面体的体积为U=6%=6*吾=苧，故。正确，

故选BCD.

n.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题.

对于/,分别以-X代X,以-y代修即可判断；对于8,令y=o即可判断；对于c,利用余弦定理和基本

不等式即可判断；对于。，利用三角形的面积公式即可判断.

【解答】

解：设P(x,y),由|PFi|,|PFzl=6,可得，(久+2/+产,J0一2y+92=6,

对于/,由曲线方程可知，将-x代替x,方程不变;将-y代替力方程不变，故/对；

对于8,令y=0,解得|%-2|•|x+2|=6,即*2=10,故8错；

对于C,设用止尸2=仇由余弦定理，有cos。=用;寿俳广221；假;甑J=一、当且仅当

|PFil=|PF2l时等号成立,故C对;

112

对于。，仍设立尸止尸2=方由如%尸2的面积S可知sJ|PFi||PF2|sin8=||FiF2||yp|,|yP|=|sin0,

Wpl最大时为］此时8=90°小于乙38&，故。对.

故选4CD

12.【答案】1

6

【解析】【分析】

本题考查直线的截距式方程，斜截式方程，直线过定点问题，属于较易题.

易知直线丫=依+1经过点。(0,1),利用△BCD的面积为aAOB的面积的一半，求出点C的横坐标，由点

C在直线上，求出点C的纵坐标，再由直线y=kx+l过点C,即可求出％的值.

【解答】

解:直线y=kx+1经过定点。(0,1),设直线y=kx+1与线段48相交于点C,

SABCD=~2S/X40B='x久CX3=3，久c=2，

易知直线45的方程为卷+1=1,・•・由点。在直线45上，可得yc=*

・,・直线y=kx+1过点(2)),・•.fc=1,

故答案为点

6

13.【答案】0

【解析】【分析】

本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题.

建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.

【解答】

解：取3c的中点O,连接NO,DO,因为4B=4C,

所以491BC,以。为坐标原点，。/为x轴，OC为)，轴，。。为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BC=4,AB=AC=近,所以。4=V^，

则①(e0,2),B(0-2,0),C(020),D(0,0,2),

所以布=(一①2,-2),丽=(0,2,2),

所以砧•丽=0+4-4=0,

则直线力1C与8。垂直，即直线AD,41c所成角的余弦值为0,

故答案为0.

14.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查双曲线与三角形相结合设题，双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质，属于中

档题.

由已知求出S1=5|P%|，S2=^\PF2\,作差得到SI—S2=5(|P%|—|PF2l)=ar,进一步求厂和a,即可解

决问题.

【解答】

解：由题设内切圆的半径为，，则S1=]|P%|,52=2上尸2|，

S1—S2=^(\PFr\-\PF2\)=ar.

过点M作MAIP%于点/,MB1F1&于点2,MC1PF2于点C，

则由△的内切圆圆心为1(1,2),知r=2,

故

\AF1\=\BF1\=l+c,\BF2\=\CF2\=C-1,\AP\=\PC\,

|PFI|-|PF2|=\AFr\-\CF2\=1+c-(c-l)=2a,得a=1,

故S]—S2=2.

故答案为2.

15.【答案】解：因为双曲线离心率e=?=亚贝哈=但=值二1=也

aa7a2

即b=V2afc—V3d.

若焦点在X轴上，则双曲线方程为与一龙=1,

a22a2

代入点P(l,l)可得4-与=1,解得a?=

CL乙乙

所以双曲线方程为2/-*=1,焦点坐标为(士孚,o),渐近线方程为y=±四居

若焦点在＞轴上，则双曲线方程为《—蔡=1,

代入点P(L1)可得小一与=1,解得。2=最

CL乙Cv乙

所以双曲线方程为2y2一/=1,焦点坐标为(0,土乎)，渐近线方程为y=±乎x.

【解析】本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.

根据离心率可得6=四口，c=ga.分类讨论焦点所在位置，设双曲线方程代入点P(l,l)求得a,即可得结

果.

71

16.【答案】解：⑴记甲答对第i题为事件E4i=l,2),贝i]P(Ei)=奈0(&)=!

记甲答对，道题为事件40=0,1,2),贝必1=£1砺+成石2,

其中EiW与瑁&互斥，力,&相互独立，

71211

所以甲答对一道题的概率为PQ41)=P(E1五)+P(FZ£2)=^X1+^X|=1；

(2)记乙答对，道题为事件=0,1,2),

Q1Q1717

W0)=-x-=-,P^=-,P^=-x-=-.

n/n、224n/n、c3212“n、339

^(Bo)=^x-=—,P(B1)=2x-x-=—,P(B2)=-X-=—.

记甲乙两人答对题数相等为事件C,则C=A0B0+A1B1+A2B2,

且人员、4隹1、两两互斥，4与=0,1,2)相互独立,

341127939

P(C)=PQ4。%)+P(OBi)+P(7l2F2)=-x-+-x-+^-x-=^-.

【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.

(1)对甲答对一道题分类：第1题答对且第2题答错，第1题答错且第2题答对；

(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类：两人都答对。题，都答对1题，都答对2题.

17.【答案】解：(1)证明：因为平面P4B1平面4BCD,平面PABn平面ABLAD,

4。u平面48cD,所以ADJ.平面尸48,

又PAu平面P48,故4D1P4；

同理因为平面PAD_L平面/BCD,ABIAD,4Bu平面4BCD,

所以4B1平面尸所以4B1P4

又因为42、40是平面4BCD内两相交直线,

所以P21平面4BCD;

(2)以AB、AD、4P所在的直线分别为无轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则8(1,0,0),D(0,2,0),C(l,l,0),设Q((W)(；l>0),

贝U丽=(-1,2,0),CQ=(-1,-1,A),

因为BD〃平面a,BDu平面尸8。，平面PBDCl平面a=EF,所以BD〃EF,

设平面a的法向量为?1=(x,y,z),则nlBD,n1CQ,

zfn-BD=—x+2y=0

H取y=/l,则l=(24,；l,3),

寸(n,CQ=-x—y+zA=0

记/。中点为M,则ACIBM,又24IBM,

所以BM1平面P/C,

则可取平面PAC的法向量为前=(-1,1,0),

由cos。=|cos<nM>|=瓦垢=卷’

解得2=3.

线段的长度为3.

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，平面的夹角，属于中档题.

(1)利用面面垂直的性质得出直线N8,都垂直于尸/,再利用线面垂直的判定定理即可得出结论;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量根据平面的夹角即可求出线段N0的长.

18.【答案】解：由题意可知：圆”的圆心为M(2,l),半径r=5,

(1)设的中点分别为E,F,

则ME_L4B,MF_LCD,且ABICD,

可知EOFM为矩形,则+\MF\2=\0M\2=5,

所以|AB|2+|CD|2=4(r2-|MF|2)+4(r2-|MF|2)=200-4(|ME|2+|MF|2)=180

为定值；

(2)因为点O在圆M内，可知过点。的直线与圆M必相交，

分析可知，当直线N8或CD中有斜率不存在时不满足，

根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线=kx,4(孙力)凤*22)两a%2.

联立方程｛，二生?+⑶―1)2=25,消去＞可得(卜2+i)x2-2(fc+2)X-2O=0,

则5+x2=笔詈,为62=一篇'即(1+4)冷=与署，%好=一含,

消去力可得患除=-笠富，整理可得小=建热，

可知直线CD的斜率不为0,设直线=-ky,。(%373)，。(%4)4)，丫3=4y4，

联立方程｛经客一(y_l)2=25,消去X可得(炉+l)y2+2(2fc-l)y-20=0,

则为+V4=-2(既),y3y4=-磊'

即(1+fi)y4=-2黑;;，nyl=-篇,

消十第币徨4〃(2"_1)2_20(1+〃)2整理可得—E-------5(—+1)

侑去丫4口"寸(H+l)2一H+1'食埋口”寸(1+⑷2-(21)2，

若AC/[BD,则4=〃，可得(i+a)2=(1+〃)2,

即瑞段=碧？，解得仁3或仁一/，

根据对称性不妨取k=3,代入求解，不妨取4(—1,—3),B(2,6),C(-3,1),D(6,-2),

所以直线AC的方程为2x+y+5=0,直线BD的方程为2x+y—10=0.

（或直线AC与直线BD互换）

【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于较难题；

（1）取弦的中点，可得|ME『+