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文档简介
2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考数学试题。
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.椭圆5+卷=1的长轴长为()
A.V7B.3C.2V7D.6
2.在空间直角坐标系。一4/z中,点(1,-2,3)关于>轴的对称点为()
A.(-1-2-3)B.(-1,2-3)C.(-1-2,3)D.(1,2,3)
3.在四棱台4BCD-力IBICIDI中,一定能作为空间向量的一个基底的是()
A.B.{AB,AAi,C-^D
C.[^AB,AiA,A^DD.^AA^,AC,CC^
4.树人中学参加云学联盟数学考试,小明准备将考试分数制作成频率分布直方图,因时间紧未制作完全,
如图,已知考试分数均在区间[65,135]内,记分数的平均数为X,中位数为匕则()
A.X>YB.X=Y
C.X<YD.X,Y的大小关系不能确定
5.动直线Z:(k+2)x—(k-l)y-3=。被定圆。截得的弦长等于2,则圆C的方程为()
A.(%+I)2+(y+1/=1B.(x—I)2+(y—1)2=1
C.(x+l)2+(y+1)2=4D.(x—l)2+(y-1)2=4
6.在平面直角坐标系中,若点4(-2,0)到直线/的距离为1,点B(2,0)到直线/的距离为3,则这样的直线/
有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
7.直线/经过抛物线C:y2=2px(p〉0)的焦点尸,与抛物线C相交于8两点,与j,轴相交于点M.若
FM=3FA,\FB\=5,则|48|=()
AZ5B15c20D35
A.3G.2L.3L>.6
8.点尸是正方体4BCD-4/1的。1的表面及其围成的空间内一点,已知正方体的棱长为2,若
AB-AP=2,/尸与平面4BCD所成的角为30°,则点尸的轨迹的形状是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6
分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.随机事件/,8满足P(4)=0.4,P(B)=0.6,PQ4UB)=O.8,则有()
A.PQ4B)=0.2B.PQ48)=0.24C.A,8不是互斥事件D.A,8相互独立
10.平行六面体力86-4再住1。1所有棱长都等于1,^ArAB=^ArAD=/.BAD=60°,如图,则有()
A.\BDr\=2
B.BDi1CD
C.平面44iCiC1平面8当。1。
D,平行六面体4BCD-a/©/的体积为苧
11.在平面直角坐标系内,动点尸到两定点%(-2,0),&(2,0)的距离之积等于6,点P的轨迹记为曲线C.曲
线。与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于/,8两点,其部分图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.曲线C关于x轴对称,也关于y轴对称B.\OA\-V6
C.当点P位于8点处时,最大D.点P到x轴的最大距离为|
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知4(3,0),5(0,4),直线y=kx+l将△AOB分割成面积相等的两部分(。为坐标原点),则/c=.
13.在直棱柱力BC-A/iCi中,AB=AC=近,BC=4,BB1=2,。为BiQ中点,则直线AD,&C所成
角的余弦值为.
14.双曲线民乌―哈=1的左,右焦点分别为%,尸2,P是双曲线£的右支上的一点,的内切圆圆
心为记△2%/,/的面积分别为Si,S2,则Si-52=.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点离心率e=遮.求双曲线C的方程,及其焦点坐标和渐近
线方程.
16.(本小题15分)
甲乙两人进行答题活动,每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为心答对第2道题的概率为小乙
答对每道题的概率都为称.甲乙答对与否互不影响,各题答对与否也互不影响.
(1)求甲答对一道题的概率;
(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.
17.(本小题15分)
如图,在四棱锥P-HBCD中,平面平面/BCD,平面PAD_L平面NBCD,ABLAD,BC//AD,
AD=2,AB=BC=1,经过点C的平面a与侧棱P4、PB、PD分别相交于点。、E、F,且BD〃平面a.
(1)求证:PAI平面力BCD;
(2)若平面a与平面尸/C的夹角为仇且cos8=^,求线段的长度.
18.(本小题17分)
如图,已知圆M:(x-2)2+0-1)2=25,过坐标原点。作圆M的两条互相垂直的弦48,CD.
(1)求证:\AB\2+|CD12为定值;
(2)当月C〃BD时,求直线NC的方程和直线2。的方程.
19.(本小题17分)
已知直线Z:y=kx+b与圆。:/+必=1相切.
(1)求的值;
(2)己知椭圆E4+9=1在点P3,yo)处的切线方程为竽+等=1,若直线/与椭圆E相交于4,2两
点,分别过/,3作椭圆E的切线,两条切线相交于点Q,求点。的轨迹方程;
(3)是否存在这样的二次曲线F:忒2+〃y2=i,当直线/与曲线尸有两个交点M,N时,总有。MLON?若
存在,求出%+〃的值;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的方程以及性质,属于基础题.
根据椭圆的方程即可求解.
【解答】
解:由已知可得:。2=9,所以a=3,所以椭圆的长轴长为2a=6,
故选D.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中点的对称,属于基础题.
根据一个点关于〉轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变,横坐标和竖坐标变为相反数,求解即可.
【解答】
解:;一个点关于V轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变,横坐标和竖坐标变为相反数,
・••点(1,—2,3)关于y轴对称的点的坐标为(—1,—2,—3),
故选:A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基底,属于基础题.
根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.
【解答】
解:对于四棱台4BCD-A/iCiDi,
/选项中,AB,AD,瓦瓦共面,不符合要求;
5选项中ZB,Ci/可能共线,不符合要求;
。选项中,京,AC,西共面,不符合要求,
故选C.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图,平均数、中位数,属于基础题.
计算出y的值,估计出x的范围,即可判断.
【解答】
解:r=85+^^x10=88,
X>70x0.2+80X0.225+90X0.25+100X0.125+110X0.1+115X0,1=89.5,
故选4
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程,属于基础题.
求出动直线/恒过定点(1,1),即圆的圆心,结合圆半径即可得圆方程.
【解答】
解:动直线/:(k+2)x-(k-l)y-3=0,即k(x-y)+(2x+y—3)=0,
由{戛、]_°3=;,即动直线/恒过定点(1,1),
因为动直线Z:(k+2)x-(fc-l)y-3=0被定圆C截得的弦长等于2,
则定点(1,1)为圆的圆心,半径为1,
故圆C的方程为(乂―1尸+(y—1)2=1,
故选区
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式的运用,属于中档题.
根据点到直线的距离公式分情况即可判断.
【解答】
解:当直线/的斜率不存在时,设其方程为x=a,
由题意可知|a-(―2)|=1且|a—2|=3,则a=-1使得两个式子同时成立.
当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y=kx+6,即依-y+b=0,因为点4(一2,0)到直线/的距离为
1,
\-2k+b\
=1©.
所以JH+(-1)2
因为点B(2,0)到直线/的距离为3,所以jG+(二7=3②.
由父得喘胃=P则°=轨或6="
当b=4/c时,
代入①中,得3k2-1=0,该方程有2个不相等的实数根,即k=±孚;
当b=k时,代入①中,得k2=k2+l,该方程无解.
所以这样的直线/共有3条,
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义,考查抛物线的几何性质,考查抛物线中的线段长问题,属于基础题.
根据抛物线的几何性质得出以知=?,根据已知条件得出必=舄利用抛物线的定义得出P,再利用抛物
线的定义即可得出结论.
【解答】
解:设4(右,%0,8(函月?),
抛物线的焦点F&0),直线AB的方程为x=my+
由卜2一7+名消去x得,y2-2pmy-p2=0,
(片=2px
贝1Jy4yB=",
则有以独=。蠹"=
由于前=3FA,'FA=(XA-^,%),前=(-?._%),
所以心=(则=当,
所以|FB|=切+"当+*==5,所以P=4,
故|4B|=\BF\+\AF\=xA+xB+p=^-,
故选4
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数量积的坐标运算,直线与平面所成角的向量求法,轨迹方程的求法,属于中档题.
由A8-4P=2可得,x-1,由cos(4P,44。=|>可得3z2-y2=1,故可判断点尸的轨迹的形状.
【解答】
解:分别以N5,AD,441所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
设P(x,y,z),由屈・而=2,可得X=1,①
又cos(而,京)=舅枭=",
可得3z2—产=1,②
由①②可知,尸点轨迹为双曲线,
故选C.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件,属于中档题.
利用PQ4U8)=PQ4)+P(B)-P(48),求出P(48),再对各选项逐项判定,即可求出结果.
【解答】
解:由PQ4UB)=P(4)+P(8)—PQ4B)=0.4+0.6—P(4B)=0.8,
得PQ4B)=0.2,故/正确,2错误;
因为P(4B)=0.2K0,所以N,8不是互斥事件,故C正确;
因为P(4B)=0.2RP(4)P(B)=04x0.6=0.24,所以/,8不是相互独立事件,故。错误.
故选2U
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用向量求线段的长,利用向量判断线线,面面垂直,柱体的体积,属于中档题.
利用向量对选项逐个计算即可判断.
【解答】
解:对于选项由|西j=I瓦?+前+西>1=J(BA+AD+~DD[y=Vl+1+1-1-1+1=V2>所以
A错误;
对于选项8,~BDi-CD=(BA+AD+DD^)-CD=所以8正确;
对于选项C,丽•痂=(前一同)•京=0,.-.BDlAAi,又BD1AC,AA1CiAC=A,44i,4Cu平面
A41C1C,所以平面44忑修,所以平面441cle,平面故C正确;
由题易知,4-4BD为正四面体,其体积为匕)=9乎.乎=皆
3431Z
所以平行六面体的体积为U=6%=6*吾=苧,故。正确,
故选BCD.
n.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程,利用方程研究曲线的性质,属于较难题.
对于/,分别以-X代X,以-y代修即可判断;对于8,令y=o即可判断;对于c,利用余弦定理和基本
不等式即可判断;对于。,利用三角形的面积公式即可判断.
【解答】
解:设P(x,y),由|PFi|,|PFzl=6,可得,(久+2/+产,J0一2y+92=6,
对于/,由曲线方程可知,将-x代替x,方程不变;将-y代替力方程不变,故/对;
对于8,令y=0,解得|%-2|•|x+2|=6,即*2=10,故8错;
对于C,设用止尸2=仇由余弦定理,有cos。=用;寿俳广221;假;甑J=一、当且仅当
|PFil=|PF2l时等号成立,故C对;
112
对于。,仍设立尸止尸2=方由如%尸2的面积S可知sJ|PFi||PF2|sin8=||FiF2||yp|,|yP|=|sin0,
Wpl最大时为]此时8=90°小于乙38&,故。对.
故选4CD
12.【答案】1
6
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程,斜截式方程,直线过定点问题,属于较易题.
易知直线丫=依+1经过点。(0,1),利用△BCD的面积为aAOB的面积的一半,求出点C的横坐标,由点
C在直线上,求出点C的纵坐标,再由直线y=kx+l过点C,即可求出%的值.
【解答】
解:直线y=kx+1经过定点。(0,1),设直线y=kx+1与线段48相交于点C,
SABCD=~2S/X40B='x久CX3=3,久c=2,
易知直线45的方程为卷+1=1,・•・由点。在直线45上,可得yc=*
・,・直线y=kx+1过点(2)),・•.fc=1,
故答案为点
6
13.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的向量求法,属于基础题.
建立空间直角坐标系,利用向量法即可求解.
【解答】
解:取3c的中点O,连接NO,DO,因为4B=4C,
所以491BC,以。为坐标原点,。/为x轴,OC为),轴,。。为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为BC=4,AB=AC=近,所以。4=V^,
则①(e0,2),B(0-2,0),C(020),D(0,0,2),
所以布=(一①2,-2),丽=(0,2,2),
所以砧•丽=0+4-4=0,
则直线力1C与8。垂直,即直线AD,41c所成角的余弦值为0,
故答案为0.
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查双曲线与三角形相结合设题,双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质,属于中
档题.
由已知求出S1=5|P%|,S2=^\PF2\,作差得到SI—S2=5(|P%|—|PF2l)=ar,进一步求厂和a,即可解
决问题.
【解答】
解:由题设内切圆的半径为,,则S1=]|P%|,52=2上尸2|,
S1—S2=^(\PFr\-\PF2\)=ar.
过点M作MAIP%于点/,MB1F1&于点2,MC1PF2于点C,
则由△的内切圆圆心为1(1,2),知r=2,
故
\AF1\=\BF1\=l+c,\BF2\=\CF2\=C-1,\AP\=\PC\,
|PFI|-|PF2|=\AFr\-\CF2\=1+c-(c-l)=2a,得a=1,
故S]—S2=2.
故答案为2.
15.【答案】解:因为双曲线离心率e=?=亚贝哈=但=值二1=也
aa7a2
即b=V2afc—V3d.
若焦点在X轴上,则双曲线方程为与一龙=1,
a22a2
代入点P(l,l)可得4-与=1,解得a?=
CL乙乙
所以双曲线方程为2/-*=1,焦点坐标为(士孚,o),渐近线方程为y=±四居
若焦点在>轴上,则双曲线方程为《—蔡=1,
代入点P(L1)可得小一与=1,解得。2=最
CL乙Cv乙
所以双曲线方程为2y2一/=1,焦点坐标为(0,土乎),渐近线方程为y=±乎x.
【解析】本题考查双曲线的方程与性质,属于基础题.
根据离心率可得6=四口,c=ga.分类讨论焦点所在位置,设双曲线方程代入点P(l,l)求得a,即可得结
果.
71
16.【答案】解:⑴记甲答对第i题为事件E4i=l,2),贝i]P(Ei)=奈0(&)=!
记甲答对,道题为事件40=0,1,2),贝必1=£1砺+成石2,
其中EiW与瑁&互斥,力,&相互独立,
71211
所以甲答对一道题的概率为PQ41)=P(E1五)+P(FZ£2)=^X1+^X|=1;
(2)记乙答对,道题为事件=0,1,2),
Q1Q1717
W0)=-x-=-,P^=-,P^=-x-=-.
n/n、224n/n、c3212“n、339
^(Bo)=^x-=—,P(B1)=2x-x-=—,P(B2)=-X-=—.
记甲乙两人答对题数相等为事件C,则C=A0B0+A1B1+A2B2,
且人员、4隹1、两两互斥,4与=0,1,2)相互独立,
341127939
P(C)=PQ4。%)+P(OBi)+P(7l2F2)=-x-+-x-+^-x-=^-.
【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式,属于中档题.
(1)对甲答对一道题分类:第1题答对且第2题答错,第1题答错且第2题答对;
(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类:两人都答对。题,都答对1题,都答对2题.
17.【答案】解:(1)证明:因为平面P4B1平面4BCD,平面PABn平面ABLAD,
4。u平面48cD,所以ADJ.平面尸48,
又PAu平面P48,故4D1P4;
同理因为平面PAD_L平面/BCD,ABIAD,4Bu平面4BCD,
所以4B1平面尸所以4B1P4
又因为42、40是平面4BCD内两相交直线,
所以P21平面4BCD;
(2)以AB、AD、4P所在的直线分别为无轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则8(1,0,0),D(0,2,0),C(l,l,0),设Q((W)(;l>0),
贝U丽=(-1,2,0),CQ=(-1,-1,A),
因为BD〃平面a,BDu平面尸8。,平面PBDCl平面a=EF,所以BD〃EF,
设平面a的法向量为?1=(x,y,z),则nlBD,n1CQ,
zfn-BD=—x+2y=0
H取y=/l,则l=(24,;l,3),
寸(n,CQ=-x—y+zA=0
记/。中点为M,则ACIBM,又24IBM,
所以BM1平面P/C,
则可取平面PAC的法向量为前=(-1,1,0),
由cos。=|cos<nM>|=瓦垢=卷’
解得2=3.
线段的长度为3.
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定,平面的夹角,属于中档题.
(1)利用面面垂直的性质得出直线N8,都垂直于尸/,再利用线面垂直的判定定理即可得出结论;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量根据平面的夹角即可求出线段N0的长.
18.【答案】解:由题意可知:圆”的圆心为M(2,l),半径r=5,
(1)设的中点分别为E,F,
则ME_L4B,MF_LCD,且ABICD,
可知EOFM为矩形,则+\MF\2=\0M\2=5,
所以|AB|2+|CD|2=4(r2-|MF|2)+4(r2-|MF|2)=200-4(|ME|2+|MF|2)=180
为定值;
(2)因为点O在圆M内,可知过点。的直线与圆M必相交,
分析可知,当直线N8或CD中有斜率不存在时不满足,
根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在,设直线=kx,4(孙力)凤*22)两a%2.
联立方程{,二生?+⑶―1)2=25,消去>可得(卜2+i)x2-2(fc+2)X-2O=0,
则5+x2=笔詈,为62=一篇'即(1+4)冷=与署,%好=一含,
消去力可得患除=-笠富,整理可得小=建热,
可知直线CD的斜率不为0,设直线=-ky,。(%373),。(%4)4),丫3=4y4,
联立方程{经客一(y_l)2=25,消去X可得(炉+l)y2+2(2fc-l)y-20=0,
则为+V4=-2(既),y3y4=-磊'
即(1+fi)y4=-2黑;;,nyl=-篇,
消十第币徨4〃(2"_1)2_20(1+〃)2整理可得—E-------5(—+1)
侑去丫4口"寸(H+l)2一H+1'食埋口”寸(1+⑷2-(21)2,
若AC/[BD,则4=〃,可得(i+a)2=(1+〃)2,
即瑞段=碧?,解得仁3或仁一/,
根据对称性不妨取k=3,代入求解,不妨取4(—1,—3),B(2,6),C(-3,1),D(6,-2),
所以直线AC的方程为2x+y+5=0,直线BD的方程为2x+y—10=0.
(或直线AC与直线BD互换)
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用,属于较难题;
(1)取弦的中点,可得|ME『+
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