高考数学二轮复习专练：集合与常用逻辑用语【七大题型】

专题1.1集合与常用逻辑用语【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1集合中元素个数问题】...................................................................10

【题型2子集的个数问题】.......................................................................12

【题型3集合的交、并、补集运算】...............................................................13

【题型4集合中的含参问题】.....................................................................14

【题型5集合的新定义问题】.....................................................................15

【题型6充分条件与必要条件】...................................................................16

【题型7全称量词与存在量词命题】...............................................................18

►命题规律

1、集合

集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查

集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。

2、常用逻辑用语

常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以

及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少

单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”，考生复习

时需多注意加强这方面练习。

►知识梳理

【知识点1集合】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号w或阵表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：若对于任意的xGA都有xGB,则AG8；

(2)真子集：若且贝。A星&

(3)相等：若且则4=2；

(4)。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

表示

鱼4五一

文字语言朱口出口图形语言记法

运

属于A且属于B的所有元素组

交集{x\x^A,且工£团

成的集合

属于A或属于8的元素组成的

并集[x\x^A,或工£团AUB

集合

全集U中不属于A的元素组成

补集的集合称为集合A相对于集合{x\x^U,xiA}U0CL/A

U的补集

【知识点2常用逻辑用语】

1.充分条件与必要条件

命题真假“若p,则q”是真命题”若P，则4"是假命题

由条件P不能推出结论4,

推出关系及由p通过推理可得出分

符号表示记作：p=>q记作：p令q

〃是〃的充分条件:不是4的充分条件

条件关系

q是p的必要条件q不是〃的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

2.充要条件

如果“若p,则q和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有p=q,又有q=p,记作此

时〃既是q的充分条件，也是q的必要条件.我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pOq,那么p与q互为充要条件.

3.全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号V

全称量词

含有全称量词的命题

命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立"，可用符号简记为

形式

“VxUM,还“

4.存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示3

存在量词

含有存在量词的命题

命题

“存在M中的一个x,使p（x）成立"可用符号简记为

形式

5.全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）全称量词命题p：p（x）的否定：Y（X）;全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题〃：3x^M,p（x）的否定：yY（X）；存在量词命题的否定是全称量词命题.

►举一反三

【题型1集合中元素个数问题】

[例1]（2023•河南郑州•统考模拟预测）已知集合P=（n\n=2k-l,keN^,k<10},Q={2,3,5},则集

合T=（xy\xEP,yeQ}中元素的个数为（）

A.30B.28C.26D.24

【变式1-1]（2023上•辽宁大连•高一校考阶段练习）已知4是由0,m,爪2—3爪+2三个元素组成的集合,

且2€4,则实数m为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【变式1-2]（2022上.河南商丘•高一校考阶段练习）已知集合4={x|a%2一3x+2=0}的元素只有一个，则实

数a的值为（）

A.：B.0C.:或0D.无解

【变式1-3]（2023•河北•河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，S,TQU且各有14,28个元

素，则CSUT（SCT）的元素个数最少是（）

A.14B.30C.32D.42

【题型2子集的个数问题】

【例2】（2023・河南・校联考二模）集合4={01<：—1<3,%6%}的子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【变式2-1]（2023・山东•校联考模拟预测）满足条件{2,3}[4={1,2,3,4}的集合4有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【变式2-2］（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知集合4={a,b}的所有非空子集的元素之和等于12,则

a+b等于（）

A.1B.3C.4D.6

【变式2-3](2023・湖南•校联考模拟预测)设集合4={的,a2，。3，口4}，若A的所有三元子集的三个元素之

和组成的集合为8=[-1,3,5,8),则集合4=()

A.{-1,3,5,8}B.{-3,0,2,6}C.[4,8,10,13}D.{7,10,12,16}

【题型3集合的交、并、补集运算】

【例3】(2023.全国.模拟预测)已知集合4={划-3cxW4},B=>一1},则4cB=()

A.(—1,4]B.[—1,4)C.(—3,—1)D.(—3,—1]

【变式3-1](2023.四川遂宁.统考模拟预测)设集合4={x\x-1<1},集合B={x\x>-1},则2UB=()

A.(-00,-1]u[2,+oo)B.[-1,2]C.RD.0

【变式3-2](2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测)已知全集(/={%€^!|0<久<6},集合

A={1,2,3,4},B={1,3,5},则CuQ4US)=()

A.{6}B.{1,6}C.[2,4,5,6}D.[1,2,4,5,6}

【变式3-3](2023下•河南新乡•高二统考期末)设全集U=R,集合M={x\x>—1},N={x\-2<x<3},

则{久|x<-2]=()

A.Cu(MClN)B.Cu(MUN)

C.Mn(CuN)D.NU(CUM)

【题型4集合中的含参问题】

[例4](2023•陕西咸阳•武功县校考模拟预测)已知集合力={x|-1<%<4],B=(x\x-2a<0},若4n

B=0,则实数a的取值范围为()

A.{a[a>]B.{a|a(一非C.{a|aW-：}D.{a|a<0}

【变式4-1](2023•吉林・统考模拟预测)已知集合2=口€岫|划<2},8={"(1刀—1=0},若8A,贝U

实数a=()

A.号或1B.0或1C.1D.|

【变式4-2X2023・江苏镇江•扬中市校考模拟预测)若集合4=[x\2a+1<%<3a-5},B={x|5<%<16},

则能使4£B成立的所有a组成的集合为()

A.{a\2<a<7}B.{a|6<a<7}C.{a\a<7}D.{a\a<6}

【变式4-3］（2023・江苏无锡・江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合A={%eZ|-l<x<3］,5={x|3x一

a<0},且4n（CRB）={1,2},则a的取值范围为（）

A.(0,4)B.(0,4]C.(0,3]D.(0,3)

【题型5集合的新定义问题】

[例5](2023・湖南•校联考模拟预测)定义集合A^B=[z\z=^,xEA,yeB].已知集合4={4,8},B=

{1,2,4},则A+8的元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【变式5-1］（2023•全国•本溪高中校联考模拟预测）对于集合A,B,定义集合4-B={x|xe4且％WB},

已知集合U={x|-3<x<7,xeZ},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},则Cu（E—尸）=（）

A.{-2,0,1,3,15}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

【变式5-2］（2023•全国•校联考三模）如图所示的Venn图中，力、B是非空集合，定义集合4区B为阴影部

分表示的集合.若4={用久=2n+1,几eN,几W4},8={2,3,4,5,6,7},则2区B=（）

A.{2,4,6,1}B.{2,4,6,9}C.{234,5,6,7}D.{1,2,4,6,9}

【变式5-3］（2023.安徽蚌埠・统考二模）对于数集4B,定义4+B={x|x=a+瓦a64beB},4+B=

{x\x=l，aEA,bEB）,若集合4={1,2},则集合（4+4）+4中所有元素之和为（）

【题型6充分条件与必要条件】

［例6］（2023•山东德州•德州市校联考模拟预测）若a>0,则“a?<产，是"<_"，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式6-1］（2023•山西吕梁・统考二模）己知命题p：VxG［-4,2］,|x2-a>0,贝如为真命题的一个充分

不必要条件是（）

A.a<—2B.a<0C.a<8D.a<16

【变式6-2］（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知集合2={幻/一4=0},B={x\ax-2=0},

若xe4是xGB的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（）

A.{一1,0,1}B.{-1,1}C.{1}D.{-1}

【变式6-3]（2023•江苏南京•南京校考模拟预测）设A,B,C,。是四个命题，若A是2的必要不充分条

件，A是C的充分不必要条件，。是B的充分必要条件，则。是。的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【题型7全称量词与存在量词命题】

【例7】（2023•全国•模拟预测）已知命题p:VxeR,sinx+V5cosxW1,则-ip为（）

A.3xeR,sinx+V3cosx<1B.3xER,sinx+V3cosx>1

C.BxeR,sinx+V3cosx>1D.XfxG.7?,sinx+V3cosx>1

【变式7-1]（2023•河北•模拟预测）命题p：Vx>1,Vx+2x-3>0,命题q：3xGR,2x2-4x+3=0,

则（）

A.p真q真B.p假q假C.p假q真D.p真q假

【变式7-2]（2022上•广西柳州•高二校考学业考试）已知命题P的否定为Fx£R,x2+l<1”,则下列说法

中正确的是（）

A.命题P为“mxGR,x2+1>1”且为真命题

B.命题P为“VxgR,x2+1>1”且为假命题

C.命题P为“VxeR,x2+1>1”且为假命题

D.命题P为“mx£R,久2+1>1”且为真命题

【变式7-3]（2022上•河南•高三校联考阶段练习）已知命题p:Vx€R,x2+l>a,若「p为真命题，则a

的取值范围是（）

A.（-oo.l）B.（-co,1]C.（l,+oo）D.[l,+oo）

►直击真题

1.(2023・北京・统考高考真题)已知集合”={幻比+220},N={比戊―1<0},则MCN=()

A.{%|-2<%<1}B.{x|-2<%<1]

C.{x}x>—2}D.{x\x<1}

2.(2023•全国•统考高考真题)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUQUN=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.[1,2,4,6,8}D.U

3.(2022•浙江•统考高考真题)设集合4={1,2},B={2,4,6},则4UB=()

A.{2}B.{1,2}C.[2,4,6}D.{1,2,4,6}

4.（2023•全国.统考高考真题）设集合U=R,集合M=[x\x<1],N=[x\-1<x<2},则{x|x>2}=（

A.Cu（MUN）B.NUCUM

C.Cu（MCiN）D.MUgN

5.（2023・天津・统考高考真题）已知集合U={1,234,5},A={1,3},B={1,2,4},则QBUX=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}C.[1,2,4}D.{1,2,4,5}

6.（2023.全国•统考高考真题）设集合4={0,—a},B={1,a-2,2a-2},若4CB,则a=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

7.（2023・天津•统考高考真题）"a?=b2,,^a2+b2=2a6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

8.（2023•北京・统考高考真题）若孙大0,贝「久+y=0”是（+：=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

专题1.1集合与常用逻辑用语【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1集合中元素个数问题】...................................................................10

【题型2子集的个数问题】.......................................................................12

【题型3集合的交、并、补集运算】..............................................................13

【题型4集合中的含参问题】.....................................................................14

【题型5集合的新定义问题】.....................................................................15

【题型6充分条件与必要条件】...................................................................16

【题型7全称量词与存在量词命题】...............................................................18

►命题规律

1、集合

集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查

集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。

2、常用逻辑用语

常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以

及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少

单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”，考生复习

时需多注意加强这方面练习。

►知识梳理

【知识点1集合】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号e或(表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：若对于任意的xGA都有xdg,则4U&

(2)真子集：若且AWB,贝麋&

(3)相等：若AUB,且2UA,则4=8；

(4)。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

表示

文字语言集合语言图形语言记法

运

属于A且属于B的所有元素组

交集{x\x^A,且工£团AnB

成的集合

属于A或属于B的元素组成的

并集{x\x^A,或x£5}AUB

集合

全集U中不属于A的元素组成

补集的集合称为集合A相对于集合[x\x^U,x阵A}u0

U的补集

【知识点2常用逻辑用语】

1.充分条件与必要条件

命题真假“若p,则q”是真命题”若P，则4”是假命题

由条件P不能推出结论4,

推出关系及由p通过推理可得出q,

符号表示记作：p=>q记作：p书q

♦是。的充分条件♦不是、的充分条件

条件关系

q是p的必要条件q不是P的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

2.充要条件

如果“若p,则q"和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有p=q,又有q=p,记作此

时p既是q的充分条件，也是q的必要条件.我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.

如果p是4的充要条件，那么q也是"的充要条件，即如果那么p与q互为充要条件.

3.全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号V

全称量词

含有全称量词的命题

命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立"，可用符号简记为

形式

弋XGM,返“

4.存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示3

存在量词

含有存在量词的命题

命题

“存在M中的一个x,使p(x)成立"可用符号简记为

形式

5.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题p：p(x)的否定：Y(X)；全称量词命题的否定是存在量词命题.

(2)存在量词命题p：3x^M,p(x)的否定：yY(X);存在量词命题的否定是全称量词命题.

►举一反三

【题型1集合中元素个数问题】

【例1】(2023•河南关B州•统考模拟预测)已知集合P=(n\n=2k-l,keN*,k<10},Q={2,3,5},则集

合r={xy\xeP,yeQ}中元素的个数为()

A.30B.28C.26D.24

【解题思路】根据题意得到P=[1,3,5,7,9,11,13,15,17,19),再结合T=(xy\xEP,yEQ}求解即可.

【解答过程】P={n\n=2k-l,keN*,k<10]={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},Q={2,3,5},

因为T={xy\xEP,yeQ},

当％6。,丫=2时，Ky为偶数，共有10个元素.

当x&P,y-3时，xy为奇数，

止匕时xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10个元素.

当尤eP,y=5时，xy为奇数，

此时盯=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重复数字15,45,去掉,共有8个元素.

综上7={xy\xGP,yEQ}中元素的个数为10+10+8=28个.

故选：B.

【变式1-1](2023上•辽宁大连•高一校考阶段练习)已知2是由0,m,爪？—3^+2三个元素组成的集合,

且2€4,则实数加为()

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【解题思路】由2eA,可得m=2或血2-3m+2=2,解方程求小，再去验证是否符合集合中元素性质即可.

【解答过程】因为集合力是由0,m,62-3ni+2三个元素组成的集合，

所以力={0,m,m2—3m+2],又2EA,

所以m=2或62—3m+2=2,解方程可得m=2或m=。或m=3,

当爪=2时，A=[0,2},与已知矛盾，舍去；

当爪=0时，A={0,2},与已知矛盾，舍去；

当m=3时，A-{0,3,2},满足题意，[m=3,B正确，

故选：B.

【变式1-2]（2022上•河南商丘•高一校考阶段练习）已知集合4={x|a/一3x+2=0}的元素只有一个，则实

数。的值为（）

A.1B.0C..或0D.无解

【解题思路】集合A有一个元素，即方程a/—3%+2=0有一解，分a=0,a^O两种情况讨论，即可得解.

【解答过程】集合A有一个元素，即方程a——3久+2=0有一解，

当a=0时，/l={x|ax2-3x+2=0]={x|—3x+2=0]=^|j,符合题意，

当存0时，a久2-3x+2=0有一解，

贝必=9-8a=0,解得：a=g,

综上可得：Q=0或

故选：C.

【变式1-3]（2023・河北・河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，S,TQU且各有14,28个元

素，则CSUT（SCT）的元素个数最少是（）

A.14B.30C.32D.42

【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.

【解答过程】设Sn7=中有x个元素，贝WxW14,xeN,

所以SUT中的元素个数为14+28—久=42—无，因此CSUT（SnT）中的元素个数为SUT中的元素减去SnT

中的元素个数，即为42-x-％=42-2%，

由于0WxW14,xeN,所以42-2xe[14,42],故当％=14时，有最小值14

故选：A.

【题型2子集的个数问题】

【例2】（2023・河南・校联考二模）集合力={幻1<；—1<3,%6%}的子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【解题思路】解不等式可求得集合4由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可.

【解答过程】A={x|l<|-1<3,%6N}={x|4<x<8,xEN}={5,6,7},

集合a的子集个数为23=8.

故选：D.

【变式2-1]（2023・山东•校联考模拟预测）满足条件{2,3}c/ic{1,2,3,4}的集合4有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【解题思路】根据子集的定义即可得解.

【解答过程】解：：{2,3}exc{1,2,3,4},

=口,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3},共4个.

故选：C.

【变式2-2]（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知集合4={a,b}的所有非空子集的元素之和等于12,则

a+b等于（）

A.1B.3C.4D.6

【解题思路】首先列出集合a的非空子集，即可得到方程，解得即可.

【解答过程】解：集合4={a,与的非空子集有{a}、{b}、[a,b},

所以a+b+a+6=12,

解得a+b=6.

故选：D.

【变式2-3]（2023・湖南•校联考模拟预测）设集合4={的,口2，。3，。4}，若4的所有三元子集的三个元素之

和组成的集合为B={—1,3,5,8},则集合4=（）

A.{-1,3,5,8}B.{-3,0,2,6}C.{4,8,10,13}D.[7,10,12,16]

。1+。2+=-1

?,即可得解.

Q1十。3十。4—3

（。2+。3+。4=8

【解答过程】不妨设的<a2<a3<a4,

则A的所有三元子集为{。1，a2,a3},{alfa2>a4},{alta3fa4},[a2,a3>a4},

6Z]+U，2+03=—1=_3

解彳。2=°

由题意可得，=3

+(Z3+。4=5।。3=2

。2+。3+。4=8(%=6

因此集合2={-3,0,2,61.

故选：B.

【题型3集合的交、并、补集运算】

【例3】(2023・全国・模拟预测)已知集合4={划一3<%工4},8={幻%>-1},则2。3=()

A.(—1,4]B.[—1,4)C.(—3,—1)D.(—3,—1]

【解题思路】根据交集概念进行计算.

【解答过程】因为4={x|-3<%<4],B={x\x>-1},

所以4cB=(-1,4].

故选：A.

【变式3-1](2023・四川遂宁•统考模拟预测)设集合A={x|x-1<1},集合B={x\x>-1},则4UB=()

A.(-00,-1]U[2,+00)B.[-1,2]C.RD.0

【解题思路】利用并集定义即可求得4UB.

【解答过程】A={x|x-1<1}={x\x<2),

则4UB={x\x<2}U{x\x>—1]=R

故选：C.

【变式3-2](2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测)己知全集U={xeN|0<x<6},集合

4={1,2,3,4},B={1,3,5},则CuG4uB)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,4,5,6}D.{1,2,4,5,6}

【解题思路】根据集合的并集运算求得AUB,再根据补集的定义即可求得答案.

【解答过程】由题意知U={1,2,3,4,5,6},AU5={1,2,3,4,5),

所以Cu(auB)={6},

故选：A.

【变式3-3](2023下•河南新乡•高二统考期末)设全集U=R,集合M={x|x>—1},N={x\-2<%<3},

则{久|久<-2]=()

A.Cu(MCiN)B.Cu(MuN)

C.Mn(CuN)D.NU(CM

【解题思路】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.

【解答过程】由题意可得MnN={x|-l<x<3},"UN={划一2<%),

C(/M={x\x<-1},CyN=[x\x<-2或x>3),

对于A,CuCMCN)=[x]xW-1或x23},故A错误，

对于B,Cu(MuN)={x|xW—2},故B正确，

对于C,Mn(Cu^V)={x\x>3),故C错误，

对于D,NU(CWM)=(x\x<3},故D错误，

故选：B.

【题型4集合中的含参问题】

[例4](2023・陕西咸阳•武功县校考模拟预测)已知集合4={用—1<尤<4},B=(x\x-2a<0},若An

B=0,则实数a的取值范围为()

A.{a|a>5}B.{a[a<——C.{a[a<——D.{a|a<0}

【解题思路】先求出集合8,再利用4nB=0可得实数a的取值范围.

【解答过程】由x-2a<0,得x<2a,所以B={x|x<2a},

因为力CiB=0,所以2aW-l,故aW-3

故选：C.

【变式4-1](2023•吉林•统考模拟预测)已知集合4={xeN||x|<2},8={"ax—1=0},若BA,贝U

实数a=()

A.；或1B.0或1C.1D.I

【解题思路】先求得合A={0,1},再分a=0和aKO,两种情况讨论，结合题意，即可求解.

【解答过程】解:由集合4={xeN*||x|<2)={0,1},

对于方程ax—1=0,

当a=0时，此时方程无解，可得集合B=0,满足B4；

当a=#0时，解得x=工，要使得8A,则满足工=1,可得a=l,

aa

所以实数a的值为。或1.

故选：B.

【变式4-2](2023.江苏镇江.扬中市校考模拟预测)若集合2={x\2a+1<x<3a-5},B={x|5<x<16},

则能使力UB成立的所有a组成的集合为()

A.{a\2<a<7}B.[a|6<a<7}C.{a\a<7}D.{a\a<6}

【解题思路】考虑a=。和a*。两种情况,得到不等式组，解得答案.

【解答过程】当4=0时，即2a+1>3a—5,a<6时成立；

2ci+1<3a—5

当4牛。时，满足3a-5<16，解得6<a<7;

2a+1>5

综上所述:a<7.

故选:C.

【变式4-3]（2023•江苏无锡•江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合4={xGZ|-l<x<3},B=（x\3x-

a<0},且4n（CRB）={1,2},则a的取值范围为（）

A.（0,4）B.（0,4]C.（0,3]D.（0,3）

【解题思路】先求得4=[0,1,2},B=（x\x<",得到CRB=[x\x>g,结合题意得到不等式0<gW1，即

可求解.

【解答过程】由集合4={xeZ|-1<%<3）={0,1,2},B=（x\3x-a<0}={x\x<g},

可得CRB={X|K2g,

因为力n（CRB）={1,2},所以0<gwl,解得0<aW3,即实数a的取值范围是（0,3].

故选：C.

【题型5集合的新定义问题】

[例5]（2023・湖南•校联考模拟预测）定义集合4^B=[z\z=^lxEA,yeB].已知集合4={4,8},B=

{1,2,4},则4+B的元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】根据题中条件，直接进行计算即可.

【解答过程】因为4={4,8},B={1,2,41,

所以4+B={1,2,4,8},故4+B的元素的个数为4.

故选：B.

【变式5-1]（2023.全国.本溪高中校联考模拟预测）对于集合A,B,定义集合4-B={x|x64且x任B},

已知集合U={x|-3<x<7,xGZ},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},则Q（E—尸）=（）

A.{-2,0,1,3,15}B.{0,l,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

【解题思路】结合新定义可知E-F={-1,2,6},求得U,进而根据补集的定义求解即可.

【解答过程】结合新定义可知E-F={一1,2,6},又U={-2,-1,0,1,2,3,456},

所以Cu(E-F)={-2,0,1,3,4,5).

故选：A.

【变式5-2](2023•全国•校联考三模)如图所示的Venn图中，4B是非空集合，定义集合力08为阴影部

分表示的集合.若4={x|x=2n+l,neN,nW4},B={2,3,4,5,6,7),则4便)B=()

A.{2,4,6,1}B.{2,4,6,9}C.{2,3,4,5,6,7}D.{1,2,4,6,9}

【解题思路】分析可知A®B={x\xG(XuB),%e(XnB)},求出集合4AUB.AHB,即可得集合40B.

【解答过程】由韦恩图可知，A0B={x\x6(71UB),x(?1n5)),

因为4={x\x=2n+l,nGJV,n＜4}={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},

贝UB={1,2,3,4,5,6,7,9},ACtB={3,5,7},因此,A®B={1,2,4,6,9).

故选：D.

【变式5-3](2023•安徽蚌埠・统考二模)对于数集48,定义力+8==a+瓦a64beB},4+B=

{x\x=1，aeA,b&B),若集合4={1,2},则集合(A+4)+2中所有元素之和为()

A.-B.-C.-D.-

2222

【解题思路】由题意，理解新定义，可得(4+4)={2,3,4},通过4+8的集定义与集合运算即可得出结

论.

【解答过程】试题分析：根据新定义，数集4,B,定义2+B=(x\x-a+b,aeA,bEB},A+8={x\x=

%a&A.b&B'),集合4={1,2},(4+4)={2,3,4),(4+4)+4={1,2,3,4,1.5},则可知所有

元素的和为11.5,

故选：D.

【题型6充分条件与必要条件】

[例6](2023•山东德州•德州市校联考模拟预测)若a〉0,则“a?＜产，是，＜_"，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】举出反例得到充分性不成立，a<两边平方得到必要性成立.

【解答过程】若a=1,6=2,满足a?<b2,不能得到a<—b,充分性不成立，

因为a>0,若0<a<—6,两边平方得。2<〃，必要性成立.

则“a?<炉”是“a<-匕”的必要不充分条件.

故选:B.

【变式6-1］（2023•山西吕梁・统考二模）己知命题p：V%e［-4,2］,|x2-a>0,则p为真命题的一个充分

不必要条件是（）

A.a<—2B.a<0C.a<8D.a<16

【解题思路】先分离参数求出a的取值范围，贝物为真命题的一个充分不必要条件应该是（-8,0］的一个真子

集，即可得出答案.

【解答过程】由题设命题为真，即a<|/在％6［-4,2］上恒成立，

所以a<=0,

\2,min

则P为真命题的一个充分不必要条件应该是（-8,0］的一个真子集，

故选：A.

【变式6-2］（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知集合4={x|%2一4=。},B={x\ax-2=0},

若xG4是xG8的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（）

A.{-1,0,1}B.{-1,1}C.{1}D.{-1}

【解题思路】由题意，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可.

【解答过程】由题，A=［-2,2},BA,

当B=0时，有a=0,符合题意；

当BK0时，有。彳0,此时B=所以2=2或2=-2,所以a=±l.

iaJaa

综上，实数a的所有可能的取值组成的集合为{-1,0,1}.

故选：A.

【变式6-3］（2023•江苏南京•南京校考模拟预测）设A,B,C,。是四个命题，若4是3的必要不充分条

件，A是C的充分不必要条件，。是8的充分必要条件，则。是C的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件