高考数学一轮复习题型讲义：函数的奇偶性、对称性和周期性（含解析）

高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)

函数的奇偶性、周期性和对称性(精讲)

考点归纳

①函数的奇偶性及其应用

②函数的周期性

③函数的对称性

★④函数性质的综合应用

、必备知识整合

一、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数“X)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=/(X),

偶函数关于y轴对称

那么函数/(X)就叫做偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

那么函数“X)就叫做奇函数

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

二、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称.

⑵若函数y=〃x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(0,0)对称.

(3)若/(x)=/(2a-x),则函数/(x)关于x=a对称.

(4)若/(x)+/(2(7-x)=26,则函数/(x)关于点(a,6)对称.

三、函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有

/(x+T)=/(%),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数/(%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(x)

的最小正周期.

常用结论

1.奇偶性技巧

(1)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

(2)对于运算函数有如下结论：

①奇土奇=奇；

②偶土偶=偶；

③奇±偶=非奇非偶；

④奇乂(一)奇=偶；

⑤奇X(4-)偶=奇；

⑥偶X(+)偶=偶.

(3)常见奇偶性函数模型

奇函数：

a

①函数或函数f(x)=m(S.

a-1a+1

②函数/(x)=±⑷一/).

③函数/(x)=logfl叶依=bg0(1+用。)或函数/(x)=log“三士=log。(1一-如-)

x-mx-mx+mx+m

2

④函数/(X)=10ga(Jx2+1+%)或函数f(x)=10gfl(V%+1-%).

注意：关于①式，可以写成函数〃x)=7"+0L(XHO)或函数〃x)=m-用L(meR).

a-1。+1

偶函数：

①函数/0)=±(优+°7).

②函数/(x)=bg0(*+D-等.

③函数〃［刘)类型的一切函数.

2.周期性技巧

函数式满足关系(D周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

〃=』;〃-上

x+7)x+7)=2T

〃x)f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(X-T)4T

\f{a+x)=f{a-x)

2(b-a)

\f(b+x)=f(b-x)

[f{a+x)=f{a-x)

2a

[/(x)为偶函数

{f{a+x)=-f{a-x)

2(b-a)

f(b+^=-f(b-x)

f(a+x)=-/(a-x)

2a

〃x)为奇函数

f{a+x)=f{a-x)

4(6-d)

f(b+x)=-f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

1/(x)为奇函数4。

f(a+x)=-f(a-x)

4。

/(x)为偶函数

3.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且7=2。-°)；

(2)若函数y="x)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数，且7=2(6-。)；

(3)若函数/=/(外有一条对称轴工=0和一个对称中心(6,0)(0<6),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(b-a).

4.对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(«+%)=/(a-x).

(2)若函数y二”好关于点^^①对称，贝ij/(a+x)+/(a-x)=26.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a-x)关于y轴对称，函数y=/(a+x)与y=-/(a-x)关于原点对称.

二、考点分类精讲

【题型一函数的奇偶性及其应用】

触类旁通

1.判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(3)性质法:

在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇义奇=偶，偶、偶=偶，奇义偶=奇.

2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题

:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上

i的函数值求解

话容录莅面工的百菱曾套花画百加百同

；上，再利用奇偶性求出

阚用番死素薮获录落「短藜冗排£

,(—％)=o得到关于参数的恒等式，由系

:数的对等性得参数的方程或方程(组)，

;进而得出参数的值

【典例1】(2023高三・全国•专题练习)判断下列函数的奇偶性.

R1

⑴/(x)=x+--；

x-2

⑵〃x)=lg(4-x2).

(3)f(x)=Jx2-1+yjl-x2;

-+2x+1,x>0

(4)/(无)=

x2+2x-l,x<0

【答案】(1)非奇非偶函数

(2)偶函数

(3)偶函数

(4)奇函数

【分析】由奇偶函数的定义判断(1)(2)(3),由奇函数的图象关于原点对称判断(4).

【详解】(1)原函数的定义域为卜卜片2},关于原点不对称，

从而函数/(x)为非奇非偶函数.

(2)由4-/>()得一2<X<2,即函数的定义域是旧-2Vx<2},

关于原点对称.又f(f)=lg(4-(r)2)=lg(4T)=/(x),

因此函数是偶函数.

(3)〃x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.

X/(-l)=/(l)=O,/(-1)=-/(1)=0,所以既是奇函数又是偶函数.

(4)如图，作出函数/(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数/(x)为奇函数.

【典例2】已知“X)是定义在R上的偶函数，且当xNO时，/(尤)=/+2X-3.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若/(加+1)</(2机-1),求实数机的取值范围.

x2+2x-3,x>0

【答案】(1)/(6=

x2-2x-3,x<0

(2乂加加v0或加>2}

【分析】(1)利用偶函数的定义以及已知的解析式，求解即可；

(2)利用偶函数的定义将不等式变形，然后利用单调性求解不等式即可.

【详解】(1)当x<0时，.•.-%>(),

f(x)=f(-x)=(-x)2+2.(-x)-3=x2-2x-3,

由I、IA、R+2^-3,X>0

所以小"0-2x_3,x<。；

(2)当尤20时，/(x)=x2+2x-3=(x+l)--4,

因此当x20时，该函数单调递增，

因为“X)是定义在R上的偶函数，且当xNO时，该函数单调递增，

所以由/(加+1)</(2根-1)等价于/(帆+1|)</(|2吁1|),

所以帆+1|<|2加-1|,

因此(机+1)2<(2俏_1『，

HPnr-2m>0,解得加>2或加<0,

所以实数相的取值范围是{优何<0或加>2}.

■题型训练■

一、单选题

1.(2024•北京通州・二模)下列函数中，是奇函数且在区间(0,+8)上单调递减的是()

A./(x)=^-^-B./(x)=-x3C.〃x)=tanxD.〃x)=logjx|

【答案】B

【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可

得C错误.

【详解】A：因为/(-"=二匕=占片-/(切，所以不是奇函数，故A错误；

B：因为的定义域为R,

又/(-x)=-(-x)3=x3=-/(x),所以“X)是奇函数，

又r(X)=-3,<o在(0,+")恒成立,

所以/(x)在区间(0,+8)上单调递减，故B正确;

C：由正切函数的定义域可得函数/(X)=tanx在(0,+。)上不连续,

所以“X)在区间(0,+司上不单调，故C错误；

D：因为/(r)=log/T=logJx|*/(x),所以〃x)不是奇函数，故D错误；

22

故选：B.

—1

2.(23-24高三下•河北沧州•阶段练习)若P：4=1,1：函数/(无)=111=11为奇函数，贝壮是9的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将左值代入函数〃x),根据奇函数的定义式/(幻+/(-幻=0是否成立来判断充分性；由奇函数的

定义式/(x)+[(-x)=0来构造方程求参数k的值，从而判断必要性.

【详解】因为左=1,所以〃x)=ln=,

x+1

所以/(x)+/(-尤)=1113+111^^=1111=0,

x+1-x+1

所以此时“X)是奇函数，

所以p是q的充分条件.

若/(x)是奇函数，则/(x)+/(-x)=In=+ln=In号.主?=0=lnl,

即一左2/+1=公一》2,所以r=1,即，±1

所以p是q的不必要条件.

综上得：p是q的充分不必要条件.

故选：A.

3.(2024•河北保定•二模)函数/(%)=上Jcos2x的部分图象大致为()

l+ex

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性判断即可.

【详解】设g（x）=23,则g（T）=E9=W?=-g（x），

所以g（x）为奇函数，

设力（X）=cos2x,可知访（X）为偶函数，

所以/（x）=Wcos2x为奇函数，则B,C错误，

易知/（0）=0,所以A正确，D错误.

故选:A.

4.（2024•安徽淮北•二模）若函数/3="+111（廿+1）是偶函数（e是自然对数的底数），则实数。的值为（）

A.!B.--C.-D.--

22ee

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义，得出-"+ln（er+1）="+ln（e*+1）,利用对数的运算性质整理成（2a+l）x=0,

分析即得.

【详解】依题意，/（一x）=/（x）,即-ax+ln（eT+l）=ax+ln（e，+l）,

整理得：2ax+lne=0,即2办+Ine*=0,则有（2a+l）x=0,

e-A+1

因x不恒为0,故必有24+1=0,解得，a=--.

2

故选：B.

5.（2024•云南贵州•二模）若函数/（尤）的定义域为R且图象关于V轴对称，在［0，+¥）上是增函数，且

/（-3）=0,则不等式;'（工人。的解是（）

A.（一双-3）B.（3,+e）

C.（-3,3）D.（-双-3）u（3,+8）

【答案】C

【分析】先分析不等式在［0，+8）上的解，再根据对称性得出不等式在上（-8,0）的解即可.

【详解】因为/(无)在［0，+⑹上是增函数且/(-3)=0,所以〃可<0在［0，+⑹范围内的解为［0,3).

因为函数“X)在定义域R上图象关于了轴对称，所以/'(x)<0在(-%0)内的解为(-3,0),所以不等式

/(力<0在区内的解为(-3,3).

故选：C

二、多选题

6.(2024・广东茂名•二模)已知函数/'(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增.若〃2a)+/(a-2)>0,则

实数。的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】CD

【分析】先利用函数/(x)是奇函数，将不等式/(2a)+/(叱2)>0转变为*2a)>〃2-a),再利用函数

/'(X)在R上单调递增，将不等式/■(2a)>/(2-a)转变为2a>2-°,求解即可.

【详解】因为函数/(无)是奇函数，

则不等式/(2。)+〃。-2)>0,可变形为/(2a)>-/(叱2)=/(2-a),

因为函数/(x)在R上单调递增，

贝!I不等式/(2。)>/(2-。)成立，则2a>2-°,

2

解得。>§,1,2符合题意，

故选：CD.

7.(2024•浙江杭州•二模)已知函数/(x)对任意实数x均满足2〃尤)+/(/_1)=］,则()

A./(r)=/(x)B./(V2)=l

C./(-1)=1D.函数/(x)在区间(行，省)上不单调

【答案】ACD

【分析】令x等价于r,贝！)2〃-冷+/［2-1)=1,可推导出/'(f)=/(x),进而可判断A,利用赋值法可

判断B,C；先算出满足x=x-l的x值，由此可得=/（应）=；,即可判断D.

\7

【详解】对于A,令x等价于f,贝！]2〃-幻+/（/-1）=1,

所以/（T）=/（X）」一/（；T），故A正确；

对于B,令x=l,贝!)2/⑴+/(0)=1,

令尤=0,则2/(0)+〃1)=1,解得：〃0)=〃1)=，

令x=4i,2/(V2)+/(l)=l,则“&)=:故B错误;

对于C,由A知，/(-x)=/(x),所以/(-l)=/(l)=g,故C正确;

对于D,令x=Y-1,所以x2-x-l=0,解得：尤=上咨，

2

令工=匕叱，贝必"1+751+5

=1,

2~~2

27

所以/[与5]='因为上手€（拒，6卜/[・手>/（后）=；，

所以函数/（X）在区间（亚，行）上不单调，故D正确.

故选：ACD.

填空题

3"-尤,x<0

8.（2024・上海崇明•二模）已知函数了=<为奇函数，则〃2）=

f(x),x>0

【答案】-y19/-2^1

【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值.

/、3X—<0/、

【详解】令g（x）=〃\n，则由题意g（x）为奇函数，

JI0C）,X>U

所以当x>0时，-x<0,

此时g(-尤)=3一工-(-x)=3T+x=-g(x)ng(x)=-3-，-X，

故g(x)=Em,所以〃2)=-3--2=-^.

19

故答案为：-~.

9.(23・24高三上•云南昆明•阶段练习)/(%)为定义在R上的奇函数，当%>0时，〃x)=2'+l,贝曦<0时,

/(x)=•

【答案】-2r-1

【分析】由x<0时，得到-x>0,从而/'(r)=2f+1,再利用〃x)为定义在R上的奇函数求解.

【详解】解：当x<0时，-x>0,

则/(-力=2-，+1,

因为/(x)为定义在R上的奇函数,

所以H-l.

故答案为：-2^-1

10.(2024•云南•模拟预测)若/(x)=ln(l+乙)为奇函数，则6=.

【答案】-1

【分析】

根据对数函数的性质令1+三>0，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出6

的值，再代入检验.

【详解】

对于函数/(x)=ln]+D，

2

令1+------>0,解得x>-b^x<-b-2

x+b9

所以函数〃动的定义域为(^,-匕2川(-6,心)，

又/(x)为奇函数，所以-6-6-2=0,所以6=-1,

此时/(x)=ln(l+2)=ln(言〉定义域为y(1,+⑹，

且/(-x)=ln[三口=ln]£|1/1用=-/(x),满足〃x)为奇函数.

故答案为：-1

11.（2024•陕西西安•三模）已知函数/⑺=土+式行]-》），若/■（。-1）+/（2/）>2,则。的取值范

围为•

【答案】[心

【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可.

【详解】由条件知xeR,令g（x）=/（x）-l=£21+ln（J?7I-x）-l,

贝!]g（-x）=:]+ln（JA2+1+0-1=±~~+ln^VJC+1+j,

易知g（x）+g（-x）=0,即g（x）为奇函数,

又〃x）=W+lj/21],

e+1+1+xj

21

易知>1彳/=~/亍^在％>0时单调递减，

e+1Vx+l+x

由复合函数的单调性及奇函数的性质得g（x）=/（x）-1在R上单调递减，

对于/（。—1）+/（2。2）〉20g（q—l）+g（2/）〉0og（Q—i）>g（_2q2）,

所以〃-1<—Id1=4£（-1；）,

故答案为：[-1,;]

四、解答题

12.（23-24高三上•江苏常州•期末）已知定义在区间上的函数/（为）=言为奇函数.

⑴求函数/（无）的解析式；

（2）判断并证明函数/（无）在区间（-1,1）上的单调性.

【答案】（1）/卜）=品，（一1<X<1）

⑵函数/（x）=在区间上为增函数,证明见解析.

【分析】（D依题意函数图象必过原点，由此求出“值即得解析式

(2)运用定义法的步骤证明函数单调性即可.

【详解】(1)由题意知：/(0)=0,即得：a=0,故函数/(x)的解析式为：/(x)=M，(-l<x<l).

(2)函数/(x)=/\在区间上为增函数.理由如下：

任取再户2€(-1,1),且花<%2，由/(西)-/(%)=17--邑■=(32：'¥，

因一1<玉<々<1,故再一々<0,1-XJX2>0,(xf+1)(X2+1)>0,即/(再)-/&)<0,

则〃x)=旨在区间(-1,1)上为增函数.

13.(2024•山东济南三模)已知函数/(xha,+ZX-Z,其中a>0且44.

⑴若/'(x)是偶函数，求。的值；

⑵若x>0时，/(%)>0,求0的取值范围.

【答案】(1片

1

(2)”.且QW1.

【分析】(1)由题意，/(-1)=/(1),即可得解;

(2)分。=g,。>3且。片1和0<。<：三种情况讨论，结合基本不等式和导数求解即可.

【详解】⑴由题意，/(-1)=/(1),gpl+l-2=a+2-2,

a2

解得，。=(或。=-2(舍)，经检验4=g时，/(无)是偶函数，

所以a的值为3；

(2)当.=1■时，Vx>0,/(X)=M+2<2>2，DZVuO成立；

当且awl时，Tx>0,/(x)=ax+2X-2>W+2-2,

又I+2，-2>0已证，故此时符合题意;

当0<a<；时，八x)=axIna+2XIn2,

因为函数〉=优lna,y=21n2都是增函数，

所以函数/'(x)在R上单调递增，且<(0)=ln(2«)<0,

故存在%>0,使得当xe(O,x°)时，八》)<0,从而/'(x)单调递减,

所以，存在£>o,使得不£卜〃0)=0,此时不合题意.

综上所述，a且

2

【题型二函数的周期性及其应用】

触类旁通函数周期性的判断与应用

-7-^;判断函数的周期只需证明/(%+T)=/(%)(7

-一：W0)便可证明函数是周期函数，且周期为丁

函数的周期性与奇偶性都具有将未知区间上

应用一的问题转化到已知区间的功能，利用周期性可

把自变量变大或变小

【典例1】(单选题)(23-24高三上•福建三明•期中)若偶函数/(X)满足/(尤+2)+/(0=0,当xe(O,l)时,

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.

【详解】由已知可得/(x+2)+〃尤)=0n/(x+4)+〃x+2)=0：A/(X+4)=/(X),

即7=4是函数〃x)的一个周期，

1

所”尹/•

故选：C

■题型训练■

一、单选题

1.(22-23高三上•河南安阳•阶段练习)已知函数“X)的定义域为R,满足/(9+x)=/(-3+x),且当

xe[-6,6)时，/(x)=|x-2|,贝U/(2022)=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先得到函数的周期，从而得到“2022)=〃-6),代入求解即可.

【详解】因为/(9+x)=/(-3+x),所以〃x)的周期为12,

因为2022=12x169-6,所以/(2022)=/(-6),

因为当xe[-6,6)时,/(x)=|x-2|,

^/(2022)=/(-6)=|-6-2|=8,

故选:D

2.(22-23高三上•江西•阶段练习)已知函数/⑴满足：对任意xeR,有〃x+l)=-〃x),当时,

/(x)=-|x|+1,则“2023)=()

A.-1B.--C.1D.0

2

【答案】B

【分析】根据函数的周期性即可求得答案.

【详解】解：由题意得：

f(x+2)=-/(x+1)=-[-/«]=〃尤)

所以函数/(x)的最小正周期为2

故”2023)=/⑴

由当时，“x)=-|x|+；可知：/(1)=-1+1=-1

故选：B

3.(2024・陕西渭南•二模)已知定义在R上的函数〃x)满足〃X)+〃T)=0,/(XT)=/(X+1),当xe(0,l)

时，/(无)=4'-3,贝lj/(log480)=()

11

A.-B.-2C.2D.——

55

【答案】D

【分析】由题意可得函数/(X)是以2为周期的周期函数，且为奇函数，再根据函数的周期性可得

/(log480)=/(log480-4)=-/(4-log480)代入已知解析式即可得解.

【详解】因为八》-1)=/(无+1),所以/(x)=/(x+2),

所以函数/(x)是以2为周期的周期函数，

因为/(x)+/(f)=0,所以函数“力是奇函数，

H^j3=log464<log480<log4256=4,

所以“log,80)=/(log480-4)=-/(4-log480)

故选：D.

4.(2024・陕西铜川•三模)已知函数/(x)是定义域为R的偶函数，且/卜+1)为奇函数，若/⑼+/(3)=3,

则()

A.f(x-l)=f(x+l)B./(2025)=3

C.函数〃x)的周期为2D.1(2024)=3

【答案】D

【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC,再由函数/(x)的周期为4,代入计算，

即可判断BD

【详解】•••/(x+1)为奇函数，■.f(-x+l)=-f(x+l),

又/(X)为偶函数，.•・/(T+1)=/(X_1),，/(J_1)=_/(X+1),故A项错误.

即〃力=一/(尤+2),，/■(尤+4)=-/(x+2)=/(x),.•.函数/⑺的周期为4,

即c项错误.

由/(-x+l)=-/(尤+1),令尤=0,得/⑴=0,/(3)=/(-1)=/(1)=0,「./(2025)=/(1+506、4)=八1)=0,

即B项错误.

又〃0)+/(3)=3,.-./(0)=3,.-.1(2024)=/(0+506x4)=/⑼=3,

所以D项正确.

故选:D

5.(2024•辽宁沈阳•三模)已知是定义在R上的函数，且/(2x-l)为偶函数，〃x-2)是奇函数，当

x«0,l］时，/(x)=2%-l,则/⑺等于()

A.—1B.—C.~D.1

22

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质得到/(x)=/(-X-2),再由奇函数的性质得到〃x)=-/(x-2),从而推导出

f(x+4)=/(x),再由所给解析式及周期性计算可得.

【详解】因为/'(2尤-1)为偶函数，所以〃-2尤-=

即仆-1)=/(*1),

所以〃X)=/(T-2),

又/。-2)是奇函数,所以/(T-2)=-/(X-2),

即/(尤)=-/(厂2),所以/(尤+2)=-/(x),

贝！j/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

又当xe［0,l］时，/(x)=2J-l,所以〃1)=2「1=1,

则=⑴=-1，

所以〃7)=〃T)=_〃1)=T.

故选：A

【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.

二、多选题

6.（23-24高三下•广东广州•阶段练习）函数“X）和g（x）的定义域为R,若的最小正周期为a,g（x）的

最小正周期为6,则（）

A./（x）+g（x）为周期函数B.f（x）g（x）为周期函数

C.H+g1］为周期函数D./（泡力为周期函数

【答案】CD

【分析】由周期函数的定义逐一验算每个选项即可得解.

【详解】当：是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，1（x）+g（x）和/（x）g（x）可能不为周期

函数，故AB选项错误，

但卜$ds=<M=g0的周期均为防，

因此（融］和佃+g,）均有为必的周期，CD选项正确.

故选：CD.

7.（2024・广东茂名•模拟预测）已知函数〃x）的定义域为R,/（x+#-/（x-y）=/（x+£|/，+£|,

/（0）^0,则（）

A.=°B.函数〃x）是奇函数C./⑼=-2D.〃x）的一个周期为3

【答案】AC

【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.

【详解】令x=y=o,则/（0）-/（0）=/2E|'所以/||）=°，A选项正确；

令尤=0,贝！］「（力一/"（一>）='£|/1+£|=0,即/（»=〃-»,所以“X）是偶函数，B选项错误；

/（3）=/（-3）,令工=>=|,则/⑶一〃0）=/（3）,

令无=了=一；，则/（一3）-〃0）=尸（0）=/（3）-/储，所以/2⑼=/2。），

所以（尸⑼+"0））2=尸⑼，因为"0）*0,所以/⑼=-2,/（3）=2,C选项正确;

令k-1，则小一升/1+|)=小+£|〃0)=一24+£|,

所以/[x-|)+/[x+|)=O,/C+|L/L+|Lo,所以/=+“X)的一个周期为6,

D选项错误.

故选：AC.

三、填空题

8.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)的定义域为R,且对于xGR,恒有/(x+1)=—/(x),

则函数/(x)的周期为.

【答案】2

【分析】利用已知条件进行代换即可得到答案.

【详解】已知/'(x+l)=-/(x),用x+1替换式子中的x可得/(x+2)=-/(x+l)=[(x),由周期定义可得

函数的周期为2,

故答案为：2

9.(23-24高三上•四川绵阳•阶段练习)设奇函数/(x)满足/(x)=-/(x+2),当OWxVl时，/(x)=『(l+x),

【答案】-43/-0.75

4

【分析】利用函数的周期性和奇偶性求函数值.

【详解】因为/(x)=-〃x+2),所以/(x+2)=_/(x),

则有/(乂+4)=-/(工+2)=/(工)，

所以函数〃x)是以4为周期的周期函数，且为奇函数,

(2-2

所以/

4,

3

故答案为：々

10.(23-24高三下•湖南岳阳•开学考试)已知定义在R上的偶函数“X)满足/(2-x)+〃x)=0,八0)=6,

则7(10)等于

【答案】-V3

【分析】

由/(X)满足〃2-x)+〃x)=0,利用函数的奇偶性，求得函数/(X)是以4为周期的周期函数，进而可求

f(⑼的值.

【详解】由题意，函数解x)满足/(2T)+/(X”0,BP/(2-X)=-/(X),

•・・/(O)=G,⑵=-〃0)=-瓦

又由函数“X)是R上的偶函数,即/(—)=/(尤)，所以/(2-力］-“T),

即〃2+x)=-〃x),尤取x+2得〃x+4)=-〃x+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

则/(10)=〃2x4+2)=/(2)=_瓦

故答案为：Y.

【题型三函数的对称性及其应用】

触类旁通函数图象的对称性的判断与应用

词或彳6襦定/(丁；6:7(7二7湎函跖底］

色叫燃图象关于直线久=5(a+6)对称j

r—n凄花百爰量两超/一号百豪语番扇砸至者焉一郅

应用一：：

」叮：函数的周期性=

【典例1】(单选题)(2024•四川内江•三模)已知函数“X)的定义域为R,对任意实数x都有/(x+2)=-/(x)

成立，且函数〃x+l)为偶函数，/(1)=2,则/(l)+/(2)+L+/(2024)=()

A.-1B.0C.1012D.2024

【答案】B

【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.

【详解】由/(x+2)=-/(x)n/(x+4)=-/(x+2)=〃x),即/(x)的一个周期为4,

由+1)为偶函数可知/(x)关于X=1轴对称,即/⑵=/⑼，

又/(x+2)=_/(x)可知〃2)=-/(0),

所以/(2)=/(0)=0,

显然/⑶11/(1)«-2,/(4)=/(0)=0,

2024

所以〃1)+〃2)+…+”2024)==-x[〃l)+〃2)+〃3)+〃4)]=0.

故选:B

■题型训练■

一、单选题

1.(2023•云南昆明•模拟预测)已知函数/(x)(xeR)的导函数为了'(X),且满足/(刈-/(2-刈=0,则()

A.函数/(x)的图象关于点。,1)对称B.函数/&)的图象关于直线x=2对称

C.函数/'(x)的图象关于直线x=l对称D.函数/(X)的图象关于点(1,0)对称

【答案】D

【分析】根据求导公式和求导法则可得/'(x)+/'(2-x)=0,结合抽象函数的对称性即可求解.

【详解】由〃x)-/(2-x)=0,可知函数/⑴的图象关于直线x=^=l对称；

对“X)-42-幻=0求导,得f'(x)+f'(2-x)=0,

则函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，所以ABC错误，D正确.

故选：D.

2.(2024・全国•模拟预测)若函数/(x)=：、2的图象关于点(1,0)对称,贝壮=()

2(x—u)

A.0B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】特殊值法：由图象关于点(1,0)对称可得〃0)=-〃2)代入计算求解，然后检验即可.

【详解】解：•••/(无)的图象关于点(1,0)对称，

-312

"⑼+/(2)=。，即/+而不=。，

解得"i"(x)=3F

经检验知〃X)的图象关于点(1,0)对称，

故选：C.

3.(2024・四川泸州・三模)已知函数/'(x)(xeR)满足/'(无)+/(4-司=0,若函数7'(可与y=」图象

x-2

的交点横坐标分别为X],4，…，xn,则()

1=1

A.4nB.2nC.〃D.0

【答案】B

【分析】依题意可得/'(2+x)=-/(2-x),即可得到函数的图象关于(2,0)对称，再根据对称性计算可得结

论.

【详解】因为〃x)+〃4-x)=0,所以/(2+x)+/(2-x)=0,

所以函数的图象关于(2,0)对称，又函数＞关于(2,0)对称,

则V=/(X)与y=」的交点应为偶数个，且关于(2,0)对称，

x-2

所以£现=4xg=2〃.

z=i2

故选:B.

4.(2024・江西・二模)已知定义在R上的函数〃x)满足〃0)=0J(3x)=4/(x)且/(I-x)+〃x)=2,则

【答案】A

【分析】根据题意，可得/(x)关于'J对称，进一步求得/'(1)=2,结合条件求得I,j可求得了

【详解】由/(1-尤)+/(尤)=2,可知关于对称，又〃0)=0,贝|/。)=2,

又〃3x)=4〃x),则/(x)=；/(3x),

故选：A.

二、多选题

5.（2024•吉林长春•模拟预测）已知函数/（耳=仔不，则下列说法正确的是（）

A.函数“X）单调递增

B.函数/（无）值域为（0,2）

C.函数〃x）的图象关于（0,1）对称

D.函数/（x）的图象关于（1,1）对称

【答案】ABD

【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A,根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求

解函数的值域，即可判断B,根据对称性的定义，［（2r）与/（尤）的关系，即可判断CD.

【详解】/（X）=<—=2*+2-2=2―

V'2*T+12*T+12*T+1

2

函数y=2--,t=2X-1+1,则%〉1,

t

又内层函数:2-+1在R上单调递增，外层函数了=2-1在（1,+。）上单调递增，

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/（x）单调递增，故A正确；

因为21+1>1,所以0<2,则0<2-而有<2,所以函数;'（"的值域为（0,2）,故B正确；

f（2-x）=-^—=-±--=-l—,/（2-x）+/（x）=2,所以函数/（尤）关于点（1,1）对称，故C错误，D

正确.

故选：ABD

6.（2024・全国•三模）已知函数〃x）定义域为R且不恒为零，若函数尸〃2x-l）的图象关于直线x=l对

称，y=〃2-x）+l的图象关于点（0,1）对称，则（）

A./（x+6）=/（x）

B./（10）=0

C.尤=7是图象的一条对称轴

D.（56,0）是/（X）图象的一个对称中心

【答案】BCD

【分析】由条件证明直线X=1为函数/（x）的对称轴，点（2,0）为函数“X）的对称中心，结合函数的周期定

义证明/（x）为周期函数，由此判断A,再证明/（2）=0,结合周期性判断B,证明x=3为函数的对称轴，

结合周期性判断C,证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.

【详解】因为了=/（2尤-1）的图象关于直线x=l对称，

所以/（2+2》-1）=/（2-2x7）,Bp/（l+2x）=/（l-2x）,

所以/（l+x）=/（I）,

所以〃可的图象关于直线x=1对称.

因为了=/（2-x）+l的图象关于点（0,1）对称，

所以/（2-x）+l+〃2+x）+l=2,即/'（2-x）+y（2+x）=0,

所以〃力的图象关于点（2,0）对称.

所以/（x）=-/（4r）.

令x=2,得"2）=0.

由+=-x）,/（2-x）+/（2+x）=0可得/（。=/（2-x）J（x）=-/（4r）,

故〃2-x）f（4-x）即/（x）f（2+x）,

所以/。+4）=-/（尤+2）=/（0,

所以函数/（x）的周期7=4,

所以/（x+6）=/。+2）=-/（%）,又/（x）不恒为零，

所以/（尤+6）=/（力错误，A错误，

f（10）=〃2+2x4）=/（2）=0,B正确；

因为/（x）的图象关于直线x=l对称，/（x）的图象关于点（2,0）对称，

所以/■（3+x）=/[2+（l+x）]=-〃j）=-〃l+x）=-/[2+（x-l）]=〃3-x）,

所以x=l,x=3为函数〃x）的对称轴，

结合周期性可得，x=l+2左，左eZ为函数，(x)的图象的对称轴，

所以x=7是函数/(x)图象的一条对称轴，C正确；

因为/(l+x)=/(l-x),/(2-x)+/(2+x)=0,

所以/(-x)=/[l-(l+x)]=/(2+x)=-/(2-x)=-/(l+l-x)=-/(x),

所以原点为函数/'(X)的一个对称中心，

结合函数周期性可得点(2+2左,0),keZ,为函数“X)图象的对称中心，

所以点(56,0)是函数/(x)图象的一个对称中心，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

7.(2024高三・全国・专题练习)若函数y=g(x)的图象与y=lnx的图象关于直线x=2对称，则g(x)

【答案】In(4—x)

【分析】利用对称的定义求解即可.

【详解】在函数y=g(x)的图象上任取一点(x,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4-x,y),

且点(4—x,y)在函数y=lnx的图象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4-x),

故答案为：ln(4-x)

8.(2024・四川成都・模拟预测)函数g(x)=W^+ln|^1+2,若g(a)=6,则g(-a)=.

【答案】-2

【分析】利用g(x)和g