高考数学一轮复习考点总结-集合（含解析）

集合(4种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解集合间

的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集

合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号2或生表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合/中任意一个元素都是集合8中的元

素，就称集合4为集合3的子集，记作/分(或82N).

(2)真子集：如果集合/=瓦但存在元素xdB,且连1，就称集合N是集合8的真子

集,记作2(或BnZ).

(3)相等：若且四W，则4=2.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空

集合的真子集.

3.集合的基本运算

表示

未口旧口图形语言记法

运

并集{xx£4,或上£5}

一

交集且x>5}

补集「⑷]C/

【常用结论】

1.若集合4有〃5巳1）个元素，则集合4有2”个子集，2〃一1个真子集.

2.AC\B=A<>A^B,AUB=A^B^A.

E3【核心题型】

题型一集合的含义与表示

解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件;

三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.

【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（）

A.W={（-1,3）},N={（3,-1）}B.M={-1,3},#={3,-1}

C.M=[^x,y）\y=JC+3@,N={x=x?+3x}D.M={0},N=0

【答案】B

【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.

【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；

选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；

选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；

选项D：河是以0为元素的集合，N是数字0,D错误.

故选：B

【变式1】已知集合"。}={-1,0,1},若下列三个关系有且只有一个正确：①aw-1；

②b=T；③-0,则产_26+4C=（）

A.2B.3C.5D.8

【答案】B

【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】假设①②6=T错，③crO对，

因为{。,仇。}={-1,0,1},

所以有a=-1力=0,c=l,此时产一26+4c=-1+4=3;

假设①aw-1,③cwO错，②6=T对，

因为aw-1错，必有。=-1,而6=T,不符合集合元素的互异性，假设不成立；

假设②6=T,③c#0错，①aw-l对，

因为cwO错，所以c=0,

因为6=T错，所以6W-1对，而。片-1对，因此只能。=6=1,不符合集合元素的互异

性，假设不成立，

综上所述：/⑵一26+4C=3,

故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.

【变式2］（23-24高三下•江西•阶段练习）已知工=卜卜2-6+140},若2G/,且3e/,

则。的取值范围是（）

「、（「）（明

A-510B.匕51司01C.仁5+ooJD.「。of

【答案】A

【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.

【详解】由题意得4一2。+140且9-3a+l>0,—.

23

故选：A

【变式3］（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知集合/=卜—341卜5={-1,0,1},

则集合的非空子集个数为（）

A.4B.3C.8D.7

【答案】B

【分析】由题意化简集合A,得/口8={0,1},由此即可进一步求解.

【详解】因为/={#2-2x40}=b|04xW2},5={-1,0,1},因此裕8={0,1}.

故该集合的非空子集个数为2?-1=3个.

故选：B.

题型二集合间的基本关系

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成

漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进

而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

【例21在集合/={-1,123,4,5,6}的子集中，含有3个元素的子集的个数为.

【答案】35

【分析】根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得.

【详解】集合/=卜1,1,2,3,4,5,6}中有7个元素，

所以含有3个元素的子集的个数为C；=35.

故答案为：35

【变式1】（2024•海南•模拟预测）已知集合/={1,2,4},8={a,/},若N口8=8,则

a—.

【答案】2

【分析】根据交集结果可知结合子集关系分析求解.

【详解】因为/口8=8,可得2=/,

可知且aw/,所以。=2.

故答案为：2.

【变式2】集合/={一3,间，B={m2+4m,-1},且4=8,则实数机=.

【答案】-1

\m=—1

【分析】根据集合关系/=8,可得2,。，从而可求解.

+4m=—3

【详解】由题意得N=8,

[m=-1

则°，解得用=-1.

\m+4m=-3

故答案为：-1.

【变式3】若集合/={司弟-办+1<0}=0,则实数。的值的集合为.

【答案】{a\0<a<4}

【分析】分。=0与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.

【详解】当。=0时，/=何1<0}=0满足题意；

I«>0

当"。时，应满足-0,解得。<黑4；

综上可知，a的值的集合为{司04。《4}.

故答案为：{H0<。<4}.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

【例3】（23-24iWi三下,江西,阶段练习）已知集合/=卜|24兀+不<x<24兀+?-,左eZ

集合左兀+工<%<左兀+工，左

8=1%|cZ则/nB=（）

（CT兀2兀）,T71711,

A.I2kii+—,2kn+—I,左eZB.左兀H—,krjiH—,k£Z

I43；

（2兀ci兀、，（171兀、，

C.2kjiH—,2kjiH—,k£ZD.kitH—,kruH—,k£Z

I63JI63）

【答案】A

【分析】根据给定条件把集合8写成用2万万+。（左eZ）形式表示的集合，再与集合/求

交集即可.

+x

【详解】依题意，B=卜|2阮+；<x<2加+三,左Gz|ojx|2kn<2左兀+手,左Gz|

_.II_T7i_727rjI

而A=jx|2左兀+—<x<2k7i+—GZ>,

所以/cB=卜|"兀+x<2t7r+；Aezj>=^2foi+^-,2A：7r+-1-^,keZ.

故选：A

【变式1]（2024•云南红河・二模）设集合/={0,1,2},8={3,加}，若Zc8={2},则/u8=

（）

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】根据集合的运算性质进行判断即可.

【详解】由/c3={2}得加=2,

所以3={2,3},A'UB=[0,1,2,3}.

故选：A.

【变式2]（23-24高一上•陕西宝鸡•期中）已知

U=乱2,3,4,5,6,7},/={2,4,5},3={1,3,5,7},则/n（四8）=（）

A.{1,3,4}B.{3,4}C.{2,4,6}D.{2,4}

【答案】D

【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得.

【详解】因。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,4,5},3={1,3,5,7},

则。8={2,4,6},故（电8）={2,4}.

故选：D.

命题点2利用集合的运算求参数的值（范围）

对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集

合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

【例4】（2024・四川凉山•二模）已知集合/={y|y=x+l,-lWxWl},B=[x\x<a],若

=8,则。的取值范围为（）

A.[0,2]B.[2,+co)C.(-0°,2]D.(-00,1]

【答案】B

【分析】求出函数值域化简集合4再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.

【详解】A=[y\y=x+1,-1<x<l]=[0,2.],而3=（-<»,a],

由=得/三3,则a22,

所以。的取值范围为[2,+oo）.

故选：B

【变式1]（2024•全国•模拟预测）已知集合么={-5,-1,1,5）,5=卜|℃<。+3},若/八3

中有2个元素，则实数。的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.[-2,-1]C.（-2,2]D.[-5,-1）

【答案】A

【分析】根据两集合的元素特征和/C3中只有2个元素的要求，可得到关于。的不等

式组，解之即得.

【详解】因为8={x[a<x<a+3},a+3-a=3,

又/={-5,-1,1,5},NcB中有2个元素，

f—5KQv—1

所以中的2个元素只能是-1/，则।~解得-2<a<-1.

[1<a+345

故选：A.

【变式2].已知集合4={x|-3<2x+l<7},8={小<-4或x>2},

C={x|3“-2cx<a+1}.

⑴求/n（”）；

（2）若“p：xf率（NU3）”是“q：xeC”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】（1）卜|一2<xW2}

2

（2）-3<a<-y

【分析】（1）先求出集合A,再求出务—最后由交集的运算求出/n&8）；

（2）先求出/口3,再求出备再由充分不必要条件构造关于。的方程组，解

出即可.

【详解】（1）因为/={x|-3<2x+l<7}={x|-2<x<3},又々8={x|-4#x2）,

所以/「&@=卜|一2<%£2}.

(2)/uB={x[x<-4或x>-2},所以备(NU8)={x|-4#x-2},

因为5:x1条(/U3”是“q:xeC”的充分不必要条件，

则张(/UB"C,XC={x|3a-2<x<a+l),

[3(2-2<-42

所以，口、9^-3<a<--.

+1〉—23

题型四集合的新定义问题

解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给

定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

【例51(23-24高三下•上海•阶段练习)对于全集R的子集/,定义函数以(x)=%彳€]

为N的特征函数.设8为全集R的子集，下列结论中错误的是()

A.若则/.("W/G)B.加x)=l-力(尤)

c.£tc8(x)=L(x)j(x)D.九£x)=L(x)+/(x)

【答案】D

【分析】根据新定义进行验证.

【详解】选项A,A三B,若xe/,则xeB,此时为(x)=%(尤)=1,

若xeB且xe/,则力(x)=0,fB{x}=\,若尤任8,则尤任/,则力(x)=/(x)=0,所

以力(x)4/(x)成立，A正确;

选项B,由补集定义知xeZ时，xA>力⑴=1，片(x)=0,

同样知尤任/时，XGA,〃X)=0,&X)=1,

所以心(x)=l-力(x),B正确;

选项C,xe/PlB时，必有xeZ且因此/4nB(》)=//工)=%。)=L

当xe/ClB时，xe/与xe3中至少有一个成立，

因此Zw(x)=°，而力(x)=0与/(尤)=0至少有一个成立，

综上有£点(0=力(》)・/。),c正确;

选项D,当力c_8/0时，若XEZCIB,贝（jxcZUB,xeA,xeB,

因此办U5（x）=/Ax）=/（X）=i，此时z^a）=La）+/a）不成立，D错误.

故选：D.

0,X=03

【变式1］（2024・河南•模拟预测淀义sgn（尤）=,王„,若集合/=b|y=岁gn（x,

fl17J

则/中元素的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.

【详解】由题知〉的可能取值有-3,-2,-1,0,1,2,3,则集合/中有7个元素.

故选：B.

【变式2］（2024•黑龙江•二模）已知集合/={1,2},5={3,4},定义集合：

A^B=^x,y）\x^A,y^B},则集合/*8的非空子集的个数是（）个.

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【分析】先确定集合4*3有四个元素，则可得其非空子集的个数.

【详解】根据题意，A^B={（x,y）|xeA,yeB}={（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）},

则集合4*B的非空子集的个数是24-l=15.

故选：B

【变式3】已知实数集A满足条件:若ae/,则则集合A中所有元素的乘积

\-a

为（）

A.1B.-1C.±1D.与。的取值有

关

【答案】A

【分析】根据题意，递推出集合N中所有元素，可得答案.

【详解】由题意，若ae/,—EA,

1—CL

ya—1

1+-----

——^_±|=aeA,

a-\

1--------

a+\

综上，集合/=

[a

所以集合4中所有元素的乘积为J']・二■•产=1.

\a）a+11-a

故选：A.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

I.下列说法中正确的是（）

A.1与｛1｝表示同一个集合

B.由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝

C.方程（》-1）2（尸2）=0的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝

D.集合｛x[4<x<5｝可以用列举法表示

【答案】B

【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.

【详解】对于A,1不能表示一个集合，故错误；

对于B,因为集合中的元素具有无序性，故正确；

对于C,因为集合的元素具有互异性，而｛1,1,2｝中有相同的元素，故错误；

对于D,因为集合｛x[4<x<5｝中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.

故选：B.

2.（2024•福建厦门•二模）设集合/=｛-1,0,1｝,5=｛（xj,x2,x3,x4,x5）|x;eA,i=1,2,3,4,5｝,

那么集合8中满足1引西|+国+国+周+同43的元素的个数为（）

A.60B.100C.120D.130

【答案】D

【分析】明确集合8中满足14㈤+周+同+同+4区3的含义,结合组合数的计算,

即可求得答案.

【详解】由题意知集合8中满足长闻+闻+闾+闯+|当归3的元素的个数,

即指王广2，%,匕,天中取值为-1或1的个数和为1或2或3,

故满足条件的元素的个数为C：x2+C；x22+C；x23=10+40+80=130（个），

故选：D

3.集合M={xeN[0<x<3}的子集的个数是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】D

【分析】首先判断出集合M有2个元素，再求子集个数即可.

【详解】易知集合屈="eN[0<x<3}={1,2}有2个元素，

所以集合/的子集个数是2?=4.

故选：D.

4.（2024•浙江•模拟预测）已知全集

（/M）n2V={4},则McN=（）

A.0B.{4}C.{5}D.{1,2}

【答案】C

【分析】根据Venn图，即可求解.

【详解】如图，画出Venn图，并将条件中的集合标在图中，

如图，集合McN={l,2,5}c{4,5}={5}.

故选：C

二、多选题

5.（2024・全国•模拟预测）设4,5,…，4（〃"）为集合S={1,2,…㈤的“个不同子

集，为了表示这些子集，作〃行"列的数阵，规定第i行第/列的数为%=,生/.则

下列说法中正确的是（）

A.数阵中第一列的数全是0,当且仅当4=0

B.数阵中第"列的数全是1,当且仅当4=5

c.数阵中第4行的数字和表明集合4含有几个元素

D.数阵中所有的个数字之和不超过d-n+l

【答案】ABD

fO,zgAi

【分析】由集合的子集的概念和规定第i行与第7列的数为与对选项一一

判断即可.

【详解】选项A：数阵中第一列的数全是0,当且仅当1任4,2任4,…，"任4,4=0,

故A正确.

选项B：数阵中第"列的数全是1,当且仅当le4，2e4，…，neA”,：.An=S,

故B正确.

选项C：数阵中第/列的数字和表明集合4含有几个元素，故C错误.

选项D：当4，4，…，4中一个为s本身，其余n-l个子集为S互不相同的n-l元

子集时，

数阵中所有的1个数字之和最大，且为“+（"7）2=/一〃+1,故口正确.

故选：ABD

6.（2024高三・全国・专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872

年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴

德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的

时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将

有理数集Q划分为两个非空的子集"与N,且满足MuN=Q,McN=0,"中的

每一个元素小于N中的每一个元素，则称（W,N）为戴德金分割.试判断下列选项中，

可能成立的是（）

A.M={x\x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.A/■没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.

【详解】对于A,因为M={x|x<0},"=所以MUN={X|XRO}HQ,故A

错误;

对于B,设M={x|x<O,xeQ},N={尤|x20,xeQ},满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N有一个最小元素为0,故B正确；

对于C,若M有一个最大元素，N有一个最小元素，

则不能同时满足MUN=Q,MCN=0,故C错误；

对于D,设M=卜卜<V^XCQ},7V={x|x>V2,xeQ),满足戴德金分害U,

此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

7.已知集合/={1,2},3={1.3},且N=则。=.

【答案】2

【分析】根据集合自己的概念即可求解.

【详解】：/={1,2},8={1,。,3},且

二集合A里面的元素均可在集合B里面找到，

。=2.

故答案为：2

四、解答题

8.已知集合B三U,全集U={1,2,3,4,5,6},且?/={1,3,4},5={3,5,6}

(1)求集合A；

(2)求ZcB.

【答案】(1){2,5,6}

⑵{5,6}

【分析】(1)根据补集的定义和运算即可求解;

(2)根据交集的定义和运算即可求解.

【详解】(1)因为。={1,2,3,4,5,6},令4={1,3,4},

所以N={2,5,6}.

(2)8={3,5,6},由(1)知，

ns={5,6}.

9.已知集合/={1,4},5={1,4,5,6}.

（1）求4cB及；

⑵求句4

【答案】（l）/n2={l,4},/18={1,4,5,6}

（2）6^={5,6}

【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.

【详解】（1）集合力={1,4},8={1,4,5,6},

故/口2={1,4},/u3={l,4,5,6}

⑵a/={5,6}.

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024高三,全国•专题练习）已知集合/=卜卜？—4.x—520},8=卜k—3<x<a+4},

若/UB=R,则实数。的取值范围为（）

A.[a\a>1}B.{a[l<a<2}

C.\a\a<2}D.{«|1<a<2}

【答案】D

【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于。的不等式组，解之

即得.

【详解】Vx2-4.X-5>0,.,.x<-1sKx5,^4={x|x<-l^x>5},

又,解得lVaV2.

[a+4>5

故选:D.

2.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知全集。={-2,-1,0,1,2},集合

/={一2,0},2=卜口-2x=q,则2（/u8）=（）

A.{-1,1,2}B.{-1,0,1}C.{1}D.{-1,1}

【答案】D

【分析】根据集合的并集与补集运算即可.

【详解】因为/={-2,0},8={0,2},所以/。8={-2,0,2},又。={-2,7,0,1,2},

所以街（4U8）={-1,1}.

故选：D.

3.(23-24高三下•湖北•阶段练习)已知集合4={1,2},8={0,2},若定义集合运算：

A*B=[z\z=xy,x&A,ye,则集合N*B的所有元素之和为()

A.6B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】计算出z的所有取值即可得.

【详解】x可为1、2,y可为0、2,有z=0、2、4,

故/*3={0,2,4},所以集合/*B的所有元素之和为6.

故选：A.

4.(2024•全国•模拟预测)已知集合。=2,A=[x\x=2k+\,k&7],

B=1x|x=4k+2,keZ|,则{x|x=4左，4wZ}=()

A.d(NcB)B.d(ZU8)C.务D.

【答案】B

【分析】分析集合/可知/={x|x=4左+1或4"3,左eZ},结合并集和补集的定义与运算

即可求解.

【详解】对于集合/={小=2左+1,左eZ}中的元素，

当左二2%,时，％=4/+1；当左=2r+1,时，x=4，+3,

所以4u3={1%=4左+1或4左+2或4%+3,左wZ},

故用(/dB)={x|%=4k,左£Z}.

故选：B.

5.设全集U=R,集合集合3=国欣21},贝1J/口(38)=()

A.(e,3)B.[e,3]C.[-2,e]D.(-2,e)

【答案】D

【分析】先求集合48,再结合集合间的运算求解.

【详解】因为二V0等价于[。1)(：+2)40,解得一2<XV3,即/={H-2<XW3},

x+2x+2w0l)

又因为B={x|lnx21}={x|x2e},可得25={x|x<e},

所以/c（电8）=（-2,e）.

故选：D.

6.（2024・陕西咸阳•二模）已知集合/=,5=k|y=log2(d-16则

Nc(”)=()

A.(-1,4)B.[-1,4]C.(-1,5]D.(4,5)

【答案】B

【分析】计算出集合A、3后，借助补集定义及交集定义即可得.

【详解】由五」，即*+1）（：-力0,解得TWX<5,故/=同一』<5},

由y=log2（%2—16）,可得16〉0,即x>4或xv—4,i^^B=[x\-4<x<4],

故Zc隔8）={x|-lWxV4}.

故选：B.

7.已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当。=机+〃（其

中正整数加、“eS且加片"）或。=。+4（其中正整数。、qeS且pwq）.现有如下

两个命题：①5eS；②集合{尤|无=3",〃eN*}qS.则下列判断正确的是（）

A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错

【答案】A

【分析】根据集合S的定义即可判断①是假命题，根据集合S的定义先判断5eS,3〃eS,

再由Vxe/,有尤=3〃+5,3〃eS,5eS且3〃*5,所以xeS,可判断②是真命题.

【详解】因为若aeS,则当且仅当”（其中且加="），或。=p+q（其中

p,q走S,p,qeZ且p*q）,

且集合S是由某些正整数组成的集合，

所以1ES,2妇5,

因为3=1+2,满足a=P+4（其中°，4e5,°，4©2*且。*0）,所以3eS,

因为4=1+3,且1至S,3eS,所以4e5,

因为5=1+4,4",所以5eS,故①对；

下面讨论元素3小>1）与集合S的关系,

当〃=1时，3e5；

当”=2时，6=2+4,2eS,4gS,所以6eS；

当〃=3时，9=3+6,3eS,6eS,所以9eS；

当”=4时，12=3+9,3eS,9eS,所以12eS；依次类推,

当"23时，3/z=3+3（M-1）,3eS,3（n-l）eS,

所以3〃eS,贝ij{x|x=3〃,“eN*}uS,故②对.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断1任$,2wS,3eS,4eS,再根据集合

S的定义求解.

8.已知函数了=卜]为高斯函数，表示不超过实数x的最大整数，例如

[-0.5]=-1,[1.3]=1.^A={-2,-1,0,1},B=\yy=/(x)-1+/(l-x)-1,XWR],

则集合A,B的关系是()

A./cB={-2}B.八{TO/}

C./c8={-l,0}D./口8={0,1}

【答案】C

【分析】根据题意分别求出集合8=然后利用集合的交集运算从而求解.

4,

【详解】由题意得〃x)=,所以

4工+2

x22_

y=/（）-1+/（I）-\+

224x+24x+22

11912

因为甲+2＞2,所以0＜不备＜5'所以不萤武刈,所以2，

21

------------G

4、+22

当二一J。，)时,12二一"

------------G041,0,此时y=0+（-1）=7,

4、+2124x+24"+22I

当「口时,12210,|\此时y=7+0=_l,

r------------G------------G

24、+24x+22

1221

----------=0,止匕时歹=0+0=0,

24"+24*+22

综上：5={0,-1},所以4cB={-1,0},故C正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对了=/(x)-1+/(1-x)-^1-分情况讨论具体的

2

取值求出集合5,从而求解.

二、多选题

9.若全集。={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合竹⑹等于()

A.(物町U(UN)B.四(MUN)C.%,〃)ND.先N)“

【答案】BCD

【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.

【详解】对A,4”={2,3,5,6},”={1,4,5,6},故(您M)U(州)={123,4,5,6},故A

错误；

对B,MUN={1,2,3,4},故令(MUN)={5,6},故B正确;

对C,令可={2,3,5,6},故。“严={5,6},故C正确；

对D,dN#1,4,5,6},故%={5,6},故D正确.

故选：BCD

19

10.(2024•辽宁辽阳一模)已知集合/={x|—eN,xeN},B={x[x2-6x<7},贝I")

X+1

A.Nc8={l,2,3,5}B./u8=(-1,7)U{11}

C.12g{^x-y\xeA,yeD.3aeA,^y\y=lg(x2-ax+9)j=R

【答案】BCD

【分析】求出集合42,根据集合的运算即可判断A,B；结合尤-y<12,可判断C；

由}|y=lg(x2-办+9)}=R,结合判别式，可求得°的范围，即可判断D.

1?

【详解】由题意得/={刈一eN,XGN)={0,1,2,3,5,11},5={xI-6%<7}=(-1,7),

X+1

故"c8={0,l,2,3,5},/口8=(-1,7)311}，A错误,B正确；

由于xeN/eB,故x-y<11-(-1)=12,则12e{x-y|xe/jeB},C正确；

若{引V=lg(x°-办+9)}=R,则--ax+9能取到所有的正数，

即〃2_3620，则a26或aW—6,

即表£4}Iy=lg(/-ax+9)}=R,D正确，

故选：BCD

11.已知集合4B满足8={(x/,z)|x+y+z=ll,x,y,z〃},则下列说法正确的是()

A.若/={-2,0,1,13},则3中的元素的个数为1

B.若/={xlx=24+l#eN},则B中的元素的个数为15

C.若/=N+，则3中的元素的个数为45

D.若么=1'},则B中的元素的个数为78

【答案】BCD

【分析】对于A,由集合3的定义即可列举出集合8中所有的元素即可判断；对于B,

A中的元素均为正奇数，对x分类讨论即可验算；对于C,原问题等价于将11个大小

相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；

对于D,原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每

人至少分1个，利用隔板法验算即可.

【详解】由题意得2={(-2,0,13),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,0),(13,0,-2)},

所以3中的元素的个数为6,A错误.

由题意得A中的元素均为正奇数，在8中，

当x=l时，有(1,1,9),(1,3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共5个元素，

当x=3时，有(3,1,7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4个元素，

当x=5时，有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共3个元素，

当x=7时，有(7,1,3),(7,3,1)共2个元素，

当x=9时，有(9,1,1)共1个元素，

所以3中的元素的个数为5+4+3+2+1=15,B正确.

8={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,y,zeN+},可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分

给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为C；0=45,所以3中的元素的个数为45,C正确.

8={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,y,zeN}={R,y,z)g+1+g+1+(+1/14,x+l,y+l,z+1eN

可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为C：3=78,所以3中的元素的个数为78,D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法,

由此即可顺利得解.

三、填空题

12.已知集合〃={-2,0,2,4},N=[x\x>m],若McN=M,则用的最大值为.

【答案】-2

【分析】依题意可得MqN,即可求出加的取值范围，从而得解.

【详解】因为河={-2,0,2,4},N={x|x»m}且McN=M,

所以MuN,则川4-2,所以用的最大值为-2.

故答案为：-2

13.（2024•广东湛江一模）已知全集U为实数集R,集合/={小244},

5={x|log2x>2},则/U22=.

【答案】（-知4]

【分析】解不等式可分别求得集合48,根据并集和补集定义可得到结果.

【详解】由-V4得：卜4x42,即4=[-2,2]；

由bg?x>2得：x>4,即3=（4,+8）,，务5=（-8,4],二/1^8=（-*4].

故答案为：（—8,4].

14.（2024•辽宁•一模）已知集合"=,旧=J-2/+3X+2卜N={尤eN|x>-2},则

M=,McN=.

【答案】|x|-1<x<2j{0,1,2}

【分析】首先解一元二次不等式求出集合"，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由-2X2+3X+220,即（2X+1）（尤-2）V0,解得-g〈xW2,

所以A/=[x|y=J-2x'+3x+2）=1x]VxV2；,

又"="€可尤>一2},所以MnN={0,l,2}.

故答案为：|x|-1<x<2j；{0,1,2）

四、解答题

15.（2024高三・全国•专题练习）己知集合4={小2—2工+a=0},8={1,2},且

求实数°的取值范围.

【答案】[1,+oo）.

【详解】解：若4=0,则/=4-4aV0,解得〃>1；

若1£力，由1-2+。=0得〃=1,止匕时4={1},符合题意;

若2GN,由4—4+a=0得a=0,此时N={0,2},不符合题意.

综上，实数。的取值范围是[1,+oo).

【考查意图】利用集合间的关系求参数的取值范围.

16.(2024高三・全国•专题练习)已知集合/=任片一4工一5成},5={x|2x-6>0},M=

AQB.

(1)求集合M-,

(2)已知集合C={x|a—lSE7-a,a^R},若求实数a的取值范围.

【答案】(1)[3,5]

(2)(—00,2]

【详解】(1)由N-4X-5W0,得一1SE5,

所以/=[-1,5].

由2X一6沙，得史3,所以8=[3,+oo).

所以M=[3,5].

(2)因为AfnC=M,所以

a-1<3»

则，7«>5,解得-2.

a—1<7—o,

故实数。的取值范围是(一8,2].

17.已知.为实数，设集合/={x12x+aVx”.

⑴设集合8={x|lgx=0},若求实数。的取值范围.

(2)若集合N=R,求实数。的取值范围；

【答案】(1)。43

(2)a<-l

【分析】(1)根据包含关系可得le/,故可求参数的取值范围.

(2)根据解集为R可得判别式的符号，故可求参数的取值范围.

【详解】(1)8={1},因为故le/,故-2xl+aW1即。43.

(2)因为/=R,故一2x+aV-即x'+Zx-aNO在R上恒成立，

I^A^4+4a<0,Ha<-1.

/、f-1,xeM

18.对于集合M,定义函数为x=对于两个集合定义集合

1,x

M田N=卜|京（尤）•以⑺=7}.已知集合4={1,3,5,7,9},5={2,3,5,6,9}.

(1)求力⑴与4(1)的值;

(2)用列举法写出集合A0B；

(3)用Card(M)表示有限集合“所包含元素的个数.已知集合X是正整数集的子集，求

Card(X<8M)+Card(X®8)的最小值，并说明理由.

【答案】⑴〃⑴=-1,%(1)=1;

(2)^0S={1,2,6,7};

(3)4.

【分析】(1)根据给定的定义计算即得.

(2)求出/cB,再结合定义及运算写出集合488.

(3)根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.

【详解】(1)依题意，Ic41e8,所以力⑴=一1,^(1)=1.

(2)由/={1,3,5,7,9},8={2,3,5,6,9},得Zc8={3,5,9},

因此属于A不属于3的元素为1,7,属于B不属于A的元素为2,6,

所以/③8={1,2,6,7}.

(3)依题意，对于集合C,X,

①若aeC且atX,则Card(C③(Xu{a}))=Card(Cg)X)-l,

②若atC且alX,则Card(C⑤(X3a}))=Card(C®X)+l,

因此要使©2出('区/)+©江(1(》区3)的值最小，3,5,9一定属于集合X,

l,2,6,7是否属于集合X不影响Card(X③N)+Card(X⑤8)的值，集合X不能含有/口3

之外的元素，

所以当X为集合{126,7}的子集与集合{3,5,9}的并集时，Card(X(8M)+Card(X<8)8)取

得最小值4.

【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利

用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解

决.

19.对于数集'={-1,再,移…,％}，其中0<西<%<一<与，n>2,定义向量集

¥={乖=(s,f),seX,/eX},若对任意百eV,存在2eV,使得4•4=(),则称X具

有性质P.

⑴设X={T,1,2},请写出向量集y并判断X是否具有性质尸(不需要证明).

⑵若且集合“具有性质P,求X的值；

(3