导数的应用-函数的零点问题5题型分类-2025年高考数学一轮复习

专题15导数的应用.-函数的零点问题5题型分类

彩题如工总

题型1:利用导数研究函数的零点个数

题型5：导数与“隐零点”问题

题型2：根据零点个数求参数

专题15导数的应用一函数的

零点问题5题型分类

题型4：零点与不等式的证明问题

题型3：根据零点个数求值

彩先渡宝库

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数

的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线>=左)在某区间上的交点

问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/(无)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，口上是连续不断的曲线，且/(a)'/(Z?)<0,还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将/'(尤)整理变形成

〃x)=g(x)-Mx)的形式，通过g(x)/(x)两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函

数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过

构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想

研究；③构造辅助函数研究.

（―）

函数零点的求解与判断方法

（1）直接求零点：令人尤）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，团上是连续不断的曲线，且八。）次6）<0,还必须结合函

数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

（4）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的

探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过

极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，

分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考

的地方

题型1：利用导数研究函数的零点个数

1-1.（2024高三下•江苏常州•阶段练习）已知/（x）=sin"x,g（x）=lnx+me*（"为正整数，mwR）.

⑴当〃=1时，设函数用（力=f一1一2/（x）,xe（0,7i）,证明：%（力有且仅有1个零点；

（2）当”=2时，证明：+g（x）<（x+m）ex-1.

1-2.(2024,江西九江•二模)己知函数/(无)=e*-依。(〃©阳，g(x)=x-l.

⑴若直线y=g(x)与曲线y=相切，求a的值；

⑵用表示〃.〃中的最小值，讨论函数/i(x)=min"(x),g(x)｝的零点个数.

1-3.(2024・山东・一模)已知/(x)=asinx-尤+」一(尤>-1),且0为/(x)的一个极值点.

x+1

⑴求实数。的值；

(2)证明：①函数"X)在区间(T,+8)上存在唯一零点；

11»1

②彳-----<^sin—<1,其中〃wN*且〃>2.

1-4.(2024•山东•一模)已知函数〃x)=asinx—ln(l+x).

⑴若对VX«T0］时，/(x)>o,求正实数〃的最大值；

⑵证明：Xsin7T<ln2；

&=2k

⑶若函数g(尤)=〃H+--痴1«的最小值为m,试判断方程*E-ln(l+x)=0实数根的个数，并说明理

由.

1-5.(2024高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)己知函数/(x)=x2—alnx(aeR).

⑴判断函数〃x)的单调性；

(2)设g(x)=r(x)-〃x)-21n〃x),证明：当。=2时，函数g(x)有三个零点.

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(二)

根据零点个数求参数

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从/(无)中分离

参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通

过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

题型2:根据零点个数求参数

2-1.(2024高二下,浙江台州•期末)已知函数〃力=。垢+可.

⑴当〃=1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)证明：当时，“X)有且只有一个零点；

⑶若〃尤)在区间(0,1),(1,M)各恰有一个零点，求。的取值范围.

2-2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=g1+x-ln3)-2(a>0),若函数在区间(0,+巧内存

在零点，求实数。的取值范围.

2-3.(2024・四川成都•一模)已知函数/(x)=(ge'+q[e*-g+l)x.

⑴讨论了(X)的单调性;

(2)若/(力有两个零点，求。的取值范围.

2-4.(2024高三上•广东•阶段练习)已知函数/(元)=(尤-Je'+«x+；)2.

(1)讨论的单调性；

(2)若〃尤)有两个零点，求。的取值范围.

2-5.(2024・浙江・二模)设函数/(x)=尤-sin段.

(1)证明：当xe[0,l]时，/(x)<0；

(2)记g(x)=f(x)-aln国,若g(x)有且仅有2个零点，求。的值.

2-6.(2024高三•全国•专题练习)已知〃对=9+/+依+，有3个零点，求实数a的取值范围.

题型3：根据零点个数求值

4To

3-1.(2024•陕西宝鸡•二模)己知与是方程dei+21nx-4=0的一个根，贝路丁+21n%的值是()

A.3B.4C.5D.6

3-2.（2024高三上•广东东莞•阶段练习）已知函数/。）=（/-2尤）1,若方程〃力=。有3个不同的实根看，

巧，x（x,＜x＜x）,则，"的取值范围是_________.

323z—X2

22x

3-3.（2024•福建福州,二模）已知函数=xe—（a+l）xe*+2a-1有三个零点x1,x2,x3,且％v%＜。＜崖.

贝！J（2—西匕西）（2—々e巧乂2—.

彩做题秘籍,=）

零点与不等式的证明问题

证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，

或者通过比值代换（令f=u）,利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后

根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.

题型4：零点与不等式的证明问题

4-1.（2024高三上•广东深圳,阶段练习）已知函数/（尤）=（*'-尤2一G，aeR.

（1）当」=1时,求函数g（x）=/（%）+*的单调区间;

4

（2）当0＜。＜丁;，时，函数/（九）有两个极值点为，x（石＜々），证明：%-王〉2.

e-1

4-2.（2024•宁夏）已知函数/（%）=（丁+3/+以+b）ex

（I）如〃=力=-3,求/（九）的单调区间；

（II）若了⑺在（-8,。）,（2,0单调增加，在32）,（4,+8）单调减少，证明

P—oc＞6.

4-3.（2024•广东深圳•二模）已知函数/（元）='匚-aln尤.

X+1

⑴当“=1时，求/（X）的单调区间；

（2）①当0＜a＜g时，试证明函数Ax）恰有三个零点；

②记①中的三个零点分别为X[,X2,三，且王＜%＜工3，试证明X；（l-尤3）＞。（尤;-）

4-4.（2024・山东日照•三模）己知函数/（x）=9-lnr-lna-l有三个零点.

(1)求。的取值范围；

,X3

(2)设函数〃x)的三个零点由小到大依次是占,々，为证明：ae>e.

4-5.(2024•江苏泰州•一模)己知函数xe(0,+s),g(x)=〃x)-尸(x).

⑴若a>0,求证：

(0)/(x)在/'(X)的单调减区间上也单调递减；

(0)g(x)在(。，+°°)上恰有两个零点；

(2)若。>1,记g(x)的两个零点为占,受，求证：4<%+尤2<。+4.

4-6.(2024・辽宁・二模)已知函数/(x)="-lnx-a.

(1)若。=3.证明函数Ax)有且仅有两个零点；

(2)若函数/(x)存在两个零点X1，z,证明：eXiX1>ex'+e'2+2-2a.

4-7.(2024高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数〃x)=lnx-(加-l)x+L

⑴若了(尤)存在极值，求加的取值范围；

(2)若根=0,已知方程/(/)=2有两个不同的实根aeR,证明：玉+%>2eln：(其中e，2.71828

是自然对数的底数)

彩做题祕籍

(四)

导数与“隐零点”问题

利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求''及"等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不

含参函数的隐零点问题：已知不含参函数式X),导函数方程/a)=o的根存在，却无法求出，设方程了a)=o

的根为Xo,则⑦有关系式了。0)=0成立；(方)注意确定X0的合适范围.②含参函数的隐零点问题：已知含参函

数用,a),其中。为参数，导函数方程了(x,a)=0的根存在，却无法求出，设方程了(x,a)=0的根为xo,

则⑺有关系式f(xo,a)=0成立，该关系式给出了xo,a的关系；(〃)注意确定xo的合适范围，往往和a的取

值范围有关.

题型5:导数与“隐零点”问题

5-1.(2024•全国)设函数/(x)=e2工一alnx.

（0）讨论〃尤）的导函数/（X）的零点的个数；

2

（回）证明：当a>0时/（x）22a+aln—.

5-2.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知函数/（x）=x-alnx.

⑴求〃尤）的单调区间；

（2）若y=/（x）有两个零点，记较小零点为看,求证：（a-l）x0>a.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024・天津）函数/（x）=2“+/-2在区间。1）内的零点个数是

A.0B.1C.2D.3

2.（2024•全国）函数/（%）=丁+方+2存在3个零点，则”的取值范围是（）

A.(—0,-2)B.(一»,-3)C.(TT)D.(-3,0)

3.（2024•全国）已知函数/。）=/-2》+4（/7+邛川）有唯一零点，则。=

11-1

A.--B.-C.-D.1

232

4.（2024•吉林通化•模拟预测）已知函数/Xx）=（尤2+2）（/一362+4满足：①定义域为R；②g<6<4；

③有且仅有两个不同的零点为，巧，则J+J的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.C.D.（1,2）

5.（2024•河南郑州•模拟预测）已知函数〃耳=?+1七+〃，若/（力=0有3个不同的解毛，巧，/

2ex,e*2e均

且占V9<%3，则----1----1---的取值范围是（

%x2x3

A.(e,+oo)B.[2e,+oo)

C.（-8e,+co）D.（e,2e）

二、多选题

6.（2024高三上・河北保定•阶段练习）已知函数/（力=尤3一G2+6X+],则下列说法正确的是（）

A.当6=0时，/（x）有两个极值点

B.当a=0时，“X）的图象关于（0,1）中心对称

2

C.当6=（，且。>-4时，，（无）可能有三个零点

D.当“X）在R上单调时，0223b

7.（2024•广东深圳•模拟预测）对于函数/⑺和g（x）,设％小"（力=。},苍4|g（x）=0},若存在公马,

使得k-赴归1,则称“X）与g（x）互为"零点相邻函数".若函数/（x）=eA3+尤-4与8（%）=11«-如互为"零

点相邻函数"，则实数〃?的值可以是（）

ln5ln3In21

A.---B.---C.---D.-

e

三、填空题

8.（2024•北京）已知函数/（幻=旭R-行-2,给出下列四个结论：

①若左=0,Ax）恰有2个零点；

②存在负数左，使得"X）恰有1个零点；

③存在负数左，使得了*）恰有3个零点；

④存在正数左，使得Ax）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

9.（2024高三上•江苏南通•开学考试）已知定义在R上的函数，（“同时满足下列三个条件:

①“X)为奇函数；②当0WxW2时，/(X)=X3-3X,③当x20时，/(x+2)=/(%)+2.

则函数y=/（x）-ln|x|的零点的个数为

xex-x2-2x,x<l

10.（2024高三上•广东深圳•阶段练习）已知函数〃尤）=<9，则方程a〃x)]+二l有—

XH--------O,Ari1C

X

个不相等的实数解.

11.(2024•陕西西安•一模)若函数〃x)=2丁-加+l(aeR)在(O,+s)内有且只有一个零点，则〃x)在

[-2,2]上的最大值与最小值的和为.

四、解答题

12.(2024・全国)己知函数/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)为了(元)的导数.证明：

jr

(1)/co在区间(-1,万)存在唯一极大值点;

(2)/⑺有且仅有2个零点.

13.(2024・全国)已知函数"X)=；丁+X+1).

(1)若。=3,求“X)的单调区间；

(2)证明："X)只有一个零点.

14.(2024•全国)已知函数/(x)=ox-L-(a+l)lnx.

X

(1)当。=0时，求f(x)的最大值；

⑵若/")恰有一个零点，求。的取值范围.

15.(2024•全国)已知函数/(x)=ln(l+x)+oxeT

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(0,〃。))处的切线方程；

(2)若“X)在区间(-1,0),(0,y)各恰有一个零点，求°的取值范围.

16.(2024高三上•河南•阶段练习)设函数/■(x)=(x-2)ln(x-l)-at,aeR.

⑴若在(2,y)上单调递增，求。的取值范围；

(2)已知〃x)有两个不同的零点占,马,

(i)求a的取值范围；

11,

(ii)证明：—+—=1.

冗1x2

17.(2024高三上•四川成都•开学考试)已知函数/(x)=alnx+x-：有三个零点%1，/，%3(王〈々〈七),

⑴求a的取值范围；

⑵过点&,0)与(&,0)分别作了(%)的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.

X

18.(2024•全国)已知函数/(%)=---lnx+x-〃.

⑴若〃”)20,求a的取值范围;

(2)证明：若“X)有两个零点%,则%

VH

19.(2024•河北•模拟预测)已知函数/(元)=lnx+—-2.

x

⑴若不等式/(x)<-2有解，求实数加的取值范围；

⑵若/(X)有两个不同的零点不，龙2，证明：21ns<lnX]+ln尤2<l+ln机.

20.(2024・陕西)设力。)=》+犬+…+x”-l,weN,〃22.

(0)求力'⑵;

(0)证明：Z.(x)在内有且仅有一个零点(记为%)，且

21.(2024高三上•河南洛阳•开学考试)(1)证明不等式：ei>ln无(第一问必须用隐零点解决，否则不

给分)；

(2)己知函数/(>)=(尤-2)e，+a(x-l)2有两个零点.求a的取值范围.(第二问必须用分段讨论解决，否则不给

分)

22.(2024高三上•河北•期中)已知函数/(x)=2e'+a(x2-lnx)+x.

⑴若。=-2e-l,求〃x)的单调区间；

(2)记函数g(x)=f2—aln(无+l)+x+4,若g(x)恒成立，试求实数0的取值范围.

23.(2024高三上•云南•阶段练习)已知g(x)=xe"-a(lnx+x).

⑴当a=l时，求g(x)在(1,+8)上的单调性;

⑵若/z(x)=xe",令=讨论方程〃x)=〃2(MieR)的解的个数.

24.(2024高三上•北京•开学考试)已知函数/(%)=依-一，曲线>=〃尤)在(0,/(0))的切线为y=-X+1.

e

(1)求a,6的值；

⑵求证：函数在区间(1,”)上单调递增；

⑶求函数/(尤)的零点个数，并说明理由.

25.(2024高三上•河北保定•开学考试)已知函数〃x)=罢把-[

a£R.

⑴当a=-l时，证明：〃力>1在[-匹0]上恒成立；

(2)当a=l时，求在［凡2句内的零点个数..

26.(2024高三上•重庆•阶段练习)已知定义在R上的函数x-i,其导函数为广(x).

⑴求y=/'(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)=-小+(a—l)x,求关于X的方程g(%)=/(%)的解的个数.

27.(2024高三上•河北•阶段练习)已知函数〃x)=sin(x-l)-lnx,/(力为〃尤)的导数.

⑴证明：尸(%)在区间］。,1+鼻上存在唯一极大值点；

⑵求函数〃力的零点个数.

28.(2024高三上•重庆・开学考试)已知函数〃劝=胧M.

⑴求〃尤)的极值；

(2)若关于无的方程/(X)=根只有一个实数解，求实数机的取值范围.

29.(2024高三上•四川广安•阶段练习)已知函数/(x)=/+3依-2.

⑴讨论"X)的单调性；

⑵若函数/(X)只有一个零点，求实数。的取值范围.

30.(2024高三上•江西南昌•开学考试)已知函数/'(%)=，("1).

⑴求函数g(x)=〃x)+U在(0,+“)上的单调区间和极值；

⑵若方程=1-xlog“x有两个不同的正根，求。的取值范围.

31.(2024高三上•福建厦门•阶段练习)若函数/。)=办3_法+4,当x=l时，函数〃x)有极值为2,

⑴求函数的解析式；

(2)若〃尤)=上有3个解，求实数上的范围.

32.(2024•河北保定•二模)已知函数/(%)=(彳+2)孑+/+依，其中常数aeR,e是自然对数的底数.

⑴若°=-3,求“X)的最小值；

(2)若函数g(x)=/(x)-2cosx恰有一个零点，求a的值.

33.(2024高三上•重庆•阶段练习)已知函数〃x)=aln尤-£,(aeR).

X

⑴讨论f(x)的单调性;

⑵若函数g(x)=〃x)+W在区间(1,+8)上恰有一个零点，求a的取值范围.

34.(2024•河南•模拟预测)已知函数f{x)=a}nx-bx(a,b£R,aw0).

⑴求证：曲线>=/(%)仅有一条过原点的切线；

(2)若〃=2b>0时，关于x的方程/(九)=m-必有唯一解，求实数机的取值范围.

35.(2024•新疆•三模)已知函数/(%)=ax2+(〃+i)x]nx-l,且(无)=幺^.

(1)讨论g(%)的单调性;

2

⑵若方程/CO'Yy+xInx—1有两个不相等的实根为,々，求实数。的取值范围，并证明口+巧〉——e.

XxX2

36.(2024•江西鹰潭•一模)设机为实数，函数/(x)=2/nlnx-2x(m£R).

⑴当机=；时，直线y=ax+人是曲线y=/(x)的切线，求a+〃的最小值；

(2)已函数有两个不同的零点为，巧(0<x1<x2),若尤。=3±孕(彳/-1)，且/(%)<0恒成立，求

实数力的范围.

37.(2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知函数=-asinx.

⑴证明：当a>2时，“X)在区间(0马上存在极值点；

(2)记〃尤)在区间„上的极值点为相，在区间[0,可上的零点的和为小请比较2机与〃的大小.

38.(2024高三上•内蒙古乌兰察布•期中)设函数〃x)=-/lnx+q+如

(1)试讨论函数〃尤)的单调性；

⑵如果a>0且关于X的方程〃x)=机有两个解石,%(占<%2),证明：xl+x2>2a.

39.(2024高三上•辽宁大连•期中)已知函数/(x)=e，-T—a㈠自然对数的底数)有两个零点.

⑴求实数。的取值范围；

(2)若/(X)的两个零点分别为4，X?,证明：Xlx2>^—.

十以

40.(2024高三下•重庆九龙坡•开学考试)已知/(x)=21ogJX-e?(a>0且"1).

⑴试讨论函数的单调性；

(2)当。>1时，若/(x)有三个零点国,％,三.

①求。的范围；

②设占<々<龙3，求证：3x；+2x：+x；>2e-2.

41.(2024高三上•广东河源,开学考试)已知函数/(x)=ln(x+l),g(x)=〃x)+ae',其中aeR.

⑴求过点且与函数/(x)的图象相切的直线方程；

2

⑵①求证：当x>0时，e%>l+x+y；

②若函数g(无)有两个不同的零点工，“求证：|X2-X]|<2^+|-1.

全国名校大联考2023-2024学年高三上学期第一联考(月考)数学试题)已知函数〃x)=21nx+w(。eR).

(1)若〃尤)W0在(0,+e)上恒成立，求a的取值范围：

(2)设g(x)=--/(x),X],4为函数g(x)的两个零点，证明：xix2<l-

43.(2024•江苏南京•模拟预测)已知函数/(x)=lnx,g(尤)=：f-2x+l.

(1)求函数夕(x)=g(x)-3〃X)的单调递减区间；

(2)设=,aeR.

①求证：函数y=/z(x)存在零点；

②设。<0,若函数y=/z(x)的一个零点为S.问：是否存在a,使得当xe(o,m)时，函数y=/i(x)有且仅有

一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定。的个数；如果不存在，请说明理由.

2犬+a+2

44.(2024高三上・山西临汾•期中)已知函数/(x)=e*-qsinx-l,g(x)=-二------+a(cosx-sinx)+2,

在(0,万)上有且仅有一个零点X。.

⑴求。的取值范围；

(2)证明：若l<a<2,则g(x)在(-万,0)上有且仅有一个零点A，且质+x1Vo.

45.(2024高三上•广东深圳•阶段练习)已知a>0,函数〃x)=xe*-。，g(x)=xlnx-a.

⑴证明：函数“X),g(x)都恰有一个零点；

(2)设函数的零点为A，g(x)的零点为证明占尤2=".

46.(2024•海南海口•模拟预测)已知函数/(x)=xe"2.

⑴求的最小值;

(2)设F{x)=f(x)+a(x+1)?(a>0).

(回)证明：尸(x)存在两个零点,巧；

(团)证明：厂(%)的两个零点七，巧满足演+々+2<。.

47.(2024高三上•甘肃天水,阶段练习)已知函数/(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.

(1)讨论函数/*)的单调性；

(2)当。=0时，g(x)=(%-1)/(%)-%2-1,证明：函数g(无)有且仅有两个零点，两个零点互为倒数.

48.(2024•四川遂宁•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.

(1)若函数/(x)在x=l处取得极值，求曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程；

(2)讨论函数/*)的单调性；

(3)当。=。时，g(x)=(x-l)/(x)-x2-1,证明：函数g(x)有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.

49.(2024高三•湖南长沙,阶段练习)已知函数/(x)=InX-eR)在其定义域内有两个不同的零点.

(1)求。的取值范围；

(2)记两个零点为占,且占<%，已知2>0,若不等式“In%—l)+lnx「1>0恒成立，求X的取值范

围.

50.(2024,广西•模拟预测)已知/'(x)=(x3-ar+l)lnx.

(1)若函数/(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；

(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为占,超，为且毛<%<三，当玉+W>2时，求实数a的取值范围.

51.(2024・贵州遵义•模拟预测)已知函数/OOnJd+aY+bx+i(兄匕6尺).

(1)若b=0,且/⑺在(0,+8)内有且只有一个零点，求。的值；

(2)若°2+6=0,且有三个不同零点，问是否存在实数。使得这三个零点成等差数列？若存在，求出

。的值，若不存在，请说明理由.

52.(2024•浙江•二模)设。<■!，己知函数/(x)=(x-2)e'-a(x2_2*+2有3个不同零点.

⑴当。=0时，求函数“X)的最小值：

⑵求实数。的取值范围；

⑶设函数/'(X)的三个零点分别为芯、々、演，且%”3<0,证明：存在唯一的实数。，使得看、X］、龙3成

等差数列.

53.(2024高三上,山东临沂•期中)已知函数/(*)=叱和g(x)=§有相同的最大值.

xe

(1)求。，并说明函数版©=/(无)-gQ)在(1,e)上有且仅有一个零点；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线丁=/(幻和'=8。)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等比数列.

54.(2024・湖北黄冈・三模)已知函数〃x)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xln2.

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⑴当。=0时，求函数/(X)在求兀，兀］上的极值;

(2)用max卜表示