陕西省汉中市汉台区2025届高三二模数学试题 含解析

汉台区2025届高三年级教学质量检测考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，解得，，所以.故选：C2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算可得，在根据复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可得：，所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.3.2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（）A.与的样本相关系数B.C.表中维修费用的第60百分位数为6.5D.该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元【答案】B【解析】【分析】利用线性回归方程计算判断ABD；求出第60百分位数判断C.【详解】对于A，由，得与成正相关，样本相关系数，A错误；对于B，，，则，B正确；对于C，，因此第60百分位数为，C错误；对于D，由选项B知，，当时，，则当年所需要支出的维修费用约为12.38万元，D错误.故选：B4.向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积运算律得，再利用向量夹角公式即可.【详解】，则，则，即，解得，所以.故选：D.5.若是第二象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系可得，由是第二象限角，可得，即可求解.【详解】由得，因为，所以，因为是第二象限角，所以，所以，所以故选：A.6.已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，依题意得到方程，求出的值，再求出，，即可求出.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得或，当时，，，所以；当时，，，所以；综上可得.故选：A7.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可求出，再联立直线与抛物线方程，消元求出，即可求出，从而求出圆的面积.【详解】直线，令，可得，即直线过点；抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线，由，消去整理得，设，，显然，则，所以，则以线段为直径的圆的面积.故选：C8.若满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则满足等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解.【详解】设，则恒成立，即，因为，所以在上单调递增，且当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，即最小值，，令，得．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据正弦型函数的周期即可判断A；根据其对称性即可判断B，利用整体法求出函数值域即可判断C；求导并举出反例即可判断D.【详解】对A，周期为，故A对；对B，令，，则，若成立，则关于对称，令，解得，因为，则B错误；对C，，故C正确；对D，，当时，则，则D错误，故选：AC.10.掷一枚质量均匀的骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由古典概型可判断A，利用全概率公式可判断B，利用相互独立事件概率计算公式可判断C，利用条件概率可判断D.【详解】由题意，，，则，，故A正确；由全概率公式，则，故B正确；事件表示掷出的点数为偶数且不大于2，则，事件表示掷出的点数为奇数且大于2，则，则，故C错误；，，则，故D正确．故选：ABD11.给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.若点在线段上，则异面直线与所成角为定值C.若点在线段上，则的最小值为D.若，则点轨迹的长度为【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出底面积，再利用点到平面距离公式求出点面距离，求出体积是定值判断A，利用线线角的向量求法求出线线角，得到定值判断B，作出展开图，利用先判断最小值是线段，再利用余弦定理求解其长度判断C，求出轨迹方程，再利用圆的弧长公式求解弧长判断D即可.【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，设，，则，对于A，易得面的法向量为，设到面的距离为，由点到平面的距离公式得，而，则，即三棱锥的体积为定值，故A正确，对于B，因为点在线段上，所以，而，，则，，得到，，解得，即，如图，连接，由题意得，，则，，设异面直线与所成角为，则，而，故，即异面直线与所成角为定值，故B正确，对于C，如图，将面沿着翻折，使面与面共面，由题意得四边形是正方形，四边形是矩形，得到，，故而，则的长度即为所求最小值，由余弦定理得，解得，故C正确，对于D，如图，连接，此时，，则由两点间距离公式得，因为，所以，两边同时平方得，化简得，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，由正方体性质得，则弧长为，即点轨迹的长度不为，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后求解出轨迹方程，再利用弧长公式得到所要求的轨迹长度即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线：与：平行，则与间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果.【详解】由与两直线平行可得，解得；即可得：，所以与间的距离为.故答案：13.图中平行四边形有___________个（用数字作答）.【答案】90【解析】【分析】结合图形的性质由分步计数原理可得.【详解】由平行四边形有两组对边分别平行相等，所以分别从四条横线中取两条和从六条斜线中取两条即可，即.故答案为：90.14.已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.【详解】因为，则定义域为，所以的图象是取与图象位于下方的部分，作出的图象如下所示（实线部分）：当时，显然在上单调递减，且；因为，使得关于的不等式成立，所以，令，解得，结合图象可得的解集为或，即实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出的图象，结合图象得到的解集.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，，分别是角的对边，已知.（1）若，求实数的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）首先求出，再利用余弦定理即可得到；（2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形面积公式即可求出最值.【小问1详解】由，且，得，可变形为.依据余弦定理，可知，即.所以.【小问2详解】因为，根据余弦定理得，所以，即，当且仅当时等式成立，故，当且仅当等号成立，即所求面积的最大值是.16.设数列的前项和为，若，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求.【答案】（1）证明见解析（2）210【解析】【分析】（1）降次作差得，再升次作差即可；（2）直接累加并利用等差数列求和公式即可.【小问1详解】，当时，，两式相减得，又，故，且，所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知，所以.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）.（2），.【解析】【分析】（1）直接求导代入得，再求出切点坐标即可求出切线方程；（2）通过两次求导得到在上单调递减，则得到其最值.【小问1详解】，，，，在处的切线方程为，即.小问2详解】，令，则在上恒成立，且仅在处等号成立，在上单调递减，，且仅在处等号成立，在上单调递减，，.18.如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而，∴AC⊥平面BEF．（2）［方法一］：【通性通法】向量法由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的一个法向量，又∵平面CDC1的一个法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．［方法二］：【最优解】转化＋面积射影法考虑到二面角与二面角互补，设二面角为，易知，，所以．故．［方法三］：转化＋三垂线法二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面．如图3，作，垂足为H，联结．则是二面角的平面角，所以，不难求出，所以二面角的余弦值为．（3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法平面BCD的一个法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．［方法二］：几何转化如图4，取的中点，分别在取点N，M，使．联结．则平面平面，又平面，平面，故直线与平面相交．［方法三］：根据相交的平面定义如图5，设与交于P，联结．因为，且，所以四点共面．因为，所以．又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交．因为平面，所以直线与平面相交．【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法；方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解；方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出；（3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解；方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出；方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出．19.已知椭圆的焦距为2，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.①求证：直线恒过定点；②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①证明见解析；②存在【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解；（2）①设，，，由，，且，经过点