2025年高考数学模拟试卷2（北京卷）及答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷01（北京卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合A={0,1,2,3},集合B={xl<x<4},则AcB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2）

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在复平面内，复数z满足iz=3-4i,贝心的虚部为（）

A.3iB.-3i

C.3D.-3

3.已知双曲线C经过点（0,1）,离心率为2,则C的标准方程为（）

A.炉_匚1B.—

33

22

C.=1D.--尤2=1

-33

4.下列函数中，既是奇函数又在（0,+8）上单调递增的是（）

11

A.—2B.y=—

'v_drX

C.y=tawcD.y=x\x\

5.设a>0,b>0,则“lg（a+6）>0”是“1g（而）>0"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在AABC中，ZA=120。，a=晒,b-c=l,则AABC的面积为（）

A.更B.-

22

C.9D.-

44

7.在AABC中，AB=4,AC=3,_@.|AS+Ac|=|AB—Ac|,则A3.BC=（）

A.16B.-16C.20D.-20

8.已知等差数列｛4｝的前”项和为S“，若$3=30,08=4,则品=（）

A.54B.63

C.72D.135

9.在平面直角坐标系中，记"为点P（cosftsin。）到直线区-y-3左+4=0的距离，则当0,左变化

时，d的最大值与最小值之差为（）

A.2B.3C.4D.6

10.如图，正方体ABCD-ABCR中，点P为线段BC,上的动点，则下列结论正确的个数是（）

（1）三棱锥A-RPC的体积为定值；

（2）直线AP与平面AC。所成的角的大小不变；

（3）直线AP与4。所成的仍的大小不变，

（4）A,C1DP.

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.1J-2xj的展开式中常数项为（用数字作答）

12.已知抛物线C：V=4x的焦点为f，点加在C上，若|MF|=3,则/到直线x=-2的距离为：.

13.若函数/（^）=2sin^cos^+Acosx（A>0）的最大值为近，则A=,.

14.已知数列｛为｝是各项均为正数的等比数列，S.为其前n项和，4a3=16,S3=14,则

%=；记1=%%…。“（〃=1，2,…），若存在nQeN,使得Tn最大，贝！］n0的值为.

15.设aeR,函数“xbFz:2,，给出下列四个结论：

①当。=1时，“X）的最小值为-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一个零点；

③存在。>0,使得/（%）有三个不同零点；

④Vae（F,O）,f（x）在R上是单调递增函数.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

如图，直三棱柱44C1—A8C中，AB=AC=AAI,BC=42AB,点。是BC中点.

（1）求证：平面BCC内;

（2）求证：48//平面4。弓；

（3）求二面角A-AB-D的余弦值.

17.(13分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cosA=0asinB.

(1)求sinA；

(2)若〃=石，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，

并求AABC的面积.

条件①：b=A/6C;条件②：b=\[6；条件③：sinC=g.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一

个解答计分.

18.(13分)

2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、

王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，

神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识

竞赛，竞赛分为理论、操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分、200分、300分.现从参加

活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表：

理论

100分200分300分

操作

100分021

200分3b1

300分23a

例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人.

(1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为

1求a/的值；

(2)在(1)的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有

一个人操作的成绩为300分的概率；

(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出6的值.(直接写出答案)

19.（15分）

22

已知椭圆C:三+七=1(。>6>0)的一个焦点坐标为(T,0),A,8分别是椭圆的左、右顶点，点。(羽丫)

3

在椭圆。上，且直线AD与BD的斜率之积为-

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设直线2x+(y-3=0与椭圆分别相交于M,N两点,直线MO(。为坐标原点)与椭圆的另一个交点

为E,求AMVE的面积S的最大值.

20.(15分)

已知函数/(x)=«,g(x)=“ln尤,aeR.

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求。的值和该切线方程；

(2)设函数//(》)=/(x)-g(x),当〃(x)存在最小值时，求其最小值双。)的解析式.

21.（15分）

若存在常数H左eN*,kN》、c、d,使得无穷数列｛%｝满足%+i,则称数列｛为｝为

n

_£N*

k

“「数列.已知数列｛%｝为“「数列”.

(1)若数列也｝中，4=1，k=3、1=4、c=。，试求%19的值;

(2)若数列也｝中，4=2,k=4、d=2、c=l,记数列｛或｝的前〃项和为黑,若不等式S,"•3”对

“eN*恒成立，求实数％的取值范围；

(3)若产/为等比数列，且首项为6,试写出所有满足条件的并说明理由.

数学.参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678910

ADCDBABBDc

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.-16012.413.1逅14.43或415.②③

2

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性质，得出AD上3c和AD，CG，根据线面垂直的判定定理，即可

证出平面8CG4；

（2）连接AC,交AG于点E,连接OE,结合三角形的中位线得出根据线面平行的判定定理,

即可证出A\BH平面ADC1；

（3）连片A,交BA于点O,分别取08、A3中点H、连接DH、〃«、，根据线面垂直的判定

定理，可证出平面44和。3,平面。从而得出就是二面角A-A2-D的平面角，最

后利用几何法求出二面角A-A.B-D的余弦值.

【详解】解：（1）证明：•••AB=AC,D是3C中点，.•.ADL3C,

又,•,在直三棱柱AgG-ABC中，CG_L平面ABC,ADu平面ABC,

AD1CQ,

又BCcCQ=C,3Cu平面8CC禺，CGu平面BCG4，

平面BCC园.

（2）证明：连接AC,交4G于点E,连接£>E,

E分别是BC、AC的中点,

.•.小是442(7的中位线，，43〃。后，

:ABa平面ADC],£>Eu平面ADC],

.­.43//平面AZ)G

(3)解：连片A,交BA于点。，分别取03、A3中点H、0,,连接。“、HO1、D01,

•.•四边形AB44是正方形且“、。分别是03、A8的中点，故H«_L08,

在AABC中，-.AB=AC,BC=y/2AB,

BC2=2AB2=AB2+AC2,..AB±AC,

又D分别是A3,3c中点且ABIAC,

0xDVAB,

又,在直三棱柱AgG-ABC中，叫，平面ABC,平面ABC,

OXD1,

QABoAAl=A,ABu平面抽匚平面AB4A，

，。1。_1平面43月4，

•.•03u平面ABBX\,HO】u平面ABB^,

QD1OB,0{D1HO,,

又•.•HOlLOB,0|DcHQ=0|,OQu平面DHOX,HO,u平面DHOl,

.•.。8_1_平面。〃。1,

•.•HDu平面04。，.-.OB±HD,

又•平面A418c平面ABD=AB

就是二面角的平面角，

设AB=2,则在放AHOI。中，/HC\D=90。,

O,D=-AC=1,O,H=-OA=-AB.=—,

1212412

故四—Y，

变

oH~T

故cosNQ/ZD=t

2

即二面角AYB"的余弦值为9.

【点睛】本题考查线面垂直和线面平行的判定定理，以及利用几何法求解二面角余弦值，还涉及三角形中

位线和勾股定理的逆定理的运用，考查推理证明能力和运算能力.

17.(13分)

【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.

(2)选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形

不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.

【详解】(1)由。cosA二行asinB得：sinBcosA=V2sinAsinB，而sin^BwO,

则cosA=0sinA〉0，A为锐角，又sin?A+cos2A=1,解得sinA=¥，

所以sinA=3且A为锐角.

3

(2)若选条件①，由sinA=3，A为锐角，得cosA=逅，

33

由余弦定理得=/+/-2bccosA,又b=\[^c,贝！13=6c?+02—,

解得。=1/=后,AASC唯一确定，所以S=-bcsinA=^.

△/ioc22

若选条件②，由正弦定理得，工

smAsmB

由b=屈〉a=6,得B>A,因此角B有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.

若选条件③，由sinA=3,A为锐角，得cosA="，

33

XsinA=—>sinC=-,得a>c,A>C,则cosC=^^,

333

因此sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=^-,^ABC唯一确定,

7Hr

由正弦定理得一三则c飞^=1,所以%^=；.118=母

sinAsinC

3

18.（13分）

【分析】（1）由题意得，寄=；，从而求解。，再结合表格数据与学生总人数求解匕；（2）先求解样本符

合题意的概率，然后由样本估计总体，得全市学生符合题意的概率，从而利用对立事件的概率公式求解；（3）

表示出参赛学生理论竞赛的平均成绩与方差，从而得关于b二次函数，由b的取值范围与二次函数的性质从

而求解得答案.

【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生

共有2+3+a+l+l=7+a人，则?二“=’,

202

得。=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20,

得6=5

（2）由（1）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人，

3

操作成绩也为300分的概率为w,所以从全市理论成绩为300分的学生中,

随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为尸=1-=||

（3）由题意，a=8-b（0<b<8）,

设理论竞赛的分数为X,则X取值为｛100,200,300｝,

对应的人数分别为｛5乃+5,10-耳（0（后8）,所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为

E（X）=100x—+200x^^+300x^^=225-5^

v,202020

所以参赛学生理论成绩的方差为

2

£>(X)=(100-225+5才xA+(200-225+56'x^2+(300-225+x=-25b-250b+6875

因为0V%V8,所以当6=8时，aX）最小.

【点睛】求解本题的关键是将理论竞赛分数对应的人数表示为b的多项式，然后求解均值与方差，从而转化

为关于b的二次函数的最值问题.

19.(15分)

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案;

（2）由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦

达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案.

【详解】（1）由已知得4一。,0）,8（。,0）且心。-原。=一：，即二——J=

4x—ax+a4

因此有丁=_弧_*=白/_/),得/■=:.

1丫22

因此一〃=2=1,得°2=4,6=3,所以椭圆的标准方程为L+2L=1.

443

(2)显然直线MN经过x轴上的定点设"&,%)，N(%,%),

则由椭圆的对称性得S=2Sw=2xJoQ|(M+|M=|OQ|(M+|M，

2%+Zy—3=0

联立fy2_，消去尤得(16+3/)，―1附-21=0.

143

A=(T8r)2+84(16+3/)>0恒成立，所以％+<0.

16+3/lb+3t

1(18/)2+84(16+3?}]3/+7

|%|+|%|=回一%|=)(必+%)2-4%%

《(16+3r)2而6+3〃y

令3/+7=加，显然有机27,当m=9,即时

取等号.

因此AMVE的面积S的最大值为2^3.

20.（15分）

【分析】（1）对Ax）,g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线，从而解出。的值及该切线的方程；

（2）由条件知/?（%）=6-alnx（x>0）,对〃（x）进行求导，分两种情况进行讨论：①。>0；②④0,从而

求其最小值。(。)的解析式;

【详解】(1)解：((x)=j，g'(x)=?x>0),

y[x=a]nx

由已知得la,解得。=："=e2

2^/xx

两条直线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为％=f卜2)=[,

,切线的方程为y-e=：(x-e2),即切线的方程为y=；x+*

（2）解：由条件知人（力=«-〃111九（尤>0）

7,/X1a\fx-2a

nx）=-f=——=-------

2y[xx2x

①当a>0时，令〃（力=0,解得x=4/,

•••当0<%<4/时，"(x)<O/(x)在(0,4/)上递减；当苫>4/时，"(力>0/(%)在(46,”)上递增,

x=4a2是〃⑺在(0,+8)上的唯一极值点，从而也是h(x)的最小值点，

最小值点，e(a)=〃(4/)=2a—aln4a2=2a(1—In2a).

②当aWO时，"(x)=与2>0,"x)在(0,+s)上递增，无最小值，故网”的最小值。⑺的解析式为

0(a)=2a(1-1112a)(a>0).

【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性从而求最值、分类讨论思想.属于难题.

分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决

含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样

才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟

练掌握并应用与解题当中.

21.(15分)

【分析】(1)直接利用信息求出数列的项.

(2)利用恒成立问题和函数的单调性，求出2的取值范围.

(3)直接利用分类讨论思想求出