于高等几何方法解决初等几何问题的研究

PAGEPAGE1例2.命题:“从圆上一点E作EP垂直于自己直径AB,P为垂足，圆在E处的切线与在A,B处切线分别交于C,D，则AD,BC,EP共点，且EP被交点平分，’(见图3)。此命题显然为真，令AD,BC交于T，因为△BDT∽△ACT，于是DT/TA=CA/DB，又CE=CA,BD=DE，所以DT/TA=DE/EC，从而ET//BD//CA。又EP土AB,EP//BD//CA即共点得证明。EP被交点平分亦易证。作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，于是可得另一命题“从椭圆上一点E作直径AB的共扼弦EP与AB交于P，圆在E处的切线分别与在A,B处的切线分别交于C,D，则AD,BC,EP共点，且EP被交点平分。，’(见图4)，根据仿射性质，此命题亦为真。2．2利用射影变换例3命题:“平行三直线分别交两平行的直线得三平行四边形，这三平行四边形的对角线交点共线且所在直线平行于一组对边”(见图5)。此命题显然为真。在图6中，设过点S的三直线分别交过点T的二直线两与于Al,B1,C1;A2,B2,C2。作一中心射影，使直线ST成为无穷远直线，若各点在中心射影后的记号不变经过中心射后AlCl//A2C2;AIA2//BlB2//CIC2;这样O,P,Q成为三平行四边形的对角线交点，故有O,P,Q共线且所在直线与AlC1,A2C2平行，即O,P,Q与AIC1,A2C2的无穷远点共线，(见图5)。由于射影对应保持结合不变，所以中心射影前的四点T,O,P,Q也共线。于是可得另一命题共点三直线分别交共点两直线得三四边形这三四边形的对角线交点与相交两直线交点共线(见图6),例4命题:“已知BE//CF,BC交BE,CF分别于B,C，圆与BE,BC,CF分别相切于E,D,F,BF交EC于T，DT//BE//CF,"(见图7)。此命题显然为真，因为△BET≌△FCT，于是CT/TE=CF/BE，CD=CF,BD=BCT/TE=CD/DB,从而DT//BE//CF。即得证明。将图8所示，△ABC的旁切圆切边BC于D,切边AB和AC的延长线于E和F,BF交EC于T，作一射影变换，若各点在射影变换后的记号不变，使射影变换后，△ABC的旁切圆为一圆，EF变为圆的直径，A为垂直于直径EF的直线相对应的无穷远点。(见图7)。于是可得另一命题“△ABC的旁切圆切边BC于D，切边AB和AC的延长线于E和F，设T是直线BF与CE的交点，则点A,D,T共线。”由原命题得此命题亦为真。2．3利用交比例5.命题:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”。在图9中，c,d顺次为∠(a,b)的内外角平分线，作直线1与d平行，则1⊥c。，若1交a,b,c。于A,B,T，于是△OAB为等腰三角形，因此AT=TB令1与d的无穷远点为P∞故(AB,TP∞)=一1所以(ab,cd)=一1。图10所示，c,d顺次为∠(a,b)的内外角平分线，直线1与a,b,c,d分别交于A,B,T,P.由于(ab,cd)=(AB,TP)，而BP=-PB，所以AT·PB=BT·AP，即AT/BT=AP/PB。于是可得初等几何中的角平分线性质定理。高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用众所周知，无论是在教学实践中，还是在测绘、筑路、架桥、通讯等工程实践中，不可回避地常遇到不可及点等实际问题。要解决此类问题就牵涉到几何学中共线点和共点线问题，这类问题的证明，对于初等几何乃至平面或空间解析几何来说是比较难的，有时甚至是不可能的。但是如果用高等几何的方法证明这类命题，就要方便得多，简单得多，下面通过实例加以印证。例1如图1所示，设三直线A1A2，B1B2，C1C2共点于S，A1A2，B1B2，C1C2分别交两直线OX，OY于A1，B1，C1与A2，B2C2。设B1C2×B2C1=L，C1A2×C2A1=M，A1B2×A2B1=N.求证：L，M，N，O四点共线。证明：将直线OS投影到无穷远直线，并作出图11的对应图形，用带“'”的字母示原字母的象。∵A1A2，B1B2，C1C2交于S，OX，OY共点O∴A1'A2'∥B1'B2'∥C1'C2'，O∞'X'∥O∞'Y'且A1'，B1'，C1'在O∞'X'上A2'，B2'，C2'在O∞'Y'上。由平面几何易知L'，M'，N'三点共线，且所在直线平行于A1'，B1'，C1'所在直线，所以O'∞是L'，M'，N'所在直线上的无穷远点。又由于中心射影保同素性和接合性，所以L，M，N，O四点共线。图11图此例实际上也是巴卜斯定理的特例，这里不再赘证。例2试证三角形的三条中线共点。证明：此题若用初等几何的方法来证是相当费力的，现在用高等几何的方法来证明，同时为例3做一个铺垫。如图12所示，AD，BE，CF分别为ΔABC的三边BC，CA，AB上的中线，所以EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC设EF×BC=P∞，DE×AB=Q∞，DF×AC=R∞在ΔABC与ΔDEF中，对应边的交点P∞，Q∞，R∞共线于无穷远直线，则由代沙格定理的逆定理可知，对应定点的联线AD，BE，CF共点。图12图13例3如图13所示，直线τ交ΔABC的三边或其延长线于L，M，N，若直线AM，BN，CL交成一个三角形PQR，求证：AQ，BR，CP三直线共点。证明：利用中心射影将L，M，N所在的直线τ投射到无穷远直线并作图3的对应图形。∵L'∞，M'∞，N'∞是无穷远点，∴A'B'∥Q'R'，B'C'∥P'R'，C'A'∥P'Q'∴四边形A'B'C'R'与B'C'A'P'都是平行四边形∴P'A'=B'C'=A'R'∴A'是P'R'的中点同理，B'是P'Q'的中点，C'是Q'R'的中点，即A'Q'，B'R'，C'P'是ΔP'Q'R'三边上的中线。由例2可知，它们必交于一点S'。由于中心射影保同素性和接合性，故AQ，BR，CP交于一点S。图参考文献［1］罗崇善.高等几何［M］.北京:高等教育出版社1999.［2］梅向明.高等几何［M］.高等教育出版社，1983.［3］赵宏量.几何教学探索［M］.西南师范大学出版社，1987.［4］姜树民等.高等几何学［M］.陕西人民教育出版社，2000.［5］黄良文，曾五一.统计学原理［M］.北京：中国统计出版社，