简谐振动课件

简谐振动1.简谐振动的特征及其表达式

简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。简谐振动的特征及其表达式弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力,该力与位移成正比且反向。

简谐振动的动力学特征:

据牛顿第二定律，得令运动学特征简谐振动的特征及其表达式位移之解可写为：或

简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。速度加速度简谐振动的特征及其表达式

简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式

常量和的确定在到

之间，通常存在两个值，可根据进行取舍。根据初始条件：

时，,，得简谐振动的特征及其表达式2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1)振幅:

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定(2)周期和频率

周期：物体作一次完全运动所经历的时间。频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。角频率:

物体在秒内所作的完全运动的次数。对于弹簧振子，因有，得:利用上述关系式，得谐振动表达式：

简谐振动的振幅、周期、频率和相位(3)相位和初相相位：决定简谐运动状态的物理量。初相位：t

=0时的相位。

相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：二者的相位差为：

简谐振动的振幅、周期、频率和相位(b)当时,称两个振动为反相；(d)当时,称第二个振动落后第一个振动。(c)当时,称第二个振动超前第一个振动；讨论:

相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:(a)当时,称两个振动为同相；

简谐振动的振幅、周期、频率和相位

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。

简谐振动的振幅、周期、频率和相位3.简谐振动的矢量图示法

采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。

旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。

简谐振动的矢量图示法振动相位逆时针方向ω

M

点在

x

轴上投影(P点)的运动规律：

的长度

旋转的角速度旋转的方向与参考方向x的夹角XOMPx振幅A振动圆频率

简谐振动的矢量图示法速度、加速度的旋转矢量表示法：

沿X轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。M

点:

简谐振动的矢量图示法两个同频率的简谐运动：相位之差为采用旋转矢量直观表示为：

简谐振动的矢量图示法

例15-1一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m向

X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解:(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：其中A=0.12m,T=2s,初始条件：t=0,x0=0.06m,可得据初始条件得

简谐振动的矢量图示法(2)由(1)求得的简谐振动表达式得:在t=T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得

简谐振动的矢量图示法(3)当x=-0.06m时，该时刻设为t1,得因该时刻速度为负，应舍去，设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：

简谐振动的矢量图示法4.几种常见的简谐振动(1)单摆重物所受合外力矩：据转动定律，得到

很小时(小于)，可取令,有转角的表达式可写为：角振幅

和初相

由初始条件求得。单摆周期与角振幅

的关系为

为很小时单摆的周期。

根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。

几种常见的简谐振动(2)复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。

刚体的质心为C,对过O

点的转轴的转动惯量为J,O、C

两点间距离的距离为h。令据转动定律，得若角度较小时

几种常见的简谐振动

例15-2一质量为m

的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示。

几种常见的简谐振动船的位移为y时船所受合力为：船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:因得:

几种常见的简谐振动5.简谐振动的能量动能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：

简谐振动的能量

考虑到，系统总能量为，表明简谐振动的机械能守恒。能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:

简谐振动的能量

例15-3一匀质细杆AB的两端,用长度都为l

且不计质量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴

扭动时，求证其运动周期为：。

解：设棒长为2R,质量为m，在棒扭动时,其质心沿

上下运动。因扭动角度

很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为时,细棒在水平面内转动角度为q，则有

简谐振动的能量

hc

是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度,有系统机械能守恒将上式两端对时间求导，并利用关系得证。常量

简谐振动的能量

例15-4劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M

的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。

解：平衡时O

点为坐标原点。物体运动到x处时，弹簧固定端位移为零，位于M

一端位移为x。当物体于x处时,弹簧元ds的质量

,

位移为速度为弹簧、物体的动能分别为：

简谐振动的能量系统弹性势能为系统机械能守恒，有将上式对时间求导，