初中数学模型

目录

第一章"8”字模型与飞镖模型.............................................................3

【模型1】角的"8"在型...........................................................3

【模型2】角的飞镖模型..............................................................4

【模型3】边的"8"字模型...........................................................5

【模型4】边的飞镖模型..............................................................5

第二章角平娟四大模型...............................................................7

【模型11角平分线上的点向两边作垂线................................................7

【模型2】截取构造对称全等..........................................................8

【模型3】角平分线+垂线构造等腰三角形..............................................10

【模型4】角平级+谢襟..........................................................11

第三章截长补短......................................................................13

【模型】截长补短..................................................................13

第四章手拉手模型....................................................................16

【模型】手拉手....................................................................16

第五章三垂直全等模型................................................................20

【模型】三垂直全等模型............................................................20

第六章将军饮马......................................................................23

【模型1】颓线与两定点...........................................................23

【模型2】角到定点................................................................26

【模型3】两定点一定长.............................................................29

第七章蚂蚁行程......................................................................31

【模型1】立体图形展开的最短路径...................................................31

第八章中点四大模型..................................................................34

【模型1］倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.......................34

【模型2】已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用"三线合一”..................36

【模型3】已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理................................38

【模型4】已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.............................41

第九章半角模型......................................................................43

1

【模型1］倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.......................43

第十章相似模型......................................................................48

【模型1】A、8模型................................................................48

【模型2】共边共角型..............................................................50

【模型3】一线三角型...............................................................52

【模型4】倒数型...................................................................54

【模型5】与圆有关的简单相似.......................................................56

【模型6】相似与旋转..............................................................57

第十一章圆中的辅肋线................................................................59

【模型1】连半径构造等腰三角形....................................................59

【模型2】构造直角形..............................................................60

【模型3】与圆的切线有关的辅助线..................................................62

第十二章辅助圆......................................................................64

【模型1】共端点，等线段模型.......................................................64

【模型2】直角三角形共斜边模型.....................................................65

2

第一章“8”字模型与飞镖模型

【模型1】角的“8”字模型

如图所示，AB、CD相交于点0,连接AD、BC.

i结论：NA+ND=NB+NC.

模型分析L-----------------------------

“8”字模型往往在几何综合题目中推导角度时用至U.

模型实例

观察下列图形，计算角度：

(1)如图①，/A+NB+NC+ND+NE二；

(2)如图②，/A+/B+/C+ND+/E+/F：

A

牛刀小试

1.(1)如图①,求NCAD+NB+NC+ND+NE=

(2)如图②,求NCAD+NB+NACE+/D+NE：

2.如图，求NA+NB+/C+ND+/E+NF+/G+NH二.

3

【模型2］角的飞镖模型cc

\如图所示，有结论：ND=NA+NB+NC./\/\

税型分析'

飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.>

FB

模型实例

如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分NDAB和/DCB,AM与CM交于M.

360°-ZB+ZD

探究NAMC与NB、ND间的数量关系.（NAMC=---------------------）

2

牛刀小试

1.(1)如图①，求NCAD+/B+NC+/D+NE二；

(2)如图②，求NCAD+NB+/ACE+ND+NE二.

2.如图③，求NA+NB+NC+ND+/E+/F二

3.如图④，求NA+NB+/C+ND二.

图④

4

【模型3】边的“8”字模型

如图所示，AC、BD相交于点。，连接AD、BC.

结论：AC+BD>AD+BC

在MOAD中,OA+OD>AD.

在XOBC中,OB+OOBC.

^OA+OD+OB+OOAD+BC

=>AC+BD>AD+BC

（利用两边之和大于第三边）

模型实例

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点。

求证：⑴AB+BC+CD+AAAC+BD；

(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

5

A

【模型4］边的飞镖模型

「谴焉背星-ABMC>BO+CO.

延长BO交AC于D

在RABD中,AB+AD>BD=BO+OD.

在bODC中,OD+DOOC.

=>AB+AD+OD+DC>BO+OD+OC

=>AB+AD+DC>BO+OC

=>AB+AC>BO+OC

（利用两边之和大于第三边）

6

模型实例

如图，点。为三角形内部一点.

求证：(1)2(AO+BO+C。)>AB+BC+AC；

(2)AB+BC+AC>AO+BO+CO.

牛刀小试

1.如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE

求证：AB+AC>AD+AE

2.观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由

(1)如图①，ZiABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理

由；

(2)如图②，将(1)中的点P移至AABC内，请比较aBPC的周长与△ABC的周长的大

小，并说明理由；

(3)图③将(2)中的点P变为Pi、Pz，请比较四边形BPiP2c的周长与的周长的大

小，并说明理由.

7

第二章角平分线四大模型

【模型1】角平分线上的点向两边作垂线

一加瓯不氯ZMONai-MF

PA_LOM于点A,PBLON于点B

结论：PB=PA

模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、

角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.

模型实例

(1)如图①，在aABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线

AB的距离是；

(2)如图②，Z1=Z2,Z3=Z4

求证：AP平分NBAC

牛刀小试

如图，在四边形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分NABC求证：NBAD+NBCD=180

8

2.如图，AABC的外角/ACD的平分线CP与内角/ABC的平分线BP交于点P,若/BPC=40°,则

ZCAP=.

【模型2】截取构造对称全等

;如图，P是/MON的平分线上一点，点A是射线0M上任意一点,

:在ON上截取OB=OA,连接PB.

I结论：△OPB^4OPA

、

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对

应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例

(1)如图①所示，在AABC中，AD是aABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意

一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

(2)如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB

的大小，并说明理由.

9

牛刀小试

1.已知，在aABC中，NB=2/C,AD是NBAC的平分线，AB=16,BD=8.

求线段AC的长.

2.已知，在aABC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分/ABC.求证：BC=AB+CD.

3.如图所示，在△ABC中，ZA=100°,NA=40°,BD是NABC的平分线，延长BD至E,

DE=AD.求证：BC=AB+CE.

1

【模型3］角平分线+垂线构造等腰三角形M,

;如图，P是NMO的平分线上一点，APLOP于P点，延长AP于点B./A——

【结论：^AOB是等腰三角形；

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，

进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型实例

如图，已知等腰直角三角形ABC中，NA=90°,AB=AC,BD平分NABC,CE1BD,垂

足为E.求证：BD=2CE.

牛刀小试

1.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD1BE,垂足为D.

求证：Z2=Z1+ZC.

2.如图,在AABC中，NABG3/C,AD是/BAC的平分线，BEJ_AD于点E.

求证：BE=,(AC-AB).

2

10

【模型4］角平分线+平行线

图，P是NMO山平分线上一点，过点P祀PQ〃ON,交0M于点Q、多/p一

结论：^POQ是等腰三角形

模型分析

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明

结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

模型实例

解答下列问题：

(1)如图①所示，在aABC中，EF〃BC,点D在EF上，BD、CD分别平分NABC、

NACB,写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；

(2)如图②所示，BD平分/ABC、CD平分/ACG,DE〃BC交AB于点E,交AC于点F,

线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。

(3)如图③所示，BD、CD分别为外角/CBM、/BCN的平分线，，DE〃BC交AB延长

线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？

11

牛刀小试A

1.如图，在△ABC中，/ABC、/ACB的平分线交于点E,过点E作EF〃BC,

交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线段MN的长为.

2.如图，在aABC中，AD平分/BAC,点E、F分别在BD、AD上，EF〃AB,且

DE=CD.求证：EF-AC

3.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,点E在CD上，且AE平分/BAD,

BE平分NABC.求证：AD=AB-BC

12

第三章截长补短

【模型】截长补短A'BCD

:如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EFMB+CD,'?O

1可以考虑截长补短法.：i_______।___________

［羲氐法：如图②，在EF上截取EGMB,再证明GF=CD.：Q

；、补短法:如图③，延长AB至H点，使BH二CD,再证明AH二EF.；।-------1...................>

、_______________________________________________________」A3II

模型分析〜

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于

已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角

形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

模型实例

例1.如图，已知在aABC中，ZC=2ZB,AD平分NBAC交BC于点D.

求证：AB=AC+CD

例2.如图，已知0D平分NAOB,DCLOA于点C,

求证：A0+B0=2C0

13

牛刀小试

1.如图，在中，NBAC=60°,AD是NBAC的平分线，且AGAB+BD

求NABC的度数

2.如图，在△ABC中，/ABC=60°,AD、CE分别平分/BAC、ZACB

求证：AC=AE+Cb

3.如图，ZABC+ZBCD=180°,BE、CE分别平分/ABC、ZBCb

求证：AB+CD=BC

4.如图，在中，/ABC=90°,AD平分/BAC交BC于点D,ZC=30°,

BEJ_AD于点E.求证：AC-AB=2BE

14

5.如图，RtZXABC中，AGBC,AD平分NBAC交BC于点D,CE1_AD交AD于F点,

交AB于点E.求证：AD=2DF+CE

J

6.如图，五边形ABCDE中，AB=AC,BC+DE二CD,ZB+ZE=180°

求证：AD平分/CDE

A

A

15

第四章手拉手模型

【模型】手拉手

如图，△ABC是等腰三角形、AADE是等腰三角形,AB=AC,AD二AE,NBAC=NDAE二a

结论：MBCDMDE,ABAb^ACAE（转成双）

模型分析

手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

模型实例

例1.如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H,

问：（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？

16

例2.如图，直线AB的同一侧作4ABD和aBCE都为等边三角形，连接AE、CD,二者

交点为H.求证：

(1)AABE^ADBC；

(2)AE=DC；

(3)/DHA=60°；

(4)Z\AGB名△DFB；

(5)AEGB^ACFB；

(6)连接GF,GF〃AC；

(7)连接HB,HB平分NAHC.

牛刀小试

1.如图，在△ABC中，AB=CB,/ABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在

BC上,且AE=CF.

(1)求证：BE二BF；

(2)若NCAE=30°,求NACF度数.

17

2.如图，4ABD与aBCE都为等边三角形，连接AE与CD,延长AE交CD于点

H.证明：

(1)AE=DC；

(2)/AHD=60°；

(3)连接HB,HB平分/AHC.

3.在线段AE同侧作等边△CDE(NACE<120°),点P与点M分别是线段BE和AD的

中点.求证：△CPM是等边三角形.

18

4,将等腰Rtz^ABC和等腰RtZXADE按图①方式放置，NA=90°，AD边与AB边重合，

AB=2AD=4.将aADE绕点A逆时针方向旋转一个角度a(0°<a<180°)，BD的延长线

交CE于P.

(1)如图②，证明：BD=CE,BD1CE；

(2)如图③，在旋转的过程中，当ADJ_BD时，求出CP的长•

19

第五章三垂直全等模型

【模型】三垂直全等模型

如图，/D=/BCA=NE=90°,BC=AC»

结论：RtABCD^RtACAE»

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重

的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的

一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

W0

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

模型实例

例1.如图，AB±BC,CD±BC,AE1DE,AE=DE。

求证：AB+CD=BCo

例2.如图，ZACB-9O0,AC=BC,BE±CE于点D,AD=2.5cm,BE=0.8cm。

求DE的长。

20

例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰RtAABC有两个顶点在坐标轴上,

热搜精练

1.如图,正方形ABCD,BE=CF»

求证：(1)AE=BF；

(2)AE±BFo

2.直线/上有三个正方形a、b、c,

若a、c的面积分别是5和11,

则b的面积是。

3.已知，4ABC中，ZBAC-9O0,AB=AC,点P为BC上一动点(BP<CP),

分别过B、C作BELAP于点E、CF±AP于点F。

(1)求证：EF=CF-BE；

(2)若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在

某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。

4.如图,在直角梯形ABCD中，AD/7BC,AB1BC,AD=2,BC=3,设NBCD=a,

以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE。

(1)当0=45°时，求AEAD的面积；

(2)当0=30°时，求4EAD的面积；

(3)当0°<«<90°时，猜想4EAD的面积与c

大小有无关系？若有关，写出4EAD的面积S#

与a的关系式；若无关，请证明结论。\

5.如图，向4ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG,

过点A作AH_LBC于H,AH的反向延长线与EG交于点

P。求证：BC=2AP。

22

第六章将军饮马

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形

周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年

的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

【模型1］定直线与两定点

模型作法结论

A

Z,

-----------------1

RPA+PB的最

*

R小。

当两定点A、B在直线/异侧连接AB交直线/于点P,点

时，在直线/上找一点P,使P即为所求作的点。

PA+PB最小。

BB

*A

------------------------------------------1:.・••P

PA+PB的最小

值为AB'。

R*

当两定点A、B在直线/同侧作点B关于直线/的对称点

时，在直线/上找一点P,使B',连接AB'交直线于点

PA+PB最小。P,点P即为所求作的点。

•A

g

|PA-P月的

P

当两定点A、B在直线/同侧最大值为AB。

时，在直线/上找一点P,使连接AB并延长交直线/于点

卜4一尸引最大。P，点P即为所求作的点。

/

----------------1_.・・・・••:__________.|PA-P月的

•———!-----------------------1

RPi

B最大值为

当两定点A、B在直线/同侧作点B关于直线/的对称点AB'。

时，在直线/上找一点P,使B',连接AB'并延长交直

口一产耳最大。线于点P,点P即为所求作

的点。

23

A

*

B\PA-P^

的最小值为

0。

当两定点A、B在直线/

同侧时，在直线/上找一点的垂直平分线交直线/于点

P,使|出一尸4最小。P,点P即为所求作的点。

模型实例

例1.如图，正方形ABCD的面积是12,Z^ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在

对角线AC上有一点P,则PD+PE的最小值为o

例2.如图，已知aABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,ZBCD=15°,P为CD

上的动点，则-尸耳的最大值是多少？

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1.如图，在AABC中，AC=BC=2,ZACB-9O0,D是BC边的中点，E是AB边

上一动点，则EC+ED的最小值是。

24

2.如图，点C的坐标为（3,y）,当AABC的周长最短时，求y的值。

y

A(3,0)

B(2,0)

3.如图,正方形ABCD中，AB-7,M是DC上的一点，且DM-3,N是AC上的一

动点,求|DN-MN|的最小值与最大值。

25

【模型2］角到定点

模型作法结论

△PCD周长最小为

P'P"。

点P在NAOB的内

分别作点P关于

部，在0B上找点D,在

OA、0B的对称点P'、

0A上找点C,使得4PCD

P”，连接

周长最小。

P'P”,交OA、0B

于点CD,点C、D即为

所求。

PC+CD的最小值为

P'Co

点P在NAOB的内作点P关于0B的对

部，在0B上找点D,在称点P',过点P'作

0A上找点C,使得P'C±OA交OB于点C,

PD+CD最小。点CD即为所求。

PC+CD+DQ的最小值

为P'Q',所以四边形

PQDC的周长的最小值为

P'Q'+PQo

点P、Q在/AOB的分别作点P、Q关于

内部，在0B上找点D,OA、0B的对称点P'、

在0A上找点C,使得四Q',连接P'Q',交

边形PQDC周长最小。OA、0B于点C、D,点

C、D即为所求。

模型实例

26

例1.如图，ZAOB=30°,ZAOB内有一定点P,且0P=10,在()A上有一

点Q,0B上有一点R。若APaR周长最小，则最小周长是多少？

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1.如图，ZM0N=40°,P为NM0N内一定点，A为0M上的点，B为ON上的点,

当△PAB的周长取最小值时：

(1)找到A、B点，保留作图痕迹；

(2)求此时NAPB等于多少度。如果NM0N=。，ZAPB又等于多少度？

2.如图，四边形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别

找一点M、N,使aAMN周长最小，并求此时NAMN+NANM的度数。

27

3.如图，在x轴上找一点C,在），轴上找一点D,使AD+CD+BC最小，并

求直线CD的解析式及点C、D的坐标。

4.如图NM0N=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点，且0A=2,0B=4,

点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB

的最小值是多少？

B

28

【模型3］两定点一定长

模型作法结论

_d__d_

A*~•

*AA,

B

*

------------------1

：M/、

AM+MN+NB最小为

Az/Bo

如图，在直线/上找AM

M、N两

点（M在左），使得将点A向右平移d个

AM+MN+NB最小，且MN=d。单位到A',作A'关于直

线/的对称点A",连接A"B

交直线/于点N,将点N向

左平移d个单位到M,点

M、N即为所求。

A

•

-------------------------------------L.——匕

_I

*2

AM+MN+NB的最小值

•

RR为A'B+d。

如图，11//12,/1,12将点A向下平移d个

之间距离为d,在小4分单位到A，,连接A，B交

别找M、N两点，使得MNJ.直线4于点N，将点N向上

Z,,且AM+MN+NB最小。平移d个单位到M,点M、

N即为所求。

模型实例

例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，

点A在犬轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且0A=6,004,

D为0C中点，点E、F在线段0A上，点E在点F左侧，EF=2。

当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。

29

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1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在，

X轴、y轴的正半轴上，A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点。

(1)若E为边0A上的一个动点，求aCDE的周长最小值；

(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的

坐标。

2.村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥,

桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？

30

第七章蚂蚁行程

［模型1］立体图形展开的最短路径

模型分析

上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最

22

短路径就是展开图中AB'的长，AB'=yjAA'+A'B'o做此类题日的关键就是，正确展开

立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。

模型实例

例1.有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐一

周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

例2.如图，一直圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点出发,

绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短

路线长是»

31

例3.已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm,一只蚂蚁从A

处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）

热搜精练

1.有一个圆锥体如图，高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处,

求蚂蚁爬行的最短距离。

2.如图，圆锥体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点,

路线如图，则最短路程为。

32

3.桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口

内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22杯子外壁，当它正好在蜜糖相

对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖

所在的位置。

4.已知0为圆锥顶点，OA、0B为圆锥的母线，C为0B的中点，一只小蚂蚁

从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B,

它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿0A剪开，则得到的圆锥侧面展开图为

5.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行

到点B,如果它运动的路径是最短的，则最短距离为o

33

6.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2,一只

蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路线。

7.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm,A和B是

这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，

这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

第八章中点四大模型

【模型1】倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

34

模型分析

如图①，AD是4ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证：aADC0AEDB(SAS)»

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD,易证：

△FDB^AFDC(SAS)。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全

等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型实例

例1.如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接

BE并延长AC于点F,AF=EF,求证：AC=BE。

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1.如图，在△ABC中，AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围。

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2.如图，在AABC中，D是BC的中点，DM±DN,如果£加2+。丫2=£疗+0出

求证：期二:9密+人^卜

【模型2】已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

模型分析

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线

合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三

角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

模型实例

例1.如图，在4ABC中，AB=AC-5,BC=6,M为BC的中点，MN1AC于点N,

求MN的长度。

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1.如图，在4ABC中，AB=AC,D是BC的中点，AE±DE,AF±DF,且AE=AF。

求证：ZEDB=ZFDC»

2.已知RtAABC中，AC=BC,ZC=90°,D为AB边的中点，ZEDF=90°,

ZEDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F。

(1)当NEDF绕点D旋转到DELAC于E时(如图①)，

(2)当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，

上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，STQEF、SQF、S

ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

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【模型3］已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理

模型分析

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线

的性质定理：DE〃BC,且。E=18。来解题，中位线定理既有线段之间的位

2

置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行

问题。。

模型实例

例1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF

并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、No

求证：ZBME=ZCNEo

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1.(1)如图①，BD、CE分别是aABC的外角平分，过点A作ADJ_BD、

AE±CE,垂足分别为D、E,连接DE。

求证：DE〃BC,DE=J(AB+BC+AC)；

2

(2)如图②，BD、CE分别是aABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？

(3)如图③，BD是4ABC的内角平分，CE是ZXABC的外角平分，其它条件不变。DE与BC

还平行吗？它与aABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进

行证明。

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2.问题一：如图①，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点0,AB=CD,E、F分别是BC、AD

的中点，连接EF分别交DC、AB于点M、N,判断△0MN的形状，请直接写出结论；

问题二：如图②，在aABC中，AOAB,点D在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、

AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G