5.5用二次函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

5.5用二次函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，正方形ABCD的边长为2，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x(0<x≤2)，△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为

(

)

A. B.

C. D.2.如图，正方形ABCD的边长为2，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x(0<x⩽2)，ΔBPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为

A. B.

C. D.3.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售，每天可销售(200−x)件，若想获得最大利润，则x应定为(

)A.150元 B.160元 C.170元 D.180元4.某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种向品每降价1元，每星期可多卖20件.设每件商品降价x元(x为整数)，每星期的利润为y元.以下说法错误的是(

)A.每件商品进价为40元

B.降价后每件商品售价为(64−x)元

C.降价后每周可卖(220+20x)件

D.每星期的利润为y=(84−x)(220+20x)5.心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t(单位：min)之间近似满足函数关系s=at2+bt+c(a≠0)，s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为

(

)

A.8 min B.13 min C.20 min D.25 min6.一个弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为6米/秒，经过t秒时，球距离地面的高度ℎ(米)满足公式ℎ=6t−5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是(

)A.0.6 B.1 C.1.2 D.27.某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m).某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(

)

A.AB=24m

B.池底所在抛物线的解析式为y=125x2−5

C.池塘最深处到水面CD的距离为8.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度ℎ(m)与小球运动时间t(s)之间的表达式为ℎ=30t−5t2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是(

)

A.6s B.4s C.3s D.2s9.在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE.那么当BE为多少时，绿地AEFG的面积最大？(

)A.1m

B.2m

C.3m

D.4m10.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，请根据所给的数据，则支柱MN的长度为(

)A.4.5 B.5 C.5.5 D.611.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系ℎ=20t−5t2.下列叙述正确的是(

)

A.小球的飞行高度只有在3s时达到15m B.小球的飞行高度可以达到40m

C.小球从飞出到落地要用时5s D.小球飞出1.2s时的飞行高度为16.8m12.一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一条直角边长为xcm，三角形的面积为ycm2，则y与x之间的函数解析式为

．(

)A.y=10x B.y=x(20−x) C.y=12x(20−x)第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是

m.

14.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米．(1)活动区面积S与x之间的关系式为

；(2)菜园ABCD最大面积是

平方米．15.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t−32t2.在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是16.某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为______．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面

18.(本小题8分)如图，用一段长为20m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长10m.设AB长为x m，矩形的面积为ym2.问：当

19.(本小题8分)

商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元.经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱.当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？20.(本小题8分)

超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．

(1)请写出y与x之间的函数表达式；

(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大，最大值是多少？21.(本小题8分)

某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x(元/千克)55606570销售量y(千克)70605040(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；

(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？22.(本小题8分)

如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112x2+23x+53．

求：23.(本小题8分)

我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？24.(本小题8分)小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1 m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于10 m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．25.(本小题8分)蚌埠，古乃采珠之地，素有“珍珠城”之美誉，已知一批珍珠每颗的进价为30元，售价定为50元/颗时，每天可销售60颗，为扩大市场占有率，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20颗(销售单价不低于进价)．(1)写出商家每天的利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系;(2)当降价多少元时，商家每天的利润最大，最大利润是多少?(3)若商家每天的利润至少要达到1440元，则定价应在什么范围内?

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：过点H作HE⊥BC，垂足为E．

∵BD是正方形的对角线

∴∠DBC=45°

∵QH⊥BD

∴△BHQ是等腰直角三角形

∴HE=x+22

∴△BPH的面积S=12BP⋅HE=12x⋅x+22=14x2+12x

∴S与x之间的函数关系是二次函数，且二次函数图象开口方向向上；

因此，选项中只有A选项符合条件．

故选：2.【答案】A

【解析】解：过点H作HE⊥BC，垂足为E．

∵BD是正方形的对角线

∴∠DBC=45°

∵QH⊥BD

∴△BHQ是等腰直角三角形

∴HE=x+22

∴△BPH的面积S=12BP⋅HE=12x⋅x+22=14x2+12x

∴S与x之间的函数关系是二次函数，且二次函数图象开口方向向上；

因此，选项中只有A选项符合条件．

故选：3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．

【解答】

解：设获得的利润为y元，由题意得：

y=(x−100)(200−x)

=−x2+300x−20000

=−(x−150)2+2500

∵a=−1<0，∵x>100，

∴当x=150时，y取得最大值4.【答案】D

【解析】解：由题意，设每件商品进价为a元，

∴80×0.8−a=24．

∴a=40，即可判断A正确，不符合题意．

此时降价后每件商品售价为：80×0.8−x=64−x，即可判断B正确，不符合题意．

降价后每周可卖(220+20x)件，可以判断C正确，不符合题意．

由上，每星期的利润为(80×0.8−x−40)(220+20x)=(24−x)(220+20x)，即可判断D错误，符合题意．

故选：D．

依据题意，设每件商品进价为a元，由80×0.8−a=24，即可判断A；降价后每件商品售价为：80×0.8−x，即可判断B；降价后每周可卖(220+20x)件，可以判断C；由上，每星期的利润为(80×0.8−x−40)(220+20x)，即可判断D．

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质．5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．

把点坐标：(0,43)、(20,55)、(30,31)，代入函数s=at2+bt+c，求出函数表达式，由a=−110<0，故函数有最大值，即：当t=−b2a=13时，s有最大值．

【解答】

解：由题意得：函数过点(0,43)、(20,55)、(30,31)，

把以上三点坐标代入s=at2+bt+c得：

43=c55=202a+20b+c31=302a+30b+c6.【答案】C

【解析】解：令ℎ=0，得：6t−5t2=0，

解得：t=0或t=1.2，

∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是1.2秒；

故选：C．

7.【答案】C

【解析】解：设池底所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把抛物线上点A(−15,0)，B(15,0)，P(0,−5)，代入抛物线解析式中得：

0=(−15)2a+(−15)b+c0=152a+15b+c−5=c，

解得：a=145b=0c=−5，

解析式为y=145x2−5．

选项A中，AB=15−(−15)=30，故选项A错误，该选项不符合题意；

选项B中，池底所在抛物线的解析式为y=145x2−5，故选项B错误，该选项不符合题意；

选项C中，池塘水深最深处为点P(0,−5)，水面为CD，yD=145×122−5=−1.8，

−1.8−(−5)=3.2(m)，

所以水深最深处为点P到水面CD的距离为3.2m，故选项C正确，该选项符合题意；

选项D8.【答案】A

【解析】解：由小球高度ℎ与运动时间t的关系式ℎ=30t−5t2．

令ℎ=0，−5t2+30t=0

解得：t1=0(不合题意，舍去)，t2=6

∴t=6，小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．

故选：A．

由小球高度ℎ9.【答案】B

【解析】解：设BE=x m，则DG=2BE=2x m，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：

y=AE⋅AG

=(8−x)(8+2x)

=−2x2+8x+64

=−2(x−2)2+72．

∵二次项系数为−2，

∴当x=2时，y有最大值72．

即当BE=2 m时，绿地AEFG面积最大．

故选：B．

依据题意，设BE=x m，则DG=2BE=2x m，绿地AEFG的面积为10.【答案】C

【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意得A点坐标(−10,0)，B点坐标为(10,0)，C点坐标为(0,6)，N点横坐标为5，

设抛物线解析式为y=ax2+c，

∴100a+c=0c=6，

∴a=−350c=6，

∴抛物线解析式为y=−350x2+6，

∴当x=5时，y=−350×5211.【答案】D

【解析】解：A、当ℎ=15时，15=20t−5t2，

解得：t1=1，t2=3，

故当1s或3s小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误，不符合题意；

B、ℎ=20t−5t2=−5(t−2)2+20，

故t=2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误，不符合题意；

C、∵ℎ=0时，0=20t−5t2，

解得：t1=0，t2=4，

∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项错误，不符合题意；

D、由题意，当12.【答案】C

【解析】解：(1)∵直角三角形的两条直角边的和等于20cm，且它的一条直角边为x cm，

∴另一条直角边为(20−x)cm，

∴直角三角形的面积y=12x(20−x)，

∴y与x之间的函数关系式y=12x(20−x)(0<x<20)．13.【答案】4

【解析】【分析】

此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．根据所建坐标系，水平距离OH就是y=3.05时离他最远的距离．

【解答】

解：当y=3.05时，3.05=−0.2x2+x+2.25，

x2−5x+4=0，

(x−1)(x−4)=0，

解得：x1=1，x2=4，

14.【答案】S=−2200

【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，(1)表示出

BC

，由矩形面积公式可得函数关系式；(2)把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案．【详解】解：(1)由题意得：

BC=40−2x

，∴

S=x40−2x=−2∵

40−2x>0

，解得

x<20

，∴活动区面积S与

x

之间的关系式为

S=−2x2解：(2)由(1)得：活动区面积S与

x

之间的关系式为

S=−2x2∵

S=−2x2∴当

x=10

时，S取最大值200，∴菜园

ABCD

最大面积是200平方米；15.【答案】13.5

【解析】解：当y取得最大值时，飞机停下来，

y=60t−32t2=−32(t−20)2+600，

即当t=20时，飞机滑行600才停下来，

当t=17时，y=586.5，

600−586.5=13.5，

故答案为13.5．

当y取得最大值时，飞机停下来，y=60t−3216.【答案】y=−1【解析】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为(20,16)，过(0,0)，

设抛物线对应的表达式为y=a(x−20)2+16，

将(0,0)代入y=a(x−20)2+16得，0=a(0−20)2+16，

解得，a=−125，

∴y=−125(x−20)2+16，

故答案为：y=−12517.【答案】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为(4,4)，球出手时的坐标为(0,20设抛物线解析式为：y=a(x−4)将点(0,209)解得：a=−则抛物线的解析式为：y令x=7，则y=−∵3m=3m∴此球能准确投中．

【解析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断．本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．18.【答案】解：根据题意得，y=x(20−2x)=−2x∴当x=5时，y有最大值，y的最大值为50，∴当AB长为5m时，花圃面积最大，最大面积为50m

【解析】根据题意得，y=x(20−2x)=−2x本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19.【答案】解：设每箱售价为x元，销售总利润为w元，∵售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱，∴销售量=90−15×∴=−=−3(x−60∵−3∴当x=60时，w有最大值，最大值为1200，答：当每箱售价为60元时，销售利润最大，最大为1200元．

【解析】先根据题意求出销售量，然后写出w与x之间的函数关系式，配成顶点式，即可求出利润的最大值．本题考查的是二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法．20.【答案】解：(1)根据题意得，y=−12x+50；

(2)根据题意得，(40+x)(−12x+50)=2250，

解得：x1=50，x2=10，

∵每件利润不能超过60元，

∴x=10，

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

(3)根据题意得，w=(40+x)(−12x+50)=−12x2+30x+2000=−12(x−30)2+2450，

∵a=−12<0，

∴【解析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．

(1)根据题意列函数关系式即可；

(2)根据题意列方程即可得到结论；

(3)根据题意得到w=−12(x−30)2+2450，根据二次函数的性质得到当21.【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：

55k+b=7060k+b=60，解得：k=−2b=180．

∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180．

(2)由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，

整理得：x2−140x+4800=0，

解得x1=60，x2=80．

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．

(3)设当天的销售利润为w元，则：

w=(x−50)(−2x+180)

=−2(x−70)2+800，

∵−2<0，

∴当x=70时，【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；

(3)利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．22.【答案】解：(1)y=−112x2+23x+53

=−112(x−4)2+3

∵−112<0

∴y的最大值为3

∴铅球在行进中的最大高度为3m．

(2)令【解析】(1)将所给二次函数写成顶点式，则顶点纵坐标即为所求的最大高度；

(2)令y=0得：−112x23.【答案】解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，

由图象可得，当x=30时，y=140；x=50时，y=100，

∴140=30k+b100=50k+b，解得k=−2b=200．

∴y与x之间的关系式为y=−2x+200(30≤x≤60)．

(2)设该公司日获利为W元，由题意得W=(x−30)(−2x+200)−500=−2(x−65)2+1950，

∵a=−2<0，

∴抛物线开口向下；

∵对称轴x=65，

∴当x<65时，W随着x的增大而增大；

∵30≤x≤60，

∴x=60时，W有最大值；W最大值=−2×(60−65【解析】(1)通过题意，确定出二