新课标高中数学知识要点精析

第一讲集合的性质及其运算

1、研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：

{xly=lgx}={x/x>0},3y=lgx}={y/ywR}{(x,y)\y=\gx］各不相同。

元素与集合的关系用“6或仁”，集合与集合的关系用u,8n”

2、任何一个集合是它本身的一个子集，即A±A。规定空集是任何集合的子集，即“三A,"三"。如果

人口8,且8工人，则A=B。如果A^B且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作AuB。

空集是任何非空集合的真子集。

3、含n个元素的集合A的子集有2"个，非空子集有2"—1个，非空真子集有2"—2个。

集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的映射有〃'”个。

4、重要性质：(1)AUA=A,APIA=A,AA0=0,AUa=A,API=0,AU=U

(2)AClB=A,A=AUB,B=AUB,(3)。(AAB)=(A)U(Cb'B)

,5(AUB)=(c(yA)nB)(4)ACB=AOANB,AUB=A=B^A

第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象

一、映射、函数的有关概念：

1、映射的定义：设A,B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B

中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A-B,

2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a

的像，a叫做b的原像。

3、映射f：ATB的特征：(1)存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，(2)惟•性：集合A中的

任一元素在集合B中的像只有•个，(3)方向性：从A到B的映射与从B到A的映射•般是不一样的(4)

集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

4、函数：(1)定义(传统)：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定

的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值

范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。(2)函数的

集合定义：设A,B都是非空的数的集合，f：x—y是从A到B的映射，那么，从A到B的f：A-B,叫

做A到B的函数，y=f(x),其中xGA,yWB,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值

域。像集合C±B

5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域

和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

二、求函数定义域的方法

1、求函数定义域的常用方法有：(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。(2)

根据实际问题的要求确定自变量的范围。(3)根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。(4)

复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x),那么y=f［g(x)］叫做函数f与g

的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是xWM,g(x)的定义域是xGN,求产f［g(x)］的定义域时，

<

则只需求满足〔xeN的x的集合。设产f［g(x)］的定义域为P,则P=N。

第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

一、函数的单调性：

1、定义：对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意xi,x2CD,当xYx2时，都有f(xi)vf(x2),则称f(x)

是区间上的增函数，当XYX2时，都有f(xl)>f(x2),则称出X)是区间上的减函数。如果函数产f(x)在区间

上是增函数或减函数，就说函数产f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区

/⑻二/㈤.>0(<0).增(减)

间。斗一々任意Xl,x2ED

2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1)任取Xi,X26D,且xi<x22)作差f(xi)

4M(/(xjwo)

-氏x2)或作商/("J,并变形，(4)判定f(xl)—f(x2)的符号，或比较/("J与1的大小，

4)根据定义作出结论。

有时也根据导数。=在D上递增，r(x)<0n〃x)在D上递减。(济逆命

题不成立)

3、常见函数的单调性：

一次函数产kx+b(kWO)1)当k>0时，f(x)在R上是增函数。2)当k<0时，f(x)在R上是减函数。

b

二次函数产ax?+bx+c1)当a>。时，函数fi［x)的图象开口向上，在(-8,-2a)上是减函数，在［一

bh

2。，+8)上是增函数，2)当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在(一8,-2a)上是增函数，在［一

b

2。，+8)是减函数。

反比例函数产x1)当k>0时，f(x)在(-8,o)与(0,+8)上都是减函数，2)当k<0时,

f(x)在(一8,o)与(0,十8)上都是增函数但要注意在(一8,o)U(0,+8)上f(x)没有单调性。

可采用导数法判断。

(5)指数函数)，=相,。>1,单调递增，0<a<l时，单调递减

(6)对数函数y=log„XM>1时单调递增,0<a<1时单调递减。

(7)三角函数:

y=sinx的增区间是-工+2%万二+2上乃，减区间是工+24肛包+2攵乃keZ

22J[22_

y=cosx的增区间是[-?r+2k兀,2%句的减区间是[2攵%,万+2女句，攵eZ

y=tanx的增区间是1-^+k万仁+上万)，cotx的减区间是(k乃，乃+左乃)

二、函数的奇偶性与周期性：

1、函数的奇偶性定义：对于函数f(x)的定义域内的每一个值x,都有f(-x)=f(x),那么称f(x)为

偶函数，如果对每一个值x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。

2、奇、偶函数的性质：(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。(2)奇函数在关

于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。

(3)若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a,

(4)若奇函数在x=0处有定义则f(0)=0

3、函数的奇、偶性类型：

=kx,(2]y=­,(3)y=x2n+i(neN)(4)y=sinx,(5)y=tanx,

(1)奇函数：如x

(2)偶函数：如⑴y=/+c,⑵y=k|,(3)y=cosx,(4))，=xsinx,(5)y='(n€z)

SinX+

(l)y=Ax+c(&c=0)(2)y+bx(abw0)(3)y=(?l

(3)非奇非偶函数：如(4)y=k+i1，(5)yM，Sr，"i)

(4)既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有f(x)=0.

4、定义：对于函数f(x)的定义域内的每个值x都有f(x+T)=f(x)(TM)，则称f(x)为周期函数，T

为它的一个周期。若T为f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期，k为任一非0整数。

5、若/(X)满足/(x+")=/(x+b),那么/(X)是周期函数，一个周期是

T=Ia-b|.

三、反函数：

1、定义：设式子产f(x)表示y是x的函数，定义域为A,值域为C,从式子尸f(x)中解出X,得到式子x=e(y),

如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=°(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=°(y)

就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f।(y),即x=*(y)=f](y),--般对调x=f'(y)

中的字母x,y,把它改写成y=f“(x)

2、求反函数的步骤是：(1)将尸f(x)看成方程，解出x=fT(y)(2)将x,y互换得y=fLx)

(3)写出反函数的定义域，(可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定)(4)分段函数的反函数可以

分别求出各段函数的反函数再合成。

3、反函数的一些性质：(1)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，(2)定

义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同(即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同)，对

连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，(3)函数产f(x)的图

象与其反函数y=f“(x)的图象关于直线y=x对称，(4)函数y=f(x)的图象与其反函数y=fT(x)的图象的交

点，当它们是递增时，交点在直线产x上。当它们递减时.，交点可以不在直线产x上，

y=f—与y=log|x互为反函数且有一个交点是它不在直线y=x上

第四讲：函数图象的对称性与变换

两个函数的图象的对称性：

1、y=f(x)与尸・f(x)关于x轴对称。

2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

3、y=f(x)与y=-f(—x)关于原点对称。

4、y=f(x)与y=f।(x)关于直线y=x对称，(或y=f(x)与x=f(y)关于直线广乂对称)。

5、y=f(x)与y=f(2a—x)｛注：y=f(a+x)与y=f(a—x)关于直线x=0对称｝关于直线x=a对称。

6、y=f(x)与y=-f(2a—x)+2b关于点(a,b)对称.

一个函数的图象的对称性：

1>关于直线x=a对称时,f(x)=f(2a—x)或f(a—x)=f(a+x)，特例:a=0时，关于y轴对称,此时f

(x)=f(-x)为偶函数。

2、y=f(x)关于(a,b)对称时,f(x)=2b—f(2a—x),特别a=b=O时，f(x)=—f(—x),即f(x)关

于原点对称，f(x)为奇函数。

3、y=f(x)关于直线y=x+b对称时，由上面知y=f(x)关于直线y=x+b对称的函数的解析式是y=f(x+b)

+b。它与产f(X)应是同一函数，所以：f(x)=fT(x+b)+b。特别当b=0时，f(x)=r(x),即

一个函数关于直线产x对称时，它的反函数就是它本身。

4、类似4有产f(x)关于直线产一x+b对称时,f(x)=b—fT(b-x)o特别当b=0时，f(x)=一/

(—x),f(x)关于直线y=-x对称.

a+b

x-

5、若f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线2对称，

三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。

1、平移变换(向量平移法则):y=f(x)按。=(h,k)平移得y=f(x—h)+k,即F(x,y)=0按"=(h,k)

平移得F(x—h,y—k)=0,当m>0时晌右平移，m<0时，向左平移。当n>0时，向上平移，n<0时向下平移。

对于“从产f(x)至Uy=f(x-h)+k”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“a=(h,k)”是“左负

右正，上正下负”。

2、伸缩变换：将尸f(x)的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到⑺

x=ax

y=f(x)<y=mf—

[y=，/yVaJ

即一

3、翻折变换：(1)由y=f(x)得到y=|f(x)|,就是把y=f(x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴对称

的图象，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变。

(2)由产f(x)得到尸f(|x|),就是把尸f(x)的图象在y轴右边的部分作关于y轴对称的图象，即把y

轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变。

第五讲指数函数、对数函数与基函数

一、指数：

1、n次方根的定义：如果一个数的n次方a(n>l,nWN*)那么这个数叫做a的n次方根，即x"=a，则x叫做

a的n次方根(n>l,nEN*)。

2、n次方根的性质：(1)0的门次方根是0。即々历=0(n>l,ndN*),(2)(④')"=a(ndN*)

(3)当n为奇数时，声a,当n为偶数时，J7=|a|

m____

3、分数指数毒的定义：(1)a"=巧卜>0小〃€旷,41

m1

neN",〃A

aniaA0,m,n

(2),(3)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意

义。

二、指数函数:

1、定义：形如产a'(a>0,且a/l)的函数叫做指数函数。

2、指数函数产a*(a>0,且aWl)的图象和性质:

0<a<l

图象

性质(1)定义域：R值域：(0,+°°)

都

点

z

A1fAo

1lX

\Y1(XA0)

/

X1>XoX

a-;-

1L

\=1(X=0)

X

z

1O

Y1lY

\A1(XY0)

(4)|在R上是增函数|在R上是减函数__________________________

三、对右

1、对数的定义：如果""1),那么b叫做以a为底N的对数，记做10g«'="a>0,a。1),

山定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做lgN=logu）N。以无理数e=

2.71828…为底的对数叫做自然对数。记做帖N=log,N。

2、对数的运算性质：

M

⑴log“MN=log,,M+log”M⑵log“—=log”M-log“N.

n

（3）log“AT=〃・logaA/,（4）log,,,b=—logab,（M,N,a,b,n,m>-0,a*1）

3、对数的恒等式：

1O8w10foJViogka

（l）loga1=0,（2）logaa=l,（3）a»=N,（4）a=N

10g;,N

（5）log“N=,lognb'—』og“c=log.c,（a,b,c,Na0,a,bH1）

log/,alog,a

四、对数函数：

1、定义：形如y=log"x（a>0,a#l）的函数叫做对数函数。

2、对数函数的图象与性质:

a>l0<a<l

图

象J

J.

/''

性（1）定义域：（0,+°°）,值域为R

质（2）过点（1,0）与（a,l）

（3）A0（XA1）Y0（XA1）

<=0（X=1）=0（X=1）

Y0（XY1）A0（XY1）

log"Xlog"X

（4）在（0,+°°）上是增函数在（0,+°°）上是减函数

3、对数函数y=log"x值>0声/1）与指数函数y=a"（a>0,aN1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，

它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。

4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类：1）同底且大于1,真数大的对数大。2）同底且

小于1,真数大的对数小。3）同真数且大于1,在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）

同真数且小于1,在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）

利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。

五、募函数

1、幕函数的定义

形如：），=/（£€/?,a为常数）的函数叫基函数。

2、基函数的图象与性质

⑴图象过点（1』），（2）当a为奇数时，是奇函数，当a为偶数时，是偶函数，

（3）图象不经过第四象限。（4）掌握8类常见的事函数的图象：y=x°,y=x,y=x2,

22

y=x3,y=x°-,y=x3w,y=x—1,y=x-2,

（5）当a>0时，还经过点（0,0）,在第一象限内函数值随册增大而增大，

且过点（1,1）后图象向上方无限伸展。在第一象限内，当a>l时，图象

是向下凸的，当0<a<l时，图象是向上凸的。

（6）当a<0时，在第一象限内函数值随耶J增大而减少，且向上与y轴

无限接近，向右与x轴无限接近。即以坐标轴为渐近线。

第六讲函数与方程、零点与二分法

1、函数y=的零点就是方程/（制=°实数根，亦即函数>=/（制的图象与x轴交点的横坐标.即:

方程/（幻=o有实数根o函数y=/a）的图象与x轴有交点o函数y=/a）有零点.

注意：（1）两个相同的根只能算一个零点,（2）零点的表示方法不能用有序实数对（x,0）.,

/（x）在［a,3上连续（即图象不间断），段（。）/伍）<0,则/（x）在卜//］上至少有一个零点，

可能有无数个零点。〃a）〃6）〉0,/（x）在［a,可上可能无零点也可能有无数个零点。.

■J、

用二分法求零点只适用于零点左右附近的函数值异号的情况。

下图的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点.

4、指数函数y="'（«>i）的增长》幕函数（〃>o）的增长>对数函数y=i°g〃x（。>1）在

区间（0,+8）上的增长。

第七讲空间几何体

棱柱、圆柱，棱锥、圆锥，棱台、圆台，球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。

棱柱：（1）棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的

多面体叫做棱柱。

（2）、棱柱的分类：1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜

棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面边数的多少分类:

底面分别为三角形，四边形，五边形分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3）底面是平行四边形

的四棱柱叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长

方体，各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，直平行六

面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。

（3）、棱柱的性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形,

正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3）过

棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4）棱柱的侧面积=直截面（垂直于侧棱的截面）的周长X侧棱

长，棱柱的体积=底面积又高。

（4）、平行六面体ABCD-AiBiOa的性质：1）平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，2）

AC,=AC.=AB+AD+AA.

平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。।“1V'>,3）长方体的一

条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端

的三个相邻面所成的角分别为二，B,Y,则Sin?a+sin?〃+sin27=1,5）长方体的体对角线与共顶点

的三条棱所成的角分别为a,B,7,则Sin?a+sin?,+sii？7=2,6）长方体的对角线等于它的外接球

的直径。7）正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面对角

线。8）｛平行六面体｝崔｛直平行六面体｝?｛长方体｝要｛正四棱柱｝9｛正方体｝;

直棱柱的侧面积$=底面周长x侧棱长，直棱柱的体积V=底面积x高。

圆柱：一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。

$表=S底+S侧=2万厂+兀“母线，v=兀/h

棱锥：（1）棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么

这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫

棱锥的对角面。

（2）、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥…

（3）、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积

的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面，中截面

的面积是底面面积的1/4。

（4）、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的

棱锥叫正棱锥。性质：1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的

高（叫侧高）也相等。2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面

的半边长可组成四个直角三角形。

2

(5)、棱锥的体积公式：V=§Sh(S是棱锥的底面积，h是棱锥的高)

提醒：全面枳(也称表面积)是各个表面面枳之和，故棱柱的全血积=侧面枳+2X底面枳；棱锥的全面

积=侧面积+底面积。

圆锥：一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是底面

圆的周长。扇形的半径等于母线长。

N=-jrr2h

,表=S底+S则=nr'+%”母线,3

棱台：•个棱锥被平行于底面的平面所截，夹在底面与截面间的几何体叫棱台。

圆台：一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。

；乃卜：+代+片)〃

+弓"母线，V=；（S|：+JSM+SJ/Z=

球：(1)、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫

做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。

(2)、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面。球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面的半径r之

间的关系：r=^R~~d'。

大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。经

过球面上两点的大圆，当这两点与球心不共线时，有且只有个。当这两点与球心共线时有无数个。

(3)球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。它等于球心

角X半径。

4,,

_欣3s=4位2

(4)球的体积和表面积公式：V=3

(5)正四面体的边长为a,则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

正四面体的高为体积为

41241312J

正方体的边长为a,则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

也(各面的中心为顶点的八面体的边长为变出对角线为a

222\2)

2、三视图与直观图的画法。

1）、直观图的画法（斜二侧画法规则）：己知图形中平行于横轴和竖轴的线段，在直观图中保持长度不变,

平行于纵轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行，原来相交的线段仍然相

交，但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时，应先把与横轴成45°的线段还原成与

横轴成直角的线段。

2）、三视图的画法：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）。

正视图和侧视图的高度•样，俯视图和正视图的长度一样，俯视图与侧视图的宽度一样。即正、侧一样高,

正、俯一样长，俯、侧一样宽。

第八讲点、直线、平面的位置关系。

1、确定平面的4个公理或定理，（1）不共线的3点确定一个平面，（2）两条相交直线确定个平面，（3）两条

平行直线确定一个平面，（4）一条直线和直线外一点确定一个平面。

确定直线在平面内的定理：如果直线上有两个点在平面内，则直线在平面内。

两个平面的公共点的个数定理：如果两个平面有一个公共点，则必有无数个公共点，且这些公共点的个数

在同一条直线上。此定理常用来判断空间三线共点。

2、点、线、面的位置关系的表示方法。

3、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交线和异面直线

没有传递性。

4、等角定理：如果•个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边

平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和

另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相

同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。

但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。不可推广到空间：如

果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。

5、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公

共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。

异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点0,分别引直线a'//

a,bz//b,相交直线a，，b'所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角62」，求异面直线的夹

角常用平移法和向量法。

6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线

的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有:

1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。

3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图：

异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为6,在a,b上分别取点E,F,已知AB为

…Jd2+m2+n2+2mnCos6

公垂线段，长度为d,BE=m,AF=n,EF=l贝I」1=、（同侧为减，异侧为加）

7、（1）直线与平面的位置关系：1）直线在平面内，2）直线与平面相交，3）直线与平面平行，其中直

线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

（2）直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简

称为“线线平行，则线面平行

判定直线与平面平行的方法还有：］）面〃/面由ajana//B，2）bA.a,aLb,a（ta=>a//a

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，

交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。

（3）直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂

直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。

直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平

行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都

垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

8、（1）平面与平面的位置关系：1）平行—没有公共点，2）相交—有且只有一条公共直线。两个平面

的公共点都在同一条直线上。

（2）两个平面平行的判定：1）一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称

为“线面平行，则面面平行"，2）推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行,

那么这两个平面平行。3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：1）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2）两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。

3）如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另•个平面。

（3）两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的性质定理：1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个

平面。2）如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。

9、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线

垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这

条斜线在平面内的射影垂直。

10、直线和平面所成的角：平面的•条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成

的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平

面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°,所以直线和平面所成的角的范围是L2」

利用法向量可处理线面角问题

设6为直线”与平面a所成的角，夕为直线”的方向向量y与平面a的法向量〃之间的夹角，则有

(p=-----0(p=—I-U

2(图1)或2(图2)

a内的射影。,为AB和m所成的角，目为AB和射影所成的角，％射影AB'和m所成的角，则

Q6.仇

COSu=COS1COS2

7T

重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为ar2,过空间一定点［7第L与LI,L2所成的角

///

都是这样的直线L可作多少条？

分析：(1)若(0,1/2),则这样的直线L有。条

(2)若°=5则这样的直线有1条

K-a

(3)若力G(a/2,2),则这样的直线L有2条

7i-a

⑷若°=2，则这样的直线L有3条

n-a7t

(5)若夕G(2,2),则这样的直线L有4条

7C

(6)若A=',则这样的直线L有1条

12、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，

从•条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，

每个半平面叫做二面角的面，棱为I，两个面分别为a,〃的二面角记为

一个平面垂直于二面角a一1一£的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA,0B,0为垂足，则NAOB

叫做二面角的平面角。

一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是[0,180°[

计算二面角的方法：（1）定义法（常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂

线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形）。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法（常用基向量法），（4）

法向量法（常用坐标法）：a或万一a

利用法向量可处理二面角问题

设〃尸〃2分别为平面如’的法向量，二面角a-'―/7的大小为°,向量

的夹角为8,则有夕+8="（图3）或9=甲（图4）

图3X/图4\^I7n

第九讲直线与方程

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线1,如果把x轴绕着交点

按逆时针方向转到和直线1重合时所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的倾斜角。当直线1与X轴

重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围[°，"）。（3）在直线的倾斜角的定义中抓住三个

重要条件：“逆时针旋转、与直线1重合、最小正角

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率

常用k表示,即k=tan示。片90。）.（2）倾斜角为90。的直线没有斜率。（3）经过两点Pi（xi,x2）,P2（yi,y2）

k=————（X]x2）

的直线的斜率公式为七一“2

3、直线方程的五种形式:（1）点斜式:已知直线过点（X。,。）斜率为k,则直线方程为：y-y"=k（x-x。），

它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为：y=kx+b,

它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过（xi,yi）,（x2,y2）两点，则直线方程为：

y一月_Xi

乃-必々一再，它不包括垂直于坐标轴（包括x,y轴|）的直线。（4）截距式：已知直线在X轴和y

"=1

轴上的截距为a,b,则直线方程为：«b,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=O（A,B不同时为0）的形式。

在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”

和''距离"。“截距”不是距离，可正可负可为0。

4、点与直线的位置关系：（1）若点P（X。,。）在直线上，则Axo+Byo+C=0.（2）若点P（x。,。）不在直

版0+为0+C|

线上，则Axo+Byo+CWO,此时点P（x。,。）直线的距离d=+B',

|G-

（3）由此可得，两平行线”:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,间的距离为d="丁记

5、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：”:y=k1x+b1,12：y=k2x+b2,有若U〃12<=>k1—

k2,且blWb2,若||JJ2,=k'k2=-l,若11与12相交=k】Wk2,若「与12重合0H=k2,

b=b2。（2）一般的两直线：「:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,有若「〃12OA'B2-A2B'

=0,BK2-B2OWO,（或A】C2-A2ONO）,若H_L12,OA'2+B'B2=0,若U与12相交0

A'B2-A2Bi#0,若li与12重合=AiB2-A2B>=0,且B（2-B20=0,且A^C2—A2C'

=0

6、到角和夹角公式：（i）11到12：指直线ii绕着交点按逆时针方向转到和直线12重合所转的角e,ee（0,万）

k,—3（jr~\h_k[

■-2-10,00,-21

且taneJ+匕七（kik2W-l）.⑵I与12的夹角I2」且fan%|1+桃2|（qk2¥-1）。

7、直线方程的参数形式：

过点P（x。,%）且倾斜角为a的直线的参数方程是「=x°+'8sa

[y=yo+fsma

卜|表示点Q（x,y）与点P（%,%）间的距离,即M=|PQ|。

过点P（x0,y。）的直线的参数方程是力为常数，f为参数），

卜|表示点Q（x,y）与点P（x。,光）间的距离的必万倍，即卜|=Ja2+/|pQ卜

直线的参数方程常用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交的问题。

8、直线的极坐标方程。

⑴过极点且倾斜角为4的直线方程：0=00,

(2)过点(a,0)且垂直于极轴的直线方程：2cos6=a,

(3)过点，,且平行于极轴的直线方程：psin"b,

(4)过点3,〃)且与极轴成a角的直线方程：x?sin(a-6>)=posin(a-65)}

9、直线的方向向量：

⑴直线Ax+By+C=0的一个方向向量为Z=(-5,A),

(2)直线丫=1«+13的一个方向向量为£=(1,4)，

过A点且以3为方向向量的直线L为丽=况+式(向量式)P为直线L上任意一点。

第十讲圆与方程

1、圆的方程的四种形式：⑴圆的标准方程：(a")+(>叫=匕圆心是("⑼泮径是"特别当

圆心是(0,0),半径为r时，X+)'=',(2)圆的一般方程：

x2+y2+Dv+Ey+1F=o,⑴当D2+E2—4F>O时，表示圆心在［一告，一日)

半径为gJ。?+力一4尸的圆。(2)当。2+干一4尸=0时,表示点(一修，一向］

(3)当。2+七2-4尸<0时,不表示任何图形。

­.(。为参数)

(3)圆的参数方程：圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是="+

为参数，，为半径)

特别当圆心是原点时，〔》=〃sin,

(4)

以A(x”x),8(X2，y2)为直径端点的圆的方程是：(x-%)(x-X2)+(y-必)(>-%)=0

2、

圆的切线方程：过圆/+>2=/上一点M(X0,%)的切线方程是XoX+yoy=r2,

过圆(x-a)’+(厂13丫=/上一点Mg,%)的切线方程是-a)(x—a)+(y()-b)(y-/?)=r2,

从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求

法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。

3、

圆的弦长问题常用弦心距d,弦长的一半会及圆的半径r所构成的直角三角形来解:

4、

圆与圆的位置关系：已知两圆的圆心分别为0〃02,半径分别为不6

（1）当0］。2＞八+2时，两圆外离,（2）当0］。2=6+&时，两圆外切，

（3）当斗一弓（OR＜6+弓时，两圆相交,（4）当0Q2=｛一为时，两圆内切

（5）当04002＜八一6时，两圆内含。

公切线的条数分别为4,3,2,1。

5、

圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程：

22

圆C［：x'+V+OiX+Eiy+F］=0,圆C2：x+y+D2x+E2y+F2-0

它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为：

（D-D2）%+（£,-E2）y+F1-F2=0

第十一讲算法初步

算法的概念：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决“某一类”问题的“明确”和“有限”的步骤。

它有下面的特点：通用性（适用于某一类问题的所有个体，而不是只用来解决一个具体问题），可行性（算法

应有明确的步骤一步一步地引导计算机进行并且能够得到最终结果），明确性（算法的每一个步骤必须明确

—或者由规则直接确定，或者由上一步的结果确定），有限性（算法应由有限步组成）。

程序框图又称“流程图”，是一种用程序框、流程线、及文字说明来表示算法的图形。基本的程序框有：

终端框（起止框），输入、输出框，处理框（执行框），判断框，其中起止框是任何程序框图中不可缺少的。

算法的三种基本的逻辑结构。任何算法都是由顺序结构、条件结构、循环结构三种基本的逻辑结构组成。

顺序结构是由若干个依次执行的步骤所组成，是任何一个算法都离不开的基本结构。一个算法中，算法的

流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这各过程的结构。一些算法中经常会出现从某处

开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情形，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。循环结

构分为当型循环结构（满足条件循环）和直到型循环结构（不满足条件循环）。循环结构中一定包含条件结构。

任何一种程序都包含五种基本的算法语句，它们是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

输入语句的一般格式是INPUT"提示内容”，变量。其作用是实现算法的输入信息功能，输出语句的一般

格式是：PRINT"提示内容”，表达式。其作用是实现算法的输出结果功能。赋值语句的一般格式是：变量

=表达式，其作用是将表达式所代表的值赋给变量。