2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学案新人教B版必修第二册

PAGE1-4．5增长速度的比较考点学习目标核心素养平均变更率了解平均变更率描述增长速度的概念数学抽象模型增长差异了解在实际生活中不同增长规律的函数模型数学建模问题导学预习教材P38－P40的内容，思索以下问题：1．平均变更率是如何定义的？2．如何用平均变更率描述增长速度？3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？1．平均变更率我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变更率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).也就是说，平均变更率实质上是函数值的变更量与自变量的变更量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加eq\f(Δf,Δx)个单位．因此，可用平均变更率来比较函数值变更的快慢．2．几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)对随意的x＞0，kx＞logax.()(3)对随意的x＞0，ax＞logax.()(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝3x D．y＝e－x答案：A函数f(x)＝eq\r(x)从0到2的平均变更率为()A.eq\f(\r(2),2) B．1C．0 D．2解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝eq\r(x)从0到2的平均变更率为eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(\r(2),2)，故选A.平均变更率的比较(1)在x＝1旁边，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均变更率最大的是()A．④ B．③C．② D．①(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．【解析】(1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1旁边的平均变更率k1＝1；②y＝x2在x＝1旁边的平均变更率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1旁边的平均变更率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1旁边的平均变更率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.(2)v1＝eq\f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，v2＝eq\f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB，v3＝eq\f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，又因为kBC＞kAB＞kOA，所以v3＞v2＞v1.【答案】(1)B(2)v3＞v2＞v1eq\a\vs4\al()求平均变更率的主要步骤(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变更率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变更率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1＜k2 B．k1＞k2C．k1＝k2 D．无法确定解析：选D.k1＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定，选D.2.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变更状况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．解析：由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝eq\f(s0,t0)；t0～t1范围：v甲＝eq\f(s2－s0,t1－t0)，v乙＝eq\f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正确．答案：③函数模型增长差异的比较甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点动身向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最终面；④丙不行能走在最前面，也不行能走在最终面；⑤假如它们始终运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．【答案】③④⑤eq\a\vs4\al()常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2解析：选A.依据已知所给的关系图，视察得到图像在第一象限，且从左到右图像是上升的，并且增长速度越来越快，依据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.不同增长函数模型的图像特征函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)由函数图像特征及变更趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变更是匀称的，f(x)随着x的增大而渐渐增大，其函数值变更得越来越慢．eq\a\vs4\al()由图像推断指数函数、对数函数和一次函数的方法依据图像推断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是视察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长速度不变的是一次函数．1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变更的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数函数变更的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y1呈指数函数变更．答案：y12.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－a)(a为常数)，如图所示，依据图中所供应的信息，回答下列问题：(1)从药物释放起先，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放起先，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图像可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＞0.1时，由1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(0.1－a)，得a＝0.1，则当t＞0.1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－\f(1,10)).故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(t－\f(1,10))，t＞\f(1,10))).(2)由题意可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－\f(1,10))＜0.25，得t＞0.6.答案：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(t－\f(1,10))，t＞\f(1,10)))(2)0.61．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率为()A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2解析：选D.由题意，可得平均变更率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(2（x0＋Δx）－2x0,Δx)＝2，故选D.2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2 B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案：D3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案：B4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．答案：甲[A基础达标]1．函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变更率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：选C.依题意，所求平均变更率为eq\f(（1＋Δx）2－12,Δx)＝2＋Δx，故选C.2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：选B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.3．小明骑车上学，起先时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事务吻合得最好的图像是()解析：选C.小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故解除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故解除B.故选C.4．某学校开展探讨性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是渐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采纳特别值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是()解析：选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图像大致为D中图像．6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，所以x2要比xlnx增长得快．答案：y＝x27.在某种金属材料的耐高温试验中，温度y(℃)随着时间t(min)变更的状况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，所以前5min每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案：②④8．生活阅历告知我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变更而变更，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．解析：A容器下粗上细，水高度的变更先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变更为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变更速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变更为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案：(4)(1)(3)(2)9．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图像，并比较x＋5与2x的大小．解：依据函数y＝x＋5与y＝2x的图像增长差异得：当x＜3时，x＋5＞2x，当x＝3时，x＋5＝2x，当x＞5时，x＋5＜2x.10．某国2024年至2024年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2024202420242024x(年份代码)0123生产总值y(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图像，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预料2033年该国的国内生产总值．解：(1)画出函数图像，如图所示．从函数的图像可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．把直线经过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函数关系式计算出2024年和2024年的国内生产总值分别为0．6777×1＋8.2067＝8.8844(万亿元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2033年，即x＝17时，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即预料2033年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．[B实力提升]11．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安 B．240安C．75安 D．135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f(320,64)＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.12．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：选C.将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算．13．某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满意关系式y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b.现已知该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，求该品牌汽车7月的产能为多少万辆．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))则y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－4)＋2，当x＝7时，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝1.875.故该品牌汽车7月的产能为1.875万辆．[C拓展探究]14．某鞋厂从今年1月份起先投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售状况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，须要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于