2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课时作业含解析新人教A版必修1

PAGE1-3.2.1几类不同增长的函数模型

[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1B．y＝xC．y＝2xD．y＝log3x解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.答案：A3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时起先运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如运动时间足够长，则运动在最前面的物体肯定是()A．aB．bC．cD．d解析：依据四种函数的改变特点，指数函数是一个改变最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体肯定是依据指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是()解析：函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可解除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，明显y＝ax的图象不符，解除A，B，选D.答案：D5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同始终角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道，青海湖水在最近50年内削减了10%，假如按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.答案：y＝0.9·m8．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反应了C随时间的改变而渐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有改变，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，支配今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．[实力提升](20分钟，40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a、b、c、d所表示的函数可能是()A．a：y＝2xb：y＝x2c：y＝eq\r(x)d：y＝2－xB．a：y＝x2b：y＝2xc：y＝2－xd：y＝eq\r(x)C．a：y＝x2b：y＝2xc：y＝eq\r(x)d：y＝2－xD．a：y＝2xb：y＝x2c：y＝2－xd：y＝eq\r(x)解析：依据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，且b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．答案：C12．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0.又∵b＝log20.3<log21＝0，∴c>a>b.答案：c>a>b13．现有某种细胞100个，其中占总数eq\f(1,2)的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；1h后，细胞总数为eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100.可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x，x∈N*.由100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>1010，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>108，两边同时取以10为底的对数，得xlgeq\f(3,2)>8，∴x>eq\f(8,lg3－lg2).∵eq\f(8,lg3－lg2)＝eq\f(8,0.477－0.301)≈45.45，∴x>45.45.故经过46h，细胞总数超过1010个．14．某医疗探讨所开发一种新药，假如成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满意如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假如某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样支配服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1<t≤10.))(2)设其次次服药时在第一次服药后t1小时，则－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)