新高考艺术生40天突破数学第36讲 轨迹方程（解析版）

第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求△MON的面积.【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知.因为，所以设直线的方程为，代入椭圆方程，得....①，设的坐标分别为，则又，所以，得又，所以，即的面积为定值.例2．（2022·全国·高三专题练习）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值.（1）求动点的轨迹方程：（2）若直线与动点的轨迹交于不同的两点，，且线段被直线平分，求直线的斜率的取值范围.【解析】（1）设点，依题意，有两边平方，整理得所以动点的轨迹方程为；（2）联立，解得.设点，，的中点为则，由题意可得，又因为点，都在椭圆上，则将上述两个等式作差得.则则，即所以，即所以直线的斜率的取值范围是例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段与的大小，并证明你的结论.【解析】（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴.又，∴.∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为4的椭圆.可设方程为，则，∴，∴点Q的轨迹方程为.（2）结论是：.①当直线MN的斜率不存在时，，，此时；②当直线MN的斜率k存在时，设：代入到，化简得，设，则，，此时，，∴.∴，点A在以MN为直径的圆上或圆的内部，所以.综上所述，.例4.（2021·全国·高三专题练习）点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.【详解】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），则由M为线段AB中点，可得，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），因为点（x0，y0）在椭圆上，，从而有整理得动点的轨迹方程为.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.【详解】设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点且与圆相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程.（2）直线过原点，且与轨迹有两个交点.轨迹上是否存在一点，使△为正三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.【详解】设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知：，故，因此，P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆方程.故圆心P的轨迹方程为：.（2）解法一：若直线的斜率存在且不为零.故可设.直线方程为：由同理，得因，此时无解.若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出.故的坐标为解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设，代入椭圆方程，得同理，由得，故存在这样的点，其坐标为.例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.【详解】由已知得，∵，∴由正弦定理得:，∴，∴由双曲线的定义知，点的轨迹以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支（除去与轴的交点），∴，∴顶点的轨迹方程为.故答案为：.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆,1<t<3,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点．(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．【解析】（1）设，则矩形ABCD的面积.由得，从而当，时，.从而时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由，，，知直线的方程为①直线的方程为②由①②得③又点在椭圆C上，故④将④代入③得因此点M的轨迹方程为.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点，求椭圆的标准方程；（2）两个顶点的坐标分别是，边所在直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹方程.【答案】（1）或，（2）（），【分析】（1）由题意可得，然后分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况设出椭圆的方程，再将代入方程中可求出的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点的坐标，再由所在直线的斜率之积等于，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，若焦点在轴上，设椭圆的方程为，因为椭圆经过点，所以得，所以椭圆的方程为，若焦点在轴上，设椭圆的方程为，因为椭圆经过点，所以得，所以椭圆的方程为，所以椭圆的标准方程为或，（2）设点的坐标为（），因为边所在直线的斜率之积等于，所以，化简得，即（），所以顶点的轨迹方程（），2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大．求动点的轨迹方程.【答案】和【分析】设出点的坐标，根据题意列出所满足的方程，化简方程可求得的轨迹方程.【详解】设，由题意：两边平方可得：当时，化简可得，当时，，所以曲线M的轨迹方程为和.3．（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.【答案】【分析】设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.【详解】解：设，，代入得，化简得，又，所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.（1）求点P的轨迹方程；（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x2＝4y；（2）存在，定点R(0，－2).【分析】（1）由|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程；（2）由对称性确定点R必在y轴上，再由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R(0，－2).【详解】（1）由题知，|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x2＝4y.（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)此时由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝0由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y联立得x2－4kx－8＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2).【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R必在y轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆：与点，分别求出满足下列条件的动点的轨迹方程．（1）的周长为10；（2）圆与圆外切，且过点(为动圆圆心)；（3）圆与圆外切，且与直线相切(为动圆圆心)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意可得到，再根据椭圆的定义即可求解；（2）由题意可得到，再根据双曲线的定义即可求解；（3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：，又，，故点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且，，即，，，动点的轨迹方程为：；（2）设圆的半径为，则，，，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支，且，，即，动点的轨迹方程为：，（3）由题意知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，，动点的轨迹方程为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知，是圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程.【答案】.【分析】先根据题意可知正好为圆的半径，而，进而可知．根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以、为焦点的椭圆，根据、求得a，c，进而求得b，答案可得．【详解】作图，则，，∴且大于，即动点的轨迹为以、为焦点的椭圆，，，，所以动点的轨迹方程为.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【答案】x2-=1(x≤-1)【分析】设动圆的半径为R,根据圆外切的条件得到|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,消去,得到|MC2|-|MC1|=2,根据双曲线的定义得到的轨迹，并由定义得到的值，进而得到方程.【详解】依题意,知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为3.设动圆的半径为R,则|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,所以|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|,因此,圆心M的轨迹是以C1,C2为左、右焦点的双曲线的左支,且,所以.于是所求动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支.8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】；椭圆.【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．【详解】设动圆圆心为，半径为，设圆和圆的圆心分别为、，将圆的方程分别配方得：圆，圆当动圆与圆相外切时，有…①当动圆与圆相内切时，有…②将①②两式相加，得，∴动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴，∴∴∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点与两个定点，的距离的之比为.（1）求点的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点的轨迹方程为，以为圆心，为半径的圆；（2），【分析】（1）设，利用点与两个定点，的距离的比为，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线的距离，最大值为，最小值为.【详解】（1）设，∵点M与两个定点，的距离的比为，∴，化简可得，即点的轨迹方程为，以为圆心，为半径的圆.（2）圆心到直线距离为，点到直线的距离的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且该双曲线过点(2,2).（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1､F2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果；（2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程.【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±2x，则设双曲线方程为：4x2﹣y2=λ，(λ≠0)，点(2,2)代入得：λ=12，则双曲线方程为：4x2﹣y2=12，即1.（2）∵F1,F2是双曲线1的左右焦点，过F2作角的平分线AB的垂线，垂足为P，并且交AF1于Q，连接OP，如下图所示：则//，显然故|AQ|=|AF2|，∴|F1Q|=|AF1|﹣|AQ|=|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|OP|=a，由圆的定义可知，点P的轨迹是以点O为圆心，为半径的圆，所以P的轨迹方程为：x2+y2=3.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题.11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M：1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为，过点（0，1）的直线l与M交于A，B两点，且．（1）求M的方程；（2）求点P的轨迹方程．【答案】（1）；（2）x2+2y2＝2y．【分析】（1）根据题意2a＝2，，解方程组即可求解.（2）当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k即可求出轨迹方程.【详解】（1）由题意可知，长轴长2a＝2，即a，离心率e，则c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆M的方程为；（2）当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2+4kx＝0，解得x1＝0，x2，y1＝1，y2，由题意可知，P为AB的中点，所以，消去k，整理得x2+2y2＝2y，当斜率不存在时，A（0，1），B（0，﹣1），则P（0，0），满足x2+2y2＝2y，所以点P的轨迹方程x2+2y2＝2y．【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设，点在轴上，点在轴上，且，，在轴上运动时，求点的轨迹方程；【答案】【分析】根据且，可得为的中点，利用，可得，从而可得点的轨迹的方程；【详解】解：设，则由，得为的中点，又因为点在轴上，点在轴上，所以，，又，；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．【答案】（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）【分析】（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.【详解】（1）设，则由知：点在圆上点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又∴，消去得：顶点的轨迹方程为【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当与点不重合时，根据直线与的斜率之积为，直接可求出动点的轨迹方程；当与点重合时，或，最后写出动点的轨迹方程；（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.【详解】解：（1）当与点不重合时，，得，即，当与点重合时，或.综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析:（1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程;（2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC表示成的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析:解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：，同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号，所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．【答案】.【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求.试题解析：因为，，故，所以，故．又圆的标准方程为，从而，所以，题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为．考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，求点的轨迹方程．【答案】．【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求.试题解析：由题意知，为中点，设，则为，代入，得．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．【答案】【分析】设，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可．【详解】设，代入方程得两式相减得：又设中点将代入，当时得又代入得当弦斜率不存在时，其中点的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题．19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线与抛物线交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．（1）求的重心G的轨迹方程；（2）如果的外接圆的方程．【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A、B、F不共线）故∴重心G的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB的中垂线方程为令△ABF外接圆圆心为又，C到AB的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，⇒y2－4y＋4m＝0，∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，故∴重心G的轨迹方程为y＝.(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x0，