2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省宝鸡市金台区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，以下结论中错误的是（）A.若三个数成等差数列，则B.若五个数成等差数列，则C.若三个数成等比数列，则D.若三个数成等比数列，则【答案】C【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；对于B，若五个数成等差数列，则，且当时，即成等差数列，故B不符合题意；对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是（）A B.或 C. D.或【答案】B【解析】由椭圆，即，所以或，所以或，解得或．选：B．3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线方程可化为，则，故抛物线准线方程为.故选：A4.如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段、上，且，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意.故选：A.5.已知直线：，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.若直线，则C.点到直线的距离是1D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；点到直线的距离是：，所以C不正确；过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；故选：D．6.已知等比数列的前n项和为.且，，则（）A.16 B.19C.28 D.36【答案】C【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：C.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；由题意则可得：，所以选项C正确，D错误；故选：D8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程所表示的曲线为C，则（）A.曲线C可能是圆B.若，则C不一定是椭圆C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D.若C为双曲线，且焦点在y轴上，则【答案】ABC【解析】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.故选：ABC.10.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由题意，，，.故选：AD.11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A.若，则B.若点到焦点距离为3，则的坐标为.C.若，则的最小值为.D.过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则【答案】AC【解析】抛物线，.对于A，，，A正确；对于B，设，，，的坐标为.B错误；对于C,,C正确；对于D，直线，联立，得：，,,D错误.故选：AC.12.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】焦点在x轴上，，，则，解得，故故所求椭圆的方程为：．故答案为：．14.等比数列中，，，则__________.【答案】【解析】设的公比为，因为，，所以,解得,故.故答案为：.15.曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，则切线的方程为，即.故答案为：．16.已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】联立方程组，消去，得，由题意，,得，即双曲线，故双曲线C的离心率.故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.（1）求这个等差数列的通项公式；（2）若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，则由题意，解得，所以这个等差数列的通项公式为.（2）由（1），所以，而二次函数的对称轴为，开口向下，所以当或时，的最大值为.18.在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．（1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；（2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.解：（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.（2）圆O：的圆心为，半径为，若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离等于1，所以，解得.19.已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和解：（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且所以，又，所以解得，所以数列的通项公式为.（2）若，则，数列的前n项和，，两式相减得，所以数列的前n项和.20.如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.解：OA的方程为：，设，所以，可得，F在线段OC上，所以，,得，整理得F的轨迹方程为：.21.已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.（1）求双曲线的方程;（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.解：（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，所以，，所以双曲线的方程为；（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，若线段的中点为，则直线的斜率存在，设为，且，，可得直线的方程为，与双曲线方程联立，可得，设，则，解得，经检验符合题意.22.在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.（1）证明：AB⊥PD.（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.解：（1）连结BD，∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.∴BD＝AD，∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），（），（0，，），（，，），设平面ABP的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，1，1），设平面PBC的法向量，则，取，得（﹣1，1，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ.陕西省宝鸡市金台区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，以下结论中错误的是（）A.若三个数成等差数列，则B.若五个数成等差数列，则C.若三个数成等比数列，则D.若三个数成等比数列，则【答案】C【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；对于B，若五个数成等差数列，则，且当时，即成等差数列，故B不符合题意；对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是（）A B.或 C. D.或【答案】B【解析】由椭圆，即，所以或，所以或，解得或．选：B．3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线方程可化为，则，故抛物线准线方程为.故选：A4.如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段、上，且，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意.故选：A.5.已知直线：，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.若直线，则C.点到直线的距离是1D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；点到直线的距离是：，所以C不正确；过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；故选：D．6.已知等比数列的前n项和为.且，，则（）A.16 B.19C.28 D.36【答案】C【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：C.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；由题意则可得：，所以选项C正确，D错误；故选：D8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程所表示的曲线为C，则（）A.曲线C可能是圆B.若，则C不一定是椭圆C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D.若C为双曲线，且焦点在y轴上，则【答案】ABC【解析】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.故选：ABC.10.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由题意，，，.故选：AD.11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A.若，则B.若点到焦点距离为3，则的坐标为.C.若，则的最小值为.D.过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则【答案】AC【解析】抛物线，.对于A，，，A正确；对于B，设，，，的坐标为.B错误；对于C,,C正确；对于D，直线，联立，得：，,,D错误.故选：AC.12.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】焦点在x轴上，，，则，解得，故故所求椭圆的方程为：．故答案为：．14.等比数列中，，，则__________.【答案】【解析】设的公比为，因为，，所以,解得,故.故答案为：.15.曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，则切线的方程为，即.故答案为：．16.已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】联立方程组，消去，得，由题意，,得，即双曲线，故双曲线C的离心率.故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.（1）求这个等差数列的通项公式；（2）若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，则由题意，解得，所以这个等差数列的通项公式为.（2）由（1），所以，而二次函数的对称轴为，开口向下，所以当或时，的最大值为.18.在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．（1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；（2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.解：（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.（2）圆O：的圆心为，半径为，若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离等于1，所以，解得.19.已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和解：（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且所以，又，所以解得，所以数列的通项公式为.（2）若，则，数列的前n项和，，两式相减得，所以数列的前n项和.20.如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于