高分子材料流变学3专业课教材

高分子材料流变学主讲：陈璞微博/chenpu28第五章流变学基础方程第一节连续性方程——质量守恒律第二节运动方程——动量守恒律第三节能量方程——能量守恒律第四节平行板间和管道中的流变过程高分子流变学主要研究高分子液体在流动过程中所表现的非线性粘弹性及其规律。高分子流变过程遵循自然界普遍适用的质量守恒律、动量守恒律和能量守恒律。高分子流变过程与其它流体输运过程的主要差别在于高分子液体是一种特殊的非牛顿型流体，表现出异常的非线性粘弹性，遵循特殊的流动本构方程。哈米尔顿算子∇，具有矢性和微分的双重性质。梯度：u为数性函数散度A为矢性函数旋度∆称为拉普拉斯算子。密度梯度ρV散度它反映了流动场中质量发散量。§5.1连续性方程我们可把流动的聚合物看作连续介质。所谓连续介质就是物体是由一个挨一个的、具有确定质量的、连续地充满空间的众多微小质点所组成的。流体动力学三大基础方程连续性方程运动方程能量方程

设无限大空间内充满流体，在固定的空间坐标系中任取封闭曲面A，设其包围体积为V，考察单位时间内曲面A中包围流体的质量变化率为：该质量变化率应等于单位时间内穿过曲面A的净质量流量。在A上任取面元dA，设dA的方向指向封闭曲面的外法线方向。假定dA处流体的流速为

v，则单位时间通过dA的体积流量为（－v·dA），相应的通过dA的质量流量为（－ρv·dA），于是有：上式为连续性方程的积分形式。上式表示单位时间内，体积V中流体的质量变化等于该时间内穿过曲面A的净流量。根据Gauss定理：式（5－2）变为：移项后：由于V区域为无限大空间中任取的区域，所以式

(5－3)积分等于零，只有被积函数等于零：此公式可称为连续性方程的微分形式。得到：式（5－6）也可改写为：此公式可称为全导数形式的连续性方程。利用散度公式的性质：对于任何一种稳定流动，有所以由式（5－5）得知：此公式是另一种全导数形式的连续性方程。对于不可压缩流体的稳定流动，有则由式（5－7）得知：在直角坐标系中，式（5－10）的显式表示为：即速度矢量的散度等于零。这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程。对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近似地视其为不可压缩流体的稳定流动，故连续性方程可用式（5－10）表示。注意采用的坐标系不同，式（5－10）的显式表示不同。其中直角坐标系和柱坐标系中的连续性方程最常用。对式（5－8）的说明：如密度ρ是时间t和空间x、y、z的函数，即ρ=ρ(t,x,y,z)。根据全微分的定义可得：对于一般流体，式（5－8）可展开为：

是由时间变化而引起的质量变化，是由于场的不稳定性引起的质量变化，是局部项。

是由空间位置改变而引起的质量变化，是由于场的不均匀性引起的质量变化，是迁移项。可得连续性方程的物理意义：

质量的总变化量由两部分组成：

如将上式的密度ρ去掉，则得到一种所谓“全微－偏微分关系算符”：对于任一物理量R，可表示为：由算符d/dt或D/Dt所表示的函数dR/dt或DR/Dt称为“随体导数”。它的意思是指物理量随着流体质点一起运动时所产生的变化率。“随体导数”由两部分组成：局部导数+对流导数局部导数

：是物理量的局部变化，是由场的不稳定性而引起的。对流导数

：是物理量的对流变化，是由空间位置改变而引起的。§5.1思考题3．“随体导数”表示什么意义？它有哪两部分组成?1．了解微分形式的连续性方程式(5－5)、全导数形式的连续性方程式(5－7)。2．试述另一种全导数形式的连续性方程式(5－8)的物理意义。§5.2运动方程x2△x1x3x1△x2△x3今以较简单的直角坐标系为例，用“微小立方体积元”推导连续性方程。按质点的动量定理有：公式的物理意义为：质点的动量变化率等于质点所受的外力和。一．作用在运动流体上的力、应力1．动量与力动量也可用单位体积流体的动量ρV来表示。力可把力看作是单位时间内动量的输入量。2．作用在运动流体上的力、应力可分为两大类质量力（体积力、体力）

表面力（面力）

（1）质量力

流体受到的与其质量或体积成正比的力。这种力作用在流体的每一个微团上。如：重力、惯性力、电磁力等。单位体积的重力W可表示为：（2）表面力、一点处的应力

作用于流体表面微团上的力称为表面力。表面应力定义：以法线n为方向，包围点M的面元δS上的表面力δF，其极限就是M点处的表面应力σ(n)。表面应力是面元法向单位矢量n的函数，记为σ(n)或σn。

一点的应力状态不能用一个固定的作用应力来描述，而要用九个数（分量）组成的应力张量来描述。表面应力σ可分解为σ法(法向应力)σ切(切向应力)二．张量的初步概念1．张量的定义（1）标量仅由数值大小所决定的物理量，叫数量或标量。（2）矢量（向量）既有大小又有方向的物理量，叫向量或矢量。（3）张量在一点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张量。应力张量要用九个分量来描述。要用九个分量来描述的称为二阶张量；要用三个分量来描述的称为一阶张量；标量则称为零阶张量。张量的分量数目等于3阶数。2．应力张量σzzσzxσzyσxyσxzσxxσyyσyzσyxzyx物体受力后任一点的应力状态需由九个分量组成的一个应力张量来描述。

σxσyσz分别作用在垂直于x轴、y轴、z轴的面上，可沿x、y、z三个方向分解，共有九个分力（分量），如图所示。用应力张量形式表示为：法向应力分量：σxx

σyy

σzz切应力分量：σxy

σyx

σxz

σzx

σyz

σzy当物体处于平衡状态时，即不发生旋转，根据切应力互等定律：

σxy

=σyx

，σxz=

σzx，σyz=σzy。所以上述九个分量中，只有六个是独立的。这样，上述的应力张量可表示为：在直角坐标系中，取δ11=δ22

=

δ33

=

1，

δij=0（i≠j)，则可得张量：3．几个特殊张量（1）单位张量

I

或δij满足δij=δji

，称为对称张量，记作：（2）对称张量将矢量A（A1，A2，A3）和矢量B（B1，B2，B3）排成一个数组，记作：（3）并矢张量一般情况下AB≠BA两矢量的并矢积为一张量在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，即Pij=Qij，则两张量相等，记作：4．张量的代数运算（1）张量相等P≡Q（2）张量的加减两张量对应分量相加减，称为张量的加减，记作：T=P±Q据此，可将一个张量分解为n个张量，或将n个张量合成为一个张量。例如：从上式可见：综合这二式，可得：如i=j，δij

=1，则σij

=－P+τij如i≠j，δij

=0，则σij

=τij式中δij为单位张量（3）张量与标量的乘（除）把张量Pij各个分量分别乘以（或除以）标量λ，结果Tij=λPij，T也是张量，（4）向量与张量的乘积向量与张量点乘，不论是左乘或右乘，其积均为一个新矢量。考察流体中一无限小体积元，其速度为v，对其动量矢量的x1分量进行研究，有：三．运动方程的推导外力主要有三部分：流体流动时作用在体积元上的压力在x1方向的分量P1，粘弹力在x1方向的分量VE1，重力在x1方向的分量G1。代入式（5－14），得到：同理可求出动量方程在x2、x3方向的分量式。综合写出张量表示式：

这就是一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方程。把式（5－19）分解为各个方向的运动方程x方向上的运动方程为：y方向上的运动方程为：z方向上的运动方程为：（3）将Dv/Dt展开后的各个方向的运动方程∵v=v(t，x，y，z)

vx

=vx(t，x，y，z)……∴求全导数即得：X方向：y方向：z方向：物理意义：运动方程实质上与牛顿力学第二定律相似。左边括号内第一部分：表示速度随时间的变化率，又称局部加速度。左边括号内第二部分（其余三项）：是由场的不均匀性引起的加速度，又称迁移加速度。惯性力项：反映单位时间内、单位体积流体的动量增量。右边的物理意义：重力项，反映重力的动量的影响。

静压力项，反映静压力对动量的影响。粘性力项，反映流体粘性对动量的影响。综上所述，运动方程的物理意义可看作：惯性力=静压力+粘性力+重力运动方程是流体力学、流变力学中一个最普遍的方程。是任何流体流动的动量守恒方程。因为运动方程很难得到普遍解，所以在具体应用时，往往都作一些假设，使之简化，以便与连续方程、应力－应变关系式等联立求解。这样，运动方程写起来很复杂，但应用起来却较为简单。式中∇p为压力梯度，记为：于是Hamilton算子可缩写记为：

此方程即著名的Navier-Stokes方程，为牛顿流体力学中的基本方程。式(5－19)表示，流体元流动过程中动量的变化有三种外力的贡献，这三种外力是：压力、粘弹力和重力。由于高分子流体的粘度往往很大，重力的影响一般很小，常忽略不计。因此影响流体流动的主要外力为压力和粘弹力。对不可压缩的牛顿流体，因为密度ρ、粘度η0为常数，偏应力张量，故式(5－19)可以简化为：式(5－23)是粘弹性流体运动方程的一个特例，其分量式记为：式中∆称为Laplace算子，在直角坐标系中的显式为：§5.2思考题1．作用在流体上的力可以分为哪几类?2．了解运动方程的物理意义及应用范围。§5.3能量方程聚合物的加工通常是在粘流态进行的，几乎所有聚合物加工过程都包含流动能量的交换，加热和冷却等热传递过程。总能量=内能（E）+动能（K）

=流动能量（V方向）+热传能量（Q）+应力作功能量（σ方向）+重力作功能量（g方向）根据热力学第一定律，即能量守恒定律表示为：此公式的物理意义为：封闭系统的任何能量变化，或源于与外界的功交换，或源于与外界的热交换，否则能量守恒。设在无限大空间内充满连续流体，其占有空间域A的流体系统，在单位时间内的能量变化律为：域A流体系统中的内能和动能分别为：设A域中的流体与外界的热量交换只计传导热，不计辐射热。热流矢量q为：A域内的流体与外界的热交换率为：外力对体系作功的功率＝表面力功率＋体积力功率表面力：压力与粘弹力；体积力：重力。由于体积力远小于表面力，故忽略不计。外力的功率为：该功率包括各向同性压力和偏应力张量的贡献。将式(5－28)～(5－32)代入式(5－27)中，得到流动过程中能量方程的积分形式：通过适当的演算，还可得到能量方程的微分形式：这是一个九项对应乘积之和。其中既有剪切应力分量与剪切速度梯度的贡献（粘性力贡献），又有法向应力分量与拉伸速度梯度的贡献（弹性力贡献）。如将（5－34）展开，写得具体一些，便有：这就是常用于求解温度分布的能量守恒方程。1．物理意义讨论：（1）单位时间内某一点的温度变化（2）

由传热引起的温度变化，即空间位置变化所引起的温度变化。（4）机械功变为热能所引起的温度变化。（3）这是膨胀功引起的变化。综上所述，流体中某一点的温度变化，是热传导、膨胀功和机械功作用的结果。2．其它几种情况的能量守恒方程（2）如微元体内有均匀的内热源，也应考虑进去。（1）考虑摩擦热引起的温度变化，右边加一项其物理意义为，流体流动过程中体系能量的变化，决定于与外界的热交换和功交换。对于粘弹性流体而言，功交换既包括粘性力贡献，也包括弹性力贡献。

这说明：单位时间内某一点的温度变化，等于热传导引起的或空间位置变化所引起的温度变化。上述公式中cv

、

ρ、p、v和x、y、z均是可测的，可得温度分布和速度分布：（4）如粘度不太大时，可以忽略，如果流体又是不可压缩的，则式(5-34)变为：例题：不可压缩粘弹性流体的稳态简单剪切流场中的输运方程。根据上述简化假定，输运过程基本方程得以简化，得到：§5.3思考题1．在流动场中的总能量是由哪几部分组成?2．了解能量守恒方程的物理意义。§5.4平行板间和管道中的流变过程一．平行板间的等温拖曳流两块间距为H的平板，上板以v0沿x方向流动，下板静止，两板温度保持Tw不变。简化模型1．不可压缩的牛顿型流体，稳定层流密度和粘度为常数2．H很小，一维流动。3．Vy=Vz=0，4．物料在板壁上无滑移5．两板的温度Tw，6．p=常数7．可忽略重力和惯性力的作用经简化假定，得输运过程基本方程为：推导公式（5－40）～（5－43）：上述方程联立得到一个方程组，但为了求解上述问题，还必须采用所研究的牛顿型流体的本构方程：边界条件为：由式(5－41)积分得：将式(1)代入式(5－46)得：将式(2)积分得：将式(1)、(2)代入式(5－45)得：将式(4)经两次积分得：利用边界条件来确定各积分常数(1)求C1(2)求C2当y=0时，vx

=0，从式(3)可得：(3)求C3、

C4当y=0时，T(0)=Tw

，从式(6)可知：当y=H时，T(H)=Tw

，并将式(7)、(9)代入式(6)得：根据C1、C2、C3、C4求解切应力分布、速度分布和温度分布：(1)将式(7)代入(1)，得切应力分布：(2)将式(7)、(8)代入(3)，得线速度分布：(3)将(7)、(9)、(10)的C1、C2、C3值代入(6)，得温度分布：这就是温度分布方程式。推导的式(12)和式(13)即为式(5－48)。上述方程组合在一起，构成一个定解问题。通过简单运算，可求得流体在两块无限大平板间等温拖曳流中的速度分布和温度分布：为便于作图可将式(5－48)变为：

由图5－5中的速度分布和温度分布图可知，在无限大平板间的等温拖曳流中，速度分布为线性分布，而温度分布为抛物线分布，在流道中央温度最高，接近两板处流体温度与板的温度相等，等于Tw。在流道中央