成考大专20年数学试卷

成考大专20年数学试卷一、选择题

1.若函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)在\(x=1\)处取得极值，则该极值是：

A.0

B.1

C.-1

D.2

2.下列哪个函数是奇函数？

A.\(f(x)=x^2+1\)

B.\(f(x)=x^3\)

C.\(f(x)=x+1\)

D.\(f(x)=x^2-1\)

3.已知数列\(\{a_n\}\)的前n项和为\(S_n=3n^2-n\)，则数列的通项公式是：

A.\(a_n=3n-1\)

B.\(a_n=3n+1\)

C.\(a_n=3n^2-n\)

D.\(a_n=3n^2-2n\)

4.已知等差数列的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差是：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.若方程\(2x^2-3x+1=0\)的两个根是\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1+x_2\)的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若\(\cosA=\frac{1}{2}\)，且\(A\)是锐角，则\(\sinA\)的值为：

A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

7.若\(\log_28=3\)，则\(\log_416\)的值为：

A.2

B.3

C.4

D.5

8.若\(a\)和\(b\)是实数，且\(a^2+b^2=1\)，则\(ab\)的最大值是：

A.0

B.1

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

9.若\(a\)和\(b\)是实数，且\(a+b=5\)，\(ab=6\)，则\(a^2+b^2\)的值为：

A.11

B.12

C.13

D.14

10.若\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4\)，则\(\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}\)的值为：

A.4

B.8

C.12

D.16

二、判断题

1.在直角坐标系中，任意一点到原点的距离都可以表示为该点的坐标的平方和的平方根。（）

2.若两个函数的导数相等，则这两个函数也必定相等。（）

3.在等差数列中，任意一项与其前一项的比值都是常数。（）

4.对于任何实数\(x\)，\(\sin^2x+\cos^2x=1\)始终成立。（）

5.若\(a\)和\(b\)是实数，且\(a^2=b^2\)，则\(a=b\)或\(a=-b\)。（）

三、填空题

1.若\(a\)和\(b\)是实数，且\(a+b=5\)，\(ab=6\)，则\(a^2+b^2\)的值为______。

2.函数\(f(x)=x^3-3x\)的零点是______。

3.在直角坐标系中，点\((3,4)\)关于原点的对称点是______。

4.若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，且\(A\)是第一象限的角，则\(\cosA\)的值为______。

5.数列\(\{a_n\}\)的前n项和为\(S_n=4n^2-2n\)，则数列的通项公式\(a_n\)为______。

四、简答题

1.简述一次函数的图像特征，并举例说明。

2.如何判断一个一元二次方程的根的情况（实根、重根、无实根）？

3.请简述等差数列和等比数列的定义，并举例说明。

4.如何求一个三角函数的值，如果已知该函数的角在特定象限？

5.简述极限的概念，并举例说明如何求解一个函数的极限。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：\(f(x)=3x^4-2x^3+4x^2-x+5\)。

2.解下列一元二次方程：\(2x^2-5x+3=0\)。

3.求下列数列的前10项和：\(a_n=3n-2\)。

4.计算下列三角函数的值：\(\sin60^\circ\)和\(\cos45^\circ\)。

5.计算下列极限：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一种产品，已知每生产一件产品需要投入的固定成本为10元，变动成本为5元。根据市场调查，当产品售价为15元时，每月可销售100件产品。

问题：

（1）根据上述信息，计算该产品的总成本、总利润和单位利润。

（2）如果工厂想要每月实现1000元的利润，需要调整售价吗？如果需要，请计算调整后的售价。

2.案例背景：某学生参加了一场数学竞赛，已知他在前5道题中每道题得分如下：2分、3分、4分、5分、6分。他需要在剩下的3道题中取得尽可能高的分数，以获得总分数的90%。

问题：

（1）计算该学生在前5道题中的总分。

（2）设他在剩下的3道题中每道题得分分别为\(x\)分、\(y\)分、\(z\)分，列出方程组求解\(x\)、\(y\)、\(z\)的值，使得学生的总分数达到或超过90%的总分。

七、应用题

1.应用题：某商店销售一种商品，已知商品的进价为每件20元，售价为每件30元。为了促销，商店决定进行打折销售，打八折后的售价仍能保证每件商品至少获利5元。

问题：计算打折后的售价，并求出至少需要销售多少件商品才能保证每月的利润达到500元。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)厘米、\(b\)厘米、\(c\)厘米。已知长方体的体积为\(V\)立方厘米，表面积为\(S\)平方厘米。

问题：写出长方体体积和表面积的表达式，并求出当\(a=2b\)和\(c=3b\)时，长方体的体积和表面积。

3.应用题：某班级有学生50人，其中男生和女生的比例是3:2。为了提高班级的体育活动水平，学校计划选拔一部分学生参加校运动会，选拔比例是班级人数的40%。

问题：计算选拔参加运动会的男生和女生各有多少人。

4.应用题：一个圆形花坛的半径为5米，花坛的边缘种植了一圈花草。已知花草的宽度为0.5米，且花草的种植使得花坛的面积增加了50平方米。

问题：计算种植花草后，花坛的半径和面积。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A.0

2.B.\(x^3\)

3.A.\(a_n=3n-1\)

4.A.2

5.C.3

6.A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

7.B.3

8.D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

9.C.13

10.D.16

二、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题

1.11

2.-1,2

3.(-3,-4)

4.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\),\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5.\(a_n=3n-5\)

四、简答题

1.一次函数的图像是一条直线，其斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。例如，函数\(f(x)=2x+3\)的图像是一条斜率为2，截距为3的直线。

2.通过判别式\(\Delta=b^2-4ac\)判断。如果\(\Delta>0\)，方程有两个不同的实根；如果\(\Delta=0\)，方程有一个重根；如果\(\Delta<0\)，方程无实根。

3.等差数列是指从第二项起，每一项与它前一项的差是常数。例如，数列2,5,8,11,...是一个等差数列，公差为3。等比数列是指从第二项起，每一项与它前一项的比是常数。例如，数列2,6,18,54,...是一个等比数列，公比为3。

4.根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值。例如，\(\sin60^\circ\)是60度角的正弦值，可以通过特殊角的三角函数值得到，即\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

5.极限是指当自变量的值趋向于某一特定值时，函数值所趋向的值。例如，求\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)时，可以通过洛必达法则或者泰勒展开等方法求解，得到极限值为1。

五、计算题

1.\(f'(x)=12x^3-6x^2+8x-1\)

2.\(x_1=1,x_2=\frac{3}{2}\)

3.\(S_{10}=4(1+2+3+...+10)-2(1+2+3+...+10)=4\times\frac{10\times11}{2}-2\times\frac{10\times11}{2}=220\)

4.\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)

六、案例分析题

1.（1）总成本=固定成本+变动成本=10元+5元=15元/件；总利润=销售收入-总成本=(15元/件×100件)-(15元/件×100件)=500元；单位利润=总利润/销售件数=500元/100件=5元/件。

（2）设调整后的售价为\(p\)元，则\(p\times100\times0.8-15\times100=1000\)，解得\(p=25\)元。

2.（1）总分=2+3+4+5+6=20分。

（2）方程组为：

\[x+y+z=20\times90\%\]

\[6x+4y+2z=20\times100\%\]

解得\(x=6,y=3,z=5\)。

七、应用题

1.打折后的售价为\(30\times0.8=24\)元；至少需要销售\(500元/(24元-20元)=6.25\)件，由于不能销售部分件，所以需要销售7件。

2.体积\(V=a\timesb\timesc=2b\timesb\times3b=6b^3\)；表面积\(S=2(ab+bc+ac)=2(2b^2+3b^2+2b^2)=10b^2\)。

3.男生人数=50×\(\frac{3}{5}\)=30人；女生人数=50×\(\frac{2}{5}\)=20人；选拔参加运动会的男生人数=30×40%=12人；选拔参加运动会的女生人数=20×40%=8人。

4.