中考数学难点突破与训练：三角形的存在性综合问题（原卷版）

专题50三角形的存在性综合问题

【题型演练】

一、解答题

1.如图，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=3C,点。为A3边上一点，连结CO,过点

8作BE_LCD交。的延长线于点E.

⑵如图2,延长EB到点尸使EF=CE,分别连结CP,AF,AF交EC于点G.求证：BF=2EG.

⑶如图3,若AC=AD,点M是直线AC上的一个动点，连结将线段MD绕点。顺时

针方向旋转90。得到线段点P是AC边上一点，AP=3PC,。是线段CO上的一个动

点，连结P。，。河'.当PQ+QM'的值最小时，请直接写出/尸加'的度数.

2.已知正方形ABCD,点尸为直线AC上的一点，连接尸3,过点尸作射线交直

线C。于点E,连接3E,取8E的中点/，连接PRCF.

⑴如图1,点尸在线段AC的中点时，直接写出网与CF的数量关系；

(2)如图2,

①点尸在线段AC上时，试判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；

②若点P在直线AC上，AB=4,AP=^-AC,直接写出C尸的长；

4

⑶设AB=4,若点尸运动到某一位置时使△3CF为等边三角形，请直接写出针的长.

3.在AABC中，。为直线AC上一动点，连接3D,将8。绕点B逆时针旋转90。，得到BE,

连接DE与AB相交于点足

E

(1)如图1,若。为AC的中点，ZBAC^90°,AC=4,89=回，连接AE,求线段AE的

长；

(2汝口图2,G是线段54延长线上一点，。在线段AC上，连接OG,EC,若NR4C<90。，

ECYBG,ZADE=ZDBC,ZDBC+ZG=ZEBF,证明0BC=2AD+OC;

(3)如图3,若AABC为等边三角形，AB=6立,点M为线段AC上一点，且2CM=4W,点

P是直线3C上的动点，连接EP,MP,请直接写出当印+MP最小时的面积.

4.在RtaABC中，ZABC=90°,AD平分/BAC,E为AC上一点.

图1

图3

(1)如图1,过D作A尸〃A8交AC于点/，若DE=DF=3,AB=4,求8的长；

(2汝口图2,若CE=CD,过A作AF,4)交OE的延长线于点尸，H为D4延长线上一点，

连接成，过尸作交DH于点G,交HE于点M,且AH=AG,猜想线段用与ED

之间的数量关系并证明你的猜想；

(3)如图3,将(2)中△?1加沿。R翻折得到《4。尸，N为。尸上一点，连接AN,过N作

PN_L4V交AQ于点尸，AD=10,PD=6,再将A/WF沿AV翻折得到AAN。，AQ交PN、

。产分别于点S、R,请直接写出箕的值.

RN

5.如图1,AABC中，AC=5,BC=12,以AB为直径的。。恰好经过点C,延长8c至。，

使得CD=BC,连接AD.

⑴求。。的半径；

⑵求证：ZB=ZD；

(3)如图2,在AD上取点尸，连接PC并延长交。。于点Q,连接AQ交3C于点E.

①当PQ〃A3时，求AExA。的值；

②设AP=x,CE=y,求了关于x的函数表达式.

6.在44BC中，ABAC^90°,AB=AC.点。是平面内一点，连接A。，将AD绕着点A

逆时针旋转90。得到线段AE,连接CE,DE.

⑴如图1,若点。为线段的中点，且BC=8,求CE的长；

(2汝口图2,若点。为AABC内部一点，过点A作/3,9交3。的延长线于点F,AF交EC

于点G,求证：EG=CG；

(3)如图3,在(1)的条件下,点M是射线AD上的一点，点N是线段A3上一点，且AM=BN,

连接CM,CN.当CM+CN最小时，直接写出VC4M与△CBN的面积的和.

7.【问题发现】

(1)如图①，AABC是等边三角形，点。，E分别是边上一点，且BD=2,BE=1,

点P在线段AE上运动，以尸£)为边向右作等边△尸DF.

①求证：DEJ.AB

②过点尸作尸G,3c于点G,连接。E,请判断尸G的长度是否为定值，若是,请求出该定

值，若不是，请说明理由.

【类比探究】

(2)如图②，长方形A8CD中，AB=4,BC=5,£为BC上一点，且助=1,P为A2边上

的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，当点厂从点B运动到

点A时，请求出点G运动的路程.

图①图②

8.如图，等腰从1BC中，AB=AC,平分N3AC.点E为AD上的动点，连接BE,将

(1)若50=3,试求出3C的长度；

(2)若BE=BC,设PB与AC相交于点尸.

①请求出NBFC的度数；

②连接所，过点C作CGLEF交所的延长线于点G.若族=10,EG=6.试求线段CF

的长.

9.在等边三角形A3C中，点£＞为AC上一点，连接3£),将8。绕。逆时针旋转角度a得

至UDE,连接BE,已知AB=4,BG±AC；

图1图2图3

(1)如图1,若a=60。，tanZDBG=2-y/3,连接CE,求CE的长；

⑵如图2,若。=120。，分别取CO的中点H,BE的中点R连接"尸，。尸，求证：HG=HF；

3

(3)如图3,若AO=],尸为AE上一点，且满足AP=2尸E,连接BP,将SP沿着8G所在

直线翻折得到3P',连接GP,当GP最大时，直接写出ABPE的面积.

10.［母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，AB=8cm,

BC=6cm,AC=5cm.沿过点8的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折

痕为BD.求的周长.

解：•.,△瓦乃是由折叠而得到

:.ABDEmLBDC:.BC=BE=6cm,DC=DE

,/AB=8cm/.AE=AB-BE=8cm-6cm=2cm

VAC=5cm.•.VADE的周长为：AD+DE+AE=AC+AE^lcm

【知识应用】在Rt^ABC中，NC=90。沿过点5的直线折叠这个三角形，使点C落在8边

上的点E处，折痕为班），过点E作N3ED的平分线交3。于点尸连接AP.

Si图2

（1）如图1,若CD=3cm,AB+BC=16cm,求AABC的面积;

(2)如图2,求证AP平分NC4B；

【拓展应用】如图3,在Rt^ABC中，NC=90。沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落

在A3边上的点E处，折痕为3D,过点E作/BED的平分线交8D于点连接AP,过点尸作

PHVAB.

图3

(3)若AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,直接写出尸//长；

(4)AC2+BC2=AB2,^vEAH-BH^-ACBC.

2

11.(1)已知AABC中，AB=AC,ZBAC=120°.

①如图1,点、M,N均在边BC上，ZANB=45°,ZMAN=ZNAD=^)°,AD^AM,连接

ND,CD.请直接写出BM与CN的数量关系

②如图2,点/在边3C上，点N在3C的上方，且/MBN=NM4N=60。，求证：

MC=BN+MN-,

(2)如图3,在四边形ABCD中，ZCAB=a,瓦)平分/ABC,若/ADC与4BD互余,

则/ZMC的大小为(用含a的式子表示).

12.如图，在。。中，半径03,弦AC于点E,连接AB,BC,点。为。。上一点，连接3D、

CD.

(1)如图1,求证NO+NABE=90。；

⑵如图2,点尸为。。上一点，连接b,DF,若ZABC=/BCF,求证：DC平分ZBDF；

(3)如图3,在(2)的条件下，CG平分/OCF,交DF于点K,连接OK,设3。与AC交

于点CE:HE=5:3,BH=4,DK=8,求OK的长.

13.如图，四边形ABC。内接于。O,对角线AC、交于点E,连接4。交3D于点孔

AB=BF.

AAA

图1图2图3

（1）如图（1）求证：ZACD=2ZACB.

(2)如图(2)若AOHBC,求证：AC=CD.

⑶如图（3）在（2）的条件下，作EG〃AO交CO于点G,OMLDC于点M,若5CG=6GM,

OM=10,求线段。尸的长.

14.在四边形ABCD中，AB=BC,ZB=60°；

图1图2

（1）如图1,已知ND=30°,求得ZA+ZC的大小为；

（2）己知AD=3,CD=4,在（1）的条件下，利用图1,连接3D,并求出3D的长度；

⑶问题解决：如图2,已知ND=75。，BD=6,现需要截取某种四边形的材料板，这个材料

板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小

值吗？如果能，请求出此时四边形4BCO面积的最小值；如果不能，请说明理由.

15.问题探究：

图(1)

（1汝口图（1）,在AABC中，=90°,AB=AC,点。为边BC上的一动点，以AD为边

在右侧作VADE,且/ZME=90。，AD=AE,连CE.若CD=2BD=4,求DE的长；

⑵如图（2）,边长为4的等边点。为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作VADE,

连接CE,贝U①/DCE=；®DC+CE=；③AOCE的周长最小值是

问题解决：

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=AD,8=1,NA=NC=90。，ZABC=60°,点M,N

分别为边AO,DC上的动点，且DM+DN=2,是否存在点N,使得四边形HWDN面

积最大且ADMN的周长最小？若存在，求出四边形3MZW面积最大值和AOMN的周长最小

值；若不存在，请说明理由.

16.如图1,已知，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=3,点。在AB上且8。="，

4

点、P,。分别从点8出发沿线段£>8,BC向终点8,C匀速移动，P,。两点同时出发，

同时到达终点.设8。=无，AP=y.

⑴求A£)的值.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点尸作尸ELAC于点E,连接PQ,EQ.

①当APE。为等腰三角形时，求了的值.

②过。作D尸，3c于点尸，作点尸关于E。的对称点尸，当点F落在△PQB的内部(不

包括边界)时，则无的取值范围为.

17.问题提出如图1,点E为等腰从LBC内一点，AB=AC,ZBAC=a,将AE绕着点A

逆时针旋转a得到40,求证：^ABE^ACD.

尝试应用如图2,点。为等腰外一点，AB^AC,BDLCD