中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类

一、常考点汇总

1、两点间的距离公式：15Hyj+3fy

2、中点坐标：线段AB的中点。的坐标为：（区旦，&±空、

I22）

直线y=kxx+bx（女产0）与'=a1+%（左2彳0）的位置关系：

（1）两直线平行o匕=攵2且仇（2）两直线相交比2

（3）两直线重合=42且4=&（4）两直线垂直o4/2=-1

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

①用△和参数的其他要求确定参数的取值范围；

②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完

全平方式。

例：关于X的一元二次方程——2®+l）x+/=o有两个整数根，机V5且加为整数,

求加的值。

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线y=如?+（3根+l）x+3与X轴交于两个不同的整数点，且M为正

整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程相/-3（〃z-l）x+2根-3=0（加为实数），求证：无论a为

何值，方程总有一个固定的根。

解：当〃2=0时，%=1；

当〃z20时，△=（〃2-3）220,x=-1）±,X]=2_J_、1,=1；

2mm

综上所述：无论加为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线>=/一旗+加一2（机是常数），求证：不论用为何值，该抛物

线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于M的方程y-/+2="1_%）.

-3+2=0,解得：厂=「

l-x=0[x=l

抛物线总经过一个固定的点（1,-1）O

（题目要求等价于：关于M的方程y-炉+2=以1-x）不论机为何值，方程恒

成立）

小结：关于x的方程改=b有多数解=°

,,b=0

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线4、4，点A在，2上，分别在4、，2上确定两点〃、N,使

得AM+之和最小。

（2）如图，直线小“相交，两个固定点4、B,分别在乙、4上确定两点“、

N,使得5M+MN+AN之和最小。

（3）如图，A、3是直线/同旁的两个定点，线段a,在直线/上确定两点E、

F（E在尸的左侧），使得四边形AEFS的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：干脆用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，SAPAB=1/2-PM•Ax=l/2

%）

9、函数的交点问题：二次函数（尸一十反十。）与一次函数

（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。

y~~kx~\~h

二12"。，即"―

（2）解方程组0,

通过△可推断两个图象的交点的个数

有两个交点oA>0

仅有一个交点oA=0

没有交点=A<0

10、方程法

(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度

(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量

(3)列方程或关系式

口、几何分析法

特殊是构造“平行四边形”、“梯形”、“相像三角形”、“直角三角形”、

”等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来便利。

几何要求几何分析涉与公式应用图形

平行四边

跟平行有形

平移/]〃4ok=k、k=———

一2一XX

关的图形l~2矩形

梯形

勾股定理逆定理直角三角

跟直角有利用相像、全等、形

AB=+(%A-XJ

关的图形平行、对顶角、互直角梯形

余、互补等矩形

等腰三角

利用几何中的全

跟线段有形

等、中垂线的性质ABIGACBY+(%A-%B)2

关的图形全等

等。

等腰梯形

跟角有关利用相像、全等、

的图形平行、对顶角、互

余、互补等

【例题精讲】

一基础构图：

y=，-2x-3(以下几种分类的函数解析式就是这个)

★和最小，差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小，

求出P点坐标

在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,

求出P点坐标

求出P坐标

★探讨平行四边形1、点£在抛物线的对称轴上，点户在抛物线上，\T/

且以6,A,F,£四点为顶点的四边形为平行四边形，求点户的坐标\/

二综合题型[|、

例1(中考变式)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A°a一、

A(l,0),B(-3,0)两点，顶点为D。交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与4ABC的面积。

(2)在抛物线其次象限图象上是否存在一点M,使△之是以NBCM为直角的直角

三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

(3)若人为抛物线反。两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过月作历

与X轴垂直,交死于尸，设E点横坐标为x.EF的长度为L,

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？

当月点运动到什么位置时，线段班的值最大，并求此时月点的坐标?

(4)在(5)的状况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位

置时，以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在(5)的状况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

例2考点：关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点尔。的坐标分别为(一1,0)、(0,-右)，点B

在x轴上.已知某二次函数的图象经过力、&。三点，且它的对称轴为直线x=

1,点尸为直线以下方的二次函数图象上的一个动点(点尸与反。不重合)，

过点尸作y轴的平行线交BC于点、F.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若设点尸的横坐标为以，试用含力的代数式表示线段件的单，

(3)求面积的最大值，并求此时点尸的坐标.\i/

例3考点：探讨等腰\_____j/

如图，已知抛物线丁=；工2+/+。与丁轴相交于c,与x给耳空于^A.

的坐标为(2,0),点。的坐标为(0,—1).

(1)求抛物线的解析式；尤♦

(2)点£是线段力。上一动点，过点£作施文王轴于点D,连结DC,当的

面积最大时，求点〃的坐标；

(3)在直线欧上是否存在一点R使为等腰三角形，若存在，求点尸的

坐标，若不存在，说明理由.

例4考点：探讨直角三角\/\''

(1)如图，已知点A(―L0。(点B(1.2),在"轴上\B

确定点P,使得4ABP为直角则防意这屋件的点P共二、+4

(A)2个(B)4个(C)6个、癖彳

⑵已知：如图一次函数y=』x+l的图象与x轴交于点力，与y轴交于点国二

2

次函数丁=工1+"+。的图象与一次函数y=Lx+l的图象交于£、。两点，与

22

x轴交于〃、£两点且〃点坐标为(1,0)

(1)求二次函数的解析式;

(2)求四边形施少的面积S；

(3)在x轴上是否存在点R使得△/W是以尸为直角顶点的直角三角形？若存

在，求出全部的点R若不存在，请说明理由.

例5考点：探讨四边形

已知：如图所示，关于x的抛物线j^af+x+c(aWO)交于席A(—2,

0),点£(6,0),与y轴交于点C.ODE

(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

(2)在抛物线上有一点〃使四边形力施C为等腰梯形，写出点〃的坐标，并

求出直线力〃的解析式；

(3)在(2)中的直线力〃交抛物线的对称轴于点瓶抛物线上有一动点Rx

轴上有一动点0.是否存在以力、M、P、0为顶点的平行四边形？假如存

在，请干脆写出点0的坐标；假如不存在，请说明理由.

八y

综合练习:

□平面直角坐标系耳匕中，抛物线丫=加-4ox+4“优与轴交于点A\点与

x6,A

OBX

y轴的正半轴交于点。，点力的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为〃。

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若此抛物线的对称轴上的点尸满意/力加求点尸的坐标；

(3)0为线段加上一点，点/关于N力小的平分线的对称点为A,若01-。8=痣,

求点0的坐标和此时△QAY的面积。

口在平面直角坐标系中，已知二次函数丁=以2+2依+。的图像与y轴交于点

C(0,3),与x轴交于力、6两点，点6的坐标为(-3,0)。

(1)求二次函数的解析式与顶点〃的坐标；

(2)点〃是其次象限内抛物线上的一动点，若直线神把四边形力。厉分成

面积为1:2的两部分，求出此时点”的坐标;

(3)点尸是其次象限内抛物线上的一动点，问：点尸在何处时△CM的面

积最大？最大面积是多少？并求出此时点尸的坐标。

口如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=工十2-2x与x轴负半轴交于点A,

顶点为且对称轴与x轴交于点C。

(1)求点8的坐标(用含加的代数式表示)；

(2)。为08中点，直线4。交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，点M在直线上，且使得AAMC的周长最小，尸在抛

物线上，。在直线上，若以A、M、P、。为顶点的四边形是平行四边形，求点

尸的坐标。

已知关于x的方程(1-m)x2+(4-m)x+3=0。

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)若正整数机满意8-2m〉2,设二次函数y=(1-加)》2+(4-〃z)x+3的图象与

x轴交于45两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其

余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当

直线y=Ax+3与此图象恰好有三个公共点时，求出左的值(只须要求出两

个满意题意的4值即可)。

5如图，抛物线y=ax，2ax+c(aWO)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A

(-4,0)和B.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE〃AC,交BCy

于点E,连接CQ.当ACEQ的面积最大时，求点Q的坐标；//j'K

(3)平行于x轴的动直线1与该抛物线交于点P,与直线/小

AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直线1,一RR仆——

使△ODF是等腰三角形？若存在，恳求出点F的坐标；若不存在，请说,明理由.

三、中考二次函数代数型综合题

题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧

例1.已知二次函数y=x"+（勿一1）x+/-2的图象与x轴相交于力（为，0）,B

（如0）两点，且为〈苞.

（1）若用为<0,且加为正整数，求该二次函数的表达式；

（2）若荀<1,x2>l,求力的取值范围；

（3）是否存在实数勿，使得过力、6两点的圆与y轴相切于点。（0,2）,若存

在，求出力的值；若不存在，请说明理由；

（4）若过点〃（0,J）的直线与（1）中的二次函数图象相交于侬N两点，且

乙

^,求该直线的表达式.

题型二、抛物线与X轴两交点之间的距离问题

例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,

（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；

（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.

题型三、抛物线方程的整数解问题

例1.已知抛物线丁=——20+1）》+疗=0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，

且m<5,则整数m的值为

例2.已知二次函数勿-8.

（1）当层2时，函数值y随x的增大而减小，求勿的取值范围；

（2）以抛物线y=x2-2mx-\-4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正

/^AMN（KN两点在抛物线上），请问：△力腑的面积是与"无关的同值吗？若

是，恳求出这个定值；若不是，请说明理由;

（3）若抛物线y=x'一21nx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数，

求擎整"的值.

题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结

合

例L已知抛物线、=/+汝+。（其中方0,c#0）与y轴的交点为4点力关于

抛物线对称轴的对称点为6（典〃），且力庐2.

（1）求典A的值

⑵假如抛物线的顶点位于x轴的下方，且旅同。求抛物线所对应的函数关系

式（友情提示：请画图思索）

题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、

等等）

例1.已知：二次函数丫=必—4x+机的图象与x轴交于不同的两点A（再，0）、

B（%,0）（/＜々），其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.

（1）求实数m的取值范围；

（2）假如（再+1）（x2+l）=8,求二次函数的解析式;

（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，假如平移后的函数图象

与x轴交于点4、片，顶点为点C1,且△A4G是等边三角形，求平移后所得图

象的函数解析式.

综合提升

1.已知二次函数的图象与x轴交于46两点，与y轴交于点。（0,4）,且1力引

=2小,图象的对称轴为x=l.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线y=x+"的下方，求力的取值范围.

2.已知二次函数y=―—+加匠一加+2.

(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点4夕分别在原点的两侧，并且AB

=邓,求"的值；

(2)设该二次函数图象与y轴的交点为。，二次函数图象上存在关于原点对称

的两点以N,且5kMm=27,求勿的值.

3.已知关于x的一元二次方程2(4+l)x+/=0有两个整数根，4<5且攵

为整数.

(1)求4的值；

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=J—2(A+l)x

+A2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；

(3)依据直线与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求人的取值

范围.

4.已知二次函数的图象经过点力(L0)和点方(2,1),且与y轴交点的纵坐

标为m.

(1)若加为定值，求此二次函数的解析式；

(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点力的另一个交点，求力的取值范围；

(3)若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2/，求力的值.

四、中考二次函数定值问题

1.如图,已知二次函数Li：y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),

与y轴交于点C.

(1)写出二次函数L的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)探讨二次函数L2：y=kx2-4kx+3k(kWO).

①写出二次函数L?与二次函数L有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段