苏科版九年级数学下册压轴题攻略：模型构建之相似三角形中的基本六大模型模型（原卷版）

专题09模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略

也

--【考点导航】

目录

【类型一（双）A字型相似基本模型】.......................................................1

【类型二（双）8字型相似基本模型】.......................................................4

【类型三母子型相似基本模型】.............................................................6

【类型四手拉手型相似基本模型】...........................................................8

【类型五K字型相似基本模型】............................................................11

【类型六三角形内接矩形基本模型】.......................................................14

【典型例题】

【类型一（双）4字型相似基本模型】

①如图，在一ABC中，点。在AB上，点E在AC上，DE〃BC,则△ADEs^ABC,—

ABACBC

②模型拓展1：斜交A字型条件：ZC=ZADE,图2结论：ADE-ACB；

ADACCD

③模型拓展2：如图，NACD=NB=AADCSAACBo==

ACABBC

例题：如图，在AABC中，点E,F分别在48,AC上，且——=——.

(1)求证：\AEFAABC；

EGFG

(2)若点。在2c上，AD与断交于点G,求证：—「八

BL)CL)

【变式训练】

An1

1.如图，在，ABC中，DE//BC,—=若3c=9,则OE等于()

DD2

C.3.5D.4

2.如图所示，在ABC中，点。是A5的中点，NAT史=NC,点石在边AC上，下列判断错误的是()

H

A.△AEDs△至cB.—=—C.ZAED=ZBD.77^=7

ACBCSABC4

3.如图，ABC是等边三角形，AB=4,BD是AC边上的高，E是线段AD上一点，过E作8。的平行线

交A3于G,交CB的延长线于尸，当依=20£时，AE的长度为（）

A.72B.73C.1D.2

4.如图，在ABC中，点。，E分别在边AB,AC上，ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE,2c于点

5.已知：在ABC中，AB=AC=5,BC=6,PQ//BC,AD1BC,与PQ交与点£.

⑴当SMQA=S四边形尸BCQ时，求AE"的长;

⑵当△PQA周长与四边形P5CQ的周长相等时，求AP的长度.

【类型二（双）8字型相似基本模型】

ABOAOB

①如图1,AB〃CD=bAOBsMAcODo——=——=——

CDOCOD

ABOAOB

②如图2,NA=/Z)=AAOBS/\£)OC=---=----=----

CDODOC

反8字型（不平行）

例题：如图，在RtABC中，NACB=90。，过点B作BD_LCB,垂足为8,且BD=3,连接CZ）,与AB

相交于点M，过点M作"NLCB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为

【变式训练】

1.如图，已知AB13C、DC1BC,AC与80相交于点0,作0ML3C于点/，点E是8。的中点,

EF/BC于点、G,交AC于点尸，若AB=4,CD=6,则OM-EF值为（）

MG

123

4iB.—C.一

55»i

2.如图ABC中，E、尸为BC的三等分点，"为AC的中点，BM与AE、AF分别交于G、H,则

BG:GH:HM=

4.如图，AD和跖都是ABC的高，相交于尸点，连接。及

⑴求证：CABCDE；

⑵若点。是5C的中点，CE=6cm,BE=8cm,则A5的长为.

4.如图，在YABCD中，点E在43上，AE=^AB,ED和AC相交于点「过点尸作bG〃AB,交AD于

点G.

⑴求FG:AE的值.

(2)若AB:AC=s/3:2,

①求证：ZAEF=ZACB.

②求证：DF2=DGDA.

5.如图1,矩形A3CD中，AB=a,AD=b,点尸是对角线上的一个动点（点P不与8、D重合），连

接AP并延长交射线BC于点Q,

（2）若点M为AD边的中点，点N为线段BQ的中点，连接MP、NP,求证M、N、尸三点共线;

AP

⑶如图2,当而为何值时，_4）尸与ER2的面积之和最小.

【类型三母子型相似基本模型】

如图为斜“A”字型基本图形.当Z/@="时，△ABCsaAED,则有丝=理=①.AEAC=ADAB.

ABACBC

如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型.

当NACD=Nfi时，AABC^AACD,则有4£=殁=生.

ABACBC

A

例题：如图，在EIA8C中，2。平分0ABe交AC于点。，AD=BD.

⑴求证：EL4BC00BDC.

(2)若回C=90°,BC=2,求AB的长.

【变式训练】

ABAD

1.如图，在AABC中，£＞是BC上的点，E1是AD上一点，,SBAD^ECA.

ACCE

CF

⑵若的是“叱的中线，求前的值.

2.在AABC中，ZABC^2ZACB,2。平分/ABC交AC于点D

DD

BcBEC

图⑴图⑵

(1)如图(1),若AB=3,AC=5,求A。的长;

(2)如图(2),过点A分别作AC,8。的垂线，分别交BC,BD于点E,F.

①求证：ZABC=ZEAF；

AR

②求无的值.

3.如图，在ASC中，。是边AB上一点.

AD"

⑴当NACD=/B时，

①求证：AABCS/\ACD；

②若AT>=1,BD=3,求AC的长；

(2)已知AB=0AC=2A。，若8=2,求BC的长

【类型四手拉手型相似基本模型】

①如图，^AABC^>AADE,贝！|△4B。s△ACE

A

B

②如图所示，5DE和，ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与A。相交于点P,则

且相似比为1：后，A。与CE的夹角为45°.

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点

及其旋转后的对应点组成的三角形相似.

③如图所示，Rt_AOBsRtCOD，则一AOCsBOD,AC±BD,且AD?+5。？=co?+45?

例题：【问题情境】如图1,在Rt^ABC中，ZABC=90°,BC=8,AB=4,点。，E分别是边3C,AC的

中点，连接OE.如图2,将△即C绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

AJ7

【观察发现】如图2,当0。（。<180。时，—

BD

【方法迁移】如图3,矩形A3CD中，AB=6,AD=8.点E,尸分别是AB,AD的中点.四边形AEG尸为矩

形，连接CG.如图4,将矩形AEG歹绕点A逆时针旋转.旋转角为a（0°〈a<180。），连接。尸.请探究矩

形AEGF旋转过程中，DF与CG的数量关系;

【拓展延伸】如图5,若将上题中的矩形ABCD改为“平行四边形A3CD"且"=60。，矩形AEG/改为"平

DF

行四边形AEG/〃，其他条件不变，如图6,在平行四边形AEG厂旋转过程中，直接写出大方=

【变式训练】

1.如图，AB=3,AC=2,BC=4,AE=3,A£>=4.5,DE=6,ZBAD^2Q°,则NG4E的度数为（）

A.10°B.20°C.40°D.无法确定

2.如图①，正方形ABCD和正方形㈤ZFG,连接。G,BE.

(1)发现：当正方形曲灯绕点A旋转，如图②，①线段。G与的之间的数量关系是；②直线。G

与直线BE之间的位置关系是.

(2)探究:如图③，若四边形ABC。与四边形A£FG都为矩形，且AD=2M,AG=2他，证明：直线OGJ_3E.

(3)应用：在(2)情况下，连接GE(点E在A8上方)，若GE〃AB,且AB=2百，AE=2,则线段DG是

多少？(直接写出结论)

3.【问题提出】

AD

(1)如图1,ABC是等腰直角三角形，/ACB=90。，可得到，点D,E分别在边AB,AC上，

AC-

且DE〃BC,把VAT>E绕点A旋转时，则鲁的值是；

【问题探究】

(2)如图2,。为矩形ABCD对角线的交点，点M为BC边上任一点，ON且与。边交于点N,若AB=6,

AD=4,求四边形。MCN面积的最大值；

【问题解决】

(3)如图3,是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在AB=4米，AD=8米的矩形ABCD平面开

挖一个△钻厂的工作面，其中E、尸分别在直线BC、直线C。上，且NE4F=3O。，为缓解该路段对市民正

常生活和出行影响，经勘测发现^但的面积越小越好，求出△但的面积最小值.

【类型五K字型相似基本模型】

(1)“三垂直”模型：如图1,ZB=ZD=ZACE=9Q°,则△ABCs/XCDE.

(2)“一线三等角”模型：如图2,ZB=ZACE=ZD,贝iUA8CsZ\a)E

特别地，连接AE,若C为8。的中点，则△ACEs/XABCs/XCDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

例题：如图，AB1BC,DC1.BC,E是上一点，使得

(1)求证：AABEs^ECD；

(2)若A8=4,AE=BC=5,求CD的长.

【变式训练】

1.（2023春•湖南株洲•九年级统考开学考试）如图，已知矩形A3CD,点E在边上，连接AE,过E点

作EF上AE交CD于点,F.

⑴求证：△ABE.

(2)若A3=5,BE=4,BC=W,求C/的长.

2.如图，已知四边形ABC。，I3B=EIC=9O。，尸是BC边上的一点，EL4PD=90°.

(1)求证：AABPAPCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=3亚,求42的长.

3.(1)问题

如图1,在四边形ABCD中，点P为A8上一点，当NOPC=NA=/B=90。时，求证：ADBC=APBP.

(2)探究

若将90。角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

(3)应用

如图3,在，ABC中，AB=2拒,4=45。，以点A为直角顶点作等腰心AWE