甘肃省陇南市第一中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

第1页/共1页陇南一中2024-2025年高一11月月考检测卷数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知M＝{x∈R|x≥22}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2){a}⊆M；(3)a⊆M；(4){a}∩M＝π.其中正确的是()A.(1)(2) B.(1)(4)C.(2)(3) D.(1)(2)(4)【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合之间，以及集合与集合之间的关系，即可判定，得到结论.【详解】由题意，（1）中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；（2）中，根据集合与集合的关系，可知是正确的；(3)是元素与集合的关系，应为a∈M，所以不正确；(4)应为{a}∩M＝{π}，所以不正确，故选A．【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，其中熟记元素与集合，集合与集合之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.某市原来居民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为A.110kW·h B.114kW·h C.118kW·h D.120kW·h【答案】C【解析】【详解】设这个家庭每月在峰时段的平均用电量为xkW·h,则，选C.3.在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（）A. B. C. D.32【答案】D【解析】【分析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值.【详解】原不等式等价于，即对任意x恒成立.，所以，解得，故选：D4.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B．【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.5.已知当x∈(1，+∞)时，函数y=的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（）A.0<α<1 B.α<0 C.α<1 D.α>1【答案】C【解析】【分析】根据幂函数图象的特点，数形结合即可容易求得结果.【详解】当时，与的图象如下所示：显然不合题意，故舍去；当时，与的图象重合，故舍去；当时，与的图象如下所示：显然，此时满足题意.当时，与的图象如下所示：显然，此时满足题意.当时，，与的图象如下所示：显然，此时满足题意.综上所述：.故选：.【点睛】本题考查幂函数图象的特征，属简单题.6.已知角的终边经过点，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得解.【详解】角的终边经过点，由，可得，所以.所以.故选D.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.7.设，，则有A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，，，由正弦函数在为增函数，所以，在上，所以，所以可得，故选：A（2019·河北高一期中）8.函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的零点个数方程解的个数函数与函数图象交点个数．【详解】由得，分别作出函数与，的图象如图：由图象可知两个函数有2个交点，即函数的零点个数为2个，故选D.【点睛】本题考查函数零点与方程的根与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，准确作出函数的图象是解题的关键．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.若幂函数过点，则B.，C.，D.命题“，”的否定是“，”【答案】BD【解析】【分析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；对于：同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，，故正确；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；故选：【点睛】本题考查指数函数对数函数性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10.某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内（含半小时）免费，临时停车1小时收费5元，此后每停车1小时收费3元，不足1小时按1小时计算，24小时内最高收费40元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是（）A.若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为8元B.若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为10元C.若甲车与乙车的停车时长之和为10小时，则停车费用之和可能为34元D.若甲车与乙车的停车时长之和为25小时，则停车费用之和可能为45元【答案】ACD【解析】【分析】通过实例可知ACD的费用均可能产生，B中可能的停车费用中不含元，由此得到结果.【详解】对于A，若甲车停车小时，乙车停车小时，则甲车停车费用为元，乙车停车费用为元，共计元，A正确；对于B，若甲、乙辆车停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元或11元或元或元，B错误；对于C，若甲乙辆车各停车小时，则每车的停车费用为元，共计元，C正确；对于D，若甲车停车小时，乙车停车小时，则甲车停车费用元，乙车停车费用元，共计元，D正确.故选：ACD.11.已知函数有且只有一个零点，则（）A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D【详解】解：根据题意，函数有且只有一个零点，必有，即，，依次分析选项：对于A，,当且仅当时，等号成立，即有，故A正确；对于B，，当且仅当时，取得等号，故B正确；对于C，由为方程的两根，可得，故C错误；对于D，由为方程的两根，可得，，则，解得，故D正确．故选：ABD．12.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据函数性质，赋值即可求得函数值以及函数的周期性.【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，故可得，则，故选项正确；由上述推导可知，故错误；又因为，故选项正确.又因为，故错误.故选：AD.【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解，属综合基础题.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.________.【答案】1；【解析】【分析】根据对数的运算法则计算可得.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.14.已知函数，非零实数是函数的两个零点，且，则___________．【答案】0【解析】【分析】先由已知得，再化简代入得解.【详解】由题得.所以由题得=0故答案为0【点睛】本题主要考查零点的定义和同角的三角函数的关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（2018·全国高二课时练习）15.关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要条件是_____.【答案】【解析】【分析】对m分类讨论，当m=0时，方程可变化为x=2，分析可知满足条件，当m≠0时，原方程为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系和根的判别式解答即可.【详解】当m=0时，方程为-x+2=0,解得x=2；当m≠0时，方程为一元二次方程，设x1，x2是方程的解，则x1+x2=，若x1+x2=2，解方程，得m=或1当m=或1时，<0,即当m=或1时，方程无解.故当m=0时符合题意.【点睛】本题考查了充要条件的相关知识，以及一元二次方程根与系数的关系，关键是分类讨论m的值.16.已知是直线的倾斜角，则的值为__________．【答案】【解析】分析】先求出，再将所求式子分子、分母同时除以，然后将代入即可．【详解】由是直线的倾斜角，可得，所以.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式及齐次式弦化切问题，属基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合A=x−3<x<2，，．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用补集及交集的定义运算即得；（2）利用并集的定义可得，然后分和讨论即得.【小问1详解】∵全集，，∴或，又集合A=x−3<x<2，∴；【小问2详解】∵A=x−3<x<2，∴，又，∴当时，，∴，当时，则，解得，综上，实数的取值范围为.18.根据已知条件，求函数的解析式．（1）已知为一次函数，且，求的解析式．（2）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解，设一次函数为，则由列方程组可求出的值；（2）由图像可知二次函数过，，三点，然后将三个点的坐标代入二次函数关系式中，解方程组求出的值即可【详解】（1）∵为一次函数，∴设，∴，∴，∴或，∴或．（2）如图所示，二次函数过，，三点，∴代入得，解得，∴．【点睛】此题考查利用待定系法求一次函数和二次函数的解析式，属于基础题.19.已知命题，，，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.【答案】“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.【解析】【分析】由恒成立问题求得“为真命题”与“为真命题”对应的参数范围，结合集合之间的关系，判断充分性和必要性.【详解】若为真命题，则，令，在单调递减，所以，∴，.，，若为真命题，则由.，可得，所以因为，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题.20.已知函数．（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；（2）若是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合．【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间是（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；（2）首先求出函数的零点，得是或中的元素，再分类讨论计算可得.【小问1详解】的最小正周期为．对于函数，当时，单调递减，解得，所以函数的单调递减区间是．【小问2详解】因为，即，所以函数的零点满足或，即或，所以是或中的元素，当时，，则．当，（或，）时，，则．当时，，则．所以的值组成的集合是．21.已知A,B两地的距离是130km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定,A,B两地之间的公路车速应限制在50~100km/h.假设汽油的价格是7元/L,一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90km/h,那么汽车的耗油率为22.5L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其它费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?【答案】最经济的车速是60km/h，此时的行车总费用约为元.【解析】【分析】先设车速为，油耗率为，行车总费用为，根据题意求出，得到，再由基本不等式求其最值，即可得出结果.【详解】设车速为，油耗率为，行车总费用为，因为一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比，所以()，又此车的速度是90km/h时，汽车的耗油率为22.5L/h，所以，解得，故，因此，由题意可得，，当且仅当，即时，取最小值.因此，从A地到B地最经济的车速是60km/h，此时的行车总费用约为元.【点睛】本题主要考查函数模型以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.22.已知函数，.（1）若是方程的根，证明是方程的根；（2）设方程，的根分别是，求的值.【答案