广东省潮州市2023-2024学年高三年级上册期末教学质量检测 数学试卷

广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单项选择题(本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)

1.设集合M={%|%(久—2)<0},N={-1,0,1,2,3},则MClN=()

A.1,0,1}B.1,3}

C.{1}D.{3}

2.已知i为虚数单位，若复数z=圣”对应的点在复平面的虚轴上，则实数a=()

2+i

A.-|B.|C.6D.-6

3.已知圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为兀的扇形，则这个圆锥的底面半径为()

A.1B.JC.1D.2

4L

4.命题3],/—。>0，，为假命题的一个充分不必要条件是()

A.a>9B.a<9C.a>10D.a<10

5.已知单位向量房B满足恒+加=百口-瓦，贝皈在3方向上的投影向量为()

A.gbB._abC.bD.—b

6.若函数/(%)=+E%在(0,2)上有极值，则实数a的取值范围是()

A.[2,|]B.(2,|]C.[2,+8)D.(2,+8)

7.已知双曲线C：鸟—玛=l(a>0,b>0)的左焦点为F,M、N,P是双曲线C上的点，其中线段MN的中

点恰为坐标原点0,且点M在第一象限，若沛=3而，^OFM=^OMF,则双曲线C的离心率为()

8.已知函数/'(%)=sin(2x+0)(0<(p<兀)满足/(久)<|/(^)|,若。</<久2<兀且/'(/)=/(%2)=-|»则

sin(%2-％i)的值为()

A.YB.|C.ID.i

5545

二'多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对

得5分，部分选对得2分，有选错得。分)

9.下列说法中正确的是()

A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,则这

1

组数据的第70百分位数为8

B.若随机变量X〜3(100,p),且E(X)=20,则。(X)=16

C.若随机变量X〜N(〃，(T2),且P(X>4)=P(X<-2)=p,则P(—2WXW1)=^—p

D.对一组样本数据(久i，%),(x2,y2),(xn,%)进行分析，由此得到的回归方程为？=fee+@,则

至少有一个数据点在回归直线上

10.已知a=log34,b=I，c=log45,则()

A.c<aB.b<cC.a<bD.c<b<a

11.设过点M(2,0)的直线与圆C：(久一4)2+y2=16相交于A,B两点，若点P(0,4),贝-刀+丽|的值可

能为()

A.8B.8V2C.12D.12V2

12.如图，已知正方体ABC。-AiBiGA顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点

移动，且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点Q的初始

位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn,则下列说法正确的是()

A-P2=|

=

B.Pn+1+I

c.点Q移动4次后恰好位于点Cl的概率为0

D.点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为；(1)10+1

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.将编号为1,2,3,4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有

种.(用数字作答)

14.O为坐标原点，F为抛物线C：『=4%的焦点，P为C上一点，若|PF|=4|,则APOF的面积

为.

15.设等差数列｛时｝的前n项和为Sn,且Sio=O,S15=25,^bn=n-Sn,则数列｛%｝中最小项的值

为.

2

x—a,%v0

16.设函数f(%)=一，已知直线y=t与函数y=y（x）的图象交于A、B两点，且|4B|的最小值

Inx,%>0

为e2（e为自然对数的底），贝必=.

四'解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）

71

17.公比为q的等比数列｛&J的前n项和Sn=2+a.

（1）求a与q的值；

,,.111

（2）若bn=log?an,记数列｛"｝的前?1项和为7\，求证：T^+/+—卜.+】<2•

18.2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各

式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的

满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]内，统计结果如频率分布直方图所示.

（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代

表）；

（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50,60）,

[60,70）,[80,90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于[80,90）的人数

f的分布列和数学期望.

19.在矩形中，AB=4,AD=2（如图1）,将△4CD沿2C折起到△AC%的位置，使得点小在平面△

ABC上的射影E在AB边上，连结BDi（如图2）.

3

D

A

图1图2

(1)证明：ADr1BC；

(2)过直线0述的平面a与BC平行，求平面a与平面AC%夹角的余弦值.

20.在△力BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acosB=2c-b.

(1)求角4的大小；

(2)若D为线段BC延长线上一点，且BA1AD,BD=3CD,求tanZ力CD.

21.已知函数/'(久)=x(lnx+a)+6,曲线y=/(%)在点(1,f(l))处的切线为2久一y—1=0.

(1)求a,b的值；

(2)若对任意的久e(1,+oo),f(%)2m(无一1)恒成立，求正整数m的最大值.

22.设圆％2+y2+2%-15=0的圆心为4直线/过点B(l,0)且与K轴不重合，［交圆4于C,D两点，过B作

AC的平行线交/。于点E.

(1)证明：|瓦4|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线J,直线［交Ci于M,N两点，过B且与/垂直的直线与圆2交于P,Q两点，求四

边形MPNQ面积的取值范围.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：因为集合”={刈%(％-2)<0}={久|0<尤<2},N={-1,0,1,2,3},则MCN=

{1}.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M,再结合交集的运算法则得出集合M和集合

N的交集.

2.【答案】D

2

【解析】【解答】解：因为z=密=(爰用二?=6—3i+2'-山=6+a+(")i=§+£线心

2+i(2+。(2-。4-r555

(6+a_°

所以，复数z=4岩对应的点(半，/卫)在复平面的虚轴上，所以，二二一，

2+i55Za—3n

(a=—6

则，实数a=6

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数的几何意义得出复数Z=舞对应的点的坐标，再结

合复数z=舞对应的点在复平面的虚轴上判断出复数为纯虚数，进而结合纯虚数的定义得出实数a的值.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为兀的扇形，设扇形的弧长为1,扇形的半径r

为2,

由扇形面积公式得出5扇=g/r=x2=1=兀，设圆锥底面半径为r',又因为1=2兀厂'=兀，

则这个圆锥的底面半径为今

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式得出扇形的弧长，再利用圆的周长与圆锥侧面对应的扇形的弧长

的关系式，进而得出圆锥底面圆的半径的长.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因为命题F久G[1,3],x2-a>0”为假命题，

所以，命题3],/—a<0”为真命题，所以，(/一a/axW°，

即9—a〈0,可得a29,所以，命题FKC[1,3],/—。>o”为假命题的一个充分不必要条件

6

对应的集合是[9,+8)的真子集，所以，只有选项C中a210符合题意.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题真假性相反的关系，进而得出命题，久€[1,3],x2-a<0"

为真命题，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，(久2-。"狈30,再结合二次函数的图象求最值的方法

得出实数a的取值范围，再利用充分条件和必要条件的判断方法，进而找出集合[9,+8)的真子集，从而找出

正确的选项.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因为单位向量1石满足口+瓦=旧口一瓦，所以向+诉=3而一&2

所以'|a+b/=(a+b)=a2+2a-h+h2»3|a—b\2=3(a—bj=3a2—6a-b+3b2>

_.2—->—>2__..2_»->―>2__>i_

所以，a—4a,b+b=|a|-4a-b+b=0,则。,6=2,贝皈在b方向上的投影向量为

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式得出：工的值，再结合数量积求投影向量的方法得出五在

不方向上的投影向量.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：因为函数/(久)=#—a久+lnx,所以，/⑺=%—a+詈三户”(0,2),

令g(x)="—ajc+l,得出g(0)=l，根据函数f(x)在(0,2)上取得极值，则在(0,2)存在x使得(⑺=0,

27

即g(x)=l,由于函数g(x)对称处的值为=0—ax?+l=—}+L

函数g(x)要存在零点且g(0)=1>0,根据零点存在性定理，g<0,即a>2,当a>2时，则号>1,

若多C(0,2)且a>2,即2<a<4,则在(0,2)必存在一点使得g(x)=0,即f(x)在(0,2)上有极值；

若aN4,即对称轴位于区间(0,2)右侧，即g(x)在(0,2)上单调递减，要函数g(x)在(0,2)上至少有一点为

零点，

由于g(0)=1>0则要g⑵=4-2a+1=5-2a<0,即a>|

所以，在当a24时，函数g(x)在(0,2)有零点恒成立，综上所述，当a>2时，函数f(x)在(0,2)有极值.

故答案为：D.

7

【分析】利用导数求极值点的方法和二次函数的图象的对称性以及零点存在性定理，从而分类讨论得出实数a

的取值范围.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：设双曲线C的右焦点为广，连接PF',MF',NF'如图所示：

因为NOFM=NOMF,所以，\0M\=\0F\=\0F'\,所以，MF'1MF,

又因为O为MN的中点，所以，四边形MFNF'为矩形，设|NF|=K,

贝!J|PF|=2x,\PN\=3%，所以,\NF'\=2a+x,\PF'\=2a+2x,

因为|PN|2+\NF'\2=|P/'|2,所以,9x2+(2a+%)2=(2a+2x)2,

解得/=|a,又因为师|2+|出|2=四|2,所以，押+号。2=*2,

得出乌=景，所以，双曲线C的离心率为e—二里.

。乙va3

故答案为：B.

【分析】利用已知条件易证四边形MFNF'为矩形，设|NF|=x,再结合双曲线的定义和直角三角形中的勾股定

理，进而得出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线C的离心率的值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因为函数/(久)=sin(2支+0)(0＜0(兀)满足〃尢)W|鹿)|,所以，/隽)=±1,

所以2x着+0=1+k兀,keZ,又因为0＜0＜兀，所以9=看,得出/(%)=sin(2%+1),

因为。＜/＜久2＜兀且/(%1)=/(久2)=—1，所以，曰＜2%i+5＜竽＜2X2+5＜片生，

所以cos(2久1+=—耳，cos(2久2+=9，

COS[2(X2-xx)]=cos[(2X2+1)-(2%i+1)]=(-1)+(一|)x1)=-,,

因为0＜久2—〈兀，则sin(%2-%i)的值为p-。网2y2-"1)]=4

\25

故答案为：D.

【分析】由"%)W|f(今|得出函数在％时取最值，得出函数的解析式，再由三角恒等变换计算sin(X2-勺)

的值.

9.【答案】B,C

8

【解析】【解答】解：对于A,某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：

6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,再从小到大排列，即5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,

则10X70%=7,则这组数据的第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，

则这组数据的第70百分位数为竽=8.5,所以A错；

对于B,因为随机变量X〜B(100,p),且E(X)=20,则100p=20,则p=盖=当，

则。(X)=100p(l-p)=100xjx1=16,所以B对；

对于C,因为随机变量X〜NQ,a2),且P(X>4)=P(X<—2)=p,则(z=与2=1,

则P(—2MX<4)=1—2p,

111

则P(—2MXW1)=P(1MXW4)=/(一2WXW4)=](1—2p)=寺一p,所以C对；

对于D,对一组样本数据(当，yD，(%2,y2),(xn,%)进行分析，由此得到的回归方程为y=B久+右，

可能没有一个数据点在回归直线上，所以D错.

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法、二项分布的期望和方差求解公式、正态分布对应的曲线的对

称性求概率的方法、回归方程与样本数据的位置关系，进而找出说法正确的选项.

10.【答案】A,C

.4

c

【解析】【解答】解：因为a=logs4，b=-=log333=log3V3^=log3V81/~】og45，

又因为43=64,(V81)3=81,所以4?=64V(弼=81，所以4<遮T，

则a=log34<log3V81=b,所以C对；

又因为b=/=log443=log40=]og4Vl苑53=125,(V256)=256,

31

所以5，=125<(V256)=256，所以5<七256,贝Jc=log45<log4V256=b,所以B错；

因为a<b,c<b,所以D错；

a—c=log34-log45=-log45=1\朋;。845,因为匾3>0,log45>0,

103105

所以，10g43.10g45<(§4+§4^=(log,5)<2_=1,所以a—c>0,所以c<a,所以A对.

故答案为：AC.

【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和均值不等式求最值的方法，进而比较出a,b,c的大小，从而

找出正确的选项.

n.【答案】A,B,C

9

【解析】【解答】解：由题意可知圆心C(4,0),半径r为4,设AB的中点。(久,田，则1CD,

则靛-CD=0,又因为/=(%-2,y),CD=(久—4/),所以(％-2)(久一4)+)72=0；

所以，点D的轨迹方程为圆E：(久—3)2+y2=1,圆心E(3,0),半径为1,

所以，|PD|的最大值为|尸身+1=V32+42+1=6,最小值为|PE|-1=V32+42-1=4,

因为血+诵=2叵卜所以，应+而|e[8,12]>所以同+而|的值可能为8,8vLi2。

故答案为：ABC.

【分析】利用中点坐标求出AB的中点D的轨迹方程为圆心为E(3,0),半径为1的圆，从而得出|PD|的最大

值和最小值，再结旬易+而|=2]西得出画+画的取值范围，从而得出同+画可能的值。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，

随机移动一次仍在下底面的概率为多在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为全所以P2=,x,+

ixi=|,A符合题意，PM.Pn+hl—PQB不符合题意，点Q由点A移动到点Ci处最少

J。JJJJ。

需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点Ci，C符合题意，由于pn+i=gpn+g=

p—=n

n+lII(P*_,且P]=\nP]_:=I，所以Pn_3=得X=>Pn=^(1)+-所以Pio=

D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后

仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出Pn+i=9n+热点Q由点A移动

到点的处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点J；由于pn+]=^p.+

}=>Pn+l—4=/(Pa—》且Pl=,=Pl—/=。所以Pn=；(["+会再结合代入法得出点Q移动1。次后

仍在底面ABCD上的概率，进而找出说法正确的选项。

13.【答案】14

【解析】【解答】解：由题意，每个盒子有两种放法：一个盒子放1个，另一个盒子放3个；

一个盒子放2个，另一个盒子放2个。

一个盒子放1个，另一个盒子放3个有酸及=8种放法；

10

一个盒子放2个，另一个盒子放2个有"=6种放法;

则不同的方法总数有8+6=14种放法。

故答案为：14.

【分析】利用已知条件结合组合数和排列数公式，再结合平均分组求解放法和分类加法计数原理，进而得出

不同的方法总数。

14.【答案】V3

【解析】【解答】解：因为O为坐标原点，F为抛物线C：)/2=4%的焦点，所以，F(1,O),

因为P为C上一点，设p(3,a),因为|PF|=4,所以，(+1=4,所以，a=±2遮，

所以，P(3,2⑹班(3,-2⑹,由抛物线的图象的对称性，则APOF的面积为SAPOF=%|X\0F\=1X2V3X

1=V3.

故答案为：V3.

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F坐标，再由点P在抛物线上设出点P的坐标，再利

用两点距离公式得出点P的坐标，从而由抛物线的图象的对称性和三角形的面积公式得出三角形△POF的面

积.

15.【答案】-49

【解析】【解答】解：因为等差数列的前几项和为%,且Si°=0,Si5=25,

lOaiH--5d=2al+9d=0=—3

设公差为d,

15x14H--

15al+产d=3%+21d=5a-3

则等差数列｛a九｝的前n项和S九=71al+胆弓')d=^n2—学力

3

因为勾=几0,所以，bn=nSn=^n-nEN*,

令y=1x3—学光2,%eN*，贝Uy，=x2—冬%=%(%—竽)，%eN*,

当y=%(%—豹>0时，则％之7/eN*，函数单调递增，

当y'=%(%—岑)<0时，则0<%<7且xEN*，函数单调递减，

所以，函数y=^%3—学％2,%eN*在X=7时取得最小值，

则数列｛跖｝中最小项的值为g=27?-学x7?=-49.

故答案为：-49.

11

【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式建立方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的前n

项和公式得出等差数列的前n项和和bn=LS„,进而得出数列｛0｝的通项公式，再利用构造法和导数求函

数的最值的方法得出数列｛0｝中最小项的值.

16.【答案】Id

x—a,XV0

【解析】【解答】解：作出函数/(%)=-的图象如图所示:

Inx,%>0

设4(久1，%),8(久2，、2)，K1<%2,则久1-a=t,lnx2=t,t<-a,

l

所以，久1=a+匕牝=e。所以，\AB\-x2—x-^=e—t—a,

令g(t)=el-t-a,t<-a,则g'(t)=ef-1,

a2

当aNO时，g'(t)〈O,g(t)在(一8,-a］上单调递减，g^t)min=g(-a)=e~=e,即a=-2(舍),

当a<0时，g'(t)单调递增且g'(0)=0,所以，g(t)在(一8,0］上单调递减，在(0,-a］上单调递增，

所以g(t)M讥=g(0)=1-a=e?,所以，a=1-e?.

故答案为：1七2.

f

【分析】先设4(久1，%),8(%2，了2)，久1<%则久1-a=t,lnx2=t,t<-a,即=a+t,x2=e,\AB\=x2-x1=

/-t-a,构造函数g(t)=/-t-a,t<-a,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再

结合已知条件得出a的值。

检查意见：少知识点，利用导数研究单调性等

17.【答案】(1)解：VSn=2八+0

工当n=1时，/=Si=2+a；

n-1

当n>2时，Sn_i=2+a,

所以斯=Sn—Sn-1=2"—2-1=2"T，

2+a,n=l

所以册=

2nT,n>2

・•・a2=2,%=4,

12

2

又数列为等比数列，则q=^=1=2，

a22

T7_a2—2

又q=可=用，

2+a=1,解得a=-1；

（2）解：由（1）可得册=2几T,

rl

所以0=log2an=log22t=n-1,

）

Tn=瓦+%+…+b九=0+1+…+（7i—1=（2—

i211

・・•当n22时，五=而二叮=2（口一兀），

111111

■'>^+T；+-+T^=2［Tx2+23<3+-+nx（n+l）］

111111

=2（1-4+4-4+-+--^7）=2（1—士）<2.

'223nn+17'n+17

【解析】【分析】（1）根据等比数列求和公式结合等比数列公式求出a的值；

（2）根据（1）得出数列等式，从而得出“等式；从而得出数列求和公式，从而得出;列式之和的范围。

18.【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：

%=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74

（2）解：由于［50,60）,［60,70）和［80,90）的频率之比为:1：2：2,

故抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）分别为：2人，4人，4人，随机变量f的取值可以为0、1、

2、3,

P(e=0)=-^=1,P(f=l)=%=[P(f=2)=卡=磊，P(f=3)=#=白，6的分布

L10L10L10L10

列为:

0123

1131

p621030

11316

E(C)=0XN+1X7Y+2X彳k+3X/=E

【解析】【分析】（I）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这100名游客评分的平均值;

（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）的人数，进而得出

随机变量f可能的取值，再结合组合数公式古典概型求概率公式得出随机变量，的分布列，再根据随机变量的

分布列求数学期望公式得出随机变量，的数学期望.

19.【答案】（1）证明：由题意知：。速1平面力BC,BCc平面ABC,所以DiElBC

XBC1AB,ABc平面MB,%Eu平面且力BCiDiE=E

13

所以BC1平面DrAB.

又皿u平面CiAB,所以仍1BC

(2)解：过E作EF〃BC交AC于凡连结D,F

由于EF//BC,BCsz平面D]EF,EFc平面DrEF

所以BC〃平面DiEF.

故平面D,EF即为平面a

建立如图所示空间直角坐标系如图所示：

由(l)D^1BC,又DiAlDiC,BCGZ)iC=C,BC,DXCc平面BCD「

所以小AJ.平面BC%,ABU平面BCD〉所以。遇J.。声，

22

则在AABi中可得，BDI=IAB-ADr=2V3,%E=坐&=8，

2

BE=JB/-DrE=3

则2(0,4,0),C(2,0,0),。式0,3,b)，

■.AC=(2,-4,0),丽=(0,-1,V3),BA=(0,4,0)

由于AB_LBC,EF||BC,故AB1EF.

又AB1D]E,EFua,ca,D,EAEF=E.

因此481a,故瓦5是。的一个法向量

设面ACD,的一个法向量v=(%,y,z)

v-AC^O2%—4y=0l―

由=，-y+Oz=0'取"⑹3,遍)

y-AD^=0

12

设平面a与平面ACD,夹角的。，则cos。=I,,德J=

4-V36+9+3-4

故所求平面a与平面ACD,夹角的余弦值为好

4

【解析】【分析】(1)由题意知：。止1平面4BC,再利用线面垂直的定义得出线线垂直，即DiElBC,再

利用BC14B结合线面垂直判定定理得出BCL平面DXAB,再根据线面垂直的定义证出线线垂直，从而证

出AD11BCo

14

（2）过E作EF〃BC交AC于F,连结D,F,再利用线线平行证出线面平行，则BC//平面DiEF,故平

面DEF即为平面a,从而建立空间直角坐标系，由（I）DMIBC和1以C结合线面垂直的判定定理，所

以。遇1平面再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以DiALDiB,在AABi中结合勾股定理和直

角三角形的面积公式得出BD「D±E,BE的长，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用1

BC,EF\\BC,故AB1EF,再结合力B_L£）/和线面垂直的判定定理，因此力B1a,故瓦5是a的一个法向

量，再由数量积为。两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ACD的一个法向量，再由

数量积求向量夹角余弦值公式得出平面a与平面ACD的夹角的余弦值。

20.【答案】（1）解：在AABC中，由已知条件及正弦定理可得2sinAcosB=2sinC-sinB

2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB

2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsin8-sinB

2cosAsinB=sinB

因为sinBW0,所以cos力=

因为力是△力BC的内角，所以力=掾

另解：因为2acos3=2c-b,由余弦定理有2a.次+浮-b=2c-b

2ac

整理得b2+c2—a2=be,

2c2a2

由余弦定理得，cosX=b+-=I

2bc2

因为4是AABC的内角，所以4=与

（2）解：设^ACB=3

CDAC

在^",。中，sin专一sin（8-5y①

一—BCAC

在△4C3中，-②

〉1113oin[c/।3）

Qsin（6i+g）

②,sin（e-.）2

与sin8+亨cos。总

空sin。-；cos82

分子、分母除以cos0后可解得tan。=3A/3,:.tanZ-ACD=tan（7r—0）=—3A/3

【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.

15

方法一：在△ABC中，由已知条件及正弦定理和三角形内角和为180。的性质，再结合两角和的正弦公式和三

角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；

方法二：利用2acosB=2c-b结合余弦定理得b2+c2-a2=be，再由余弦定理和三角形中角A的取值范

围，进而得出角A的值.

(2)设AACB=3,在AACO中结合(1)中求出的角A的值和三角形内角和为180。的性质，再利用正弦定

CDAC

=①，在中由正弦定理得出g^()再由作商法和两角和的正弦

理得出sinj-sinCe-g),AACB—g=sin(+2,

公式以及同角三角函数基本关系式得出角。的正切值，再根据两角互补和诱导公式得出tan乙4CD的值.

21.【答案】(1)解：由/(久)=x(lnx+a)+b得：f(x)=lnx+a+1>

由切线方程可知：f(1)=2—1=1已

・•・f(1)=a+1=2,/(l)=a+b=1，

解得：a=l,b=0

(2)解：由⑴知/(%)=x(lnx+1),则％e(1,+oo)时，/(%)>-1)恒成立

等价于Xe(1,+8)时，mW*；1)恒成立

令则g0)="

令八(%)=%-Inx-2,贝!J/i(%)=1-

.­•当久e(1,+00)时，h(%)>0，则八0)单调递增：似3)=1-ln3<0,以4)=2-21n2>0

・•・3%0E(3，4),使得九(%。)=0

当％e(1,%o)时，g(%)<o；xe(x0,+8)时，g(%)>o

x0(lnx0+1)

*<,<9(%)min=0(、0)=~4

/i(%0)=x0—ln%0—2=0,lnx0=x0—2

%o(%0-2+1)

•••gMmin=g(%0)=e(3,4)

%o一1

m<x0&(3,4),即正整数m的最大值为3

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点的坐标，再

结合点斜式方程得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a,b的值；

(2)由(1)知/(%)=久(Inx+1),则当％C(1,+oo)时，/(%)>m(x-1)恒成立等价于当％e(1,+oo)

时，<双-叶1)恒成立，再利用构造法，令g(%)=%>i，再结合求导的方法判断函数的单调

mx—1