河南省信阳市淮滨县2024-2025学年上学期期中阶段性综合练习九年级数学试卷（含答案）

河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度上期期中阶段性综合

练习

九年级数学试卷

一、选择题.（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c-GB.x2+2x=x2-1C.（x-l）（x-3）=0D.—~x=2

x

2.如图，AB是。O的直径，乙D=32。，则乙IOC等于（）

C.64°D.116°

3.如图，将等腰直角三角尺NBC绕着点C顺时针旋转到/EC的位置，使点C,9在

同一条直线上，则旋转角的大小为（）

C.120°D.135°

4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的

人数x满足的方程为（）

A.(1+无『=100B.x(l+x)=100C.1+x+x2=100D.x2=100

5.如图是二次函数＞=。/+云+。图象的一部分，图象过点对称轴为直线

%=-1,给出四个结论，其中正确结论是（）

试卷第1页，共6页

A.b2<4ac

B.2a+b=0

C.a+b+c>0

D.若点为函数图象上的两点，则乂<力

6.下列命题中是真命题的为（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆的两条平行弦所夹的弧相等D.相等的圆周角所对的弧相等

7.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的

某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（）

图1图2

A.①B.@C.③D.©

8.半径为。的圆的内接正六边形的边心距是（）

A.-B.叵C.叵D.a

222

9.如图，△0/8中，ZAOB=60°,04=6,点2的坐标为（&0）,将△048绕点/逆时针

旋转得到“CAD，当点。的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）

试卷第2页，共6页

A.（10,4码B.（10,4）

C.（5A/3,5）D.（56,4月）

10.如图所示，点1,B,C均在6义6的正方形网格格点上，B,C三点的外接圆除经过/,

二、填空题.（每小题3分，共15分）

11.已知x=2是一元二次方程--加x+2=0的一个根，则另一个根是.

12.若抛物线y=2尤°+中，无论"2取何值都通过定点，则这个定点的坐标

为.

13.若x=12+后五不，则x的值为.

14.如图，在△/8C中，/ACB=90。,BC=2.N/=60。将△4BC绕点C逆时针旋转a

角后得到△HB'C,当点A的对应点H落在4B边上时，阴影部分的面积为一.

8'

8

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2,m）绕坐标原点O逆时针旋转90。后，恰

好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是—.

试卷第3页，共6页

■■

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厂一厂力一丁一.一「一1一1一1

L」_」_«L___L」_」_J

I--1-U-4---k.-4-4.4

IlliIlli

三、解答题.(共75分)

16.解方程：

⑴2--7x+3=0

(2)x(x-2)=x.

17.如图，N（O,1）,8（3,3）,C（1,3）,81-2,4），G（-2,2）.

（1）LABC绕点逆时针旋转度得到△NqG；

（2）画出△ABC绕原点。顺时针旋转90。的△4与G，直接写出点C2坐标；若

△4BC内一点尸（加,〃）在的对应点为Q，则0的坐标为.（用含加，〃的式

子表示）

18.关于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的实数解是xi和X2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果xi+x2-xix2<-1且k为整数，求k的值.

19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ox2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,

C两点，与V轴交于点。.点B的坐标是（1,0）.

试卷第4页，共6页

-----------T-------\----->

O/B(\x

/\

\

II\

I

(1

/I

⑴求点A,C,。的坐标，并根据图象直接写出当y>o时x的取值范围.

(2)平移该二次函数的图象，使点。恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函

数的表达式.

20.如图，在aABC中，以AB为直径的OO分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,

过点D作的切线交边AC于点F.

(1)求证：DF1AC；

(2)若OO的半径为5,ZCDF=3O°,求弧BD的长(结果保留万).

21.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱销售不得高于72元，市

场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售500箱，价格每提高1元平均每天

少销售10箱.

(1)设每箱涨价x元，每天盈利y元，列出y与x的函数关系式.

(2)若该批发商要盈利8750元，则每箱苹果的售价多少元？

(3)当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

22.如图1是实验室中的一种摆动装置，2C在地面上，支架/8C是底边为3C的等腰直角

三角形，摆动臂4D可绕点A旋转，摆动臂。M可绕点。旋转，4。=30,0M=10.

试卷第5页，共6页

(1)在旋转过程中,

①当A,D,M三点在同一直线上时，求的长.

②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时，求/”的长.

(2)若摆动臂力。顺时针旋转90。，点。的位置由AZ3c外的点，转到其内的点2处，连结

DO,如图2,此时N4D2C=135°,CD2=60,求8,的长.

23.正方形/2C。和正方形/EFG的边长分别为6和2,将正方形NEFG绕点/逆时针旋

转.

(2)如图2、在旋转过程中，当点G,E,。在同一直线上时，请求出线段DG的长.

(3)在图1中，连接BF,DF,请直接写出在旋转过程中△3。尸的面积最大值;

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式

方程，判断即可.

【详解】A、ax2+bx+c^0,没有给出。的取值，所以A选项错误；

B、x2+2x=x2-l不含有二次项，所以B选项错误；

C、(x-l)(x-3)=0是一元二次方程，所以C选项正确；

D、2-x=2不是整式方程，所以D选项错误.故选C.

考点：一元二次方程的定义.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

2.D

【分析】首先根据圆周角定理可求得乙BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论.

【详解】解：,•/80C与乙D是同弧所对的圆心角与圆周角，乙0=32。，

ZBOC=2ZD=64°,

ZAOC=180°-ABOC=\80°-64°=116°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键.

3.D

【详解】解：为等腰直角三角形，

.■.^A=^ACB=45°,

■80°-45°=135°,

•••等腰直角三角尺NBC绕着点C顺时针旋转到A'B'C的位置，

等于旋转角，

即旋转角为135°.

故选：D.

4.A

【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键.

每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，即经过第一轮有(1+x)人感染，则经过第二轮有

[(l+x)+x(l+x)]=(l+x)2人被感染，根据两次一共有100被感染即可列出方程.

答案第1页，共15页

【详解】解：由题可知(l+x)2=100.

故选：A.

5.D

【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系.根据抛物线与x轴的交点情况判断A,

根据对称轴判断B,根据抛物线的对称性判断CD.

【详解】解：••・抛物线与x轴有两个交点，

:.b2-4ac>,BPb2>4ac>选项A不正确；

••・抛物线的对称轴是直线x=-1,

2a-b=0,选项B不正确；

•.•点/(-3,0),对称轴为直线x=-l,

.•・抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0),

当抛物线与x轴交点为(1,0)时，a+b+c=0,选项C不正确；

关于直线x=-i的对称点坐标为。,

当x>-l时，V随x的增大而减小，!>-1,

yi<y2>选项D正确；

故选：D.

6.C

【分析】判断命题的真假关键是要熟悉课本中圆的性质定理，即可依次判断，选出正确答

案.

【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够相互重合的两条弧是等弧，故本小题命题是假命题，

不符合题意；

B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本小题命题是假命题，不符合题意；

C、圆的两条弦平行时，对两条弦的端点交叉连线，形成的内错角相等，即两条平行弦所夹

的弧的圆周角相等，故圆的两条平行弦所夹的弧相等，是真命题，符合题意；

D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题是假命题，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

答案第2页，共15页

7.C

【详解】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形.故选C.

8.C

【分析】连接04、0B,过点。作的垂直于点根据圆内接正六边形的性质，即可

证明△/。8是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理，即可解出正六边形边心

距.

【详解】如图，连接O/、OB,过点。作垂直于点”,

••・六边形ABCDEF为正六边形

ZAOB=60°,OA=OB=AB=a,AH=BH=-,

2

【点睛】本题考查圆内接正六边形的性质.了解圆的半径即为正六边形的边长是解本题的关

键.

9.A

【分析】证明△/0C是等边三角形，则0c=O/=6,AACO=60°,

ZDCB=180°-ZACO-ZACD=60°,如图，过。作。E_Lx轴于E,则NDEC=90。，

ZCDE=180°-ZDCB-ZDEC=30°,则CE=」CD=4,OE=OC+CE=lO,由勾股定理

2

得，DE=y]CD2-CE2=473>进而可求点D的坐标.

【详解】解：由旋转的性质可知，ZACD=ZAOB=60°,AC=AO=6,CD=OB=8,.-.AAOC

是等边三角形，

OC=OA=6,AACO=60°,

NDCB=180°-ZACO-ZACD=60°,

如图，过。作£>E_Lx轴于E,则4DEC=90。，

答案第3页，共15页

,-.CE^-CD=4,OE=OC+CE=10,

2

由勾股定理得，DE=y/CD2-CE2=473>

二点。的坐标为(10,46)，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形，勾股定

理，点坐标等知识.熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形,

勾股定理，点坐标是解题的关键.

10.B

【分析】根据三角形外接圆的作法，先做出过，，B,C三点的A48C的外接圆，从而得出

答案.

【详解】解：如图，分别作/2、5c的中垂线，两直线的交点为。，以。为圆心、为半

径作圆，则O。即为过B,C三点的A42C的外接圆，

由图可知，。。还经过点E、F、G、”这5个格点，

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形外接圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外

接圆是解题的关键.

11.x=l

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解.

答案第4页，共15页

【详解】解：设该方程的另一个根为。，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：

2〃=2,

•••4=1;

故答案为尤=1.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关

系是解题的关键.

12.(3,17)

【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式,

提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断.

把含加的项合并，只有当加的系数为0时，不管力取何值抛物线都通过定点，可求x、y的

对应值，确定定点坐标.

【详解】解：：了=2尤2-/MX+3加T

y=2x2-(x-3)-1

・•・当x=3时，y=17；且与俏的取值无关；

故不管m取何值时都通过定点(3,17).

故答案为：(3,17).

13.2.

【分析】因为72+也+5二,所以岳7=x,即可转化为/一工一2=0,解方程即

可.

【详解】解：,•・，2+j2+V^^=x

V2+x=x

•'•x2-x-2=0,

解得：玉=2,%=-1(舍去)，

故x=2.

【点睛】本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础.

14.马_走

32

【分析】证明三角形44。是等边三角形即可得到旋转角a的度数，再利用旋转的性质求出

答案第5页，共15页

扇形圆心角以及ACDB'的两直角边长，进而得出图形面积即可.

【详解】解：如图所示，设4兄2。交于点。，

AC=A'C且44=60°,

是等边三角形.

•••ZACA'=60°,

ZA'CS=90°-60°=30°,

•••ACAD=N4=60°,

ZCDA'=90°,

■：NB'CB=ZA'CB'-ZA'CB=90°-30°=60°,

ZCB'D=30°,

CD=-CB'=-CB=-x2=l,

222

B'D=百，

SACDB.=LXCDXDB，=L=也,

c222

_60x^-x22_2万

扇形“C3~一荷一"V'

则阴影部分的面积为：2万-3

32

故答案为：

32

【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判

定，三角形面积，扇形面积以及勾股定理应用，解题的关键是灵活运用以上知识并保证计算

正确.

15.-3<m<-2.5.

【分析】如图，将阴影区域绕着点。顺时针旋转90。，与直线x=2交于C,。两点，则点/

(2,m)在线段CD上，结合点C,D的纵坐标，即可求出m的取值范围.

【详解】如图，将阴影区域绕着点。顺时针旋转90。，与直线x=2交于C,。两点，则点/

(2,m)在线段CD上，

答案第6页，共15页

又•••点。的纵坐标为-2.5,点C的纵坐标为-3,

■.m的取值范围是-3/壮-2.5,

故答案为-3W*-2.5.

【点睛】考查旋转的性质，根据旋转的性质，画出图形是解题的关键.

16.(1)X[=g，%=3

(2)玉=0,X2=3

【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.

(1)用十字相乘法分解因式可得(2x-1)(x-3)=0,把一元二次方程转化为两个一元一次方程,

解一元一次方程求出一元二次方程的两个根；

(2)用提公因式法分解因式可得x(x-2-l)=0,把一元二次方程转化为两个一元一次方程,

解一元一次方程求出一元二次方程的两个根.

【详解】(1)解：2X2-7X+3=0,

分解因式得：(2xf(x-3)=0,

二.21-1=0或工一3=0,

解得：再=；，々=3；

(2)解：x(x-2)=x,

移项得：—2)—x=0,

提公因式得：x(x-2-l)=0,

x=0或工一2-1=0,

答案第7页，共15页

解得：无1=0,X2=3.

17.(1)A,90；(2)作图见解析，(3,-1),(“-加)；(3)5

【分析】(1)观察图形，利用旋转性质解决；

(2)分别将三个顶点绕原点。顺时针旋转90。，顺次连接即可；

(3)将A沿着x轴对称至H,连接42,与x轴交于点即可求得结果.

【详解】(1)由图中可知：ZBOB|=90。，所以448。绕点A逆时针旋转90度得到

△典£；

(2)作图如图所示，则由题意。(〃,一机)；

(3)作点A关于x轴的对称点4,连接48交x轴于连接此时/M+Nf的值最

小，最小值为H8的长度，A'B=V32+42=5-故+的最小值为5.

【点睛】本题考查了旋转的性质与作图方法，以及轴对称最短路径问题，解题关键是熟练掌

握基本知识，灵活进行推理计算.

18.解：(1)kWO.(2)1<的值为-1和0.

【分析】(1)方程有两个实数根，必须满足△=b2-4acK),从而求出实数k的取值范围；

(2)先由一元二次方程根与系数的关系，得XI+X2=-2,X】X2=k+l.再代入不等式

x1+x2-xix2<-l,即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值.

【详解】(1卜•方程有实数根，

.••A=22-4(k+l)>0,

解得kWO

故k的取值范围是仁0.

(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得X]+x2=-2,x1X2=k+l,

答案第8页，共15页

Xj+x2-x1x2=-2-(k+l)

由已知，得一2—(k+1)<-1,解得k>-2

又由⑴kWO,

/.-2<k<0

•••k为整数，

・・.k的值为T或0.

19.(1)/(2,1),C(3,0),0(0,-3),当y>0时，l<x<3；

(2)平移后抛物线的解析式为了=+5.

【分析】(1)把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出”的值，把抛物线的一般式化为顶点

式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x

轴上方的部分对应的x的范围即为当了>0时x的取值范围；

(2)先由点。和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减,

左加右减解答即可；

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛

物线与不等式的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：把8(1,0)代入y=办2+4x-3,得0=。+4-3,解得：a=-l,

*'•y=—+4x—3=-(x—2)+1,

由y=-x2+4x-3得，当x=0时，y=-3,

.⑺(0,-3),

•••抛物线的对称轴是直线x=2,B、C两点关于直线x=2对称，

.­.C(3,0),

・•・根据图象可知：当歹>。时，l<x<3；

(2)解：由(1)知：£)(0,—3),4(2,1),

二点。平移到点A,抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，

二平移后抛物线的解析式为〉=-(X-2-2『+1+4=-(X-4)2+5.

答案第9页，共15页

5JT

20.（1）见解析；（2）—.

【详解】试题分析：（1）连接OD,由切线的性质即可得出NODF=90。，再由BD=CD,OA=OB

可得出OD是AABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即

可得出NCFD=/ODF=90。，从而证出DF1AC；

（2）由NCDF=30。以及4ODF=90。即可算出4ODB=60。，再结合OB=OD可得出aOBD是等

边三角形，根据弧长公式即可得出结论.

试题解析：（1）证明：连接OD,如图所示.

・・・DF是。O的切线，D为切点,

.,•OD1DF,

.・ZODF=90。

•・・BD=CD,OA=OB,

・・・OD>AABC的中位线，

.-.ODHAC,

/.ZCFD=ZODF=90°,

.-.DF1AC.

(2)解：・.2CDF=30。,

由(1)得NODF=90。，

.­.ZODB=180°-ZCDF-ZODF=60°

,.OB=OD,

.-.△OBD是等边三角形,

.-.ZBOD=60°,

ruiR60%x55

・・・BD弧的长==—7l

-180--1803

21.(1)J/=-10X2+400X+5000

答案第10页，共15页

（2）65元

（3）当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元.

【分析】（1）依据题意，易得出平均每天销售量与涨价x元之间的代数式为（500-lOx）箱,

然后根据销售利润=销售量x（售价一进价），列出平均每天的盈利y（元）与涨价x元之间

的函数关系式即可；

（2）令了=8750代入（1）的函数解析式，进行计算，注意售价不能高于72元这个条件，

即可作答.

（3）根据（1）所给〉=-10/+4（）（^+5000,化为顶点式y=-10（x-20）2+9000,运用二

次函数的图象性质，即可作答.

此题考查了二次函数的性质，以及二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.

【详解】（1）解：由题意得：>=（x+50-40）（500-10x）,

化简得：>>=-10X2+400X+5000,

（2）解：依题意，把>=8750代入了=一10工2+400》+5000,

则8750=-10x2+400x+5000,

.•.0=X2-40X+375=（X-25）（X-15）,

则石=25,x2=15,

则50+25=75>72（故舍去），50+15=65<72,

则每箱苹果的售价65元；

（3）解：由（1）得出>=-10/+400》+5000,

.,•»=-10（X?+40x+400-400）+5000=-10（x-20）2+9000,

・•・开口向下，在x=20时，>有最大值，且为9000,

则20+50=70（元），

当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元.

22.⑴①40或20；②20后或10函；

答案第11页，共15页

（2）30后

【分析】（1）①当A,D,M三点在同一直线上时，分点别■在4D上和点M在2。的延长线

上，两种情况计算；②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时，分4。为直角边和4。

为斜边两种情况计算；

（2）连接'C,根据乙43c=135。可以求出/DQ2c=90°,利用勾股定理可以求出

DtC=30n,利用SAS可证AABD?=^ACDX,根据全等三角形对应边相等可得

BD2=CDX=3076.

【详解】（1）解：①当A,D,M三点在同一直线上时，

若点M在4D的延长线上，

贝U4W=DW+/。=10+30=40,

若点”在4D上，

贝|J4W=/0-OM=30-10=20,

综上所述AM的长为40或20；

②当A,D,〃三点为同一直角三角形的顶点时，

若力。为直角边，

则AM=>]AD2+DM2=V3o2+io2=VTooo=IOVIO，

若4。为斜边，

AM=ylAD2-DM2=A/302-102=7800=2072，

综上所述当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时，的长为10a6或20亚；

（2）解:如图所示，连接

/乂\、、

BC

・・•ZDXAD2=90°,AD{=AD2=30,

答案第12页，共15页

.•・弧2=，3。2+3()2=30后,^AD[D2=ZAD2D1=45°,

・.・乙叫。二135。，

?./Dp2c=90。,

在2c中，D]C=《30何2+602=306,

•・•ABAC=ZD2AD1=90°,

?.ABAC-ZD2AC=ZD2AD{-ZD2AC,

?.ZBAD2=ZCAD1,

AD?=ADX

在^ABD2和八ACD、中<ZBAD2=Z.CADX,

AB=AC

:.^ABD2=^ACDX,

BD2=CD1=30A/6.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题.

23.(1)BE=DG,BE1DG,理由见解析

⑵取+0或南-应

(3)30

【分析】本题属于四边形综