河南省商丘市柘城县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）

2024年秋九年级期中质量检测

数学试卷

注意事项：

1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试

卷上的答案无效.

一、选择题（每题3分，共30分）

1.如©图所示四个图案中，是中心对称图形的是（）①

小©

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的

定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故A不符合题意；

B.不是中心对称图形，故B不符合题意；

C.不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.是中心对称图形，故D符合题意.

故选：D.

2.抛物线丁=。犬+6%+。上部分点的横坐标无，纵坐标y的对应值如表：

X-2-101

y0466

下列结论不正确的是（）

A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴为直线％

2

C.抛物线与X轴的一个交点坐标为(2,0)D.函数丁="f+6%+。的最大值为彳

【答案】C

【解析】

【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可

4〃一2Z?+c=0

【详解】解：由题意得"。=4,

c=6

a——\

解得<方=1,

c=6

；・抛物线解析式为y=—V+x+6=—(x—g]+y,

125

抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=—,该函数的最大值为一，故A、B、D说法正确，不符

24

合题意；

令y=°,则-%2+%+6=0,

解得x=3或x=—2,

...抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0),故C说法错误，符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键.

3.点%),Pi(3,%)，23(5,为)均在二次函数,=一％2+2%+。的图象上，则%,

为，内的大小关系是()

A.%>%>%B.%>%=%C.%〉%>%D.%=%>%

【答案】D

【解析】

【详解】：y=-x2+2x+c,

.•.对称轴为X=l,尸2(3,y2),尸3(5,%)在对称轴的右侧，y随尤的增大而减小，

V3<5,

・•%>为，

根据二次函数图象的对称性可知，Pi（-1,%）与（3,%）关于对称轴对称,

故％=%>%，

故选：D.

4.给出一种运算：a®b=（a+b）b,^203=（2+3）x3=15,若方程2Ex=左的一个根为3,则另

一个根为（）

A.5B.-5C.10D.-10

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新运算的法则，列出一元二次方程,

根据根与系数的关系求出另一个根即可.

【详解】解：由题意，2®x=（2+x）x=k,

即：龙2+2无一左=0，

设方程的另一个根为加，贝U：m+3=-2,

/.m=-5,

方程的另一个根为-5.

故选B.

5.如图，在等边AABC中，。是边AC上一点，将绕点B逆时针旋转60。得到△B4E,若

BC=7,BD=5,则△AXE）的周长是（）

A.15B.14C.13D.12

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，先根据旋转的性质得破=5。，

AE=CD,NDBE=60。,于是可判断VBDE为等边三角形，则有。石=9=5,所以ZVL即的周长

=DE+AC,再利用等边三角形的性质得AC=BC=7,即可求得△AEO的周长，熟练掌握旋转的性质，

等边三角形的判定和性质是解决此题的关键.

【详解】•.•△5。。绕点8逆时针旋转60。得到小氏4石，

BE=BD,AE=CD,ZDBE=6Q°,

V8DE为等边三角形，

DE=BD—5,

••.△AED周长=r>E+M+AD=r>E+CD+AD=DE+AC,

•••VABC为等边三角形，

AC=BC=7,

•*.△AED的周长=DE+AC=5+7=12,

故选：D.

6.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，？。90?,若AD=CD=2亚,AB=2,则弦5C的长

为（）

A.3后B.3&C.2百D.272

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，连接AC,先证明AC为直径，求解

AC=yjAD~+CD2=4>证明NA5C=90°,再利用勾股定理计算即可•

【详解】解：如图，连接AC,

•••四边形ABC。是。。的内接四边形，？。90?,AD=CD=2。

为直径，AC=^AD2+CD2=4>

ZABC=90°,

,/AB=2,

•••BC=7AC2-AB2="2—22=2百；

故选：C

7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=or+b和二次函数y=or2+bx的图象可能为（）

【解析】

【分析】先由二次函数产"2+a图象得到字母系数的正负，再与一次函数产办+6的图象相比较看是否一

致.

b

【详解】解：A、由抛物线可知，a>0,x=——>0,得6<0,由直线可知，a>0,b<0,正确；

2a

B、由抛物线可知，。>0,由直线可知，a<0,错误；

b

C、由抛物线可知，a<Q,x=------>0,得6>0,由直线可知，a<0,b<0,错误；

2a

D、由抛物线可知，a<Q,由直线可知，a>0,错误.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学

们加强训练即可掌握，属于基础题.

8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=%2—的图象经过正方形AB。。的顶点A,B,C.且8点

为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（）

y

A.y=(x—l)2—1B.y=(x+l)-_]

C.y=（x-l）2+lD.y=(%+l)2+1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点8的坐标为

（0,一。），根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解.

【详解】解：当x=0时，y^-b,故8点坐标为（0,一b）,

过点A作AZ），30于。,

:四边形ABCO是正方形,

AABO上等腰直角三角形,

b

：.AD=OD=BD=-

2

一（bb

•"•A点坐标为|一不一G

I22

:二次函数的图象y=必-6经过正方形ABCO的顶点4

b

2

解得6=2,

•••A点坐标为(―1,—1),

:平移后的抛物线顶点为点A,

；•平移后抛物线的表达式为y=(x+1)2-1.

故选：B.

9.如图，VA3C经过平移得到△4耳。1，已知在AC上的一点？(2.4,2)平移后的对应点为点耳，若点

外与点4关于点。中心对称，则点尸2的坐标为()

>

X

A.(1.4,-1)B.(1.6,1)C.(2.4,1))D.(1.5,2)

【答案】B

【解析】

【分析】本题是一道关于图形平移的题目，需结合图形平移时点坐标的变化规律求解；由所学知识，横坐

标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减；首先结合平面直角坐标系，得对应点A、A的坐标，由此得

出平移规律；然后再根据得到的平移规律，结合尸点坐标即可求得1的坐标，再根据点打与点4关于点

。中心对称得到点鸟的坐标.

【详解】•「4点的坐标为(2,4),A点的坐标为(—2,1),

」.△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位后得到,

」.AC上一点P(2.4,2)平移后对应点4的坐标为(2.4—4,2—3),即(―1.6,—1),

再根据点鸟与点R关于点。中心对称，

得到点鸟的坐标为(1.6,1),

故选B.

10.对称轴为直线x=l的抛物线y=℃2+6x+c(。，b,c为常数，且。/0)如图所示，小明同学得出了以

下结论：®abc<0,®b2>4ac，③4Q+2Z?+C>0,④3Q+C>0,⑤a+Z?〈根（。加+/?）0为任意实

数），⑥当％<—1时，y随工的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数）=改2+以+。系数符号由抛物线开口方

向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定.由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断

。的符号，然后根据对称轴及抛物线与l轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可.

【详解】解：①由图象可知：〃>0,c<0,

b

•・•——=1,

2a

b——2Q<0,

abc>0,故①错误；

②•・•抛物线与x轴有两个交点，

b1-4ac>0，

***b2>4ac，故②正确；

③;抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间，对称轴为直线x=l,

・•・另一个交点在2到3之间，

・••当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③错误；

④当x=-1时，y=Q—Z?+c=〃一（一2a）+c>0,

.•・3Q+C>0,故④正确；

⑤当％=1时，y取到值最小，此时，y=a+b+c,

而当犬=机时，y—cm1+bm+c，

••a+b+c<am1+bm+c，

故a++Zwz，即a+故⑤正确，

⑥当x<—1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，

所以，正确的结论有：②④⑤，共3个

故选：A.

二、填空题(每题3分，共15分)

11.如图，将VA3C绕点A逆时针旋转40。得到VADE,其中点。恰好落在3c边上，那么/4DE=

【答案】70°##70度

【解析】

【分析】由旋转的性质可得45=NBA。=40°,ZABC=ZADE,由等腰三角形的性质可求

ZABD=ZADB=10°,即可求解.

【详解】解：：将VABC绕点A逆时针旋转40°得到VADE,

AB=AD,ZJBAD=40°,ZABC=ZADE,

：.ZABD=ZADB=1(180°-40°)=70°,

：.ZADE=1O。,

故答案为：70。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

12.已知二次函数y=-x2+2(m-l)x+2m-m2的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与尤轴

的两个交点B,C构成的VA3c的面积是.

【答案】1

【解析】

【分析】此题主要考查了二次函数的性质及于％轴交点坐标特点，解题关键是各类函数图象的图象特征需

注意在做题过程中加以理解应用.由于二次函数y=-f+2(〃Ll)x+2〃L疗的图象关于,轴对称，由此得

到m=1,解方程即可求出〃？，然后利用顶点公式和x轴的两个交点坐标特点即可求出A、B、C的坐标，

接着根据坐标求出面积.

【详解】解：•.,二次函数y=-V+2(机-l)x+2机-加2的图象关于y轴对称,

2(m-l),

二对称轴为：%=_。n=0,

2x(-1)

\y=-x2+l,

二顶点A坐标为(0,1),

令y=。，得一/+1=0，解得石=-1,%=1，

\y=-f+l与x轴的两个交点3、C坐标为(1,0),(—1,0),

.,.△ABC的面积为工x2x1=1.

2

故答案为：1.

13.如图，AB是。。的切线，B为切点，连接。4,与0。交于点C,。为。。上一动点(点。不与点

C,8重合)，连接若NA=36°,则ZO的度数为.

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆周角等于对应

圆心角的一半成为解答本题的关键.连接08,由切线的性质可得NO6A=90°,再根据直角三角形两锐

角互余求得NCOB=54。，然后再根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：如图：连接05,

,/AB是0。的切线

ZOBA=9Q°

VZA=36°

NCO5=90°—36°=54°

；BC=BC，

：.ZD=-ZCOB=27°,

2

.•."'=180°—27°=153°.

故答案为：27。或153。.

14.已知a是一元二次方程了2—2%—4=0的一个根，则代数式a?—2a+2024的值为.

【答案】2028

【解析】

【分析1本题考查了一元二次方程的解以及已知式子的值求代数式的值，先把％。代入d一2%—4=0，

得2a=4，则/—24+2024=4+2024=2028，即可作答.

【详解】解：是一元二次方程f―2%—4=0的一个根，

ci~—2a—4=0，

••a2-2a=4，

则a2-2a+2024=4+2024=2028.

故答案为：2028.

15.已知二次函数丁=k-2ax+2a,其中。为实数，对称轴为直线x=3,将二次函数的图象向上平移

6个单位，当加—+2时，函数有最小值为12,则根的值为.

【答案】7或—2

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象的平移，先根据对称轴方程求得该二次函数的解析式,

再根据函数图象平移规则“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：•••二次函数丁=三一2ax+2a的对称轴为直线％=3,

y=x2-6x+6=(x-3)~-3,

将二次函数的图象向上平移6个单位，得y=(x-3『+3,

.•.该函数图象开口向上，对称轴为直线1=3,

.•.当*<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大,

当％=3时，>=3,此时y有最小值3,

当y=12时，由（x-3）2+3=12解得玉=0,x2=6,

I当加―1VxVm+2时,函数有最小值为12,

/.m+2=0a£m-l=6,

解得加=—2或加=7.

故答案为：7或—2.

三、解答题（本题共8题，共75分）

16.解方程：

（1）%（2%-5）=4%-10

（2）必-2&+1=0

【答案】（1）xl=­,4=2

（2）=5/5+2,X2=y[5—2

【解析】

【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

（2）方程利用公式法求出解即可.

【小问1详解】

解：x（2x—5）—（4x—10）=0

x（2九-5）-2（2x-5）=0

（2x-5）（x-2）=0

.•.21一5=0或%—2=0,

【小问2详解】

解：=b=—2^/5,c=1,

/.A=（-2^）2-4X1X1=20-4=16>0,

*26土®&±2,

2

—5/5+2,x2—A/S-2.

【点睛】此题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法.

1

17.已知口A8CO的两边/氏4。的长是关于冗的方程2*0—2如+机——二0的两个实数根.

(1)当根为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长.

(2)若AB=2，求口ABCD的周长.

【答案】(1)m=l；-

2

(2)5

【解析】

【分析】(1)由菱形的性质得到=即方程的A=0,代入即可求出机的值，然后代入原方程求

解,即可得出结论；

(2)将x=2代入原方程求出m,代入解方程求出方程的解，然后求周长即可.

【小问1详解】

•••四边形ABCD是菱形，

/•AB=AD.

VAB,AD的长是关于x的方程2必-2mx+m--=0的两个实数根，

2

A=(—2771)2—4X2(加—；)=4(7〃-I)2=0,

解得仍=?=1,

.•.当"2=1时，四边形ABCD是菱形.

将“2=1代入原方程,得2必-2x+—=0,

2

11

整理得2(x—万了9=o,解得石=%=a,

菱形ABCD的边长为

2

【小问2详解】

把x=2代入原方程得8-4〃Z+〃Z-L=0,

2

解得m=-.

2

将m=-代入原方程，得2/一5%+2=0,

2

解得石=2,%二—,

2

CJABCD的周长=2x(2+g)=5.

【点睛】此题考查了菱形和平行四边形的性质；一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱

形的边长是解决本题的关键.

18.如图，在正方形网络中，VABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为(—2,4)、

(-2,0)、(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)画出VABC关于原点。对称的△ABC-

(2)平移VA3C,使点A移动到点&(0,2),画出平移后的△&与Q并写出点与、C2的坐标.

(3)在VABC、△4与。1、△人与。2中，2c2与成中心对称，其对称中心的坐标

为.

(2)图见详解；点与、G的坐标分别为(0,—2),(-2,-1)；

(3)(1,-1)

【解析】

【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换与平移变换的定义和性质,

并据此得出变换后的对应点.

(1)分别作出三个顶点关于原点。对称的对称点，再首尾顺次连接即可得；

(2)将三个顶点分别向右平移2个单位，再向下平移2个单位，再首尾顺次连接即可得；

(3)结合(1)(2)所作图形即可解答.

【小问1详解】

解：VA3C关于原点。对称的44用C如图所示:

解：根据平移的性质，点A（—2,4）-4（0,2）,横坐标加2,纵坐标减2,所以将3（-2,0）、C（^,l）

横坐标加2,纵坐标减2得到七（0,-2）、C,（-2,-l）,连接即可.平移后的如图所示：

点不、C2的坐标分别为（0,—2）,（-2,-1）；

【小问3详解】

解：如图所示.

在VABC、△A4G、△A刍c?中，与△AAG成中心对称，其对称中心的坐标为

故答案为：△4片£；（1,一1）.

19.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销

售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=-2x+80（20<x<40）,设这种健身球每天的销售利润

为卬元.

（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；

（2）求卬与x之间的函数关系式；

（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）30

（2）W=-2X2+120X-1600

（3）该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元

【解析】

【分析】（1）在y=—20%+80中，令x=25,进行计算即可得；

（2）根据总利润=每个建生球的利润x销售量即可列出w与尤之间的函数关系式；

（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得.

【小问1详解】

解：在y=—2x+80中，令X=25得，y=—2x25+80=30,

故答案为：30；

【小问2详解】

解：根据题意得，w=（x—20）（—2x+80）=—2f+120x—1600,

即w与彳之间的函数关系式为：卬=—2d+120%—1600；

【小问3详解】

解：w=-2x2+120%-1600=-2（x-30）2+200,

V-2<0,

.,.当x=30时，w取最大值，最大值为200,

即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式.

20.如图，等腰AABC内接于0。，AC=BC,直径4D交于点£,作=交CB延长

线于点F.

（1）求证：AR是0。的切线；

（2）若AB=BF,求证：AC=2ACAD.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握切

线的判定定理与性质定理是解此题的关键.

（1）如图，连接根据圆周角定理得到/D=NC,ZD+ZZMB=90°,进而得到

ZDAF=ZDAB+ZBAF^90°,据此即可得解；

（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出NC=36°,ZCAD=18°,据此即可得解；

【小问1详解】

如图，连接

,*■AB=AB>

：.ZD=ZC,

'：ZBAF=ZC,

：.ZD=ZBAF，

*/AD是的直径，

：.ZDBA^90°,

：,Z£)+ZZMB=90°,

ZDAF=ZDAB+ZBAF=90°,

DALAF,

AD是。。的直径,

/.AT是。。的切线

【小问2详解】

,：AB=BF，

：.ZBAF=ZF,

'：ZBAF^AC,

ZC=ZF,

设NC=x,则Nfi4F=N尸=x,

ZCBA^ZBAF+ZF=2x,

'：AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=2x,

在VABC中，?CAB?CBA?C180?,

即2x+2x+x=180°,

:.x=36°,

即ZC=ZF=36°,

ZC4F=108°,

ZC4Z)=ZG4F-ZZMF=108o-90o=18o,

AC=2ACAD.

21.如图，一小球M从斜坡OA上的。点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平

面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=刻画.若小球到达的最高的点坐标为(6,12),解答下列问

题：

(1)求抛物线的表达式；

(2)在斜坡上的B点有一棵树，8点的横坐标为3,树高为7,小球M能否飞过这棵树？通过计算

说明理由；

(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度.

【答案】(1)y=--(x-6)2+12；(2)小球M能飞过这棵树；(3)小球M在飞行过程中离斜坡04的最

-3

大(Wj度为---•

12

【解析】

【分析】(1)设抛物线的表达式为广〃(%-6)2+12,把(0,0)代入即可得到答案；

(2)把x=3分别代入产-;(x-6)2+12和产;x,即可得到答案；

(3)根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】解：(1).••小球到达的最高的点坐标为(6,12),

，设抛物线表达式为广〃(%-6)2+12,

把(0,0)代入得，0=a(0-6)2+12,

解得：a=--,

3

抛物线的表达式为尸-;(x-6)2+12；

(2)当_r=3时，yi=--x=l,yT=---(x-6)2+12=9,

-33

V9-l>7,

.•.小球加能飞过这棵树；

(3)小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为：

1八21111、，121

h7=——(zx-6)-+12——x=——z(x---)-H----,

333212

.♦.小球加在飞行的过程中离斜坡的最大高度为—.

12

【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求

解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.

22.如图，在四边形A6CD中，ZABC=ZADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点

3的对应点恰好与点A重合，得到八4。£.

B

(1)求旋转角的度数；

(2)判断AE与BD的位置关系，并说明理由；

(3)若AZ)=4,CD=8,试求四边形ABC。的对角线BD的长.

【答案】(1)90°

(2)AE±BD,见解析

⑶12

【解析】

【分析】(1)根据旋转的定义，确定旋转角即可；

(2)根据题意得出NBQ0=90°,设BD与AC、AE分别交于点M、N,则根据三角形内角和定理可

得NAA©=90°,从而得出结论；

(3)连接OE由勾股定理可求DE长，再由勾股定理可求AE=5。的长.

【小问1详解】

解：•.・将ABCD绕点C顺时针旋转得到&ACE,

.-.ABCD^AACE,

AC=BC,

又/ABC=45。，

:.ZABC=ZBAC=45°,

:.ZACB=9