勾股定理与锐角三角函数（题型训练）-2022年中考数学复习

第11讲勾股定理与锐角三角函数

题型一勾股定理

1.（2021.福建・福州十八中九年级期中）若二次函数y=ax2+/zr+c的图像与x轴有两个交点A和2,顶点为

C,且按-4改=12,则NACB的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2021•内蒙古呼和浩特•九年级期中）已知AB,CD是。。的两条平行弦，AB=8,8=6,。。的半径

为5,则弦与CD的距离为（）

A.1B.7C.4或3D.7或1

3.（2021.河南•洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABC。中，点E是4B的中点，

点F是的中点，连接EF,G是EF的中点，连接DG.在ABEF中，BE=2,NBFE=30°,若将ABEF绕

点8逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段。G长的最大值是（）

A.>/67B.2A/17C.10D.12

4.（2021.浙江•杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C,。在以A3为直径的。。上，且平分NACB,

5.（2021•浙江台州•九年级期中）如图，在MWABC中，ZABC=90°,AB=BC,点P在△ABC内一点，连

接RI,PB,PC,若/BAP=NCBP,且AP=6,则尸C的最小值是（）

A

A.2^/2B.3C.375-3D.372

6.（2021・陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABC。中，有一个小正方形E打汨,

其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD±,若3/=3,则小正方形的边长为（）

A.6B.5C.—D.2^/^

7.（2021•江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt^ABC中，AB=AC,D,E是斜边BC上两点,

且〃4£=45。，将AADC绕点A顺时针旋转90。后，得到连接ER下列结论：①AAED之AAEF；

②AABEsAACD；®BE+DC=DE；®BE2+DC2=DE2.其中正确的是（）

A.1个B.2个

8.（2021•浙江•杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，。。是以坐标原点。为圆心，40为半

径的圆，点P的坐标为（2,2）,弦经过点P,则图中阴影部分面积的最小值为（）

32

A.8兀B.——71C.8兀-16D.多-8小

3

9.（2021•福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABC。中,点E、尸是对角线AC上的两点,

AB=小BC=20且EF=BC,点G是边AB上的中点，连接GE、DF.当GE+。/取最小值时，线段CT

的长是（）

A.1B.6C.1D.2.73

10.（2021・江苏・无锡市江南中学九年级期中）如图1,若△ABC内一点尸满足则

点P为△ABC的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DE尸中，如图2,NEDF=90。,若点0为△OEP的布

洛卡点，。。=&，贝i]EQ+FQ=（）

A.4B.4+20C.2+72D.2+2应

n.（2021•广东•深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCQ中，AE1BC,垂足为E,

ZBAE^ZADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB（左为常数），则BD的长为.（用含k的式子表示）

12.（2021•四川・中江县凯江中学校九年级期中）在。。中，AB,CO是两条弦，AB=6,CD=8,且

。。的半径为5,则A3、C。之间的距离是

13.在等边AABC中，AB=6,8。=4,点E为AC边上一个动点，连接QE,将△COE沿着DE翻折得到

AFDE,则点F到AB距离的最小值是.

14.（2021・山东李沧・九年级期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点。在CG上，AD=,DG

=H是AF的中点，那么C”的长是___________________.

15.（2021•浙江・温州市第四中学九年级期中）如图，在AABC中，ADLBC,BE,AC交AD于点尸，且

BD=AD.

（1）求证：ABDF丝AADC.

（2）若F为AD的中点，且DC=1.求AC的长.

16.(2021•北京教育学院附属中学九年级期中)如图，点M,N分别在正方形A8CO的边BC,CD上,且

NMAN=45。.把小ADN绕点A顺时针旋转90。得到△ABE.

(1)求证：XAEMmAANM.

(2)若3M=3,DN=2,求正方形的边长.

17.(2021•天津河西•九年级期中)如图，已知8C为。。的直径，BC=5,A8=3,点A点8点C在。。上,

ZCAB的平分线交。。于点D.

(I)求AC的长；

(II)求BD,8的长.

18.(2021•河南・永城市实验中学九年级阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点瓦尸分别在A3和BC上,

BE=4.AE=BF=1,将ABEF绕点尸顺时针旋转，当点H落在CO边上时，得到△GH尸.

(1)求证：ZBEF=NCFH.

(2)求E,〃两点之间的距离.

19.(2021・四川江油•九年级期中)如图1,将两块全等的直角三角形纸片AABC和ADEF叠放在一起，其中

ZACB=ZE=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点。与边4B的中点重合.

（1）若。E经过点C,OE交AC于点G,求重叠部分（△DCG）的面积:

（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将ADEF绕点。旋转，使交AC于点H,DF交AC

于点G,如图2,求的长.

20.（2021•北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在AABC中，ACBC,ZACB

90°,。是线段AC延长线上一点，连接B。，过点A作于E.

(1)求证：ZCAE=/CBD；

(2)将射线AE绕点A顺时针旋转45。后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F,连接CE.

①依题意补全图形;

②用等式表示线段所，CE,BE之间的数量关系，并证明.

题型二锐角三角函数

1.（2021•上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC中，ZC=90",ZB<ZA,设sinB=n,那么"的

取值范围是（）

A.0<n<lB.0<n<-C.0<n<—D.0<n<—

222

2.（2021•吉林・长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，NC=90。，AB=5,AC=4,下列三角

函数表示正确的是（）

A

4443

A.sinA=—B.tanA=一C.cosA=—D.tanB=一

5354

3.（2021•安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将NAOB放在正方形网格中，贝UcosNAOB的值为

()

A.B.平

4.如图，已知RtAABC中，ZACB=90a,AC=3,AB=5,则cosA的值为(

5.（2021•四川・成都嘉祥外国语学校九年级期中）在RQABC中，NC=90。，CD±AB,垂足为点。，下列四

个三角比正确的是（）

ACADCDCD

A.sinAB.cosAC.tanAD.cosA

ABAC茄AD

6.（2021・陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点C沿对角线3。折叠,

点C的对应点为E,线段BE交AD于点F,贝iJtanNEDb的值为（）

E

7.已知a=3,且（4tan450-6）2+j3+；6-c=0,则以。、b、c为边长的三角形面积等于（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2021•山东新泰•九年级期中）已知。是锐角，sincr=cos30°,则。的值为（）

A.30°B.60°C.45°D.无法确定

9.（2021•浙江励州•九年级期末）角。，4满足0。<1<分<45。，下列是关于角口的命题，其中簿送的

是（）

jy

A.0<sinB.0<tan/?<1C.cos，<sinaD.sin[3<cosa

2

3

10.（2021•四川乐山•中考真题）如图，直线4与反比例函数y=—（X〉0）的图象相交于A、3两点，线段

x

的中点为点C,过点C作X轴的垂线，垂足为点。.直线4过原点。和点C.若直线4上存在点P（"?，"），

满足NAPB=NAD3,则m+〃的值为（）

X

3

A.3-旧B.3或万C.3+6或3-qD.3

>0°,sinA=1,BC=2,则

11.（2021•山东•潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在R/AABC中，ZC=S

AC=・

12.（2021•上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB-BC中，AB=3,BC=5,将折线AB-BC

绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE,点B的对应点落在线段BC上的点。处，点C的对应点落在

点E处，连接CE,若CE±BC,则tanzEDC=_________________.

13.（2021•重庆南开中学九年级期中）计算：2tan45°+（V3-^-）0=.

14.若三个锐角1/满足sin48。=a,cos48。=民tan48。=7,则%7由小到大的顺序为

15.（2021・福建•泉州五中九年级期中）如果a是锐角，且$皿％+«»248。=1,那么a.度

16.（2021•陕西•西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,

且BP=6-连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ.连接CQ、DQ,则;。Q+CQ的最小值

为

17.（2021•河北,广平县第二中学九年级期中）（1）（1-sin45"）°-tan60°+”.

(2)cos30°-3tan60°-2sin45°«cos45°.

18.（2021•四川・成都市温江区东辰外国语学校九年级期中）计算：0x（-2014）。-（1）-2+|2sin450

-2|.

tun60。

19.（2021•广东•佛山市华英学校九年级期中）计算：—--cos30°

2sin600-tan45°

20.（2021・吉林•长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5x5网格,

每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上.（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要

求写出画法）

（1）在图①中的线段AB上画出点M,使AB=3AM.

21.如图所示，△ABC中，。为AB的中点，DC±AC,且NBCD=30。，求NCDA的正弦值、余弦值和正切值.

22.（2021•上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1,已知在等腰AABC中，A8=AC=50LtanZABC

=3,BFA.AC,垂足为F.点。是边AB上一点（不与A,B重合）.

（1）求边BC的长；

（2）如图2,联结OF,DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长；

（3）过点。作。ELBC,垂足为E,DE交BF于点、Q.联结OF,如果△DQF和△ABC相似，求线段B。的长.

I).

/Vf\

图I图2备用

23.（2021•北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,D为AC上一点（与点

A,C不重合），连接BD,过点A作AE_LB。的延长线于E.

（1）①在图中作出△ABC的外接圆。。，并用文字描述圆心。的位置；

②连接。£,求证：点E在。。上；

（2）①延长线段B。至点F,使EF=AE,连接CF,根据题意补全图形；

②用等式表示线段CF与的数量关系，并证明.

24.（2021•陕西•西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接"十四运”计划实施扩大城

市绿化面积.现有一块四边形空地（如图2,四边形A8CD）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能

看清两条对角线AC,B。的长度分别为40cm,30cm及夹角NBEC=60。，你能利用这些数据，帮助工作人员

求出这块空地的面积吗？

建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况.

（1）如图L△ABC中，。为AB上任意一点（不与4B两点重合），连接CO,CD=a,AB=b,ZADC=a

（a为CD与AB所夹的锐角），则AABC的面积为.（用。，b,a表示）

问题解决：请你解决工作人员的问题.

（2）如图2,四边形ABCD中，£为对角线AC,BD的交点，已知AC=40cm,BD=30cm,ZBEC=60°,求

四边形ABC。的面积.（写出必要的解答过程）

新建模型：

（3）若四边形ABC。中，E为对角线AC,B。的交点，已知AC=a,BD=b,NBEC=a（a为AC与BD所夹

的锐角），直接写出四边形ABCD的面积为.（用。，b,a表示）

模型应用：

（4）如图3,四边形ABC。中，AD+BC=AB,ZBAD=^ABC=60°.已知BD=a,求四边形ABCD的面积.（“新

建模型”中的结论可直接利用）

题型三解直角三角形

1.如图，折叠矩形ABC。的一边A。，使点。落在BC边的点尸处，已知折痕AE=106m,且tan/CEF=。,

那么矩形A8CO的面积为（）cirf；

A.280B.300D.360

2.（2021.重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地建在陡峭的山坡2C上，该山坡的坡度i

=1：2.4.小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地的水平距离CO=156

米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60。，则通信基地的高

度约为（）（参考数据：百11.414,73^1.732）

A.136米B.142米C.148米87米

3.如图，在△ABC中，ZA=120°,4B=4,AC=2,贝UsinB的值是（

6721V21

4.（2021•天津河西•九年级期中）如图，在。。中，点A,8在圆上，乙4。8=120。，弦A8的长度为46,

则半径OA的长度为（）

A.20B.4C.2近D.3#

5.（2021.山东东昌府.九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABC，AE,。尸为梯形的高，

其中迎水坡AB的坡角a=45°,坡长AB=10亚米,背水坡CD的坡度i=1:君，则背水坡的坡长CD为（）

米.

A.20B.2073C.10D.200

6.如图，在放AABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,点尸在边AC上，并且C尸=2,点E为边BC上的

动点，将△CEE沿直线EE翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（)

A.1B.1.2C.3D.5

7.（2021・山东沂源•九年级期中）在RSA8C中，48是斜边，AB=IQ,BC=6,tanA=.

8.（2021.上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC中，4B=6,BC=8,NB=60。，则△ABC的面积是—.

4

9.（2021•浙江・宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABC。中，tan/ZMB=§,AB=3,点、P为

边AB上一个动点，延长BA到点Q,使AQ=2A尸，且C。、DP相交于点T.当点P从点A开始向右运动

到点B时，求点T运动路径的长度为.

10.（2021・广东・广州六中九年级期中）如图，△ABC的外接圆的半径为石，AB=AC,NA4c=120。，尸为

。。中优弧8c上一点，连接PB,PC,贝。必+PB+PC的最大值—.

11.（2021.山东泰山.九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度.如图,

某一时刻，旗杆A8的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长8c为4米，

落在斜坡上的影长C。为3.8米，AB±BC,同一时刻，光线与水平面的夹角为60。，1米的竖立标杆PQ在

斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：6切.732）.

12.（2021・广东•佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三

地，总长55千米.大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图.假设你站在桥上测得拉

索A3与水平桥面的夹角是30。，拉索8与水平桥面的夹角是60。，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索

底端距离AD为20米，请求出立柱的长.（结果精确到0.1米，6=1.732）.

图1

13.（2021•山东阳谷.九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点。的俯角为30。，小

杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10。，高层楼与多层楼CD之间

的距离为CE,已知A8=CE=30米，求多层楼CD的高度.（结果精确到1米）（参考数据：石句.73,

sinl0°=0.17,cosl0°=0.98,tanl0°=0.18)

14.（2021・浙江・宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大

楼的顶部竖有一块广告牌CD小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53。，沿坡面

A8向上走到8处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡的坡度7=1：石，48=12米，AE=24米

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：&"41,君句.73,sin53°=1,

cos53°«-,tan53°«-)

53

（1）求点8距水平地面AE的高度;

（2）求广告牌CD的高度.

O

口

口

口

空行/口

目

AE

15.（2021・山东任城.九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟

351n的速度沿着与水平方向成75。角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点

及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得8