河北省十县联考2024-2025学年高三年级上册11月期中考试数学试题（含解析）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学（三）

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1-2025

1—1.

1.若Z+1,则忖=（）

A.1B.V2C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用复数的运算，得到z=-2-i,再利用复数的模长公式，即可求解.

1-i20251-i1-i

【详解】因为上一一=i，得到——=i，即z+l=——=—i—1,所以z=—2—i,

z+1z+1i

得到忖=JL

故选：D.

2.1z-jj的展开式中，V的系数为（）

A.-160B,-80C.80D.160

【答案】A

【解析】

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幕指数求解即得.

【详解】二项式，二)6展开式的通项为&]=或，)6-，•(二y=(_2yC"3/eN/<6,

XX

由12—3尸=3,得r=3,所以，—2)6的展开式中/的系数为(_2)3或=—160.

X

故选：A

3.若命题“*eR,勿―KO”为假命题，则。的取值范围为()

A.(0,8)B,[-8,0)C,[-4,0]D,(0,4)

【答案】A

【解析】

【分析】转化为“X/xeR,e's+2“_i>o”为真命题，再利用判别式即可得到答案.

【详解】由题意得命题“X/xeR,e『s+2“-1>0”为真命题，

则eFs+2">e°对VxeR恒成立，则/—口》+2a〉0对X/xeR恒成立，

贝Ua2—8a<0，解得ae(0,8).

故选：A.

4.已知向量M=(-1,2),b=(2,3),若@上(B-2菊,则4=()

446

A.--B.—C.—D.2

555

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到标=(2+2,3-22),再利用向量垂直的坐标表示，得到

(—1)x(2+A)+2(3—2A)=0,即可求解.

【详解】因为2=(-1,2),3=(2,3),得到3—22=(2+2,3—22),

4

又2,(1的)，所以(—l)x(2+2)+2(3—2X)=0,解得2=丁

故选：B.

5.某企业五个部门2024年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：

第一部门第二部门第三部门第四部门第五部门

营业收入占

48.4%15.8%18.2%10.8%6.8%

比

净利润占比62.8%-3.3%15.5%20.2%4.8%

若该企业本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（）

A.各部门营业收入占比的极差为41.6

B.各部门营业收入占比的第75百分位数为10.8%

C.第二部门本季度的营业利润为正

D.第三部门本季度的营业利润率大约为27.68%

【答案】D

【解析】

【分析】根据表格中的数据计算极差、百分位数、营业利润率，逐项判断即可.

【详解】对于A选项，各部门营业收入占比的极差为48.4%-6.8%=41.6%,A错；

对于B选项，各部门营业收入占比由小到大依次为6.8%、10.8%、15.8%、18.2%、48.4%,

且5x0.75=3.75,所以，各部门营业收入占比的第75百分位数为18.2%,B错；

对于C选项，第二部门本季度的营业利润率32.5%xC又4<o,

15.8%

故第二部门本季度的营业利润为负，C错；

对于D选项，第三部门本季度的营业利润率为32.5%义叵叠士27.68%,D对.

18.2%

故选：D.

6.已知圆0:/+/=4,点点。在圆。上运动，线段的中垂线与。。交于点河，则点河的

轨迹方程为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件得到归闾+|。闾=+|。闾=|。。|=2>|。周=1,从而点/的轨迹是以。，尸为焦

点，且长轴长为2,焦距为1的椭圆，即可求解.

【详解】如图，易知1PM=所以归闾+|。叫=匣0|+|。闾=|。0=2>|。屈=1,

由椭圆的定义知，点M的轨迹是以。，尸为焦点，且长轴长为2,焦距为1的椭圆，

2

X2_[

而焦点在了上，长轴长为2,焦距为1的椭圆的标准方程为=,

4

1/（_1丫

又点/的轨迹的中心为（0,万），所以M的轨迹方程为5+[歹—5）

53

7.已知四边形4BCD的外接圆半径为一，若cos/氏4。=—,四边形4BCD的周长记为A,则当上取最

25

大值时，四边形N8CD的面积为（）

A.10B.15C.1075D.20G

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当45=4。且BC=CD时，£取得最大值至8。；

2

根据AC此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积.

A

【详解】在△28。中，BD-=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=AB~+AD2一一ABAD,

5

/O

?1A?1AAB+AD21a

BD-=（AB+AD）——AB-AD>（AB+AD7-y=-（AB+ADJ（当且仅当

2

AB=AD时取等号），

AB+AD<亚BD;

3

/BAD+/BCD=7i,cosZBCD=-cosZBAD=

5

在△BCD中，BD-=BC2+CD2-IBC-CDcosZBCD=BC2+CD~+-BCCD,

—5

222

BD=（BC+CD）-^BC-CD>（BC+CD）-+=i-^C+CDJ（当且仅当

5C=CD时取等号），

:.BC+CD<—BD

2

3J5

:.L=AB+AD+BC+CD<-^BD;

2

•••当A取得最大值35Ao时，4B=4D且BC=CD,

2

AC为弦BD的垂直平分线，；.AC为四边形ABCD外接圆的直径,

7T

:.AC=5,ZADC=ZABC=-,

2

又此时—"产4子

2尺

AD=AB=5x^-=245,:.BC=CD=<25-2。=5

当取得最大值时，四边形的面积

LABCDS=S△/czn_D/Xy+S△“BC=2x-2xV5x2V5=10.

故选：A.

11丫

8.当x>—时，%n士一J，则正数4的取值范围为（）

eex

11「11）「1）

A.0,—B.~2^>~C.—,+。D.

keee，ej

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用同构思想，得到e"x+ilne"+iNxlnx，构造函数"(x)=xlnx,利用/z(x)=xlnx

的单调性得到X〉里上。在区间［L+s］上恒成立，再构造函数g(x)=生三土，求出g(x)=电3在

xleJxx

区间［+s)上的最大值，即可求解.

11丫…

【详解】因为X>—,由；士n—得到(4x+l)/N2xlnx,即

eex

令〃(x)=xlnx,则〃(x)=lnx+l,因为x>,，所以〃'(x)=lnx+1>0在区间［一,+8)上恒成立,

即〃(叼=》皿》在区间［：,+8］上单调递增，又/向>e>-,

所以」e〉x，可得2x+l〉lnx,即X〉里一在区间上恒成立，

令g(x)=生三土，则g，(x)=2z9£,由g，(x)>0,得到，<x<e2,由g'(x)<0,得到x>，，

xxe

所以g(x)=电工。在区间，,e2上单调递增，在区间(e?,+8)上单调递减,

X

InV_111

所以g(x)=------<g(e2)=—,得到2〉二，

xee

故选D.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，"line加+i»xlnx，构造函数

］nV—1(1、

h(x)=xinx,利用〃(x)=xlnx的单调性，将问题转化成X〉」一在区间匕,+8J上恒成立，再构造

函数g(x)=—求出g(x)=—在区间-,+s上的最大值，即可求解.

xx\eJ

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知戊，乃是两个不重合的平面，加，〃是两条不重合的直线，则()

A.若加ua,aII/3,则加//£

B.若加<=a,nuB,a/1/3,则加〃〃

C.若a_L，，mLa,〃，，，则加_L〃

D.若aJ■夕，aPl，=/,〃ua,nLl,mlI/3,则加

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A,利用面面平行的性质，即可判断；选项B,在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C,

根据条件，即可判断；选项D,利用面面垂直的性质，得到〃，，，即可判断.

【详解】对于选项A,因为a//，，mua,由面面平行的性质可知加//£,所以选项A正确，

对于选项B,如图，在正方体中，取平面48CD为平面a,平面451G2为万平面，直线48为直线加，

直线耳G为直线”，

显然满足加ua,nu0,a///3,但加，〃不平行，所以选项B错误，

C,

对于选项C,因为a，，，rnVa,n工p,显然有加_1_〃，所以选项C正确，

对于选项D,因为a_L",aC\/3=l,nua,nA.1,则"_L夕，

又加//月，则加工〃，所以选项D正确，

故选：ACD.

10.将函数/(x)=2sin]x+3的图象向左平移煮个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的导函数为g(x),

则()

A.g(x)的图象关于原点对称

B.函数＞=|/(X)|的最小正周期为兀

C./(x)+g'(x)在区间—二,大上单调递减

3兀

D./(x)+g'(x)在区间［-兀,2句内的所有零点之和为三

【答案】BC

【解析】

【分析】确定g(x)的解析式，借助三角函数性质逐个判断即可.

【详解】由已知条件可知：g(x)=2smlx+y+yl=2cosx,易知其为偶函数,

其图象关于y轴对称，故A错误；

由于/(%)=25①，+1］的最小正周期为2兀，

而N=|/(x)|的图象可由/(x)=2sin|x+m)的图象,把x轴下方图象翻折上去，

x轴上方图象不变，故函数y=|/(x)|的最小正周期为兀，B正确；

g'(x)=-2sinx,所以/(x)+g,(x)=2sinx+--2sinx=V3cosx-sinx=2cosx+—

7171_71cZ71

由工£~，可得：x+—0—-

626?3

由于余弦函数在0，W上单调递减，了=%+四在》6-单调递增，

_3J662_

由复合函数的单调性可知/(x)+g'(x)在区间-£,三上单调递减，C正确；

_62

由/(x)+g'(x)=2cos|x+汽］,^x+—=—+kn,keZ,

I6J62

兀

得到：x=—Fkit，左£Z,

3

2冗7i4TI

分别令k=—1,0,1可得对应零点为----，一,—，

333

y<TF>rr47T

所以/(x)+g'(x)在区间［―兀,2兀］内的所有零点之和为-3-+］+々-=71,D错误;

故选：BC

11.已知抛物线£:产=2/（2〉0）的焦点为尸，点"（1,2）在£上，过点少的直线/与£交于43两点,

与以P为圆心，1为半径的圆交于两点（点4c在第一象限内），则（）

A.y2=4xB.|ZC|+忸的最小值为1

C.tanZAOB（0为原点）的最大值为―：D.3Mq+忸⑶的最小值不可能为6

【答案】AC

【解析】

【分析】选项A,将点M（l,2）代入£：y2=2px（p〉0）,即可求解；选项B,分/斜率存在和不存在两种

情况，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求解；选项C,结合选项B中的结论，利用正切函数的

倍角公式得到tanNZ08关于左的表达式，从而得解；选项D,利用选项B中结果，可得

3|T4C|+\AB\=4xjH---F2,即可求解.

x\

【详解】对于选项A,因为点M（l,2）在E上，所以4=20，得到。=2,所以/=4x,故选项A正确,

对于选项B,易知直线/斜率不为0,设2（芭,必）,8（》2，%）,

当直线/的斜率存在时，设直线/方程为y=《（x-1）,

y=k(x—V\

由＜二)，消〉得到左Q左2+4)%+左2=0,

y=4x

由韦达定理得X]+%2---2——，工112-1，

K

乂MC+忸q=|/司+忸司―2=项+/+2—2=石+/=2+，＞2,

当直线/的斜率不存在时，|/。|+忸必=|/刊+忸尸]一2=22一2=2,

所以/C+HD22,故选项B错误,

对于选项C,当直线/的斜率不存在时，4（1,2）,

,,,八八c.clHanZAOF44

止匕时tanNAOB=tan2ZAOF=------------=----=——

1-tan2ZAOF1-43

当直线/的斜率存在时，设NAOF=a,NBOF=。，

则tana=九=幺tan£=工=父二。

再

k{xx-1)k(x2-1)

tana+tan/?X]x

又tanAAOB=tan(a+0)=2

1-tancrtan/?[I—1)

%1X2

ka-x2)

1

XrX2+k(%1%2-石-工2+1)

2左2+4

由选项B知,号+%2=-p—，刈》2二1，

k(&-x)k(X1-x)

〜,tanZAOB=22

所以-3-

1+入2—

易知，左>0时，%1-x2>0,左<0时，xl-x2<0,

又k2x2-(2k2+4)x+F=0的两根为x=、+2+2>/^i或,+2-2VF7I

k2k2

可得人（七一%2）=4,^^=4^7^>4，

所以tanA08=—一％)<_士,所以选项c正确，

33

对于选项D,3Mq+MY=3司+1^45|—3—3(X[+—)+%|+x2+p—3=4再+/+2,

由选项B知，当直线/的斜率存在时，x/2=l，

所以3|/。|+|/同=4七+-1-+222

X]

当且仅当4,芭=一1,即西=—1时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误,

故选：AC.

【点睛】关键点点晴，本题的关键在选项C,设/AOF=a/BOF=B，再分直线/斜率存在和不存在两

4

种情况，斜率不存在时，可求得tan/ZO5=—-,当斜率存在时，利用选项B中结果，将tan/ZOB表

3

示成tanZAOB=-丝^~，再利用人（占一乙）〉0,得到人（斗—/）=4，；^=4，7—〉4,即可

3

求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

5

12.已知数列｛%｝的前，项和为邑，且S.=〃2,则Z（—1）"%=.

n-\

【答案】-5

【解析】

【分析】根据条件，利用％与J间的关系，得到a“=2〃-1,即可求解.

【详解】因为S）,=*,

22

当〃22时,an=Sn-Si=n-(w-1)=2n-l,

当〃=1时，/=S]=1,满足%=2〃-1,

所以%=2〃-1,

得到—1,^2=3,。3=5,%=7,%=9,

5

所以Z（T）"%=T+3—5+7—9=—5,

n-\

故答案为：-5.

17

13.已知。均为锐角，coscr=cos（a+P）=—§,贝！Jcos2/?=.

7

【答案】—§

【解析】

【分析】首先求出sina=半，sin（a+/?）=殍，再利用两角差的余弦公式和二倍角公式即可.

【详解】因为a,尸均锐角，则/，a+pe（O,万），

cos0=cos［(a+=cos(a+夕)cosa+sin®+/?)sina,

则COS2/?=2COS2/?—l=2x［；］-1=-L

_7

故答案为t：—.

9

14.已知全集。={1,2,3,4,5},集合43是。的非空子集，且A3,定义(48)为。中的一对“子群”

关系，则满足这种“子群”关系的(48)共有个.

【答案】180

【解析】

【分析】利用组合求出符合条件的集合2的个数，再求出相应集合3的非空真子集个数，利用分步计算原

理，即可求解.

【详解】因为。={1,2,3,4,5},集合48是。的非空子集，AB,

若3中有2个元素，此时符合条件的集合8有C；=10个，又8中有2个元素时，集合8的非空真子集个数

有2?—2=2个，

若若2中有3个元素，此时符合条件的集合3有C：=10个，又B中有3个元素时，集合B的非空真子集个

数有23-2=6个,

若2中有4个元素，此时符合条件的集合3有C：=5个，又8中有4个元素时，集合B的非空真子集个数

有2,2=14个，

若3中有5个元素，此时符合条件的集合3有C；=l个，又3中有5个元素时，集合3的非空真子集个数

有25—2=30个，

所以满足条件的(48)共有2x10+6x10+14x5+30x1=180,

故答案为：180.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且S“——1.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若d=(2〃+l)||—aj,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)证明见解析

(2)7；=2+(2〃-1)2+1

【解析】

【分析】(1)由条件可得q—g=—2,%—|=23一「g],故可证明数列[为等比数列.

(2)表示数列｛〃｝的通项公式，利用错位相减法可得结果.

【小问1详解】

3

,**S—2a=-n—1,

"〃2

3

・••当”22时，—2a1=-,

333(3、

两式相减得，。〃—2a〃+2al二刀，整理得4=2%」—孑，即为一寸2不，

313

令〃=1.得，ci,—2al=—],6Z,——9ct—二—2,

22]2

•.•1%—|｝是以—2为首项，2公比的等比数列・

【小问2详解】

由(1)得，%—：=—2x2"i=_2",an=1-2",

.・g=(2〃+1)[-%]=(2〃+1>2".

T”=3X2+5X22+7X23+---+(2M+1)-2\

27；=3x2?+5x23+7x2,+…+(2"+1>2"刊，

两式相减得,

-T=3x2+2x22+2x23+---+2x2z,-(2H+l)-2n4

=2+2?+2,+…+2"+i—(2〃+1).2"+i

2(1-2叫

=12-(2〃+1)•2=-2+(1-2n).2"

.•.%=2+(2〃-1)右.

16.如图，在平面五边形P48CD中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABLBC,将△PAD

沿/。翻折，使点尸到达点4的位置，得到如图所示的四棱锥右-4BCD,且45=旧，E为耳。的中

点.

(2)若耳。=20,求平面/3E与平面3CE夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵述

10

【解析】

【分析】(1)推导出CDJ_平面尸4。，可得出/ELCO,利用等腰三角形三线合一可得出ZE，片。，

利用线面垂直的判定定理可证得AE1平面外第，再利用线面垂直的性质可证得AELPXC.

(2)推导出6/_LAD,以点A为坐标原点，AB、40、所在直线分别为X、＞、z轴建立空间直角

坐标系，利用空间向量法可求得平面ABE与平面BCE夹角的余弦值.

【小问1详解】

翻折前，在平面五边形P48CD中，P4=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABIBC,

则CD1AD,

翻折后，在四棱锥4—4BCD,且异5=P{A=2,

22

所以，P.A+AB=PXB-,则所以，

又因为CD，ZD,PXA^}AD=A,、2£>匚平面62。，所以，CD，平面尸4。，

因为ZEu平面耳40,所以，AEVCD,

因为AB"CD,AB=CD,则四边形N8CD为平行四边形，则4D=3C=2,

所以，PrA=AD,

因为E为4。的中点，则

因为《£>nCD=£>,RD、CDu平面片CD,所以，4£，平面片。£）,

因为片Cu平面6C£>,故ZE，4c.

【小问2详解】

222

因为=20,且</=2。=2,所以，PXA+AD=P{D,则片

因为CD,平面AB!/CD,则28,平面04。，

以点A为坐标原点，AB、AD、2耳所在直线分别为x、y.z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则40,0,0）、5（3,0,0）、。（3,2,0）、£（0,1,1）,

设平面48E的法向量为沅=AB=（3,0,0）,AE=（0,1,1），

m-AB=3x=0

则——,取％=1,可得应=（0』,—1）,

m-AE=％+2]=0

设平面5CE的法向量为元=（物力血），5C=（0,2,0）,5E=（-3,1,1）,

n-BC=2y=0,,

则《一一,一?，取％=1,可得万=0,0,3）,

n-BE=-3X2+%+马=0

,___m-n-33V5

所以，cos冽，〃=II="T―r=

\m\-\n\V2xV1010

因为，平面与平面夹角的余弦值为36

4B£5cETo-

17.已知函数/(x)=e'"%x2一加x—i).

(1)当加=1时，曲线歹=/(x)在点(左,/(£))(左=1,2,3)处的切线记为/广

①求4的方程；

②设4的交点构成V48C,试判断V48c的形状(锐角、钝角或直角三角形)并加以证明.

(2)讨论/(x)的极值.

【答案】(1)①>+e=0；②V48C为钝角三角形，证明见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)根据条件，得到/'(口=1(/+》—2),①利用导数的几何意义，即可求解；②利用导数的

几何意义，求出乙(4=1,2,3)的方程，再求出V4BC三个顶点的坐标，进而可得

5C-A4=|5C|-|A4|COS5<0,即可求解；

(2)对/(x)求导，得到/口)=6癖[加/_(加2_2)x—2刈=*(加％+2)(%—掰)，再分

掰=0,加〉0,加<0三种情况，利用极值的定义，即可求解.

【小问1详解】

当加=1时，f(x)=ex(x2-x-1)>则/'(x)=e*(x?+x-2),

①因为/[l)=e(12+l—2)=0,/(l)=e(l2-l-l)=-e,所以的方程为y+e=0.

②VZ8C为钝角三角形，证明如下：

由①知4的方程为V+e=0,

又/'(2)=e2Q2+2—2)=4e2,/(2)=e2(22-2-l)=e2,

所以,2的方程为V—e?=4e2(x—2),即^=4©2%—7e2,

又/<3)=e?⑶+3—2)=10e3,/(3)=e3(32-3-l)=5e3,

所以4的方程为y—5e3=10e3(x—3),即y=10e3x—25e3,

y=4e2x-7e27e-l/7e-l

由1，得到x=—所以山一^,一e

y=—e4e14e

v=10e3x-25e325e2-1"25e2-l)

由<，得到x‘e，所以3

J=­e10e2

3

v=10e3x-25e3,,25e-730e3由河「(25e-730e、

由<，得到X--------=------------，所以C

y=4e2x-7e210e-410e-4、10e-4'10e-4),

(7e-l25e2-lf-15e2-5e+2

得到A4=,0=,0,

(4e10e22

7\20e7

(25e-725e3-e30e3(30e2+10e-430e3)

BC=+e----------------------------Fe

[lOe-410e3'10e-42，

7J0e(10e-4)10e-4,

——-15e2-5e+230e2+10e-4

则BCBA=----------.------x----------------,

20e210e2(10e-4)

注意到—ISe?—5e+2<0,30e2+10e—4〉0,10e—4>0,

所以BCBA=忖。卜|氏4卜058<0,得到cos5<0,

又Be(0,n),所以Be兀，即V4BC为钝角三角形.

【小问2详解】

因为f(x)=emx(x2-mx-V),则f'(x)=e,,K[;wc2-(jn~-2)x-2m]=enix(mx+2\x-m),

当加=0时，f\x)=2x,由/'(x)=0,得到x=0,当x〉0时，/'(x)〉0,x<0时，f\x)<0,

此时x=0是/(x)的极小值点，极小值为/(0)=-l,无极大值，

2

当加W0时，由/'(x)=0,得到x=——或x=m,又e"11〉。，

m

若加>0,当%£(-8,-3)0(私+8)时，>0,加［时，f\x)<0,

mymJ

2?4

此时，X=——是/(X)的极大值点，极大值为/(——)=-2(+1),

mmm

X="是/(X)的极小值点，极小值为f(m)=—e/，

若加<0,当xe(-叫加)U(-2,+℃)时，f\x)<0,-工］时，f\x)>0,

mymJ

2?4

此时，x=一一是/(X)的极大值点，极大值为/(——)=e-2(—+1),

mmm

x="是/(x)的极小值点,极小值为f(m)=-e"2.

综上，当加=0时，极小值为〃0)=-1,无极大值,

24

当加wO时,极大值为/（一二）=片2（版+1）,极小值为/（加）=—e*.

18.某商场将年度消费总金额不低于10万的会员称为尊享会员，超过5万不足10万的会员称为星级会员.该

商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各100名进行调研统计，其中抽到男性尊享会员20名，女性尊

享会员40名.

（1）完成下面的2x2列联表，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，判断是否可以认为会员类型与性

别有关？

会员性别

会员类型合计

男性会员女性会员

尊享会员

星级会员

合计

（2）该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会

员从放有4个红球和3个白球（每个球除颜色不同外，其余完全相同）的抽奖箱中抽奖.抽奖规则：①每次

抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖;

②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖.抽奖方案如下：

方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；

方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.

会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分析，会员甲选择哪种方案较好？

附：/2=7----7T-~77——-----其中"=a+b+C+d.

(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列联表答案见解析，有

（2）方案一，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据题中信息完善2x2列联表，计算出力2的观测值，结合临界值表可得出结论;

(2)设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为X、Y,分别计算出£(X)、£(Y)、r»(x)、

力⑺,比较E(X)与E(y)、r»(x)与。(y)的大小关系，可得结论.

【小问1详解】

根据题中信息得到如下2x2列联表:

会员性别

会员类型合计

男性会员女性会员

尊享会员204060

星级会员8060140

合计100100200

rh主放1+11Vl相9200x(20x60-40x80『

由表格中的数据可得v2=------------------9524>x>

100x100x60x1400n0n1i

所以，依据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为会员类型与性别有关.

【小问2详解】

设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为X、Y,

对于方案一，则随机变量X的可能取值有0、1、2,

C4+C36+33

会员甲每次中奖的概率为则X~

367424

所以，E(X)=2x-=~,D(X)=2X-X-=—,

v777v77749

对于方案二，则随机变量丫的可能取值有0、1、2,

Gc；c；c；13.尸(y_2)_壁《■+宜.互Ui

尸(y=o)=太

35’(bc；c；c,i2

Ct7Ct5

ck116

p“=i)=皆35

所以，随机变量y的分布列如下表所示:

Y012

1216

P

35355

所以，E(Y}=0x-+lx—+2x-=-=E(X],

'/353557V7

2

D(y)=ox^+fx^+22xlJ6V---=—>-=^)-

V'35355bj354924549V'

所以，会员甲选择方案一较好.

19.已知双曲线C上的所有点构成集合P={(x,y)\b2x2-a2y2=a2b2(a、0,b〉0)},若坐标平面内一点

N(Xo，%