沪科版九年级数学重难点专项突破：相似三角形中的“A”字模型（4种题型）（解析版）

重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型）

【知识梳理】

(1)ZADE=ZB,(2)NADE=/C,

ADAE

AC~AB

5AE

••~—,

1215

▼25

/I/?——

【考点剖析】

题型一：直接利用“A”字模型解题

例1.如图，E是EIABCO的边弘延长线上一点，CE与A。相交于点F,4E=LAB=2,BC=3,那么AF=

【分析】利用A字模型相似三角形进行计算即可解答.

【解答】解：•..四边形A8CD是平行四边形，

：.AD//BC,

:.NEAF=NB,ZEFA=ZECB,

;.AEAFS4EBC,

.EAAF

••—,

EBBC

.1竺

••一=,

33

：.AF=1,

故答案为：L

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握八字模型相似三角形是解

题的关键.

例2.（2022秋•静安区期末）在△/比■中，AB=G,AC=5,点久£分别在边/8、ACh,当"=4,/ADE=

【分析】首先判定△/应s△力力,然后利用该相似三角形的对应边成比例解答.

【解答】解：'：ZADE=ZC,

：./\ADE^>/\ACB.

.AD=DE

"ACCB'

*C=5,49=4,

•DEA

"BC=5.

故答案为：—.

5

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多

边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，

对应边的比相等.

题型二：添加辅助线构造“A”字模型解题

例3.如图，在△ABC中，NC=90°,BC=2,AB=2逐，点。在边AC上，CD：AO=1：3,联结BO,点、E

在线段B。上，如果N8CE=NA,那么CE=.

【分析】根据已知/BCE=/A,想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作EFL3C,垂足为F,

可得△A8CsZ\CEF,进而可得CF=2EF,然后设EF为a,则CF为2a,BF为2-2a,最后再证明A字模

型相似△BFEsaBCD,从而解答即可.

【解答】解：过点E作EFLBC,垂足为F,

D

E\\

AB

VZACB=90°,BC=2,AB=2小,

.\AC=yjAC2—BC2=J(2A/5)2—22=4,

VCD：AD=1：3,

：.CD=1,

'：ZBCE=ZA,NACB=NCFE=90°,

AABCs工CEF,

ACCF4

/.—=—=-=2,

BCEF2

・••设EF为o,则CF为2o,BF为2-2cl,

VZACB=ZBFE=90°,/CBD=NFBE,

:.ABFEs^BCD,

.BFEF

•・BC~CD'

.2-2aa

••—―,

21

.1

・・o=2，

.1

:・EF=i，CF=1,

：.CE=y/EF2+CF2=J(1)2+F=亨，

V5

故答案为：y.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键.

例4.如图，己知AASC中，AD,应'相交于G,BD:DC=3:1,AG:GD=1:2.求3G:GE的值.

B

D

【答案】11.

【解析】点G作GM//BC交AC于点V.

GM

ADCDEB~CB

AGGM_1

AG:GD=1:2,

1AD~~CD~3

DC_1.GM_1

BD:DC=3:1,

BC-4，**~BC~\2

GF\

：.—=—，3G:GE的值为11.

EB12

【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型.

例5.如图，在AABC中，点Z?在线段6c上，ZR4Z>=75°,Z.CAD=3Q°,AD=2,

BD=2DC,求〃'的长.

【答案】3.

【解析】过点。作ZMf//AB交AC于点

DM//AB,ZBAD=ZADM=15；

又，ZADM+ZAMD+ADAM=180,NOW=30

ZAMD=y5,ZAMD^ZADM,

：.AD^AM=2.

AM_BD

DM//AB,/.

~AC~~BC,

BDAM_2

又BD=2DC,

~BC~~AC~^3

/.AC=3.

【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识.

题型三："AX〃字型解题

例6.如图，AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的长.

g

【答案】EC=-.

2

【解析】DEHBC,

DE_DFAE_2

BC-CF-AC-5

329

即求得：EC=-.

3+EC52

【总结】相似三角形中〃A〃字型和"X〃字型的综合应用，可得到相等比例关系式.

例7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点0,点石在AB上，且EO//5C,已知

AD=3,BC=6.求石O的长.

【答案】2.

AnADq1

【解析】由AO//5C,可得：-=—=-=

COBC62

故写由EO//3C,装

—=-,求得EO=2.

AC3

【总结】相似三角形中"A"字型和"X"字型的综合应用，可得到相等比例关系式.

题型四：双A字模型

例8.如图，ABLBD,CDLBD,垂足分别为2、D,AC和8D相交于点E,EFLBD,垂足为F.求证:

111

------1--------------.

ABCDEF

【解析】CD_L8。，EFLBD,

AB//CD/1EF

.EFDFEFBF

…益一砺'~CD~~DB

EFEFRn111

ABDCABCDEF

【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用.

V【过关检测】

选择题（共7小题）

1.（2020秋•大观区校级期中）如图，已知。、E分别是△ABC的AB,AC边上的点，DE//BC,且&ADE：

S四边形O3CE=1：8,那么AE：AC等于（）

/A

R乙-----------------------

A.1：9B.1：3C.1：8D.1：2

【分析】由题可知：AADEsAABC,相似比为AE：AC,由S/xAOE：S四边形。BCE=1：8,得S^ADE：SA

ABC=1:9,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方.

【解答】1?：,.'DE//BC,

：.AADEsAABC,

SMDE：S^ABC—AE2：AC2,

e**S/\ADE'S四边形Z)8CE=1:8,

♦•SAADE：SAABC~1：9,

：.AE-.AC=1：3.

故选：B.

【点评】此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.（2021秋•岳西县期末）如图，在△ABC中，C£）平分交于点。，过。作BC的平行线交AC

于若BC=3,AC=2,则。M=（)

C-II

【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质可得△DMC是等腰三角形，从而可得MD=MC,然后

再证明A字模型相似三角形△ADMs/viBc,从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：：CD平分NAC3,

ZACD=ZDCB,

,:DM〃CB,

：.ZMDC=ZDCB,

：./MDC=ZACD,

'：DM//BC,

：.ZADM=ZB,ZAMD^ZACB,

：.AADMsAABC,

.DM=AM

"BC而'

•.•-D-M.2---D--M-,

32

5

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角

形是解题的关键.

3.(2021秋•萧县期末)如图，RtAABCZC=90°，点。在AC上，ZDBC=ZA.若AC=4,sinA=

3,则BD的长度为（）

5

12

TD.4

【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得A2,再由勾股定理求得BC,最后在中由锐角三角函

数求得BD.

【解答】解：：/。=90°,AC=4,sinA=3,

5

cosA=V1-(sinA)2=4,

D

.\AB=5,

,'-BC=VAB2-AC2=3,

:/DBC=NA.

cosZDBC—cosZA=-^-=—

BD5

义$=耳

44

故选：B.

【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形.

4.（2021秋•亳州期末）如图，在△A8C中，点。、E分别是A3、AC上的点，连接。E,下列条件不能使

得△ABC与△AOE相似的是（）

/ADE=/ACBDE//BCCAE_AB口AD_AE

A.B.,DE-BC-AC-AB

【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可.

【解答】解：A、VZADE=ZACB,ZA=ZA,

AADEsAACB,

故A不符合题意；

B、'：DE//BC,

NADE=ZABC,ZAED=ZACB,

：.△AOE's△age,

故B不符合题意；

c、AE=AB,/AEDWNABC,

DEBC

AABC与△ADE不相似，

故C符合题意；

D、•.•他=幽，/A=NA,

ACAB

AADE^AACB,

故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

5.（2021秋•全椒县期末）如图，树在路灯。的照射下形成影子AC,已知路灯高尸。=5%树影AC=

3m,树A2与路灯。的水平距离AP=4.5〃z,点C、A、尸在同一水平线上，则树的高度AB长是（）

91A

A.3mB.2mC.—mD.——m

33

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：：48〃。尸，

：./\CAB^/\CPO.

.AB=AC

*'POPC"

.AB_3

*'T3+4.5-

：.AB=2.

故选：B.

【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用.测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三

角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.

6.（2019秋•桐城市期末）如图，已知AB、CD、防都与3。垂直，垂足分别是8、D、F,且AB=2,CD

452

【分析】易证ABEFS^BCD,根据相似三角形的性质可得里=更，巫=也，从而

ABDBCDBD

可得空+里=1L+电=1.然后把AB=2,8=3代入即可求出所的值.

ABCDDBBD

【解答】解：TAB、CD、跖都与2。垂直，

J.AB//CD//EF,

：.ADEFsADAB,LBEFs/\BCD,

.EF=DFEF=BF

,•而DB，CD而’

•EF+EF=DF+BF=1

"ABCDDBBD'

；A8=2,CD=3,

.•屈+里=1,

23

/.££=A.

5

故选：c.

【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现更+更=1是解决本题的关键.

DBBD

7.（2022•萧县校级开学）如图，若△ABC内一点P,满足/PCA=a,

①NA4c=90°,则必有NAPC=90°；

②若AB=AC.则必有PB1=PA'PC,

对于这两个结论，下列说法正确的是（）

A

BC

A.①对，②错B.①错，②对C.①，②均对D.①，②均错

【分析】①首先由/8AC=90°得到/B4C+/B4B=90°,然后利用NPCA=a即可证明；

②首先利用AB=AC得到NABC=/ACB,BPZPBA+ZPBC^ZPCB+ZPCA,再利用NPBC=

ZPCA=a可以得到NPB4=/PCB,最后证明△ABPS^BCP即可求证明.

【解答】解：①当/8AC=90°时，ZPAC+ZPAB=90°,

'：ZPAB=ZPCA^a,

：.ZPAC+ZPCA=90°,

AZAPC=90°,

.,.①正确；

②当AB=AC时，贝IZABC=ZACB,

即ZPBA+ZPBC=ZPCB+ZPCA,

'：ZPAB=/PBC=ZPCA^a,

：.ZPBA=ZPCB,

'：/APB=180°-ZPBA-APAB,

/8PC=N180°-ZPCB-ZPBC,

：.ZAPB=ZBPC,

：.AABP^/\BCP,

；.P$=PA,PC.

故选C

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用等腰三角形的性质，能力要求比较高.

填空题（共3小题）

8.(2022秋•蒙城县月考)如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板。M测量树的高度AB,她调整自己的

位置，设法使斜边。尸保持水平，并且边。E与点8在同一直线上，已知纸板的两条边QE=8cm，DF=

\Qcm,测得边。尸离地面的高度AC=15〃，CD=Sm,则树高AB=7.5m.

【分析】根据题意证根据线段比例关系求出8C即可求出48的长.

【解答】解：,；NEDF=NCDB,/BCD=NFED=90°,

•.•-D-E-=-E--F,

CDBC

*.*DE—Scm,DF=10cm,

7DF2-DE2=V102-82=6(cm),

VDE—8cm=0.08m,EF=6cm=0.06m,

・0.080.06

••-----=-----,

8BC

AB=AC+BC=1.5+6=1.5Gn),

故答案为：75

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系

求值是解题的关键.

9.(2023•亳州模拟)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点尸是边AB上的一点，MN

是线段CP的垂直平分线且分别交AC、BC于点加、N.

(1)若MN//AB,则MN=2.5；

(2)若MN经过Rt^ABC的某一顶点，则MN=老区或.如国.

—2—3―

M

CB

【分析】（1）设MN与CP相交于点E,先利用勾股定理求出AB,然后再利用A字模型相似三角形证明

△CMNs^CAB,即可得生=幽=上，然后进行计算即可解答；

CPAB2

（2）分两种情况：当MN经过点A时，当经过点8时，画出图形然后进行计算即可解答.

【解答】解：（1）如图：设与CP相交于点E,

VZACB=90°,AC=3,8c=4,

:-AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

「MN是线段CP的垂直平分线，

ACPIMN,CE=PE=LCP,

2

,JMN//AB,

：.CPLAB,/A=/CMN,ZB=ZCNM,

:.ACMNs工CAB,

•CE=MN=2

"CPABT

：.MN=^-AB=2.5,

2

故答案为：2.5；

（2）分两种情况：

当MN经过点A时，连接PN,

AM

是线段CP的垂直平分线,

.\AC=AP=3fNC=NP,

■:AN=AN,

:•△ACN"4APN(SSS),

:・/ACB=/APN=90°,

：.ZNPB=1SO°-ZAPN=90°,

：・/ACB=/NPB=90°,

*：AB=5,AP=3,

：.BP=AB-AP=5-3=2,

VZB=ZB,

:•△BPNS^BCA,

.BP=NP

"BCAC'

.2=NP

1,1T

:.NP=3,

2

**-MN=AN=A/AP2+PN2=32+

当MN经过点8时，连接PM,

’2

：MN是线段CP的垂直平分线,

:.BC=BP=4,MC=MP,

•：BM=BM,

：.△MCN也丛MPNCSSS'),

:./ACB=/MPN=9U°,

AZAPM=180°-ZMPN=90°,

：.ZACB=ZAPM=9Q°,

VAB=5,BP=4,

：.AP=AB-BP=5-4=1,

NA=NA,

・•・AAPM^AACB,

.AP=PM

ACBC，

.1.PM

••——，

34

：.PM=^,

3

.•.W=BM=7pM2+Bp2=^(A)2+42=4>H0.)

综上所述：MN的长为宜度或生叵，

23

故答案为：司区或生叵.

23

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平

分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10.(2021春•安庆期中)有一张矩形纸片ABC。，AD=9,AB=12,将纸片折叠使A、C两点重合，那么折

痕长是生.

—4―

【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E,折线与交于尸.然后求证△AE/SAABC

求出EF的长.

【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15,设AC的中点为E,折线FG与AB交于F,(折线垂直平

分对角线AC),AE=7.5.

VZAEF=ZB=90°,NEA尸是公共角，

AAEF^AABC,

•EF=BC=J_

"AEAB12"

•EF—22.5

•,4

折线长=2EF=里.

4

故答案为至.

4

【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点.

三.解答题（共5小题）

11.（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC,AD=2,BD=

3,DE=4,求BC的长.

【分析】由。得△AOES2XABC,列出比例式代入数值，即可求出。E的长.

【解答】解：如图，

；.NADE=NB,ZAED=ZC,

：.AADE^AABC,

.ADDE

••----=-----，

ABBC

.24

,•2+3=BC'

：.BC=10,

...BC的长为10.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形对应边成比例是解题的关键.

12.（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△A8C中，DE//BC,EF//AB,AE=2CE,AB=12,BC=15.求

AD长及四边形BDEF的周长.

A

【分析】证△ADEs△ABC,根据线段比例关系求A。，DE,然后根据四边形瓦)EF是平行四边形求周

长即可.

【解答】解：：AE=2CE,

：.AC=AE+CE=2CE+CE=3CE,

.AE=2CE_2

AC"3CE百，

•：DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

：.AADE^AABC,

•AD=DE=AE=2

,•而BCAC3'>

：.AD=^AB,DE=%C,

33

VAB=12,2C=15,

：.AD=S,DE^10,

：.BD^AB-AD=U-8=4,

'：EF//AB,

...四边形BDEF是平行四边形，

.•.四边形2。所的周长是：2(DE+BD)=2X(10+4)=28,

即AO的长为8,四边形的周长是28.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

13.(2019秋•淮北期中)如图，正方形ABC。，NEAF=45；交BC、CD于E、F,交.BD于H、G.

(1)求证：AD1=BG-DH-,

(2)求证：CE=皿DG；

(3)求证：EF=42HG.

备用图

【分析】（1）证明N8AG=NAH£）,ZABD^ZADB^45°,得到△ABGs/XHZM,可得胆=幽，即可

DHAD

得出结论；

（2）连接AC,根据正方形ABC。的性质得到NEAP=45°,得到/ACE=NA£W=NCAD=45°,AC

=MAD,继而可得NE4C=NM1。，得到然后由相似三角形的对应边成比例，证得结

论；

（3）根据两边的比相等，且夹角相等证明△GAHSAEAR得至=加,证明结论.

GH

【解答】证明：（1）:四边形ABC。为正方形

AZABD^ZADB^45°,AB=AD,

VZEAF=45°,

.♦./a4G=45°+ZBAH,ZAHD=45°+ZBAH,

：.ZBAG=ZAHD,

VZABD^ZADB^45°,

：.△ABGsAHDA,

.AB=BG

"DHAD'

BG'DH=AB'AD=AEr-,

（2）如图，连接AC,

:四边形ABC。是正方形，

?.ZACE=ZADB=ZCAD=45°,

：.AC=yf2AD,

VZ£AF=45°,

：.ZEAF=ZCAD,

：.ZEAF-ZCAF^ZCAD-ZCAF,即ZEAC=/GAD,

：./\EAC^/\GAD,

..里=至=&,

DGAD

:.CE=®DG；

(3)由(2)得：△EACs^GAD

:理=也=如,

AGAD

同理得：SAHB

△APC/\,

...空=丝,，

AHAB

.AE=AF

,,而AH，

'：ZGAH=ZEAF,

：./\GAH^/\EAF,

...巫=处=&，

GHAG

:.EF=®GH.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关

键.

14.(2022•安庆一模)如图，在△ABC中，点。、E、厂分别在边8C、AB,CA±,S.DE//CA,DF//AB.

(1)若点。是边BC的中点，且BE=CF,求证：DE=DF-,

(2)若AD_L3C于。，且8£>=C£),求证：四边形AEI乃是菱形；

(3)若AE=AF=1,求工+工的值.

ABAC

Jx

BDC

【分析】(1)根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得。E是△ABC的中位线，进而可得。E=FC,

同理可得。尸=BE,即可解答；

(2)根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得/BAD=/C4。,

然后利用平行线的性质可得NED4=/C4。，从而可得N54O=NED4,进而可得E4=ED,即可解答;

(3)根据4字模型相似三角形可知ACDFsACBA,从而可得理=里，更=型,

ACBCABBC

然后把两个式子相加进行计算，即可解答.

【解答】(1)证明：：点。是边BC的中点，DE//CA,

...点E是A8的中点，

.•.ZJE是△ABC的中位线，

.*.£)£=AAC,

2

•.,点。是边3C的中点，DF//AB,

点尸是AC的中点，

.-.FC=AAC,

2

:.DE=FC,

同理可得：DF=BE,

"：BE=FC,

:.DE=DF；

(2)证明：'JDE//CA,DF//AB,

...四边形AEDF是平行四边形，

'：AD±BC,BD=CD,

.♦•AD是8c的垂直平分线，

J.AB^AC,

:./BAD=NCAD,

"JDE//AC,

：.ZEDA=ZCAD,

：.ZBAD=ZEDA,

：.EA=ED,

.•.四边形A瓦不是菱形;

(3)'：DE//CA,

：.ZEDB=ZC,

"：ZB=ZB,

：.ABEDs4BAC,

•DE=BD

,■ACBC，

'：DF//AB,

:./B=/FDC,

：NC=NC,

.,.△CDF^ACBA,

•DF=CD

,,而BC，

•DE二DFBD_CDBD©1

"ACABBCBCBC'

,/四边形AEDF是平行四边形，

J.DE^AF,DF=AE,

\9AE=AF=1,

:・DE=