数系的扩充和复数的概念 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念一、学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程；2.理解复数的概念、表示法及相关概念；3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【情境探究】1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类:(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是__,有理数解是_____,实数解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是,实数解是.必备知识生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解?提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.(2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义i·i=i2=-1,将实数集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为__.i3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零?提示:当且仅当a=b=0时表示零.(2)实数集R与复数集C有什么关系?提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即RC.用图形语言描述:点拨精讲对于一元二次方程没有实数根．引入一个新数：满足引入一个新数，叫做虚数单位，并规定（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

(1)复数定义：我们把形如a+bi(a、b

∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi

|

a、b∈R}叫做复数集表示法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).以后不作特殊说明时复数z=a+bi都有a、b∈R,其中的a与b

分别叫做复数的实部与虚部.复数的代数形式实部通常用字母

z

表示，即虚部其中称为虚数单位。复数的分类：复数集虚数集实数集纯虚数集1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(b＝0)，

(b≠0)纯虚数

，非纯虚数____________

实数虚数a＝0，b≠0a≠0,b≠0

1.下列哪些是纯虚数？它们的实部和虚部分别是多少？看看你掌握了吗？例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当，且，即时，复

数z是纯虚数．练习：当实数m为何值时，复数z＝

＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？相等复数如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果，那么00==Û=+babia两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小例题讲解解：根据复数相等的定义，得方程组所以例2已知，其中，求.yx与探究点二复数相等及其应用【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,则实数a,b的值分别为

(

)

A.a=1,b=1 B.a=1,b=2C.a=2,b=1 D.a=2,b=22.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决.【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2,b=1.2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以且所以所以,方程的实数根为

【类题通法】复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求参数的解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个虚数不能比较大小.【定向训练】已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的值为_____.

【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解之得m=1.或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解之得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:1或2

【补偿训练】求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.【解析】由复数相等的充要条件可知解得

过关练习判断正误：1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(

)2．复数z＝bi是纯虚数．(

)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(

)××√

1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(

)①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.A．1 B．2C．3 D．0AC3．i是虚数单位，i＋i2＋i3等于(

)A．－1 B．1C．－i D．i4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(

)A．－3 B．3C．－1 D．1AC数系的扩充和复数的概念核心知识方法总结核心素养易错提醒1.数系的扩充.2.复数有关的概念(1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．(2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复