2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）1．（3分）已知集合A＝{x|log2x≥0}，B＝{x|2x﹣4＞0}，则A∩＝．2．（3分）若1，a，2x，b，25成等比数列，则实数x的值是．3．（3分）已知函数是奇函数，则实数a+b+c+d＝．4．（3分）将函数y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是．5．（3分）已知等差数列{an}的前和为Sn，若a1＝2，S5＝S12，且Sm＝0，则m＝．6．（3分）关于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集为（﹣1，2），则函数的定义域是．7．（3分）函数y＝f（x）图像C如图所示，若C上存在n（n∈N*，n≥2）个点（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n）满足，则n的取值集合是．8．（3分）已知△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+2b＝3，a2≤bc，且cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0．则△ABC的面积是．9．（3分）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f（x）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是．10．（3分）已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为．11．（3分）设ave{a，b，c}表示实数a，b，c的平均数，max{a，b，c}表示实数a，b，c的最大值．设A＝ave{﹣x+2，x，x+1}，M＝max{﹣x+2，x，x+1}，若M＝3|A﹣1|，则x的取值范围是．12．（3分）数列{an}中，an表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为．二、选择题（本大题4题，满分12分）13．（3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．m1 B．m2 C．m3 D．m414．（3分）若正实数a，b，c满足，则（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣115．（3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长16．（3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于，有下列说法：①f（a，b，c）有最小值；②f（a，b，c）有最大值是3．（）A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都对 D．①②都错三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3．P0为圆周上一点，且∠AOP0＝．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y＝f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|＝2时，求t的值．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB＝3，AD＝4．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．19．（14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．20．（16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|＝3m，|F1F2|＝4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m，使得P到F2和P到直线x＝m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；②若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．（18分）已知函数f（x）＝|2x+4|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f（x）的最小值为M，若正实数a，b，c满足a+2b+3c＝M，求的最小值；（3）若数列{an}满足a1＝a（a≤﹣2或a≥0，a为常数），3an+1＝f（an）（n∈N*），求数列{an}的前项和Sn．

2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）1．【解答】解：∵集合A＝{x|log2x≥0}＝{x|x≥1}，B＝{x|2x﹣4＞0}＝{x|x＞2}，∴＝{x|x≤2}，∴A∩＝{x|1≤x≤2}．故答案为：{x|1≤x≤2}．2．【解答】解：∵1，a，2x，b，25成等比数列，∴（2x）2＝1×25＝25，又2x＞0，则2x＝5，∴x＝log25．故答案为：log25．3．【解答】解：函数是奇函数，可得定义域关于原点对称，则d＝2022，由﹣2022≤x≤0，f（x）＝x2﹣ax，设0≤x≤2022，则﹣2022≤﹣x≤0，f（﹣x）＝x2+ax，由f（x）为奇函数，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣ax，即有当0≤x≤2022时，f（x）＝﹣x2﹣ax，又当0≤x≤2022时，f（x）＝bx2+cx，所以b＝﹣1，c＝﹣a，则a+b+c+d＝a﹣1﹣a+2022＝2021，故答案为：2021．4．【解答】解：将函数y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度，得到y＝sin（2x+）的图像，再把所得图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式为y＝sin（4x+），故答案为：y＝sin（4x+）．5．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12，得5a1+10d＝12a1+66d，即a1+8d＝0，又a1＝2，所以d＝﹣，所以Sm＝2m+×（﹣）＝﹣m2+m，令Sm＝0，得m2﹣17m＝0，解得m＝17，或m＝0（舍去）．故答案为：17．6．【解答】解：关于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集为（﹣1，2），所以m＜0，并且﹣1，2是mx2﹣nx+p＝0的两个根，由韦达定理知＝﹣2＜0，∴p＞0，＝1，∴＝﹣，∴＝log2（•）＝log2（×（﹣）），由﹣•＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．7．【解答】解：y＝的几何意义为动点到原点的斜率，满足的几何意义为到原点斜率相同点的个数，由图象知在①③⑤位置有两个点的斜率相同，此时n＝2，在②④位置有三个点的斜率相同，此时n＝3，在③位置有四个点的斜率相同，此时n＝4，即n的取值集合是{2，3，4}，故答案为：{2，3，4}8．【解答】解：因为cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0，由正弦定理可得cosA（sinBcosA+sinAcosB）﹣sinCsinA＝0，可得：cosAsin（A+B）﹣sinCsinA＝0，即cosAsinC﹣sinCsinA＝0，因为sinC≠0，所以cosA﹣sinA＝0，即tanA＝，因为A∈（0，π），所以A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，又a2≤bc，所以a2＝bc，b＝c，可得a＝b＝c，又a+2b＝3，可得a＝b＝c＝1，可得△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．故答案为：．9．【解答】解：因为a＞0，函数f（x）＝sinωx+acosωx＝sin（ωx+φ），因为函数的最大值为2，则＝2，解得a＝，所以f（x）＝2sin（ωx+），因为x∈[0，3]，则ωx+∈[，3ω+]，函数f（x）至少取得两次最大值，则3ω+≥π，解得：ω≥，故答案为：[，+∞）．10．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得e＝e＝x3+﹣3＝x4+﹣3，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1＝﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4＝﹣＝，可得x3x4＝4，x1x2+x3x4＝4﹣2x2﹣x22＝﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故答案为：[4，5）．11．【解答】解：由题意易得A＝，故3|A﹣1|＝|x|＝，∵M＝3|A﹣1|，∴当x＜0时，﹣x＝，得x＝﹣4；当0≤x＜1时，x＝，得x＝，舍去；当1≤x＜2时，x＝，得x＝2，舍去；当x≥2时，x＝x，恒成立，综上所述，x＝﹣4或x≥2．故答案为：{x|x＝﹣4或x≥2}．12．【解答】解：根据题意，an表示与最接近的整数，n＝1，2时，an＝1；n＝3，4，5，6时，an＝2；n＝7，8，…，12时，an＝3；n＝13，14，…，20时，an＝4；…………故使得an＝m的正整数有2m个，且最小的是m2﹣m+1，最大的是m2+m，故有＝，若，验证可得：n的最小取值为2+4+6+⋅⋅⋅+20+1＝111，故答案为：111．二、选择题（本大题4题，满分12分）13．【解答】解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，故选：B．14．【解答】解：∵，即3a＝4，∴a＞1，∵，∴0.4＜b＜1，∵，∴，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴ca＜ba，logca＞logba，logab＜0＜logbc，∴A，B，C项错误；∵a﹣1＞0，c﹣1＜0，∴0＜ca﹣1＜1＜bc﹣1，D项正确．故选：D．15．【解答】解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d'＝﹣10，故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1+6d'＝135﹣60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1+6d＝15+60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1+10d＝15+100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1+3d＝15+30＝45，b4＝b1+3d'＝135﹣30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选：C．16．【解答】解：①令x＝b+c，y＝a+c，z＝a+b，x＞0，y＞0，z＞0，则a＝，b＝，c＝，故＝+＝≥++，当且仅当，即x＝y＝z，即a＝b＝c时，等号成立，故①正确，②由三角形两边之和大于第三边可知，0＜a＜b+c，故，同理可得，，故＜3，故②错误．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．【解答】解：（1）由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为ωt＝t＝πt，则此时点P的横坐标为x＝2cos（πt+），所以点P到直线l的距离为f（t）＝3﹣2cos（πt+），t≥0．（2）当|P0P|＝2时，∠POP0＝，可得P旋转了πt＝+2kπ，k∈N，或πt＝+2kπ，k∈N，解得t＝+2k，k∈N，或t＝+2k，k∈N．18．【解答】（1）证明：由题意知AB、AD、AP两两垂直，建系如图，平面PAD的法向量是＝（1，0，0），设P（0，0，2h），M（，0，0），N（，2，h），＝（0，2，h），因为•＝0，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD．（2）解：由（1）知＝（0，2，h），平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），又因为直线MN与平面ABCD所成的角为45°，所以＝＝sin45°＝，解得h＝2，＝（0，2，2），，＝（0，0，4），设平面PAC的一个法向量为，，令x＝4，y＝﹣3，z＝0，故，因为＝（0，2，2），所以＝＝，故直线MN与平面PAC所成的角的大小为arcsin．19．【解答】解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n﹣1）+…+2+1]＝n（n+1）．则平均每天费用y1＝n＝．当且仅当n＝10时取等号．∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2＝＝（m∈[20，+∞））．令f（m）＝．则＞0，故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，故当m＝20时，（y2）min＝1451＜1521．∴食堂可接受此优惠条件．20．【解答】解：（1）设所求椭圆方程为，则，由椭圆的性质：|BF1|+|BF2|＝2a，所以，，所以椭圆的方程为．（2）由椭圆的方程为，则F1（﹣2，0），F2（2，0）．①存在直线x＝8，使得P到F2和P到直线x＝m的距离之比为定值．设椭圆上的点P（x0，y0），则，P到直线x＝m的距离d＝|m﹣x0|，所以，所以，当m＝8时，（定值）．即存在m＝8，使得P到F2和P到直线x＝8的距离之比为定值．②设椭圆上的点P（x0，y0），则，又椭圆在点P（x0，y0）处的切线方程为，证明如下：对于椭圆，当y＞0，，则，所以椭圆在P（x0，y0）处的切线方程为，又由，可以整理切线方程为：，即切线方程为4y0（y﹣y0）＝﹣3x0（x﹣x0），即，