沪科版九年级数学 第23章 解直角三角形 全章复习与测试（解析版）

第23章解直角三角形全章复习与测试

O【知识梳理】

一.锐角三角函数的定义

在中，NC=90°.

（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA.

即sinA=ZA的对边除以斜边=包.

c

（2）余弦：锐角A的邻边6与斜边c的比叫做NA的余弦，记作cosA.

即cosA=ZA的邻边除以斜边=上.

c

（3）正切：锐角A的对边a与邻边6的比叫做NA的正切，记作tanA.

即tanA=ZA的对边除以NA的邻边=里.

b

（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

二.锐角三角函数的增减性

（1）锐角三角函数值都是正值.

（2）当角度在0°〜90°间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

（3）当角度在0°WNAW90°间变化时，OWsinAWl,l》cosA20.

当角度在0°<NA<90°间变化时，tanA>0.

三.同角三角函数的关系

（1）平方关系：sin2A+cos2A=l；

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=里迪

cosA

或sinA=tanA,cosA.

四.互余两角三角函数的关系

在直角三角形中，ZA+ZB=9Q°时，正余弦之间的关系为：

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-ZA）；

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+/B=90°,那么sinA=cosB或sin8=cosA.

五.特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值.

=工.=返；tan30°=返；

sin30°cos30°=

23

=叵

sin45°cos45°tan45°=1；

22

=我.

sin60°cos60°=工tan60°

22

（2）应用中要熟记特殊角的二角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切

逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三

角形中应用较多.

六.解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由己知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：ZA+ZB=90°；

②三边之间的关系：a2+b2=c2；

③边角之间的关系：

ahiNA的对边=

cosA=NA的邻边=btanA=a

斜边~7NA的邻边b

（a,b,c分别是NA、ZB,NC的对边）

七.解直角三角形的应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的

长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到

实际问题的答案.

A.解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度力和水平宽度/的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用i表示，常写成i=l：优的形式.

（2）把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度i与坡角a之间的关系为：i=/z〃=tana.

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的

正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等.

九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角

形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实

际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

十.解直角三角形的应用-方向角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.

一【考点剖析】

一.锐角三角函数的定义（共2小题）

1.（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,A8=13,8c=12,下列三角函数正确的是

B

A.B.cosA="^C.D.cosB=-^

1313125

【分析】根据勾股定理求出AC,再根据锐角三角函数得出答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=13,BC=12,由勾股定理得,

AC=7AB2-BC2=V132-122=5'

所以sin8=&=q-,cosA=—=—,tanM=旦侬"购=乌

AB13AB13BC12AB13

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提.

2.（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,贝!JtanB的值为（）

3

A4B.7c4D4

【分析】根据勾股定理,可得BC的长，根据正切函数是对边比邻边，可得答案.

【解答】解：由勾股定理，得

BC=VAB2-AC2=4-

2就争

故选：B.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻

边比斜边，正切为对边比邻边.

二.锐角三角函数的增减性（共1小题）

3.（2022秋•金安区校级期末）如图，已知在RtA4BC中，ZABC=90°,点D沿BC自B向C运动（点

D与点、B、C不重合），作于E,CF±ADF,则BE+CP的值（）

A.不变B.增大

C.减小D.先变大再变小

【分析】设NOC尸=NOBE=a,易知8E+CP=3C・cosa,根据0<a<90°,由此即可作出判断.

【解答】解：,・,8E_LA。于E1,CF±ADF,

J.CF//BE,

：.ZDCF=/DBE,^ZDCF=NDBE=a,

.*.CF=DC*cosa,BE=DB*cosa,

/.BE+CF=(DB+DC)cosa=BC*cosa,

VZABC=90°,

.,.O<a<90°,

当点。从B向C运动时，a是逐渐增大的，

/.cosa的值是逐渐减小的，

：.BE+CF=BC-cosa的值是逐渐减小的.

故选C.

面积法：S^ABC^—'AD-CF+^--AD'BE^^AD(CF+BE),

222

/.CF+BE=N-ABC,

AD

点。沿BC自8向C运动时，AD是增加的，

CF+BE的值是逐渐减小.

故选：C.

【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得至i]BE+Cb=8C

•cosa,记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型.

三.同角三角函数的关系（共1小题）

4.（2022秋•宣城月考）在△ABC中，NC=90°,cosA=3,则tanA等于a.

5一

【分析】根据cosA=旦，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出

5

tanA的值.

【解答】解：•.•cosAna知，设Z?=3x,则c=5x,根据。2+b2=c2得。=4心

5

b3x3

故答案为：A.

3

【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函

数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.

四.互余两角三角函数的关系（共1小题）

5.（2021秋•怀宁县期末）在RtZXABC中，NC=90°,cosA=工，则sinB=」.

3一

【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.

【解答】解：•••在△ABC中，ZC=90°,

AZA+ZB=90°,

••sinS^cosA^-

3

故答案为：

3

【点评】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦.

五.特殊角的三角函数值（共8小题）

6.（2023春•蚌埠月考）计算2sin30°的值为（）

A.1B.73C.2D.2^3

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：2sin30°=2X-1=1,

2

故选：A.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

7.（2022秋•蚌山区月考）在中，BC=6,AC=2«,NC=90°,则NA的度数是（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【分析】求出/A的正切值，根据特殊角的三角函数值，即可得解.

【解答】解：VBC=6,AC=273,ZC=90°,

•,而BC6*S不'

ZA=60°,

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形.熟练掌握锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，是解题的关

键.

8.（2022秋•蚌山区月考）△ABC中，ZA,/B都是锐角，若cosA=Y3,tan8=L则/C=105°.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值可得NA=30°,/B=45°,然后利用三角形内角和定理，进行计算

即可解答.

【解答】解：•.,cosA=^l_,tanB=l,

2

ZA=30°,ZB=45°,

.\ZC=180°-ZA-ZB=105°,

故答案为：105°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

9.（2022秋•安徽期末）计算：2sin30°-1=0.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【解答】解：原式=2X』-1=0.

2

故答案为：0.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

10.（2022秋•金安区校级月考）若tan（a+15°）=«且a是锐角，则tana的值为1.

【分析】首先确定a的度数，然后再利用三角函数值求答案.

【解答】解：•••tan60°=«,

：.a+l5°=60°,

解得：a=45°,

tana=l,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握tan60。=A/3-tan45°=1.

11.（2022秋•宣城月考）计算：sin245°-6cos60°+2tan45°-2sin60°.

【分析】先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解.

【解答】解：原式=（喙）2_6乂/+2乂1-2义喙

=y-3+2-V3

=-y-V3-

【点评】本题考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，掌握特殊角锐角三角函数值是关键.

12.（2022秋•天长市月考）计算：2sin60°-cos60°-sin30°*tan45°.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.

【解答】解：原式=2X1-L-Lxi

222

22

=V3-1.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

13.（2022•无为市校级一模）计算：

(1)sin60°*cos30°-1；

（2）2sin30°+3cos60°-4tan45°.

【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可.

【解答】解：（1）原式=亚义近-1

22

=1-1

4

-—--__1•»

4

（2）原式=2X2+3xL-4X1

22

=1+--4

2

=_3_

2"

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

六.解直角三角形（共6小题）

14.（2023•金寨县一模）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,A8的垂直平分线朋N交AC于点。，交A8于

点、N,连接B。，若CZ）=6,AD=10,则tanA的值为（）

,•半

【分析】根据垂直平分线的性质得出再利用勾股定理求出8c的长，再利用正切的定义即可求

解.

【解答】解：TAB的垂直平分线MN交AC于点交AB于点N,

：.BD=AD=10,

：NC=90°,CD=6,

22

：.BC=VBD-CD=V102-62=8，AC=AD+CD=10+6=16,

故选：B.

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出BD=AD=10,进而利

用勾股定理求出BC的长是解决问题的关键.

15.（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3,1）,贝Usina的值为（）

'.工B.逗C.叵D,应

310310

【分析】过点A作轴，根据点A的坐标得到04,再根据正弦的定义可得答案.

【解答】解：过点A作轴，

•点A坐标为（3,1）,

2

.,.AB=1,OB=3,OA—yj+3=V10>

.-.sina=AB1=2^1.

OAV1010

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，由勾股定理得到的长度是解题关键.

16.（2022秋•天长市月考）如图，在△ABC中，NC=90°,AB=13,sinB=-^-.求AC的长及NA的正

切值.

【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC,再利用勾股定理求出BC,最后利用直角三角形的边

角间关系求出NA的正切值.

【解答】解：在Rt^ABC中，

：.AC=5.

•'•BC=VAB2-AC2

V132-52

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键.

17.（2022秋•滁州期末）如图，在△A8C中，NA=30°,tan8=3,AC=6«,求AB的长.

【分析】过点C作COLAB于点。，根据/A=30°,tan2=3,AC=6盗可求出A。与8。的长度.

【解答】解：如图，过点C作于点D

:在RtZ\CD4中，ZA=30°,

：.CD=AC'sin30°=3«,AD=ACXcos300=9,

在RtZXCDB中，

'/tanB=—

.CD=3

,,丽I

:.BD=4如,

：.AB=AD+DB=9+473.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.

18.（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,8。是AC边上的中线，AE±BC,垂足为点E,

交BD于F,cos/A8C=W,AB=\3.

13

（1）求AE的长；

(2)求tan/DBC的值.

【分析】（1）根据AE_LBC,垂足为点E,交BD于F,COSZABC=A,AB=13,可以求得BE的长，

13

从而可以求得AE的长；

（2）根据在△ABC中，AB^AC,3。是AC边上的中线，AE1BC,可知AE、3。为△ABC的中线，从

而可以利用重心定理得到EP的长，由AEL8C,从而可以得至Ijtan/OBC的值.

【解答】解：（1）VAEIBC,

：.ZAEB^90°.

5

丁COS/ABC^Y^，A3=13,

：.BE=5.

・.•在RtABEA中，BE2+AE2=AB2,

AE=VAB2-BE2=7132-52=12-

(2)VAB=AC,AE1BC,

...AE是BC边上的中线.

又是AC边上的中线,

是△ABC的重心.

'：AE=12,

•*-EF-1AE=4-

VRtABEF^,BE=5,EF=4,

tanADBC——.

5

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是明确直角三角形中边角的关系，知道重心定

理.

19.（2022秋•宣城月考）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点N的坐标为（20,0）,点“在第

一象限内，且0M=10,sin/M0N=&.

5

（1）求点M的坐标.

（2）求cos/MON的值.

【分析】（1）过点M作MPLON,垂足为点P,根据已知条件得到MP=6,由勾股定理得到OP=

V102-62=8,于是得到点M的坐标是（8,6）；

（2）由（1）,知MP=6,PN=20-8=12,根据勾股定理得到MN=«/?2=6娓,于是得到结论.

【解答】解：（1）过点M作MPLON,垂足为点P,

在RtZkMO尸中，由sin/A/ON=3,OM=10,

5

3

«M--P-=--，

105

即MP=6,由勾股定理，得。尸=47衣7^=8，

.♦.点M的坐标是（8,6）；

（2）由（1）,知MP=6,PN=20-8=12,

MN=^/g2+122=6炳，

•……噜吟音

【点评】本题考查了解直角三角形，坐标于图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

七.解直角三角形的应用(共5小题)

20.(2023•蒙城县三模)蒙城涡河五桥横跨涡河南北，为蒙改城标志建筑之一，图1是大桥的实物图，图2

是建造大桥设计平面图一部分，平面图纸有桥护栏BG=1.5米，拉索与护栏的夹角是26°,拉索即

与护栏的夹角是60°,两拉索底端距离8。为168处两拉索顶端的距离AE=48m,请求出立柱AH的长

图1图2

【分析】根据题意可得：CH=BG=1.5m,BC±AH,然后设C£)=_w",贝UBC=(x+168)m,在Rt/XECD

中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，从而求出AC的长，再在RtZkABC中，利用锐角三角函数

的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：CH=BG=15m,BC±AH,

设CD=xm,

'：BD=16Sm,

：.BC=CD+BD=(x+168)m,

在RtZXECD中，NEDC=60°,

EC—CD,tan60°(m),

'：AE=48m,

.".AC—AE+CE—(48+J§x)m,

在RtZxABC中，ZABC=26°,

.\AC=BC9tan26°20.5(x+168)m,

「・48+V^X=0・5(X+168),

解得：x=30,

.*.EC=V3X=30A/3(m),

.".AH=AE+£C+CH=48+30A/3+1.5^100.5(m),

立柱AH的长约为100.5/7!.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.(2023•庐阳区校级模拟)近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图

1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABC。的高BC为30c7九，上部

显示屏斯的长度为30c〃z,侧面支架EC的长度为lOOc机,/EC£>=80°,ZF£C=130°,求该机器人

的最高点尸距地面AB的高度.(参考数据sin80°=0.98,cos80°=0.17,tan80°*5.67)

地面

图1

【分析】过点E,尸分别作EHLCD,FNLCD,垂足为N,H,过点石作四,切，垂足为M,分别解

RtAEHC,RtAEMF,求出即，-0的长，进而求出最高点尸距地面的高度即可.

【解答】解：过点E,尸分别作即，CO,FNLCD,垂足为N,H,过点石作EWLM,垂足为M,

贝IJ：四边形EMNH为矩形，MN=EH,EM=HN,

地面

sin/ECH喏*g.98-

：.EH^98cm,

VZEHC=90°,NHCE=80°,

：.ZCEH=10°,

：.ZFEM=ZFEC-ZMEH-ZCEH=130°-90°-10°=30°,

•*,FM^-EF=15cro,

点F到CD的高度为MN+FM=EH+FM^113cm,

'：矩形底座ABCD的高BC为30cm,

.•.点尸到底面的高度约为113+30=143c机.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

22.（2023•金寨县校级模拟）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A,又在河的另一岸

边取两个点8,C,测得/a=37°,Zp=55°,量得8c的长为180%，求河的宽度.（参考数据：sin370

^0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,sin55°^0.80,cos55°弋0.60,tan55°-1.40.结果精确至I]0.1W

【分析】直接过点A作AOLBC于点。，利用tan37。=^^=叵,进而得出答案.

x+1003

【解答】解：过点A作AOLBC于点。，

VZp=55°,ZADC=90°,Na=37°,BC^lSQm,

=地七=坦=—―心

.*.tan551.40,tan37°0.75,

CDBD180+CD

：.AD=1AOCD,AD=0.75(180+CZ)),

.,.AD=»290.8（相），

答：河的宽度为290.8m.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO=L40CO是解题的关键.

23.（2023•安徽三模）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB,8C可分别绕8,C转动，测量

知AB=10aw,BC=6cm,当AB,转动到/A3C=90°时，NBCD=31°时，求点A到CD的距离.（参

考数据：sin37°心0.60,cos37°心0.80,tan37°-0.75）

小图；图

12

【分析】过点A作AE，CD过点B作2GLAE,BF±CD,构造矩形GEFB和直角△BCR△AGB,在

直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出8尸、AG,最后利用线段的和差关系得结论.

【解答】解：过点A作4ELC。，交FC的延长线于点E.

过点B作8GL4E,BFLCD,垂足分别为G、F.

'JAELCD,BG±AE,BFLCD,

...四边形GEF2是矩形，GB//ED.

：.GE=BF,ZGBC=ZBCF=31°.

：.ZABG^ZABC-ZGBC^9Q°-37°=53°.

在RtABCF中，

：sin/BCD=里

BC

：.GE^BF^sinZBCD'BC^0.6X6^3.6(cm).

在Rt/YBAG中，ZA=90°-ZABG=90°-53°=37°.

,,.AG=cosA«AB^0.8X10=8(cm).

：.AE=AG+GE=S+3.6=U.6(cm).

答：点A到CD的距离为11.6cm.

D

【点评】本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决

本题的关键.

24.（2023•安徽模拟）如图，兰兰家沿着河岸圈出一片水域（即四边形A8C。）从事水产养殖，兰兰测得这

片水域部分数据如下：AB=60米，8C=10米，ZDAB=53.1°,ZABC=90°,。在C的西北方向，请

你帮助兰兰求出这片水域的面积.（参考数据：sin53.1°心名，cos53.1°tan53.1°仁国）

553

【分析】延长AD与BC的延长线交于点E,再用△ABE的面积减去△（7£>£的面积即可.

【解答】解：如图，延长AD,与的延长线交于点E,过点。作OGLBE于E,

则8£=A8・tan/DA8=60Xtan53.1°-60x2=80(米)，

3

VZDAB=53.1°,ZABC=90°,

NE=90°-ZDAB,

•*.tanZ£=—,

4

设。G=x/〃，则EG=^xm,

3

在C的西北方向，

CG=DG=xm,

.,.EC=£G+CG=Ax+x=80-10=70,

解得x=30,

即DG=30m,

这片水域的面积为：SAABE-SACDE^—AB-BE-AcfDG=Ax60X80-2X70X30=135(m2).

2222

【点评】本题考查了解直角三角形，正确作出辅助线，并求出。G的长是解答本题的关键.

八.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）

25.（2022秋•天长市月考）某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100我米，则此人所在的位置升高了（）

A.100米B.50遥米C.50米D.遥

5

【分析】设此人所在的位置升高了尤米，根据坡度的概念用尤表示出此人前进的水平距离，根据勾股定

理计算，得到答案.

【解答】解：设此人所在的位置升高了X米，

:斜坡的坡度为1：2,

•••此人前进的水平距离为2尤米，

由勾股定理得：?+（2x）2=（100遥）2,

解得:x=100（负值舍去），

.••此人所在的位置升高了100米，

故选:A.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度

/的比是解题的关键.

26.（2020秋•马鞍山期末）某水库大坝高20米，背水坡的坡度为1：愿，则背水坡的坡长为40米.

【分析】由坡度=垂直距离小水平距离，可得水平距离为20«米，根据勾股定理可得背水面的坡长.

【解答】解：如图所示：

:大坝高。/为20米，背水坝的坡度为1：M，

.,.水平距离CF=20X百=20«（米），

根据勾股定理可得背水坡的坡长8=>2（）2+（20“产=40（米），

故答案为：40米.

D

一一

FC

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的概念是解题的

关键.

27.（2023•宿州模拟）如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点A到点8,从点8到点C是两段不同坡

度的坡路，CM是一段水平路段，为改建成河道公园，改善居民生活环境，决定按照的坡度降低坡面

的坡度，得到新的山坡AD,经测量获得如下数据：CM与水平面AN的距离为12m坡面AB的长为

10机，NBAN=15°,坡面8C与水平面的夹角为31°,降低8c坡度后，A、B、。三点在同一条直线

上，即/D4N=15°.为确定施工点D的位置，试求坡面AD的长和CD的长度.(sinl5°^0.26,cosl5°

心0.68,结果精确到0.1米)

过点C作CGL⑷V于点G,过点B作

8H_LCG于点根据矩形的性质得到8E="G,EG=BH,CD=GF,CG=DF,求得CH=DF-BE,

解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：如图所示，过点B作BELAiV于点E,过点。作。FLAN于点R过点C作CGLAN于点

G,过点B作8HLCG于点

则四边形CDFG和四边形BEGH都是菱形,

：.BE=HG,EG=BH,CD=GF,CG=DF,

CH=DF-BE,

根据题意知，DF=12m,AB=10m,

在RtZ\A2E中，XBAE=15°,sin/BAEw^，cosNBAE'w

：.BE^AB'sinZBAE=AB'sin15°^10X0.26=2.6(m),AE^AB'cosZBAE=AB'cosl5°心10X0.97=

9.7(机)，

在RtZXAQF中，/。4尸=15°，sin/DAF^^，tanNDAF^^"，

ADAF

•fDFDF12““、DFDF12，一/、

sinZ/DnAsFsinl5=c0.2,6-46.2(km)；，AF=-t—anZDAF-t-a-nl-5T7-=二0.27=44.4(km)；，

：.CH=DF-BE=\2-2.6=9.4(%)，

在RtZXBCH中，/CBH=31。，tanZCBH-,

DH

•iCHCH9.4fc/、

••RH=t-a-n-Z7C--B-H-=-t-a-n-3-1；—0-0-.-6-8%138(km)；，

CD=GF=AF-AE-EG=AF-AE-BH^44A-9.7-13.8=20.9(???),

答：坡面A。的长约为46.2加，CD的长约为20.9〃z.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及正确作出辅助线是解题的关

键.

28.（2023春•庐江县月考）小亮和小强同时登青阳山，小亮从北坡山脚C处出发，以12丁记米/分钟的速

度攀登，小强从南坡山脚B处出发.如图，已知青阳山北坡的坡度2,北坡长为120折米，南坡

的坡角是45。.问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A?（将山路AB,AC看成线段）

【分析】过A作BC的垂线A。，在Rtz\ACD中，可通过解直角三角形求出AD的长，进而在RtZXAB。

中求出坡面AB的长得解.

【解答】解：过点A作ADLBC于O.

在RtZXACD中，tanC=i=L/^,

2CD

设无，则C£）=2尤，

根据勾股定理得AD2+CD2=AC2,

即尤2+（2x）2=（120713）2，

解得x=120底,

/.AD=120A/2（米），

在中，ZB=45°,

/.AB=V2AD=240（米），

2404-（120A/104-12\/Io）=240+10=24（米/分），

答：小强以24米/分钟速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造出直角三角形；在两个直角

三角形有公共边时，先求出这条公共边是解此类题的一般思路.

29.（2023•蜀山区校级一模）如图所示，一梯子AC斜靠着墙OD梯子与地面夹角为45。，若梯子底端A

向右水平移动1.5机至点B,此时梯子顶端向上移动1根至点。，此时/。8。=58°,求08长度.（参考

数据：sin58°七0.85,cos58°心0.53,tan58°-1.60)

AB

【分析】由题意可知△AOC是等腰直角三角形，所以OA=OC,设。8=无，则。4=x+1.5,OD=OC+CD

=x+2.5,在Rt/XOBD中，利用tan58°=毁即可解答.

【解答】解：'：ZCAO=45°,ZAOC=90°,

AAOC是等腰直角三角形，

：.OA=OC,

设03=%,

\9AB=1.5m,

.9.OA=(x+1.5)m,

VCZ)=lm,

/.OD=OC+CD=(x+2.5)m,

在RtZXQBD中，Vtan58°=毁，

解得了=丝

即0B长度为空

6

【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各个锐角三角函数的定义并灵活运用.

九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）

30.（2023春•桐城市月考）如图，在水平地面上有房屋8c与一棵树。E,在地面观测点A处屋顶C与树梢

的仰角分别是45°与60°,ZZ）AC=60°,在屋顶C处测得/OC4=90°,BC=5米，则DE的长是

D

A.历米B.小几米C.5%米D.IK巧米

【分析】先解Rt^ABC求出AC=5我米，再解RdACZ）求出AD=10&米，最后解RtaAOE求出。E的

长即可.

【解答】解：在RtaABC中，ZABC=90°,NA4c=45°,BC=5米，

.・,言皋=5立米，

在RtzXAC。中，ZDCA=90°,NZMC=60°,

.••皿或治=1°^米’

在RtZXAOE中，ZDEA^90°,ZDAE^60°,

：.DE=AB-sinNDAE=5\/^米，

故选：C.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

31.（2023•安徽）如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从。点竖直上升到A点时，测得A到R点

的距离为40机，R点的俯角为24.2°,无人机继续竖直上升到3点，测得R点的俯角为36.9°.求无人

机从A点到B点的上升高度A8（精确到0.1m）.

参考数据：sin24.2°^0.41,cos24.2°-0.91,tan24.2°"0.45,sin36.9°^0.60,cos36.9°«0.80,tan36.9°

Q0.75.

【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可.

【解答】解：如图，由题意可知，ZORB=36.9°,ZORA=24.2°,

在RtZXAOH中，AR=40加，ZORA=24.2°,

：.0A=sinZORAXAR

=sin24.2°X40

216.4(m),

OR=cos24.2°X40

236.4(m),

在RtABOR中，

OB=tan36.9°义36.4-27.3(m),

：.AB=OB-OA

=27.3-16.4

=10.9(m),

答:无人机上升高度AB约为10.9m.

一一

An；

、、、

、、、、

40m'、、、、

n、、、

o...........................................:"R

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

32.（2023•蜀山区校级三模）某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度作为一次课外课题活动，制定了测

量方案，并完成了实地测量，测量示意图、测得结果如下：站在与墙垂直的笔直小路上的点。利用测角

仪（测角仪高度0.5米）测得窗户顶端A的仰角为63°,站在点C利用测角仪测得窗户底端B的仰角为

48。，并用卷尺测得00=2米,CD=0.5米，请你根据方案提供的示意图及相关数据计算窗户高度48.（结

果精确到0.1米.（参考数据：tan48°^1.20,tan63°旬.96,sin48°-0.74,sin63°七0.89）

A

【分析】分别在RtZ\A庄1和中求出AE1和BE,再利用线段的差即可求出A8.

【解答】解：补上解题需要的相关字母如图，

由题意，知△ABE和△3NE都是RtA,

EF=0D=2米,EN=OC=OZ）+Cr»=2+0.5=2.5（米），

OE=FZ）=NC=0.5米，ZAFE=63°,/BNE=48°,

在RtAAF£中，

VtanZAFE=-^,

EF

；.AE=EF・tanNAFE=2・tan63°-2X1.96=3.92（米），

在RtABNE中，

'：tanZBNE=^,

NE

；.BE=EN・tan/BNE=2.57an48°«2X1.20=2.40（:米），

：.AB=AE-BE=3.92-2.40=1.52«1.5（米），

答：窗户高度AB约为1.5米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在所给的直角三角形中利用三角函数关系是解

题的关键.

33.（2023•蜀山区三模）如图，某地需要经过一座山的两侧。，E修建一条穿山隧道，工程人员先选取直线

DE上的三点A,B,C,设在隧道。E正上方的山顶尸处测得A处的俯角为15°,8处的俯角为30°,

C处的俯角为45°,经测量48=1.4千米，8。=0.2千米，CE=0.5千米，求隧道OE的长.（结果精确

至IJ0.1,料-1.414,73^1.732）

F

【分析】过点尸作/G，8C、垂足为G,先利用特殊三角形的性质和边角关系求出FG,BG,CG,再利

用线段的和差即可求出DE.

【解答】解：由题意，得NA=15°,NFDB=30°,ZC=45°,

过点尸作尸GLBC、垂足为G,

AZAFB=15°,

JNA尸3=NA,

.\AB=BF=1A千米，

在RtABFG中，

*：ZFBD=30°,

•*-FG-1BF=O.7千米,

BG=BFcos/FBD寸F千米，

在RtACFG中，

VZFCG=45°,

：.FG=GC=OJ千米，

;-BC=BG-K；C=^^3（千米），

•>-DE=BC-BD-CE^V3备一。・2-0.5-^/3^1.2（千米），

答：隧道。E的长为1.2千米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题涉及等腰三角形的判定和性质，三角函数

定义，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

一十.解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）

34.（2023•芜湖一模）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地A8CD,培育绿植销