沪教版八年级数学下册 第二十一章 代数方程（4大知识归纳+11类题型突破）（解析版）

第二十一章代数方程（4大知识归纳+题型突破）

课标要求

i.掌握整式方程的概念；

2.掌握分式的概念、解法与应用；

3、掌握无理方程的概念与解法；

4、掌握二元二次方程组与列方程（组）解应用题;

基础知识归纳

知识点一、整式方程：

1字母系数：关于x的方程痛+72=0,ax2+bx+c=O,把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母

系数.

2.含字母系数的一元一次方程

定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；

求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1;注意：系数化为1时视情况讨论！

3.含字母系数的一元二次方程

定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；

解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.

4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；

一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为

一元高次方程.

5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零.一般形式为：

axn+b-0（aw0,b/是正整数）.

二项方程的解法:将方程ajcn+b=O变形为x"=-幺，当n为奇数时，x=2；当n为偶数时,如果ab<0,

aVa

x=±J--；如果a）>0,那么方程没有实数根.

Va

知识点二、分式方程:

6.可化为一元二次方程的分式方程

解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解;

解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检

验，是否有增根.

知识点三、无理方程

［无理方程的概念

无理方程曾无理方程、有理方程、代数方程三者的关系

||解无理方程的步骤

1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.

理解］①方程中含有根号；

，两点缺一不可!

［②根号里含有未知数.

2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系

'整式方程

有理方程<

代数方程.分式方程

无理方程

有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程;

代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.

3.无理方程的解法

(1)基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；

(2)一般步骤:

-①变形：当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式单独放在等号一边；

②去根号：方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程；

‘③解有理方程；

④验根：由于去根号两边平方时，未知数的范围扩大而可能产生增根，因此验根必不可少.

知识点四、二元二次方程组与列方程(组)解应用题

1.二元二次方程

,⑴定义：仅含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程;

(2)理解：①整式方程；②含有两个未知数；③含有未知数的项最高次数是2.

<(3)一般形式：OJC+bxy+cy+dx+ey+f=O(a,b,c,d,e,/是常数，

且a,dc至少有一个不为零)

(4)解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值.

2.二元二次方程组

'⑴定义：仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的

<最高次数是2的方程组；

(2)二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解.

3.二元二次方程组的解法

(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.

(2)题型一：解方程组一“^即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

［二兀二次万程.

方法：代入消元法；

一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所

表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④

将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原

方程组的解.

‘二元二次方程；

(3)题型二：解方程组一','(其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式)

［二兀二次万程.

方法：因式分解法；

解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.

4.列方程(组)解应用题

刖止也［①审题；②设元；③列方程;

［④解方程；⑤检验；⑥作答.

列一元二次方程解决问题；

列方程(组)解应用题列简单的高次方程解决问题；

列分式方程解决问题

列无理方程解决问题

列方程组解决问题

重要题型

题型——元整式方程

1.下列方程中，是关于X的一元三次方程的是（）

A.岳屐=1B.—+2x3=l

X

C.3彳3-3=-3尤（1一尤2）D.ax（x2-2）-2or+l=0（a为非零常数）

【答案】D

【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即

可.

【详解】解：A.J，+x3=l，整理，得：卜尤3=1,当X为负数时，不是一元三次方程，不符合题意；

B.不是整式方程，不符合题意；

C.3X3-3=-3X（1-X2）,整理得：3x—3=0,没有3次项，不符合题意；

D.办1-2）-2依+1=0（。为非零常数）整理，得：以3一4以+i=o（a为非零常数），是一元三次方程，

符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查一元三次方程的识别.熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键.

2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.，2彳2-1=0B.2y+x2=1C.x2-2=0D.=4

无J一1

【答案】C

【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案即可.

【详解】解：A、亚1=0，是无理方程，故此选项不符合题意；

B、2y+x2=l,是二元二次方程，故此选项不符合题意；

C、£一2=0是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、1=4,是分式方程，故此选项不符合题意.

X-1

故选：C.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键.一元二次方程必须满足四个条

件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.

3.下列方程是一元高次方程的是（）

A.尤+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+—=0D./+1=0

尤

【答案】D

【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得

出答案.

【详解】解：这四个方程都只含一个未知数，

,:A,B中未知数的项的次数小于等于2,

:.A,B选项不是一元高次方程，不符合题意，

•.•C中分母中含有未知数，

是分式方程，

•••C选项不符合题意，

符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，

；.D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程.

巩固训练：

1.若关于x的方程--©+3卜尤+f恰有三个根，贝心的值为（）

,313,1

A.-1B.-1或——C.-1或——D.—或—

4242

【答案】B

【分析】先化简绝对值方程为两个一元二次方程①V-5x+3T=0和②V-3x+3+1=0,再分三种情况讨

论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）

两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根.针对每种情况分别利用根的判别式列出

方程或不等式求解并验证，即可得到答案.

［详角牟］-：\x2-4x+3\=x+t,

—4x+3=%+，^4f—4%+3——x—19

整理得一一5%+3-，=0①或f一3l+3+/=0②，

设方程①的判别式为4,方程②的判别式为42,

若原方程恰有三个根，则有三种可能:

01=25-4(3-”0

")[A2=9-4(3+Z)=0，

[13

,4

"3'

L4

3

..t——,

4

此时，X2—4x+3|=x—,

114

33

%2-4-X+3—x——4x+3=—xH—,

44

解得X=,或占=9=I'，

22

3

,满足题意的t的值是

4

4=25-4(37)=0

(一)口=9-4(3+/)>0，

1313

?.%2—4%+3=%---—4%+3=—xH--------,

44

解得X,=JC2=-|,或工=,

但工=也叵<上，不满足题意，舍去;

24

⑶乜A,=295--4((33+-”r)>。0,且两方程恰有一个相同的根，

13

t>-----

4

3

t<——

4

设相同的根为加，

r」/-5m+3-t=0

则12

m-3m+3+£=0

当r=—1时，,2-4%+3卜%—1,

解得x=l或2或4,符合题意；

当,=—3时，I*-4x+3]=x-3,

解得尤=0或2或3,

但此时x-3>0,三个解均不合题意，舍去；

3

综上所述，，的值为-1或-:.

4

故选B.

【点睛】本题考查了解绝对值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次

方程根的判别式，正确理解方程恰有三个根的含义是解答本题的关键.

2.如果关于x的一元二次方程以2+法一1=0的一个根是》=一1,那么2。23-(“-6)=.

【答案】2022

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本

题的关键，把X=-1代入方程，得到4-6的值，在代入2023-(“-》)即得答案.

【详解】••・关于x的一元二次方程加+法-1=0的一个根是尸-1,

a(-l)2+Z?x(-l)-l=0,

即a-b=l,

2023-(a-b)=2023-1=2022,

故答案为：2022.

3.解方程：^(X-1)4-64=0.

【答案】占=5,尤2=-3.

【分析】首先移项，再两边同时乘以4得到（X-1）4=162,开方得到（X-1）2=16,最后两边直接开平方即可

得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可.

【详解】解：元-炉-64=0,

（尤-1?=256=©,

A（^-1）2=16,或（尤-I?=-16（舍去），

贝!Jx—1=4或x—l=T,

解得％=5,x2=-3.

【点睛】此题主要考查了解高次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等

号的右边，利用数的开方求解.

题型二二项方程

1.一项工程，甲、乙合作6天可完成，若独做，甲可比乙少5天，设甲，乙独做分别需x天，y天，以下

所列的方程组正确的是（）

111111

x+y=6x+y=6—I—=——I—=—

A.x-y=5B・C.《xy6D.〈Xy6

y—x=5

x-y=5x-y=-5

【答案】D

【分析】设甲、乙两队单独修路所需天数分别为尤和y,根据两队合修需要6天完成可得方程,+'=：,

xyo

根据各队单独修路,则甲队比乙队少用5天可得方程元=y-5,由此即可得到答案.

【详解】解：设甲、乙两队单独修路所需天数分别为％和y,

111

-11-1=1一—I—=—

由题意得xy6，即：xy6

x=y-5.x-y=-5

故选D.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.

2.下列说法中，正确的是（）

A.Y-4x=0是二项方程B.--—I—丁=0是分式方程

32

C.瓜2_岳_]=0是无理方程D.\2，是二元二次方程组

[y=1

【答案】D

【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解.

【详解】A.尤2-4尤=0不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；

B.U+U不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意；

C.6/一岳一i=o不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；

fx=0

D.2，是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意；

ir=i

故选：D.

【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元几次方程的一边只

有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方

程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键.

3.方程组[(：一1)"+3)=°的实数解的个数是()

y-x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】把代入原方程，再化简成(y+l)(y-l)(y+3)=0,解方程即可求解.

【详解】解：•.•y2=x

;.(x_l)(y+3)=0

.•.(/-l)(j+3)=0

，(y+i)(D(y+3)=。

,y+l=0或y-l=0或y+3=0

\y=-1或y=i或y=-3

故选c

【点睛】本题考查了因式分解解方程，解题关键是熟练掌握平方差公式和解方程.

巩固训练

1.下列方程中，是二项方程的为（）

A.jc2+2x=lB.x2+x=0C.^;3—8=0D.x=0

【答案】C

【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x,另一项是常数项；方程的右边是0,结合选项进

行判断即可.

【详解】解：A.不是二项方程，方程右边不等于0,不符合题意；

B.不是二项方程，方程左边没有常数项，不符合题意；

C.是二项方程，符合题意；

D.不是二项方程，方程左边只有一项，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0,

熟练掌握二项方程的定义是解决问题的关键.

1R

2.方程^^+==。的解是.（保留三位小数）.

【答案】-1.246

【分析】先求出x=-为，再利用计算器求出即可.

I3

【详解】解：-%5+1=0,

22

x5=-3,

x=_#_1.246，

故答案为：-1.246.

【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出x=-指是解此题的关键.

3.已知函数y=x+l与>=一尤+3,求：

（1）两个函数图象交点P的坐标.

（2）这两条直线与x轴围成的三角形面积.

【答案】（1）两个函数图象交点尸的坐标为（1,2）

（2）这两条直线与x轴围成的三角形面积为4

【分析】（1）联立两个一次函数的解析式得到方程组解方程组即可得到两个函数图象交点P的坐标;

（2）分别求出两条直线与x轴的交点坐标，再求出这两条直线与无轴围成的三角形面积即可.

【详解】（1）解：联立y=x+l,y=-x+3得

y=x+1

y=-x+3

.•.两个函数图象交点尸的坐标是（1,2）；

（2）解：设直线y=x+l与X轴的交点为A,

当y—0时，0=尤+1,

解得x=-1,

二点A的坐标是（T,0）,

设直线>=-尤+3与x轴的交点为8,

当y=0时，0=-x+3,

解得x=3,

，点B的坐标是（3,0）,

则这两条直线与x轴围成的三角形是记，

贝！1S&PAB=|xAfiX|^|=1X[3_（-1）]X2=4-

【点睛】此题考查了一次函数的交点问题，直线与坐标轴围成的三角形的面积，联立两个一次函数解析式

求出交点坐标是解决此题的关键.

题型三分式方程的定义

1.下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（）

A.—=3B.-=—C.-=2D.—=^-

x+1xx—12x-lx—1

【答案】D

【分析】根据分式方程的定义进行判断即可；

【详解】解：选项A中，转化为2=3（x+l）,不符合题意，故选项A错误；

选项B中，转化为无-1=3无，不符合题意，故选项A错误;

选项C中，转化为：x=4,不符合题意，故选项C错误;

选项D中，转化为：f+x=2,符合题意，故选项D正确;

故选D.

【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键.

2.下列关于x的方程：_1+户1,1+当=3，工=±"=2中，分式方程的个数是（）

x345%—1xx+1

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义判断即可.

【详解】分式方程是：工+产1,工=±"=2共3个；故选C.

xx—1XX+1

【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是理解分式方程的意义.

3.下列各式中，是分式方程的是（）

【答案】D

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有求知数的方程叫做分式方程进行判断.

【详解】解：A、x+y=5方程不含分母，是整式方程，故不是分式方程；

B、瞪二马”方程分母中不含未知数，故不是分式方程；

C、工不是方程，是分式，故不是分式方程；

X

D、三=0方程分母中含未知数x,故是分式方程.

x+5

故选D.

【点睛】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

巩固训练

1.下列方程：①工=2；②2—=：；③^+x=l;④--;+13=3.其中，分式方程有（）

xa25x—11—x

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可.

【详解】①工=2的分母中含有未知数，是分式方程；

X

~是整式方程；

a2

③1+户1是整式方程；

④三2+一一3二3的分母中含有未知数，是分式方程.

x—11-x

故选：C.

【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键.

2.有下列方程：

---无2=1；③—=x；④—+3=——；⑤一=2；⑥2无-3y=0；⑦-----3=—；⑧-+3；

3n3xx-2x-2x27x-2

⑨一3==?5，其中是整式方程的是_________；是分式方程的是__________.（填序号）

x-2x

【答案】①②⑥⑦③④⑤⑨

【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可.

【详解】解：：①]炉=1为整式方程；②2--=1为整式方程；③2=x为分式方程；④2+3=三1为

3兀3xx-2x-2

分式方程；⑤上1=2为分式方程；⑥2尤-3y=0为整式方程；⑦X+卓]-3=9=r为整式方程；⑧工y+=1+3为不是

x27x-2

方程；⑨一3==±5为分式方程.

x-2x

，整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨.

故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨.

【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程.解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现

在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的

有理方程.

3.判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程？

⑴日」；

x2

（2）

712

m2m

(6)2x=l；

【答案】（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程；（2）（6）是整式方程.

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断.

【详解】（1）匚=5是分式方程；

x2

（2）二=：是整式方程；

兀2

V1

（3）—=是分式方程；

3x-l2

（4）:2=上1是分式方程；

mm

（5）2-3=4是分式方程；

y2

（6）2x=l是整式方程；

（7）1+工=2是分式方程.

xy

【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键.

题型四解分式方程

1.下列方程中，有实数根的是（）•

%1

A.x2—x+l=OB.---------=0

x~lx—1

C.y/x—1+4=0D.Jx-1+y/l-x=0

【答案】D

【分析】利用根的判别式，解分式方程、算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件求解方程依次来判

断.

2

【详解】解：A、尤2_彳+1=0,A=（_I）_4X1X1=-3<0,故没有实数根，不符合题意；

Y1

B、-一\=0,方程两边都乘以x-l得：x=l,检验：当x=l时，分式的分母为0,所以此方程没有

X-1X-1

解，不符合题意；

C、由GT+4=0,得Q=因为算术平方根的结果是非负数，所以此方程无解，不符合题意；

D、由Jx-1+Jl-x=0,得Jx-1=—J［一x,两边平方得x-l=l-x,解得x=l,经检验是原方程的解，故有

实数根，符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查了方程的根的问题，解题的关键是掌握根的判别式，会解分式方程，算术平方根的非负

性.

2.下列关于x的方程中，有实数解的是（）

A.Jx-2+1=0

X—2x—2

C.%4—6=0D.2X2+X+3=0

【答案】C

【分析】根据二次根式的非负性可判断A；求出分式方程的解，再检验即可判断B；方程变形得到犬=6进

而可判断C；根据根的判别式即可判断D；从而可得答案.

【详解】解：A、由H工+1=0可得=故原方程无实数解；

B、去分母得x=2,当x=2时，x-2=0,所以x=2是方程的增根，故原方程无实数解；

C、方程可变形为/=6,所以x=土痣，故原方程有实数解；

D、因为方程的△=12-4x2x3=-23<0,所以原方程无实数解；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的非负性、分式方程的求解、高次方程的求解以及一元二次方程的根的判别

式等知识，熟练掌握上述知识是解题关键.

3.解方程王［-工-=3时，设土］=y,则原方程可化为关于>的整式方程是（）

xx-1X

2

A.y——=3B.y2-2y=3C.y2+3y-2=0D.y2-3y-2=0

【答案】D

x—x—12

【分析】根据--------7=3,设二」=y,代入得丁一一=3,再左右同乘丁化简即可.

y

2x

x-1

y2—3y—2=0,

故选：D.

【点睛】本题考查了换元法将分式方程化为整式方程，换元代入是解题的关键.

巩固训练

1-1

1.方程的解是()

x—A-x—2

A.x=3B.x=lC.x=-l

【答案】A

【分析】本题考查解分式方程，去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案;

【详解】解：两边同时乘以(％-4)(X-2)得,

解得,

x=3,

当％=3时，(%—4)(%—2)=—1w0,

**•%=3是原方程的解,

故选：A.

32

2.分式方程的解为___________

x+21-x

【答案】x=-^/x=-0.2

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.利用去分母将原方程化为整式方程,

解得x的值后进行检验即可.

【详解】解：原方程去分母得：3(l-x)=2(x+2),

整理得：3-3x=2x+4,

解得：x=-1,

检验：当尤=—二时，(％+2乂1—%)片0,

故原方程的解为了=-1,

故答案为：x=-1.

3.解分式方程：

(1)^^+^—=4；

2x-55-2x

⑵为1$

17

【答案】⑴户了

⑵尤

【分析】本题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意

要检验.

(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可得到分式方程的解;

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可得到分式方程的解.

(1)-^+^—=4

【详解】

2x-55-2x

x3.

整理得:------------------=4

2%—52%—5

去分母,得：％-3=4(2%-5)

去括号,得无一3=8x—20

移项，合并同类项得-7x=-17

17

将系数化为1,得X*

1717

检验：把尤=7代入2%—5=2x~^—5w0,

所以工=，17是原分式方程的解.

(2)3+1=上

x-2x+3

去分母,3(%+3)+(x-2)(x+3)=x(x-2)

去括号，得3%+9+/+工一6=炉-2光

移项，合并同类项得6%=-3

将系数化为1,得x=-g

检验：把》=一;代入(x_2)(x+3)=l；-2^4+3>0,

所以x=-1■是原分式方程的解.

题型五根据分式方程解的情况求值

1.若关于X的分式方程生:有增根，则a的值是（）

x-22

A.4B.2C.3D.0

【答案】A

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出。的

值.

【详解】解：去分母得：4x-2«=x-2,

由分式方程有增根，得到x-2=0,即x=2,

代入整式方程得：。=4,

故选：A.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相关字母的值.

2.如果4是关于尤的分式方程空|一=2的解，则a等于（）

元-32%-7

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】C

【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把x=4代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方

程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得。的值.

【详解】解：把x=4代入原方程，

得：（a+2）-1=2,

解得a=l.

故选：C.

3.已知关于x的分式方程?^=1的解为非负数，则机的取值范围是（）

2%-1

A.加之-4且相。一,B.加NY且机。一3

2

C.机〉7■且机。一!D.m>7■且机。一3

2

【答案】B

【分析】本题主要考查分式方程解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；由题意易得彳=岁+4，然后

分式方程的解和有意义可进行求解.

m+4

【详解】解：由方程"4=1可得:x=-------

2x-l2

・・,该方程的解为非负数,

：3对，且山」

222

解得：加2T且机。一3；

故选B.

巩固训练

0Y—4VY!—3X

1.若关于X的分式方程三一+，生=1的解是非负数，则机的取值范围是（）

X—1L—X

A.m>-3B.用2-3且机。1C.m<3D.相V3且机wl

【答案】B

【分析】本题考查了分式方程的解,涉及解分式方程和分式方程分母不为0,熟练掌握知识点是解题的关键.

首先解分式方程，然后根据方程的解的情况列不等式组计算求解.

2x—4m—3x1

【详解】解:--------+---------=1

x—l1—x

2x-4m-3x

整理，可得=1

x—1x—1

口m+3

解得尤二—^

4

m+3

>0

4

由题意可得.解得机N-3且加w1,

m+3

T

故选：B.

6x-a>2（x-l）

2.若a使得关于尤的不等式组x-513有且仅有三个整数解，且使关于x的分式方程*-。=4

----<—x——1-xx-1

1342

的解为正数，求所有满足条件的整数“的值之和为.

【答案】-3

【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等，熟练掌握解

6元-a>2（x-l）

一元一次不等式组的方法，解分式方程的方法是解决问题的关键.首先解不等式组工—5,13得

-----<—x——

〔3-----42

F<XV2,再根据该不等式组有且仅有三个整数解，得x=2,1,0,由此得出-14二<0,据此可解

44

出-2Va<2,再解分式方程乡-上==4得x=3-2a,根据该方程的解为正数,得3-2a>0,由止匕1a<：,

1-xx-12

3

再考虑x=1是方程的增根得a工1,据此可得出-2Va<：且a/1,由此可求出所有满足条件的整数。的值,

进而再求出它们的和即可.

n—2

【详解】解：由不等式6%-a>2(>1),解得：x>——,

4

由不等Y式-5三1£3，解得：x<2,

，原不等式组的解集为：二〈龙42,

又•••该不等式组有且仅有三个整数解，

x—•2,190,

<0,

4

-2Ka<2,

Dai_

对于----------=4,去分母，方程两边同时乘以(1-%),得：2。+1-3%=4(1-%),

1-xx-1

尚军得：x=3—2a,

•/该方程的解为正数，

3—2a>0,

解得：〃<，3

对于％=3—%，当尤=1时，a=l,

<％=1是该方程的增根，故awl,

3「

二.a<一目.aw1,

2

X-/-2<a<2,

3

-2«a<—且aw1,

2

.•・满足条件的整数，为-2,-1,0,

・.・(-2)+(-1)+0=-3.

「•所有满足条件的整数。的值之和为-3.

故答案为：-3.

3.已知关于x的分式方程工=二+1.

x—13—3x

⑴若这个方程无解，求"的值;

（2）若这个方程的解是非负数，求〃的值.

【答案】（1）3或-9

⑵"3且”工一9

【分析】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题

的关键.

（1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解.

（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可.

【详解】（1）-7=1+1，

两边都乘以3-3%，得

-9=加+3—3光,

（几-3）x=-12,

当〃-3=0时，分式方程无解，此时〃=3.

当x=l时，分式方程无解，此时3=-12即〃=-9.

综上可知，若这个方程无解，〃的值为3或-9；

（2）3）%=-12,

._12

••x=------,

〃一3

由题意，得

解得“<3且"w-9.

题型六分式方程无解问题

1.关于尤的方程一^+4=1无解，则加的值是（）

x-22-x

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】本题考查了分式方程无解、解分式方程，先解分式方程，再根据分式方程无解得出x的值，从而即

可得出加的值，掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的无解或者这个整式方程的解使原分

式方程的分母等于0,是解此题的关键.

【详解】解：去分母得1-%=x-2,

解得x=3—m,

•••方程无解，

方程有增根，即x-2=0,

解得：x=1,

把x=2代入得3-〃z=2,

解得m=l,

故选：B.

2.若关于x的方程=-1有增根，贝壮的值为（）

X+1

A.3B.1C.0D.-1

【答案】D

【分析】本题主要考查了分式方程的增根.熟练掌握增根的特征，是解决问题的关键.

去分母把分式方程化为整式方程，根据分式方程的增根使分式方程的分母为0,求出增根代入整式方程求解

即可.

【详解】方程两边都乘（x+1）,

得，X—（7=—（X+1）,

••・关于X的方程七心=-1有增根，

X+1

x+l=0,

解得，x=-l,

—1—4=0,

解得，a=-l.

故选：D.

3.如果关于尤的分式方程一-3=1无解，则。的值为（）

x-1元

A.-1B.1C.0或1D.T或1

【答案】D

【分析】本题考查了分式方程的解.根据分式方程无解分两种情况，一是方程有增根，得出x=0或x=l,

求出a的值，二是去分母后的方程无解.即可求解.

X—n2

【详解】解：v=i

x—1X

方程两边同时乘以工(，—1)得：x(x—a)—2(x—1)=x(x—1),

化简得(a+l)x=2,

•••关于尤的分式方程Y-4=1无解，

x—1X

a+l=O或x=0或％-1=0,

.•.a=-1或x=0或x=l,

当％=0时，此时〃不存在；

当兀=1时，1+1=2,止匕时4=1,

・•.〃的值为-1或1,

故选：D.

巩固训练

1.若关于X的方程—=茨］无解，则加=()

x-510-2x

88

A.—B.-C.5

55

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程无解问题,掌握分式方程无解即最简公分母为0是解题关键.由题意可知％=5，

再将％=5代入一2(%-1)=如，求出加的值即可.

【详解】解：方程三二而五去分母得：-2(、-1)=,吟

x-lmx

方程无解,

x-510-2%

:.x=5,

将x=5代入一2(x-l)=mx,得：一2x(5—1)=5帆，

O

解得：m=--,

故选：A.

2.若关于x的分式方程忙=f无解，则％的值为______

x+2x-2x-4

【答案】-g或1

【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键.

去分母，整理得-3工-诙=-2,根据分式方程无解可知增根分别为x=-2或x=2,分别求解即可.

【详解】分式方程两边都乘以最简公分母(x-2)(x+2),得：(x-2)2_x(x+2)=16欠，

整理得：—3x—Sk=-2,

关于X的分式方程七|-9=」三无解，

x+2x-2x-4

当x=2时，得一3x2-8左=—2,解得左=一

当X=—2时，得一3*(-2)-8后=一2,解得女=1.

・,・%的值为-；或1.

故答案为：-万或1.

光一

3.已知关于x的分式方程2=;-m23=±.

x-3x

(1)当机=9时，求分式方程的解；

2丫一YH3

(2)求机为何值时，分式方程二^-2=三无解.

x-3X

3

【答案】(l)X=；；

(2)当机=3或m=6时，分式方程无解.

【分析】(1)本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法即可解题.

(2)本题考查了分式方程的无解的情况，即考虑整式方程无解及分式方程有增根的情况，分类讨论这两种

情况下加应满足的条件，即可解题.

【详解】(1)解：当相=9时，分式方程为2=',

x-3x

去分母，得尤(2%-9)-2年-3)=3(%-3),

去括号，得2"9x-2/+6x=3尤-9,

移项合并同类项，6x=9,

系数化1,得天==，

2

3

检验：当工二,时，—3)W。，

3

所以x是原分式方程的解.

⑵解：交--2=』

x-3x

方程两边同乘x（x—3）,得x（2x-〃z）-2尤（x-3）=3（尤一3）,

整理，得（机-3）x=9.

①若整式方程无解，m-3=0,解得加=3；

②若分式方程有增根，》=0或》-3=0,

即当x=0或x=3时，分式方程无解.

当x=0时，方程（祖一3）X=9无解；当x=3时，3（m-3）=9,解得〃7=6.

综上，当m=3或%=6时，分式方程无解.

题型七列分式方程

1.“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学

家的故事》以供学生课外阅读.现有A,B两个商家供货，A商家每本图书的售价比3商家每本图书的售价

少2元，用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买8商家图书的数量相同.设A商家的图书每本售

价为加元，可列方程为（）

2000220022002000-20002200-20002200

A.------=--------B.------=--------C.—D.-------=-------

mm—2mm+2mm+2m—2m

【答案】C

【分析】由两商家图书销售单价间的关系,可