高中数学专项复习：硬币问题（解析版）

专题28硬币问题

例1.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

(1)设抛掷5次的得分为求自的分布列和数学期望EJ；

(2)求恰好得到〃(〃eN*)分的概率.

【解析】

•<1<

(1)所抛5次得分J的概率为PC=i)=G(1)G=5,6,7,8,9,10),

其分布列如下

5678910

P155551

323216163232

10

^=pq-5(1i)5=1y5

(2)令4表示恰好得到〃分的概率，不出现九分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.

因为“不出现“分”的概率是1-5，“恰好得到n-1分”的概率是P.i，

因为“掷一次出现反面”的概率是)，所以有1-月=；月.1，

212

即一§=_万区-1_§)'

[2121211

于是《月一彳是以《一一=——=——为首项，以——为公比的等比数列.

I3J132362

所以W尸即匕=%2+(—；)"].

3o232

恰好得到九分的概率是j2+(—g)〃].

例2.棋盘上标有第0、1、2、…、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷

出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.

设棋子位于第〃站的概率为匕.

(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;

（2）证明：匕+i—g（匕一匕T）（1<〃<98）；

（3）求/、Ex,的值.

【解析】

（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6.

P”=3）吗:"，P（X=4）=G［］《

P（X=5）=C[

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X3456

1331

P

8888

13319

所以，随机变量X的数学期望为EX=3x—+4x—+5x—+6x—=—；

88882

（2）根据题意，棋子要到第（八+i）站，由两种情况，由第九站跳1站得到，其概率为:匕，也可以由第（"-1）

站跳2站得到，其概率为:匕T，所以，匕M=g匕

等式两边同时减去匕得以「匕=_；与+g心］=_；优—么J（1<“<98）；

<1113

p+=

（3）由（2）可得此=1,Px=-,P2=~i2^4

由（2）可知，数列｛与+1-匕｝是首项为公比为-;的等比数列，

，片9=4+（2-4）+但—£）+L+（%-月8）=]+（-5

又名厂既^-万］=-^9-'则片8=31+浮；

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有几o=g68=（［+/］-

例3.在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌

豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传

性状：A4为开红花，Aa和一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后

代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产

生的，每一个上一代的遗传因子以工的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第九

2

代的遗传设想为第〃次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父本来说,

如果抛出正面就选择因子A,如果抛出反面就选择因子。，概率都是二，对母本也一样，父本、母本各自

随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状A4，Aa（或aA）,以在父本

和母本中以同样的比例M：V：W（M+V+VV+1）出现，则在随机杂交试验中，遗传因子A被选中的概率是

VV

p=M+5,遗传因子。被选中的概率是4=•+/,称0、4分别为父本和母本中遗传因子A和。的频率，

p:4实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：

（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是Aa,后代遗传性状为A4，Aa（或&4）,的概率分

别是多少？

（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状&具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅

有遗传性状为A4,Aa（或&4）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为〃，

。被选中的概率为4,其中0、4为定值且。+4=1,求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aa（或a4）,

aa所占的比例为,匕，吗；

（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第九代总体中3种

遗传性状A4，Aa（或aA）,所占的比例分别为：un,vn,yvn（un+vn+wn=1）,设第〃代遗传因子

uV”

Un+22k,

A和a的频率分别为p“和外,已知有以下公式2,〃=1,2…

Pn

1-w,1-w,

（i）证明I,｝是等差数列;

（五）求乐+1，v„+1,叱山的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什

么现象发生？

【解析】

解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是Aa,故子代的遗传性状有：A4，Aa,aA,共4

种，故A4，Aa（或oA）,的概率分别是,，—,

424

（2）由题可得，%=p2,V[=2pq,吗=q2；

（3）由⑵知,un+1=pl,v„+1=2pnqn,%+i=q>

.A_%+I/2_P,MPM”_纵

i+c

"]一%+i-q；(i_q0)(i+q“)in'

i।if11

则——=i+—,••/一是公差为i的等差数列：

%+i%〔外,

11乜

—=—+(〃—1),其中〃.2pqq

12

dl-w11-ql+<7

11

—二——\-n,q

%ql+nq

p+nqp(p+阳)

Pn=]_q〃=“〃+i

\+nq(1+阳)2

对于%M=，—,"越大，叫+i越小，所以这种实验长期进行下去，w“越来越小，而也是子代中aa

[1+”<7,

所占的比例，也即性状a。会渐渐消失.

例4.某游戏棋盘上标有第0、1、2、…、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏,

若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏

结束.设游戏过程中棋子出现在第九站的概率为匕.

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望;

(2)证明：^+1-^=-1(^-^-1)(1<«<98)；

(3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏

是否公平.

【解析】

(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6,

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X3456

1331

P

8888

(2)依题意，当1<〃<98时，棋子要到第("+1)站，有两种情况：

由第力站跳1站得到，其概率为-P,,

2：

可以由第(〃-1)站跳2站得到，其概率为gP.p

所以，匕匕一「

同时减去匕得5+gp1T=_ge_/Lj(l<〃<98)；

(3)依照(2)的分析，棋子落到第99站的概率为片9=；48+；67，

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有<oo=g用8-

所以々00<69，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.

例5.甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，

且知甲再赢加(常数相>1)次就获胜，而乙要再赢”(常数〃〉机)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设

再进行J次抛币，游戏结束.

（1）若加=2,n=3,求概率P（J=4）；

⑵若〃=加+2,求概率P（J=加+左）（左=2,3,…，加+1）的最大值（用加表示）.

（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次

乙胜,

33

P(^=4)=C^x(i)xi+C>(l)xl=1.

/\m+k

⑵依题意，P+左)=©J+C)局1(左=2,3,…，加+1).

/[\m+k（加+左一1）!（〃z+左一1）!tn+k

设〃左窗.闺

Hcz+C（加一1）!左！（机+1）!（左一2）!\2/

加（〃1+1）+左（左一1）/[\m+k

（加+1）!左！

〃z(〃z+l)+(左+1)左/]\m+^+l

\2)•(〃:+左)!

f(k+l)_(m+l)!(Zr+l)!(m+k)"7(加+1)+(左+1)左

则

于(k)m(m+l)+^(^-l)m+k2(左+1)m(m+l)+(k-l)k

•（加+左一1）

（冽+1）!左!

（加+左）加（冽+1）+（左+1）左

而>1(*)

2（左+1）"2（加+1）+（左一1）左

ok3—(m+1)^2+(席—2^k—m(rYi1—m—2^<0

<=>（左一根）（左2一人+及一加一2）<0（#）

因为左2—左+.—m―2=o的判别式△=「4（——加一2）<。

<^>m2-m--^-<0（显然在m>l,mGN*时恒成立），

所以左2—左+根2—加一2>0.

又因为上《相，所以（#）恒成立，从而（*）成立.

所以‘1,即/（左+1）2/（左）（当且仅当左=小时，取“="）,

/1\4，〃于1

所以/㈤的最大值为=+1）=©7+C宵）.尚，

即产质=加+左）的最大值为（c^+C/I）•收）.

例6.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量

检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当ZN8时，产品为优等品；当6<Z<8时，产品为一等品;

当2Kz<6时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量

指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概

率.

6

士

季

得

)

田

筮

■

1

质量指标Z

（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；

（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件

产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件

产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产

品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望；

（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操

控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是二，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、

第50格.机器人开始在第。格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动

一格（从左到左+1）,若掷出反面，机器人向前移动两格（从左到左+2）,直到机器人移到第49格（胜利

大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机

器人移到第"格的概率为月（0<,<50,〃wN*）,试证明{5}（1</<49,"eN*）是等比数列，并解

释此方案能否吸引顾客购买该款产品.

【解析】

121+87+421

(1)根据条形图可知，优等品的频率为------------=—,用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的

5002

概率为尸=工.

2

(2)由(1)任取一件产品为优等品的概率为工，

2

由题意X=(1600—1000)x80—250x4=47000,或

X=(1500-1000)x80—250x4=39000

产(X=47000)=屐a4

(Il

P(X=39000)=C°

故X的分布列为:

X4700039000

511

p

1616

所以数学期望EX=47000X—+39000x—=41500.

1616

(3)机器人在第0格为必然事件，及=1,第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率

机器人移到第n(2<n<49)格的情况只有两种：

①先到第7格，又出现反面，其概率32,

②先到第〃—1格，又出现正面，其概率;匕

所以匕、唠故与一以=4优「

所以时，数列｛弓―CT｝为首项片―4=—3，

公比为-工的等比数列.

2

所以『片=4'£一”〔一1’—[J……，k加=:口'

以上各式累加，得巴—1=(—g)+1—g)+…+(—g),

(n=0,l,--,49)

2

所以获胜概率％=耳

失败概率月。=；巴8=；

七一々ng1—g］"Jl+'j=JLU〉°，所以获胜概率更大，

故此方案能吸引顾客购买该款产品.

例7.时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项

课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积

极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式

选择规则如下:第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式,

若得到的正面朝上的枚数小于4,则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.

（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列;

（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件44相

互对立并且P（A）＞0（z=l,2）,则对任一事件B有

P（B）=P（叫4）P（A）+P（叫&）P（4）=尸（48）+尸（4为.设P“（neN*）表示事件“第〃天王先生上班选

择的是骑自行车出行方式”的概率.

①用P,i表示pn（«＞2）；

②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由.

【解析】

解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为则&

6

年＜4）=41+《&+叱［+需］啜P（”）、仁4）4

由已知随机变量X的可能取值为1,2,3；

1121231

P(X=1)=P©.4)•P(J<4)=—x—=-^―

32321024

2121441

p(X=3)=P(^<4)-P(^<4)=—x—=-——

32321024

P(X=2)=1—P(X=1)—P(X=3)=而或

21111111%2

P(X=2)=PC<4).P(理)+PC4)-P(^?4)=—x—+—x—=—,

J4J4J4A.\J

所以随机变量X的分布列为

X123

231352441

P

102410241024

(2)①设4T表示事件“第〃天王先生选择的是骑自行车出行方式”，4表示事件“第〃天王先生选择的

是骑自行车出行方式”，由全概率公式知P〃=P(4)=P(AJ4T)P(4T)+P(A/A二)p(A二)

=P”T.尸C<4)+(1_%JP4.4)=白p〃T+意即0=白P“T+白几•2).

16321632

②由①知凡—又Pi=l,所以数列1p“—是首项为二，公比为工的等比数

216k2)I21216

列,

因为+g>g恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出

行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，

所以王先生积极响应该市政府的号召.

例8.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X.

(1)求随机变量X的分布列；

(2)若随机变量F=2X+1，求随机变量F均值、方差.

【解析】

随机变量X的取值可以为0，1，2.

P(X=0)=

因此，随机变量X的分布列为:

X012

£]_

P

454

1119191911

（2）由（1）知EX=Ox—+lx—+2x—=1.DX=（O-l）-x-+（l-l）x-+（2-l）x-=-.

424v74v72v742

E（y）=E（2X+l）=2E（X）+l=3,

D（y）=D（2X+l）=4D（X）=2.

例9.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

（1）设抛掷4次的得分为X,求变量X的分布列和数学期望.

（2）当游戏得分为“〃eN*）时，游戏停止，记得〃分的概率和为=g.

①求。2；

②当“CN*时，记4=2!+|+；2,，4=2i+1—21，证明：数列｛4｝为常数列，数列｛用｝为等比数歹u.

【解析】

（1）变量X的所有可能取值为4,5,6,7,8.

每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为工，反面向上的概率也为工，

22

则P（X=4）=d）4=々,p（x=5）=C：x（g4=；p（x=6）=C：x（g）4=],

2162428

P（X=7）=C：><d）4=：,p（x=8）=C：><d）4=±.

24216

所以变量X的分布列为：

X45678

1j_j_1

P3

1648416

故变量X的数学期望为E(X)=4XL+5XL+6X』+7><L+8XL=6.

1648416

(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为2=g+(g)2=；.

②得九分分两种情况，第一种为得2分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上,

故〃23且“eN*时，有&

则〃eN*时,2+2=gQn+i+30小

所以4+1=Qn+2+TQn+1=T2+1+J+5Qn+1=Qn+1+j=4，

乙乙乙乙乙

故数列｛A,｝为常数列；

又Bn+l=2+2—Q“+i=-Q“+i+-2„-Qll+iQ,l+i+；=—；(Qn+「Qn)=-；B“,

乙乙乙乙乙乙

311

用=2-Qi=w-5=Z，所以数列｛4｝为等比数列.

例10.某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制.已知每局比赛中必决出胜负，若甲

先发球，其获胜的概率为二，否则其获胜的概率为

23

(1)若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

(2)若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记X为比赛结束时甲

的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望.

【解析】

(1)若甲获得发球权，则获胜的概率为=如果甲没有发球权，

224

则获胜的概率为!义工=9,所以甲获胜的概率为3+，=工.

2364612

(2)比赛结束时甲的总得分X的可能取值为0,3,6,9.

X=0时，比赛的结果为：“乙乙乙”，；.p(X=0)=2」［=」

3226

X=3时，比赛的结果为：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，"乙乙甲乙”，

..VQ、1211212121125

33223232322318

X=6时，比赛的结果为：“甲甲乙乙乙“，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙“，“乙甲甲乙乙”，

乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”,

212122111213

一.一.------1-------,—,——•——,——=---------.

323233223354

151317

X=9,.•.p(X=9)=l---------------=—

6185454

X的分布列为

X0369

151317

P

6185454

15131746

E(X)=0--+3•——+6•—+9•—

6185454~9

例11.有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬

币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得x(xeN+)分，再由乙第一次抛，若出现朝上的

情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙

第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若

出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1

分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为

(1)一轮游戏后，求〃〉3的概率；

171171

(2)一轮游戏后，经计算得乙的数学期望石〃=五，要使得甲的数学期望立，求》的最小值.

【解析】

抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为二，

2

(1)由游戏规则可知：723且每次抛币得分为1分的概率均为:，

(2)记自(/=1,2,3)分别表示甲乙第i次抛币的得分,

由题意，甲第一次得分为X,

甲第二次得分分布列：

123

J_££

P

244

甲第三次得分分布列:

12345

££11

P

5481616

砥=卫

316

73117153

AE^E^+E^+EL=X+-+—>—,：.X>—,•••xeN+，的最小值为2

234163232

法—-：J可能取值为x+2,x+3,尤+4,犬+6,x+7,%+8

J的分布列为

x+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8

£££511

P

4448643264

广匕59171.53

/Sc—XH------>-------,..X>-----,

163232

・・・)£乂，，力的最小值为2