高中数学专项复习：茎叶图（解析版）

专题4茎叶图

例i.张老师将某位高三学生io次选填题专测的成绩进行统计，得到的统计结果如图所示，但学习委员在

将成绩登记在册的时候将62与68均登记成了65,则两个成绩相比，不变的数字特征是（）

5357

62358

7557

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

【解析】解：两个成绩比较，具体情况如下:

众数中位数平均数方差

张老师75646567.4

学习委员65656565.6

观察可知，平均数相同，众数、中位数和方差均不相同.

故选：C.

例2.某社区安置了15个体温检测点，每个检测点每天检测的人数都是随机的，不受位置等因素影响，如

图是由某天检测人数绘制的茎叶图，则某个检测点某天检测人数达145及以上的概率是（）

130246

140555688

152334

A.—B.—C.-D.-

151533

【解析】解：由茎叶图中数据知，

在15个数据中，人数达到145及以上的有10个，

所以所求的概率为尸=W=2.

153

故选：D.

例3.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机的软件层出不穷.为调查某两家订餐软件的商家

的服务情况，统计了它们订餐“送达时间”（时间：分钟），得到茎叶图如图所示，贝心）

甲乙

—

80

463125

368254

3893161679

2449

150

A.甲款APP送餐时间更稳定，中位数为26

B.甲款转尸送餐时间更稳定，中位数为27

C.乙款转尸送餐时间更稳定，中位数为31

D.乙款APP送餐时间更稳定，中位数为36

【解析】解：由茎叶图中数据知，乙款尸送餐时间大部分集中在30~40分钟之间,

甲款APP送餐时间相对比较分散，素养乙款APP送餐时间更稳定些.

乙款APP统计的送餐时间共有13个数据，

由小到大排列后处于中间的是36,所以中位数是36.

故选：D.

例4.如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则平均成绩较小的那位同学的成绩的方差为

（）

甲乙

98879

2109018

A.1B.2C.3D.4

【解析】解:由题意，可得濡=88+89+：+91+92=90,

一87+89+90+91+981————

x乙=-----------------=91,%甲<%乙,

22222

痂2_(88—90)+(89-90)+(90-90)+(91-90)+(92-90)

白乂Sea—

故选：B.

例5.某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成

绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（）

甲

A.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数

B.乙成绩的极差为40

C.甲乙两人成绩的众数相等

D.甲成绩的中位数为32

——1

【解析】解:根据茎叶图中数据知，甲成绩的平均数为箱=-x(ll+22+23+24+32+32+33+41+52)=30,

___11

乙成绩的平均数为星=-x(10+22+31+32+35+42+42+50+52)=35-,

所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，A错误；

乙成绩的极差为52-10=42,所以3错误；

甲成绩的众数是32,乙成绩的众数是42,两人的众数不相等，所以C错误；

甲成绩的中位数是32,所以D正确.

故选：D.

例6.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人

的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，

下列统计结论正确的有()

甲乙

36921

258846

257997257

13586144

95236

469

A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分

B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散

C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数

D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数

【解析】解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散,

可知甲组的平均分数高于乙组，故A正确，3错误;

甲组的中位数为77,乙组中位数为64,故C正确；

甲组的众数为79,乙组众数为64,故。错误；

故选：AC.

例7.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32,乙得分的

平均值为24,则下列结论正确的是()

甲乙

60।

412

8256y

x431

A.x=8

B.甲得分的方差是736

C.y=26

D.乙得分的方差小于甲得分的方差

【解析】解：•.•甲得分的极差为32,

.•.30+X-6=32,解得x=8,故A正确；

•.•乙得分的平均值为24,

1(12+25+26+20+y+31)=24,

解得？=6,故C错误；

甲得分的平均数为：

#6+14+28+38+34)=24,

二甲得分的方差是：

=1[(6-24)*123+(14-24)2+(28-24)2+(38-24)2+(34-24)」=147.2，故3错误；

乙得分的方差是：

S；K12—+(253+(26-24)2+(26—+(3S)2]"2,

二乙得分的方差小于甲得分的方差，故。错误.

故选：AD.

例8.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的

茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则x+v的值为13

甲

89764

65*2811J

649116

【解析】解：•.•甲班学生成绩的平均分是86,

8—7—4—6+x—1+0+8+10=0,即x=8.

乙班学生成绩的中位数是83,故y=5.

:.x+y=13.

故答案为：13.

例9.某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个数字(茎叶图中的

x)模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字x的值为3.

物理成绩

8456

900x

例10.如图所示的茎叶图是甲、乙两个代表队各7名队员参加“安全知识竞赛”的成绩，乙队成绩的众数

为利+81,从甲、乙两队中各选取1名队员，则两名队员所得分数相同的概率为—.

一49一

5?_____乙

079

54551844647

m93

【解析】解：由茎叶图可知，乙队成绩的众数为

84,所以84=m+81,解得相=3,

从甲、乙两队中各选取1名队员，共有7x7=49种

选法，

记“两名队员所得分数相同”为事件A,则事件A

对应的基本事件数有4种，

4

所以P(A).

49

故答案为：—.

例11.某研究机构对8名新型冠状病毒患者的潜伏期(单位：天)调查结果为如图茎叶图所示，则这组数

据的平均数减去中位数的差为

【解析】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：5,7,10,11,12,14,16,21；

它们的平均数为:x(5+7+10+11+12+14+16+21)=12,

中位数为。x(U+12)=11.5,

所以平均数减去中位数的差为12-11.5=0.5.

故答案为：0.5.

例12.一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示(其中茎表示十位数，叶表示个位

数)，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为89.

79

867

90112

【解析】解：根据茎叶图知，这7个数据从小到大排列为：79,86,87,90,91,91,92；

去掉一个最高分92,一个最低分79,剩余数据的平均数为

x=1x(86+87+90+91+91)=89.

故答案为：89.

例13.某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平

均分与中位数的差为2.

7689

8046

936

【解析】解：由茎叶图可知，

»oq4加田乡主钻正为八班76+78+79+80+84+86+93+96

这8位学生成绩的平均分为：------------------------------=84，

8

J-,/-xf,80+84

中位数为：------二82,

2

所以这8位学生成绩的平均分与中位数的差为84-82=2.

故答案为：2.

例14.A,5两名同学在5次数学考试中的成绩统计如图的茎叶图所示，若A,5两人的平均成绩分别是

X

尤A，/，则%—<—B（用“>"，<”,J填空）

B

52188

4987

1043

811

【解析】解：由茎叶图可知，

81+82+85+94+118小

4二-------------------二92,

88+98+97+104+103及

xB=-----------------------------=98,

xA<xB.

故答案为：<.

例15.如图所示的茎叶图是甲、乙两个队10场比赛的得分数据，则下列结论：①甲队得分的极差是27；

②乙队得分的中位数是38；③乙队得分的众数是43；④甲、乙两队得分在（30,39］分数段频率相等；⑤甲

队得分的稳定性比乙队好.其中正确结论的序号为①③⑤

【解析】解：对于①，甲队得分的极差是51-24=27,所以①正确；

对于②，乙队得分的中位数是gX（35+43）=39,所以②错误；

对于③，由图中数据知，乙队得分的众数是43,所以③正确；

对于④，甲、乙两队得分在（30,39］分数段内的频数分别为甲是4,乙是3,

两者的频数不同，所以频率不相等，④错误;

对于⑤，甲队得分极差是51-24=27,乙队得分极差是52-22=30,且二者的平均数相同,

所以甲队得分的稳定性比乙队好，⑤正确.

综上知，正确结论的序号为①③⑤.

故答案为：①③⑤.

例16.“学习强国”是由中央宣传部宣传情研究中心出品的学习平台，分PC端、手机客户端两大终端，于

2019年1月1日上线.某教育行政部门为了了解某校男、女党员教师学习“学习强国”的得分情况，随机

调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师2019年10

月份的日均得分（单位：分）如表：

男党员教师日均101216292325383841

得分

女党员教师日均111717283436374041

得分

（1）根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师学习“学习强国”的积极性是否比女党

员教师高，并说明理由；

（2）从这18位日均得分不低于35分的男、女党员教师中各随机抽取一名，求男党员教师的得分高于女党

员教师得分的概率.

阳党员教婶口均得分女党员教师口均得分

3

4

【解析】解：（1）根据以上数据完成下面的茎叶图，如图所示:

男党员教师H均得分女党员教师II均得分

6201I77

95328

883467

I401

由茎叶图可以看出，男党员教师学习“学习强国”的积极性不比女党员教师高.

理由如下：

男党员教师学习“学习强国”的日均得分集中在茎1,2上，而女党员教师日均得分集中在茎1,3上,

由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高.

（2）设事件M为“男党员教师的得分高于女党员教师得分”，

这18位党员教师中日均得分不低于35分的男、女党员教师分别有3人，4人,

其中3位得分分别为38,38,41的男党员教师依次记为a,b,c,得分分别为36,37,40,41的4位女

党员教师依次记为A,B,C,D.

从这18位日均得分不低于35分的男、女党员教师中各随机抽取一名，

所含的基本事件为{a，A},[a,B],{a,C},{a,D},{b,A},{b,B},{b,C},{b,D},{c,

A},{c,B},{c,C],{c,£>},共12个.

事件M所含的基本事件为{a,A},[a,B],{b,A},{b,B},{c,A},{c,B},{c,C},共7个.

所以男党员教师的得分高于女党员教师得分的概率P(M)=《.

例17.由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进

行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表(单位：人)是对高二年级数学成绩及“认为自己在

家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120

分的为及格，成绩小于90分的为不及格.

优秀及格不及格

学习态度端正91300a

学习态度不端正9200322

按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5.

(1)求〃的值；

(2)用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2人,

求至少有1人学习不端正的概率；

(3)在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5,

求的概率.

9ab

100568

11367

【解析】解：(1)设高二年级总人数为〃人，由题意可得”=△—,解得“=1000,

n91+9

则a=100-(91+9)-322-(300+200)=78,

(2)设所抽样本中有无人学习态度端正的学生，则由分层抽样可知迎=',解得》=3,

5005

因此抽取一个容量为5的样本中，由2个学习态度不端正，3个学习态度端正，分别记作a,b,A,

B,C,

从中任取2个的基本事件为(a,6),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),

(B,C),共10个.

至少含有11人学习不端正的基本事件有7个，(a,6),(a,A),(a,B),(a,C),(6,A),

3,3),(b,Q,

7

二从中任取2人，至少有1人学习不端正的概率尸=,；

10

(3)记事件A为“a>b"，因为平均分为104.5,

则4(90x3+100x4+110x3+2+。+6+5+6+8+3+6+7)=104.5,

解得a+b=8,

二a和6的取值共有9种情况，它们是(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),

(6,2),(7,1),(8,0),

其中。>6有4种情况，它们是(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),

4

故P(A)=-.

9

例18.高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路”的知识

问卷调查，并从中随机抽取了12份问卷，得到测试成绩(百分制)的茎叶图如图.

(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；

(2)从测试成绩为［70,90］的学生中随机抽取2人，求两位学生的测试成绩均落在［70,80］的概率.

成绩

y2

6378

72666

828

934

【解析】解：（1）由茎叶图得测试成绩为52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94中位数为76,

所抽取的12人中，70分以下的有4人，70分以上的有8人，则样本中70分以上所在比例为§=2,

123

估计该校测试成绩在70分以上的人数为3000*2=2000人，

3

（2）从测试成绩为［70,90］的学生中随机抽取2人，共有C；=15,［70,80］中的任取2人，共有C：=6,

成绩均落在两位学生的测试成绩均落在［70,80］的概率2=|.

例19.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用

世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米

与75微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解

A城市2019年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均

值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）求30天样本数据的平均数；

（2）从A城市共采集的30个数据样本中，从PM2.5日均值在［70,90］范围内随机取2天数据，求取到2

天的PM2.5均超标的概率；

（3）以这30天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气

质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）

【解析】解：(1)30天样本数据的平均数为

x=^x(20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9)=53；

(2)从A城市所采集的30个数据样本中，PM2.5日均值在［70,90］内的共有5天，

而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天；

记尸M2.5日均值超标的3天为a,b,c,不超标的2天为x,y；

则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果(不记顺序)：

(°,6)、(a,c)、(a,x)、(«,y)>(b,c)、(b,y)、(c,x)、(c,y)、(x,y),

其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有3种：3,6)、(a,c)、(b,c),

由古典概型知，抽到2天的PM2.5日均值均超标的概率为尸=』；

10

(3)在抽取的30天样本数据中，A城市有8天达到一级，有17天达到二级.

由样本估计总体知，A城市一年中空气质量达到一级的天数约为：365x8=垩。97(天)，

303

A城市一年(按365天计算)中空气质量达到二级的天数约为：365><q="丝。207(天)；

306

所以估计A城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天.

例20.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，将他们的成绩(满分100分)进行统计分

析，绘制成如图所示的茎叶图.已知甲班学生成绩的众数是83,乙班学生成绩的平均数是86.

(1)求x,y的值；

(2)设成绩在85分以上(含85分)的学生为优秀学生.从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选

取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩为事件A,求事件A发生的概率P(A).

甲乙

8976

x3812y

629116

【解析】解：(1)由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83,80+%,86；

因为甲班学生成绩众数是83,所以83出现的次数最多，可知x=3.

又乙班学生的平均分是86,总分等于86x7=602,

所以597+y=602,所以>=5.

(2)根据茎叶图知，总基本事件共2x4=8个，

分别为(92,85),(92,91),(92,91),(92,96),

(96,85),(96,91),(96,91),(96,96)；

A事件包括：(92,85),(92,91),(92,91),

(96,85),(96,91),(96,91),(96,96)共7个基本事件;

7

故所求的概率为尸（A）=-.

8

例21.在新冠肺炎疫情的影响下，某高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学.高一年

级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他

们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生

成绩的中位数是86分.

（1）求出x,y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S：、S；,从稳定性出发，你认为应

该选派哪一个班的学生参加决赛？

（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名，求至少有1名来自乙班的概率.

甲z_

2735

51x8y

09o1

【解析】解：(1)由金='/十°'十;十'V+2=83,得x=7.

由73,75,8y，90,91中位数是86,得y=6.乙的平均数为：83.

2(72-83)2+(81-83y+...+(90-83)2194

155

12*722

2(73-83)+(75-83)+...(91-83)286

Sc=-------------------------------------------------------------------=--------.

22

^<52,甲乙平均值相等.

加班稳定，应该选派甲班的学生参加决赛.

(2)甲班：85,87,90.乙班：90,91.

.•.随机抽取2名学生，至少有1名来自乙班的概率:

CaCn+7

P=

10

故答案为:（1）应该选派甲班的学生参加决赛.

⑵片

例22.某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计

算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2）,具体的转换步骤为：①

原始分¥等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.

某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如表：

等级ABCDE

比例约15%约35%约35%约13%约2%

政治学科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等级对应的原始分区间

化学学科[90,100][77,89][69,76][66,68][63,65]

各等级对应的原始分区间

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下:

政治：6472669278668265766774807069847568716079

化学：7279867583896498736779847794718174699170

并根据上述数据制作了如下的茎叶图:

政治化学

98766540①479

98654210②012345799

420③1346⑥

2④14⑤

（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：

①应填6,②应填,③应填,④应填,⑤应填