高中数学专项复习：概率与统计 综合应用（解析版）

2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

92概率与统计综合应用

【考点讲解】

一、具本目标：

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求

某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.

（2）了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布,

并能解决一些简单的实际问题.

（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，

并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.

（5）借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

（6）了解回归的基本思想、方法及其简单应用.

（7）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.

二、知识概述：

1..古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概型：

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）为有限个，且每次试验只能出现其中的一个结果（基本事

件）；（2）每个试验结果（基本事件）出现的可能性相等.

【温馨提示】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：,适合于较为复杂的问题中

的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多

元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于

限制条件较多且元素数目较多的题目.

2.几何概型的基本特性：

（1）试验中所有可能出现的结果有无限个；（2）每个试验结果（基本事件）出现的可能性相等.

3.离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，

还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和

方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算,

注意离散型随机变量的取值与概率间的对应.

求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求

出X取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几

何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.

4,二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有

两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结

果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

5.判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代

入相关系数厂的公式求出乙然后根据厂的大小进行判断.求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一

定要注意计算的准确性.

【真题分析】

1.[2018年高考全国口卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德

巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随

机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

12141518

【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两个不同的数，

共有C；0=45种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23,11和19,13和17,所以随机选取两个

不同的数，其和等于30的概率为二3=一1，选C.

4515

【答案】C

2.【2018年高考全国H卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德

巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机

选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

12141518

【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两个不同的数，

共有G：=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的

31

有3种方法，故所求概率为丁=一,故选C.

4515

【答案】C

3.【2018年高考全国I卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为

更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得

到如下饼图：

第三产业收入

第三产业收入

种植收入,种楂收入,

其他收入

养殖收入*st畋人

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【解析】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,

而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为

0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为

0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入

的综合占经济收入的30%+28%=58%〉50%'所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.

【答案】A

4.【2018年高考全国III卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为夕，各成员的支付方式相互

独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2A,P(X=4)<P(X=6),则

P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【解析】；D(X)="p(l。=。.4或。=0.6,

46642

P(X=4)=Cf0jp(1-p)<P(X=6)=Cf0p(1-p),(1-p)<p~,可知p>0.5,故夕=0.6.故

选B.

【答案】B

5.【2018年高考浙江卷]设0</<1,随机变量q的分布列是

012

1-Pj_P_

P

22~2

则当p在(0,1)内增大时，

A.D4)减小B.。(①增大

C.D(，先减小后增大D.D学)先增大后减小

【解析】

•・E(f)=0X子+1X：+2=p+；二De=1(0-p-i)2+j(1-p-y)z+£(2-p-2=

-p2+p+^

事(0,1)

，D(《)先增大后减小，故选D.

【答案】D

6.[2018年高考全国I卷理数】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构

成，三个半圆的直径分别为直角三角形A8C的斜边8C,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记

为I,黑色部分记为n,其余部分记为m.在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,iii的概率分别记

为pi,P2,P3,则()

A

A.pi=p2B.P1=P3

C.P2=P3D.P1=P2+P3

【解析】设4。=氏45=C,5。=。，则有从+C2="，从而可以求得AA5C的面积为耳=g)c,黑色

7122

部分的面积为S2=兀,((')2+,(~)-[^,(^)~~jbc]

兀.3^+4c/c,

=7T（—+—-—）+-Z^C=

4442422

其余部分的面积为S3=7r§)2—gbc=丫―/be,所以有耳=$2,

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到“_力，故选A.

P1~K2

【答案】A

7.【2017年高考浙江卷】已知随机变量。满足P(。=1)=pi,P(。=0)=1-p,,i=l,2.若0<pi<p2<；,

则

A.E记J<E记2)，D&)<D&)B.E记j<E记2)，。&)>。6)

C.E©)>E©),D&)<D&)D.E&)>E©),£>©)>£>6)

【解析】•；E&)=Pi，E&)=p2，,E&)<E&),

*/。(。)=月(1一月),。(&2)=。2(1-。2)，，。&)一。(&2)=(。1一。2)(1-。1一必)<。，故选A.

【答案】A

8.【2017年高考山东卷理数】为了研究某班学生的脚长》(单位：厘米)和身高V(单位：厘米)的关系,

从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与X之间有线性相关关系，设其回归直线方

1010

程为$=%+6.已知、>,=225,»=1600,6=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为

1=11=1

()

A.160B.163C.166D.170

【解析】由已知得£=22.5,5=160,则g=160—4x22.5=70,当x=24时，y=4x24+70=166-故选

C-.

【答案】C

9.【2018年高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选

中2名女生的概率为.

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有C；=10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有C；=3种，因

此所求概率为2.故答案为：—.

1010

3

【答案】—

10

10.12016高考新课标2理数】某险种的基本保费为。(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人,

续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234>5

保费0.85aa1.25a1.5a1.75。2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【分析】

(I)根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(H)一续保人本年度的保

费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3,由条件概率公式求解；(III)记续保人本年度的保费为X,

求X的分布列，再根据期望公式求解.

【解析】(I)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险

次数大于1,故尸(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(H)设3表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件3发生当且仅当一年内出险

次数大于3,故尸(3)=0.1+0.05=0.15.又尸(")=尸(5),故尸(3|人)=四2=△"="=』.

P(A)P(A)0.5511

因此所求概率为士3.

11

（Ill）记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为

X0.85。a1.25a1.5a1.75a2a

p0.300.150.200.200.100.05

=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+L5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05

=1.23a

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23

11.【2016山东理19】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活

动中，如果两人都猜对，贝广星队”得3分；如果只有一个人猜对，贝广星队”得1分；如果两人都没猜对，贝/'星

32

队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是一，乙每轮猜对的概率是一；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各

43

轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

【解析】（1）记事件A:“甲第一轮猜对“，记事件3：“乙第一轮猜对“，记事件C：“甲第二轮猜对“，记

事件D：“乙第二轮猜对“，记事件E：“星队”至少猜对3个成语”.

由题意，E=ABCD+~ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的独立性与互斥性，

P（E）=P（ABCD）+P（ABCD）+P（^ABCD）+P^ABCD）+ABC万）=

P（A）P（JB）P（C）P（D）+P（A）P（JB）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）+

P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）=

3232°C2323132）2

4343（4343434313

2

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为一.

3

（2）由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，

11111、(31111211、105

得—X—X—X———，P(X=l)=2x—X—X—X—+—X—X—X—=-------=

P(X=O))

4343144I(43434343J14472

…小313131121231121225

\,4343434343434343144

..321111321

P(X=3)=—x—x—x—+—x—x—x—=—

',4343434312

32313212、605

p(X=4)=2x—X—X—X—H——X—X—X—=-------=——

43434343j14412

D/V_G_3232_1

P(X_o)—_x_x_x_—一

'743434

可得随机变量X的分布列为

X012346

p152515£

1447214412124

152515123

所以数学期望EX=0x-^+lx——+2x3+3x±+4x3+6义士=

14472144121246

12.【2016全国乙理19】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购

进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500

元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更

换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三

年内共需更换的易损零件数，”表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X京办)0.5,确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，应选用哪个？

【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,

I的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而：P(X=16)=0.2x0.2=0.04；P(X=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；P(X=19)=2x0.2x0.2+2x0,4x0,2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0,2；P(X=21)=2x0,2x0,2=0.08；P(X=22)=0.2x0,2=0.04.

所以x的分布列为：

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由(1)知,P(X<18)=0.44,P(X<19)=0.68,故〃的最小值为19.

(3)记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当〃=19时，EK=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+

(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)x0.04=4040.

当〃=20时，£K=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

可知当〃=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选力=19.

13.【2018年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“4=1”表示第左类电影得

到人们喜欢，“蔡=0”表示第％类电影没有得到人们喜欢（k=L2,3,4,5,6）.写出方差。”2,

D&3,。虞，。短的大小关系.

【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200x0.25=50.故所求概率为3-=0.025.

2000

（2）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影

获得好评”.故所求概率为尸（AB+AB）=P（A卫）+P（初）=尸（A）（1—尸（2））+（上尸（人））尸（B）.

由题意知：P（A）估计为0.25,P（B）估计为0.2.

故所求概率估计为0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

（3）D&I>D&A>D&2=D&5>D43>D&6.

14.【2018年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分

层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检

查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X』t)c；(仁0,1,2,3).所以，随机变量X的分布列为

X0123

112184

P

35353535

11912412

随机变量X的数学期望E(X)=0x—+lx—+2x，+3x—=—.

353535357

(ii)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”;

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

则A=BUC,且2与C互斥，

由⑴知，P(B)=P(X=2),P(Q=P(X=1),故尸(A)=尸(8U0=P(X=2)+尸(X=l)=9.所以，事件A发生的概率

7

6

为一.

7

15.【2017年高考全国I卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随

机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产

的零件的尺寸服从正态分布N(").

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件数,

求P(X21)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1161116I116

经计算得元=/X%=9-97,S=«—元)2=—16N2)aQ212,其中X,为抽取的

16i=lVi=iVi=i

第，个零件的尺寸，力=1,2,…,16

用样本平均数天作为〃的估计值。，用样本标准差s作为b的估计值］,利用估计值判断是否需对当

天的生产过程进行检查？剔除("-33,衣+33)之外的数据，用剩下的数据估计〃和a(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布NQz,/),则P(〃—3(r<Z<A+3b)=0.9974,

0.997416a0.9592，-0.008®0.09.

【分析】(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在(〃-3b,〃+3b)之内的概率为0.9974,则零件的尺寸在

(〃—3b,〃+3b)之外的概率为0.0026,而*~5(16,0.0026),进而可以求出X的数学期望.(2)(i)判断

监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃-3s〃+3b)之外

的零件的概率是大还是小，若小即合理；(ii)根据题设条件算出〃的估计值和b的估计值，剔除

(。—36,"+36)之外的数据9.22,算出剩下数据的平均数，即为〃的估计值，剔除(。—36,。+33)之外

的数据9.22,剩下数据的样本方差，即为b的估计值.

【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(〃一3CT，A+3CT)之内的概率为0.9974,

从而零件的尺寸在(〃一3。,〃+3。)之外的概率为0.0026,故*~5(16,0.0026).

因止匕P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416x0.0408.

X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(〃—3cr,〃+3cr)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16

个零件中，出现尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这

种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检

查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,6^0.212,得〃的估计值为。=9.97,s的估计值为3=0.212,

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(衣-33,。+36)之外，

因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(。-33,。+36)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为

^(16x9.97-9.22)=10.02,因此〃的估计值为10.02.

16

Zx；=16X0.2122+16义9.972。1591.134,剔除3-33,"+33)之外的数据9.22,

Z=1

剩下数据的样本方差为人(1591.134-9.22z-15义10022)。0.008，因此。的估计值为70008工0.09.

【模拟考场】

1.【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的

分数的平均数为-

【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,9r

89+89+90+91+91

故平均数为=90.

5

【答案】90

2.【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选

中2名女生的概率为.

【解析】从5名学生中抽取2名学生，，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概

3

【答案】历

4.［2017年高考江苏卷】记函数f(x)=《6+x—x2的定义域为£>.在区间［-4,5］上随机取一个数x,则

xeD的概率是______________

【解析】由6+%—%220,即%2—%—6«0,得—2«x«3,根据几何概型的概率计算公式得xc。的概

^±7日.3-(-2)5

举7E

5-(-4)9

【答案】|

5.【2017年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100

件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽■取60件进行检验，则应从丙种型号的产品

中抽取件.

【解析】应从丙种型号的产品中抽取60x巨”=18件，故答案为18.

1000

【答案】18

6.【2017年高考全国H卷理数】一批产品的二等品率为Q02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽

取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=.

【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即乂~3（100,0.02）,由二项分布的期望公式可

得DX=帆（1一p）=100x0.02x0.98=1.96.

【答案】1.96

7.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的,

出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障需要维修的概率为1.

3

（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于

90%?

（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现

故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人.求

该厂每月获利的均值.

【解析】（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A,则事

件A的概率为工；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X,则

3

X〜B（4,寺）,p（x=0）=C：Cl"），喏■'P（X=1）=C；!,瑙■'

P（X=2）=C：・。）P（X=3）=C；•停）工会卷，

则X的分布列为：

X01234

p16322481

8181818181

设该厂有n名工人，贝心每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X<n,

则X=0,X=l,X=2,…，X=n,这a+1个互斥事件的和事件，贝!I

n01234

P(X<n)164872801

81818181

至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；

（2）设该厂获利为V万元，则丫的所有可能取值为：18,13,8,

P（y=i8）=p（x=o）+p（x=l）+p（x=2）=^7>

ol

o

P(Y=13)=P(X=3)—，

ol

P(Y=8)=P(X=4)4；

ol

则y的分布列为：

Y18138

P7281

818181

则E(Y)=18X导13XJ~+8xJ•丹暑；故该厂获利的均值为噤•.

ololololol

8.有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年一龄将大众评

委分为5组，各组的人数如下:

组别ABCDE

人数5010015015050

(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取

【分析】已知总人数和各组人数在第一问中是分层抽样，抽样比为襦，第二问针对A,B组各选1人.

解题目标：(1)求各组分层抽样的人数.(2)求A,B组中支持1号的概率.

关系探究：第一问中由B组得出抽样比，其它各组按这个抽样比抽取人数.

第二问把A,B两组被抽到的人员用字母表示，把事件用符号表示，由古典概型计算概率.

【解析1(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的.人数如下表：

组别.ABCDE

人数5010015015050

抽取人数36993

(2)记从A组抽到的3位评委分别为ai，a2,a3,其中血，a?支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分

别为b],b2,b3，bs，b6，其中bi，b2支持1号歌手，从｛ara2，a§｝和｛bi，ba，bs，b《，b6,be｝中各抽

取1人的所有结果如图：

由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有aibi，aib2，azbi，a2b2，共4种，故所求

42

概率P=l8=9-

9.在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全.部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的

考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数

学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人.

(1)求该考场考生中,"阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；

(2)若等级A,B,C,D,E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目

的平均分；

(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，

随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率.

【解析】(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有10M.25=40(人).

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)

=40x0.075=3.

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

知“40x0.2)+2x(40x04)+3x(40x0.375)+4x(40x0.25)+5x(40x0.075)]=29

(3)因为两科考试中，共有6个A,又恰有2人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目成

绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A

的考生中，随机抽取2人进