14.2三角形的外角与外角和（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（沪教版）

14.2三角形的外角与外角和（第2课时）2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件如图所示,∠ACD与∠ACB有什么位置关系？ADCB∠ACD与∠ACB互为邻补角我们把三角形一个内角的邻补角称为三角形的一个外角．概念在三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？E与一个内角相邻的外角有两个．这两个的外角的大小关系如何？为什么？这两个外角大小相等．对顶角相等．ABCD三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．外角即一个内角的邻补角探究新知ADCB三角形的外角与内角有怎样的位置关系？相邻和不相邻．三角形的外角与相邻的内角有怎样的数量关系？三角形的外角与相邻的内角是互补的关系．即：∠ACD+∠ACB=1800

．讨论三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？探究新知ADCB∵∠ACD+∠ACB=1800（邻补角的意义）．

∠A+∠B+∠ACB=1800

（三角形的内角和等于1800

）．∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB

（等量代换）．

∴∠ACD=∠A+∠B（等式性质）．

归纳三角形外角的性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.符号语言：（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.∠ACD=∠A+∠B图形语言：探究新知ADCB三角形外角的性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.符号语言：∠ACD>∠A（或∠B）三角形的外角与任意一个与它不相邻的内角有怎样的数量关系？归纳（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）.例题3已知△ABC中，∠A=30°，∠C=50°，求分别与∠B、∠C相邻的一个外角的度数．例题讲解ADCB图中有与∠B、∠C相邻的外角吗？解：作CB的延长线BD，则∠ABD是∠ABC相邻的一个外角．50°30°？用三个字母表示∵∠ABD=∠A+∠ACB

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.又∵∠ACB=50°（已知），

∴∠ABD=80°作BC的延长线CE，E则∠ACE是∠ACB相邻的一个外角．？∵∠ACE+∠ACB=1800（邻补角的意义），

∴∠ACE=130°（等式性质）．

又∵∠A=30°（已知），

（等式性质）．

例题4

如图，已知∠BAC=70°D是△ABC的边BC上的一点，且

∠CAD=∠C，，∠ADB=80°，（1）求∠C的度数.（2）求∠B的度数.ABDC解(1)因为∠ADB=∠CAD+∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，又∠CAD=∠C，∠ADB=80°(已知)所以∠C+∠C=80°(等量代换)(2)因为∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°).又∠BAC=70°(已知)，所以70°+∠B+40°=180°(等量代换)所以∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-70°-40°=70°(等式性质)例题4如图，已知∠BAC=70°D是△ABC的边BC上的一点，且

∠CAD=∠C，，∠ADB=80°，（1）求∠C的度数.（2）求∠B的度数.ABDCＡＢＣ６１２３45

三角形的外角和从每个内角相邻的两个外角中分别取一个,这样的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.概念∠2=∠4+∠6

∠3=∠4+∠5（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）所以∠1＋∠2＋∠3=

2（∠4＋∠5＋∠6）又因为∠4＋∠5＋∠6=180°所以∠1＋∠2＋∠3＝360°因为∠1=∠5+∠6证法1：ABC123（三角形内角和为180°）

三角形的外角和等于360°讨论：如何说明这个结论的正确性？已知：△ABC.说明：∠1+∠2+∠3=360°456验证∠2＋∠5=180°∠3＋∠6=180°（平角的意义）所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=540°又因为∠4＋∠5＋∠6=180°所以∠1＋∠2＋∠3＝360°因为∠1＋∠4=180°证法2：ABC123（三角形内角和为180°）

三角形的外角和等于360°讨论：如何说明这个结论的正确性？已知：△ABC.说明：∠1+∠2+∠3=360°456验证1.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为(____)A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.以上都不对【解析】解：∵三角形的一个外角小于和它相邻的内角，∴该外角小于90度，与它相邻的内角大于90度，∴这个三角形为钝角三角形．故选：A．A2.下列说法错误的有(____)①三角形任何两边之和大于第三边②三角形的一个外角大于任何一个内角③三角形的任何两边之差小于第三边④三角形的任一内角都小于它的外角A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，故①B不符合题意；②三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，故②符合题意；③三角形的任何两边之差小于第三边，正确，故③不符合题意；④三角形的任一内角不一定小于它的外角，故④符合题意．∴错误的是②④，故选：B．3.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=30°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为(____)A.90°B.95°C.70°D.50°

C故选：C．4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，∠1+∠2的度数是(____)A.180°B.270°C.360°D.无法确定【解析】解：在△ABC中，∠A=90°，所以∠ACB+∠ABC=90°，又因为∠1+∠ACB=180°，∠2+∠ABC=180°，B所以∠1+∠2=270°，故选：B．5.如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(____)A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，∴∠α=180°-45°-60°=75°，故选：C．C6.如果三角形的一个内角等于它的外角，那么这个三角形是_____三角形．【解析】解：不妨设∠A+∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．直角7.在△ABC中，∠A=35°，∠B的外角等于105°，那么∠C=_____．【解析】解：∵∠A+∠C=105°，∠A=35°，∴∠C=105°-35°=70°．故答案为：70°．70°8.如果等腰三角形的一个外角是30°，那么它的底角是____度；如果等腰三角形的一个外角是110°，那么它的底角是度____________．

1555°或70°②70°角是底角时，它的底角70°，所以，它的底角是55°或70°．故答案为：15°；55°或70°．9.如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B=46°，∠C=30°，∠EFC=70°，则∠D=_____．【解析】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，故答案为：34°．34°10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，AD与BC的位置有何关系？并说明理由．___【解析】解：AD∥BC．∵∠EAC=∠B+∠C，∠B=∠C，∴∠EAC=2∠B．又∵AD平分外角∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∴∠B=∠EAD，∴AD∥BC．11.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．分析：连接AD并延长至点E，要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，解：∵∠BDE=∠B+______，∠CDE=∠C+______，∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+______+∠C+______．∵∠BAC=51°，∠B=20°，∠C=30°，∴∠BDC=______．∠BAD∠CAD∠BAD∠CAD101°【解析】解：∵∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．∵∠BAC=51°，∠B=20°，∠C=30°，∴∠BDC=101°．故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101°．12.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A=64°，则∠BPC=______；(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A=α，求∠BEC．(用α表示∠BEC)；(3)如图3，∠