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文档简介

专题44二项式定理

【题型归纳目录】

题型一:求二项展开式中的参数

题型二:求二项展开式中的常数项

题型三:求二项展开式中的有理项

题型四:求二项展开式中的特定项系数

题型五:求三项展开式中的指定项

题型六:求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数

题型七:求二项式系数最值

题型八:求项的系数最值

题型九:求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

题型十:求奇数项或偶数项系数和

题型十一:整数和余数问题

题型十二:近似计算问题

题型十三:证明组合恒等式

题型十四:二项式定理与数列求和

题型十五:杨辉三角

【考点预测】

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

(1)二项式定理

一般地,对于任意正整数",都有:

(a+by'=C°a"+cy-^b+.■.+C;,a"-rbr+…+C:b"(neN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+6)"的二项展开式.

式中的做二项展开式的通项,用4包表示,即通项为展开式的第厂+1项:

&=C:­

其中的系数C;(尸0,1,2,n)叫做二项式系数,

(2)二项式(a+b)"的展开式的特点:

①项数:共有〃+1项,比二项式的次数大1;

②二项式系数:第r+1项的二项式系数为C:,最大二项式系数项居中;

③次数:各项的次数都等于二项式的幕指数字母。降幕排列,次数由〃到0;字母6

升幕排列,次

数从。到??,每一项中,a,6次数和均为〃;

④项的系数:二项式系数依次是c;,c:,c;,…,c:,…,a,项的系数是。与人的系数

(包括二项式系

数).

(3)两个常用的二项展开式:

①(a-b)n=C°a"-C:a"Tb+…+(-iy.C:a・E+…+(-1)"•C»"(〃eN*)

®(\+x)"=l+C>+C;x2+...+CX+...+x,1

(4)二项展开式的通项公式

nrr

二项展开式的通项:Tr+l=C;a-b(r=0,1,2,3,

公式特点:①它表示二项展开式的第r+1项,该项的二项式系数是C;;

②字母6的次数和组合数的上标相同;

③a与人的次数之和为w.

注意:①二项式(a+初”的二项展开式的第r+1项和(b+a)"的二项展开式的第

r+1项是有区别的,应用二项式定理时,其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在(。+6,这个标准形式下而言的,如(。-6厂的二项展开式的通项是

=(-l)'C;ai〃(只需把-6看成6代入二项式定理).

2、二项式展开式中的最值问题

(1)二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C:=C:;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,即

_c"—1_|_c"

②对称性每一行中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即q=c;-m.

③二项式系数和令a=b=l,则二项式系数的和为c:+c:+c:+…+C:+…+C:=2",

变形式C:+C;+…+C:+…+C:=2:1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令

a=1,b=—1r

则c;V+c;_《+••・+(-i)"c^=(i-iy=o,

从而得到:C°+C;+C:…+C;,+…=C:+C;+…+优1+…=g.2"=2"-'.

⑤最大值:

如果二项式的幕指数〃是偶数,则中间一项(的二项式系数存最大;

-4-1

2

n—1n+1

如果二项式的累指数W是奇数,则中间两项T„+I的二项式系数C7,C广相

————+1

等且最大.

(2)系数的最大项

求(°+桁)"展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

A,A,-,4M,设第r+1项系数最大,应有,从而解出r来.

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例:

(1)设(a+b)”=C^a"+C\an-{b+Cja*。甘+…+C[a"-rbr+.••+C»",

二项式定理是一个恒等式,即对a,b的一切值都成立,我们可以根据具体问题的需要

灵活选取a,6的值.

①令。=6=1,可得:2"=C;+C:+...+C;

②令a=l,b=l,可得:O=《-C;+C;-C;…+(-1)"6,即:

。:+亡+~+0。;+屐+—+。丁(假设〃为偶数),再结合①可得:

C;+C+…+C=C;+C;+…+C『=2"、

(2)石'f(x)=a«x"+'+a”_2尤”~+•,,++a°,则

①常数项:令尤=0,得4=/(0).

②各项系数和:令x=l,得/(1)=4+4+%+…+a“_]+a”.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

(力当〃为偶数时,奇数项的系数和为%+%+%+-='⑴?(T);

偶数项的系数和为0+%+生+…=.⑴/T).

(可简记为:〃为偶数,奇数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配)

(〃)当〃为奇数时,奇数项的系数和为4+%+%+-=;

偶数项的系数和为q+4+%+-=/⑴?'(T).

(可简记为:〃为奇数,偶数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配)

2

若/(%)=%+乎1+a2x4----F+anx",同理可得.

注意:常见的赋值为令x=0,x=l或彳=-1,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

【典例例题】

题型一:求二项展开式中的参数

例1.(2022.湖南.模拟预测)已知心+4]的展开式中的常数项为-160,则实数。=()

A.2B.-2C.8D.-8

[ox-展开式中的常数项为一160,则。=()

例2.(2022•全国•高三专题练习)|

A.-1B.1C.±1D.2

Z、5

例3.(2022.全国•高三专题练习)已知二项式卜2+3的展开式中项的系数为40,贝小

()

A.2B.-2C.2或-2D.4

例4.(2022・湖北•高三阶段练习)若(2x+l)〃的展开式中/项的系数为160,则正整数〃的值

为()

A.4B.5C.6D.7

例5.(2022・四川・乐山市教育科学研究所三模(理))(机—4展开式中/的系数为_20,则

rrr=()

A.2B.1C.3D.72

【方法技巧与总结】

在形如(依的展开式中求的系数,关键是利用通项求r,则一竺士.

m-n

题型二:求二项展开式中的常数项

例6.(2022•全国•高三阶段练习(理))+展开式中的常数项为()

A.160B.120C.90D.60

例7.(2022・浙江•慈溪中学高三开学考试)(2苫-白]的展开式中的常数项为()

A.-60B.60C.64D.120

例8.(2022・全国・高三专题练习(理))二项式(weN*)的展开式中含有常数项,

7

则”的最小值等于()

A.2B.3C.4D.5

例9.(2022・全国•模拟预测)二项式[五一七)的展开式中的常数项为()

A.210B.-210C.252D.-252

【方法技巧与总结】

写出通项,令指数为零,确定厂,代入.

题型三:求二项展开式中的有理项

例10.(2022.全国.高三专题练习)在二项式(应+x)”的展开式中,系数为有理数的项的

个数是.

例11.(2022・湖南•长郡中学模拟预测)已知(6-x)”展开式的二项式系数之和为64,则展

开式中系数为有理数的项的个数是.

例12.(2022・湖南长沙•模拟预测)已知(次+而)”("。*”〃412)的展开式中有且仅有

两项的系数为有理数,试写出符合题意的一个〃的值_____.

例13.(2022・全国•高三专题练习)(&x+次P00的展开式中系数为有理数项的共有

项.

例14.(2022・上海•格致中学高三阶段练习)在(虚-出厂的展开式中有一项为有理数.

【方法技巧与总结】

先写出通项,再根据数的整除性确定有理项.

题型四:求二项展开式中的特定项系数

例15.(2022•北京海淀•一模)在(6-4的展开式中,炉的系数为()

A.-1B.1C.-4D.4

例16.(2022・云南・高三阶段练习(理))在-的二项展开式中,第4项的二项式系数

是()

A.20B.-20C.15D.-15

例17.(2022•全国•高三专题练习)若(x-2y)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相

等,贝犷=().

A.9B.10C.11D.12

例18.(2022•甘肃•武威第八中学高三阶段练习)在的展开式中,x的系数为()

A.-10B.-5C.5D.10

【方法技巧与总结】

写出通项,确定厂,代入.

题型五:求三项展开式中的指定项

例19.(2022・广东•高三阶段练习)(3尤2+2x+l)’°的展开式中,/项的系数为.

例20.(2022・广东・仲元中学高三阶段练习)(Y+x+y)5的展开式中,丁产的系数为.

例21.(2022•山西大附中高三阶段练习(理))(一+^-的展开式中常数项为.

例22.(2022.广东・广州市庆丰实验学校一模)(2尤+二-1,的展开式中的常数项为

.(用数字填写正确答案)

例23.(2022・全国・高三专题练习)(玉+%+工3+尤4尸的展开式合并前的项数为()

A.C;B.《C.D.415

例24.(2022・河北邢台•高三期末(理))(*+'-'-工)4的展开式的常数项为

xy

A.36B.-36C.48D.-48

例25.(2022・四川绵阳•三模(理))在的展开式中,Y项的系数为()

A.-50B.-30C.30D.50

例26.(2022・全国•高三专题练习)(x+y-2z)5的展开式中,的系数是()

A.120B.-120C.60D.30

【方法技巧与总结】

三项式(a+b+c)"(〃£N)的展开式:

(a+b+c)n=[(〃+6)+c]〃=・.・+C;(a+b)”"+・.・

=・.・+C:(・・・+Q_〃〃一…9+・・・,+・・•

若令〃-r-q=p,便得到三项式(a+b+c)"(〃£N)展开式通项公

式:

pqr

C^_rabc(p,q,reN,p+q+r=ii),

其中c;c?=----------5一二=」^叫三项式系数.

rl(n-r)!q\(n—r—q)\p\q\r\

题型六:求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数

例27.(2022•江苏江苏•高三阶段练习)的展开式中Jy2的系数为()

A.6B.-9C.-6D.9

例28.(2022•四川.高三开学考试(理))(x心1乂2龙一句的展开式中的常数项为(

A.240B.-240C.400D.80

“一:卜+2)6

例29.(2022・云南师大附中高三阶段练习)的展开式中d的系数为(

A.160B.-160C.148D.-148

例30.(2022・新疆克拉玛依・三模(理))已知(元+'丫尤-工]的展开式中常数项为40,则机=

1%八X)

()

A.-3B.3

cD.--

-13

例31.(2022•江苏南京•三模)(1+x)4(l+2y)a(aGN*)的展开式中,记加项的系

数为于(m,n).若/(0,1)+/(1,0)=8,则a的值为()

A.0B.1C.2D.3

例32.(2022・全国•高三专题练习)在",)卜一的展开式中,含xV的项的系数是

()

A.10B.12C.15D.20

【方法技巧与总结】

分配系数法

题型七:求二项式系数最值

例33.(2022•全国・高三专题练习)在(x+1)"(〃eN*)的展开式中,若第5项为二项式系

数最大的项,则〃的值不可能是()

A.7B.8C.9D.10

例34.(2022・全国・高三专题练习)(1+2x)7展开式中二项式系数最大的项是()

A.280x3B.560/C.280x3560x4D.672/和560/

例35.(2022・湖南•高三阶段练习)设机为正整数,(x+y>加的展开式中二项式系数的最大

值为。,(x+y)”用的展开式中的二项式系数的最大值为6.若15。=助,则机的值为()

A.5B.6C.7D.8

例36.(2022・全国•高三专题练习)的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大

值,则a的值为()

A.2B.3C.4D.-2

例37.(2022・安徽.高三阶段练习(理))在(6-gx)"的展开式中,只有第五项的二项式系

数最大,则展开式中炉的系数为()

【方法技巧与总结】

利用二项式系数性质中的最大值求解即可.

题型八:求项的系数最值

例38.(2022・全国•高三专题练习)已知(1-3x)”的展开式中各项系数之和为64,则该展开式

中系数最大的项为.

例39.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)(x-l)9的展开式中系数最小项为第项.

例40.(2022・全国•高三专题练习)若(五+2)〃展开式中前三项的系数和为163,则展开

式中系数最大的项为.

例41.(2022•江苏•姜堰中学高三阶段练习)(〃eN*)展开式中只有第6项系数

最大,则其常数项为.

例42.(2022.上海•高三开学考试)假如(x-g]的二项展开式中项的系数是-84,则

fx--T二项展开式中系数最小的项是.

【方法技巧与总结】

有两种类型问题,一是找是否与二项式系数有关,如有关系,则转化为二项式系数最值

注意:系数比较大小.

问题;如无关系,则转化为解不等式组:Eh,

题型九:求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

例43.(2022・全国•高三专题练习)若(1-彳)7=旬+%X+电龙2+…+的/,则

同+同+同4-----=.(用数字作答)

2

例44.(2022・广东•高三阶段练习)已知(2+x)"=%+qx+o2x+…+a.x”,若

%+%+%+…+%=81,则自然数〃等于.

例45.(2022・广东・广州大学附属中学高三阶段练习(理))若(x+»(2x-y+a)5的展开式

中各项系数的和为256,则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为.

IJ2ai

例46.(2022,全国-W三专题练习)设(1-ox)=aQ+a}x+a2xH------Fa2W,0^°,若

〃1+2%+3。3-1----F2O2O〃2()2O=2020〃贝非零实数〃的值为()

A.2B.0C.1D.-1

例47.(2022•全国,(W1二专题练习)已知(1+尤)2°21=、0+%尤+〃2%2+〃3%3+…+42021%2021,则

“2020+2“2019+3“2018+^^2017+,,,+2°2°〃]+2021"。—()

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

例48.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)若

220222022

(l+x)+(l+x)H-----F(1+x)=a0+a1xH-----Fa2022x,贝!J()

A.4=2022B.a2=Cf023

20222022

C.E(-l)”=-lD.£(-1)皿=1

i=li=l

例49.(2022•全国•高三专题练习)设(2*Ll)2°°=%+%x+a2x2+…+股00铲°,求

(1)展开式中各二项式系数的和;

(2)同+同T---卜1aMO|的值.

例50.(2022•全国•高三专题练习)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项

的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128;这三个条件中任选一个,补充在下

面(横线处)问题中,解决下面两个问题.

已知(2x-l)"=4+%了+。21—Fanx"("GN*),

⑴求…+会的值:

(2)求q+2a2+34—1~〃〃〃的值.

例51.(2022・全国•高三专题练习)(1-2彳产2=4+平+°2/+-+。2022-"(彳€1<)・求:

(1)〃0+%+。2+•••+〃2022;

(2)%+“3+”5…+”2021;

(3)|%|+同+|%|+…+|%022|;

(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和;

(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项?

(6)%+2a2+3a3+,•,+2022。2()22•

例52.(2022•全国•[Wj二专题练习)已知(1—3x)8=%++…

(1)求4+。2T-----卜〃8;

(2)求。2+。4+。6+。8.

【方法技巧与总结】

二项展开式二项式系数和:2〃;奇数项与偶数项二项式系数和相等:2〃T.

系数和:赋值法,二项展开式的系数表示式:(OX+。)"=%++...+%尤〃

(%%,a〃是系数),令%=1,得系数和:%+q+...+=(a+b)".

题型十:求奇数项或偶数项系数和

例53.(2022•浙江•模拟预测)已知多项式(公一3%+2)4=%+。山+〃2)2+…,则

Q]+%++〃7=,〃]=.

例54.(2022・全国•模拟预测)若(1+村-依(l+x)9的展开式中,所有无的偶数次事项的系

数和为64,则正实数a的值为.

例55.(2022•内蒙古・海拉尔第二中学模拟预测(理))已知

(2+%)2〃=%+%(1_+%)+%(1+%)2+...+〃2〃(1+%)2"9若生+“4+“6+…+〃2〃-2+"2〃=2”—1,则几=

例56.(2022.湖北武汉.模拟预测)在(〃+x)(l+x)5展开式中,x的所有奇数次幕项的系数之

和为20,贝!JQ=.

IJ9

例57.(2022•全国•W二专题练习)若(兀+2+m)9=4+%(%+1)+。2(%+1)?H-----a9(x+1),

且(4+生^---1■氏)—(q+/H----->■为)=39f则实数加的值可以为()

A.1或一3B.-1C.一1或3D.-3

例58.(2022.江苏南通.高三开学考试)在,-京,的二项展开式中,奇数项的系数之和为()

A.-365B.-364C.364D.365

例59.(2022•全国高三专题练习)若(2x-球=%■/+cy?+出/++旬,则。0+g+。4=

()

A.40B.41C.-40D.-41

【方法技巧与总结】

n2

(ax+b)=a0+axx+a7x+...+anx",令x=l得系数和:%+q+...+%=(。+6)”①;

令龙=-1得奇数项系数和减去偶数项系数和:

%—q+a,—q…=(g+%+…)—(ai+/+…)②,联H①②可求得奇数项系数和

与偶数项系数和.

题型十一:整数和余数问题

例60.(2022・全国•高三专题练习)已知5=23。+229喧+228玛+--+2(4。,则S除以10所

得的余数是()

A.2B.3C.6D.8

例61.(2022•河南・南阳中学高三阶段练习(理))已知742°22+。能够被15整除,则。的一

个可能取值是()

A.1B.2C.0D.-1

例62.(2022•陕西・西安中学一模(理))设aeZ,且0Va<13,若5俨。22能被13整除,

则。=()

A.0B.1C.11D.12

23

例63.(2022•全国•高三专题练习)1-80C:。+80C*-80801a+…+(-1)铝0&党+•••+801℃;°除

以78的余数是()

A.-1B.1C.-87D.87

例64.(2022.全国•高三专题练习(文))中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除

法有较深的研究.设a,b,〃?(加>。)为整数,若a和b被根除得的余数相同,贝U称。和6

220

对模相同余,记为a三司(mod%).^a=C°0+C20-2+C10-2+---+-2,a=£?(modlO),

则6的值可以是()

A.2022B.2021C.2020D.2019

题型十二:近似计算问题

例65.(2022•山西•应县一中高三开学考试(理))(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是

例66.(2022・山东•高三阶段练习)某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.981°的

处理,经过思考,他决定采用精确到0.01的近似值,则这个近似值是.

例67.(2022・全国•高三专题练习)1.957的计算结果精确到个位的近似值为

A.106B.107C.108D.109

题型十三:证明组合恒等式

例68.(2022・江苏•高三专题练习)(1)阅读以下案例,利用此案例的想法化简

c;c:+c;c:+c;c;+c;c;.

案例:考查恒等式(1+尤)5=(1+尤)2(尤+1)3左右两边"的系数.

因为右边(1+无)2(尤+1)3=(C+C尤+)(Cfx3++C;),

所以,右边尤2的系数为C;c;+c;c;+c;c;,

而左边X?的系数为C;,

所以c;c;+c;c;+c;c;=c;.

⑵求证:l(r+1)2(C:)2-=(〃+1)4.

r=0

例69.(多选题)(2022.江苏.海安市曲塘中学高三期末)下列关系式成立的是()

A.C:+2C;+22C:+23C;+…+2〃C:=3〃

B.2cM+Q+2%+%+…+C机+2比=3-22/

C.C\-12+Cl-22+Cl-32+...+C:n2=n-2/r7

D.(C)2+(c:)2+(C)2+...+(C:)2=C除

例70.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)设weN*,下列恒等式正确的为()

A.C;+C:+…+C:=2"T

B.1C:+2C;+…+wC:=w-2"T

C.fC:+22戏+...+/2c=7@+1)2"-2

D.Tc;+23Q+…+%3c=(4〃—3)2”T

题型十四:二项式定理与数列求和

例7L(2022・全国・高三专题练习(理))伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一

世纪的“巴赛尔级数”难题.当"eN*时,-^―=j"

(-1广/1

又根据泰勒展开式可以得至"…**…+

根据以上两式可求得

(2«-1)!

1111

--------1-----r•••H----

I22232iv

D.

0T4

例72.(2022・全国•高三专题练习)已知数列{%}是等比数列,%=1,公比q是1+AJ的

展开式的第二项(按x的降幕排列).

⑴求数列{%}的通项%与前”项和S,,;

⑵若4=C5+c况+…+c;:s“,求4.

(4〃+6)a+4/1+10

例73.(2022・全国•高三专题练习)已知数列满足4=a,a,n(neN*).

%+i2n+l

⑴试判断数列《弋}是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项4

2几十1

⑵如果”1时,数列&}的前〃项和为S“试求出%并证明…+

题型十五:杨辉三角

例74.(2022・山东•高三开学考试)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.某

校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表.

123456...

35791113...

81216202428...

该数表的第一行是数列{〃},从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和,则这个数表

中第4行的第5个数为,各行的第一个数依次构成数列1,3,8,…,则该数列的前

n项和S”=.

例75.(2022•浙江省杭州学军中学模拟预测)“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,

是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,第〃(“eN*,”22)行的数字之和为

,去除所有1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此

数列的前28项和为.

例76.(2022・安徽•合肥市第五中学模拟预测(理))杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学

家.他在《详解九章算法》一书中,画了一个由二项式(a+6)"(〃=l,2,3,…)展开式的系数

构成的三角形数阵,称作“开方作法本源”,这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中,从

第2行开始,除1以外,其他每一个数值都是它上面的两个数值之和,每一行第

左化ZeN*)个数组成的数列称为第%斜列.该三角形数阵前5行如图所示,则该三角形

数阵前2022行第七斜列与第Z+1斜列各项之和最大时,%的值为()

第1行I1

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.1009B.1010C.1011D.1012

例77.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)在1261年,我国南宋数学家杨辉所著的《详

解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表,这就是著名的“杨辉三角”,它是二项式系数

在三角形中的一种几何排列.从第1行开始,第w行从左至右的数字之和记为知,如:

%=1+1=2,%=1+2+1=4,的前”项和记为,依次去掉每一行中所有的1构成的

新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,记为£,圾}的前〃项和记为4,则下列

说法正确的有()

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.S9=1022B.的前〃项和为1一一二C.公=66

an+I-l

D.T56=4084

【过关测试】

一、单选题

1.(2022•江苏・金陵中学高三阶段练习)(尤-y)(x+y)8的展开式中的系数为()

A.28B.-28C.56D.-56

2.(2022•福建师大附中高三阶段练习)在(2+x-/丫的展开式中,含X,的项的系数为()

A.-120B.-40C.-30D.200

‘工-4Tl的展开式中,

3.(2022・福建泉州•模拟预测)|/的系数等于()

、%)

A.-45B.-10C.10D.45

6

4.(2022•湖南益阳•模拟预测)若(l+2x)(l—2x)5=4+4》+%彳~H----\-a6x,xeR,则出的

值为()

A.-20B.20C.40D.60

5.(2022・湖南•高三开学考试)已知卜2+。)卜一£|的展开式中各项系数的和为-3,则该展

开式中x的系数为()

A.0B.-120C.120D.-160

6.(2022•北乐房山•|Wl二开学考试)若(2%—1)4=+%%+〃0,则%=()

A.6B.24C.-6D.-24

7.(2022•江苏省泰兴中学高三阶段练习)设〃£N*,

nnn

x=a0+al(x-1)+...+an(x-l)=b0+(x-2)+.«?+bn(x-2),贝!J()

A.%—%+A—q+…+—a”=3”—2〃

bbb

B.~+-----\--=2(4+%H-----b)

44%

八、

C.------1---------1----1--a1=----/-(tz+6ZjH-----

2

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