广东省中山市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷

第一学期期末高中调研测试

高一数学试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写

在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉

原来的答案，然后再写上新的答案.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.命题“Vxe（一°）,有--同=°”的否定为（I

A.Bx,使炉一国woB.3%e[0,+co),使x?-国wO

CV%e73,0）,有好一国WOD.\/xe[0,+oo),有x-国力0

2.若集合A={1,3,5,6,7},3={尤eZ|lW尤＜9},则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）

3.sin300°cos0°的值为(

4.已知函数/（x）=2sin（0X+0）（＜y＞0,。＜°＜兀）的图象如图所示，则9=（）

6

3

函数/'(x)=Inx—-的零点所在的区间是（

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradientsystem）.密位制的单位是密位,

I密位等于周角的」一.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开,例如1密位写成0-01,1000

6000

密位写成10-00.若一扇形的弧长为4兀，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）

A4B.3C.2D.1

|x-2|

7.已知函数=r4,则/（九）的图象大致为（）

（九一2）

「11]tnx-4m

=ad-bc,若存在实数xe,使得】W0成立，则相的最

x

828

B.C.0D.

333

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知集合A={x|x=4左一3,勺eZ},B=|x|x=2k2+l,k2eZ},贝ij()

A.7eAnBB.13eABC.AVJBD.A(B=B

10.己知c<0<〃<a,则()

A.ac+b<bc+aB.a3+c~>b3+c-

-a+ca

c.-----<一D-

b+cb

11.下列函数在（1,+“）上单调递增的为（）

2\x>2

A./(%)=%+—B./(x)=lnx+2C./(A:)=X2-2x+5D./(%)=<

xx+3,x<2

12.已知函数/(x)=sin(ox+Q)|o>。,阐<T满足/(%)=/

上单调，则①的取值可能为()

A.1B.3C.5D.7

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2-y

13.函数/(x)=lg—^的定义域为.

1+x

14.己知0<%<X2<兀，满足sinX]=sinx2,则cos~；%=.

15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数丁=[司，其中[可表示“不超过x

lg--lg8J+lg7T5+—1—

的最大整数”，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3,则6

7log2510

一一4%H—九<0

16.已知函数2'一,若存在实数a,b,c满足a<6<c,且〃a)="勾=/(c),

2x-2,x>0

则(a+》)/(c)取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)若戊的终边经过点P(—2,4),求tan[a+：]的值；

(2)若(Ze[。,,],且sin仁一=求sina的值.

18.己知累函数/(尤)=尤"'的图象过点(25,5).

(1)求/(8)的值;

(2)若/(a+l)>/(3—2a),求实数a的取值范围.

19.已知集合4={尤卜—2)(x+3)<0},B=[x\a-\<x<a+}],定义两个集合P,。的差运算:

P_Q={x|xeP,JLxgQ}.

(1)当a=l时，求A—3与3—A；

(2)若“xeA”是“xeB”的必要条件，求实数a的取值范围.

20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道

合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为

1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当0<x<46时，年收入为1100-万元；当％»46时，年

收入为92万元.记该工厂的年利润为7(%)万元(年利润=年收入-固定成本-生产成本).

(1)写出年利润了(%)与生产饲料数量x的函数关系式；

(2)求年利润的最大值.

21.已知函数/(x)=sinxcosx+sin2%.

(1)求/(%)的最小值及相应x的取值；

(2)若把八％)的图象向左平移g个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在［0,可上的单调递增区间.

22已知函数/(x)=4"—

(1)当a=2时,求"％)在［T2］上的最值；

(2)设函数g(x)=/(x)+/(—X),若g(x)存在最小值—H,求实数a的值.

2023-2024学年度第一学期期末高中调研测试

高一数学试卷

(满分：150分，考试时间：120分钟)

2024年1月

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号

和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上

无效.

3.作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需

改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“⑼，有:一国=°”的否定为()

A,玉使必一国w0B,3xe[0,+co),使/一国片。

C.Vxe(-co,0),有好一国wOD.V%G[0,+<»),有必一区70

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题否定特称命题即可.

【解析】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得8,0),有冈=0，，的否定

为“玉«-8,0),使必—忖*0”，

故选：A.

2.若集合A={1,3,5,6,7},B={xeZ|l<x<9},则图中阴影部分表示的集合中的元素

个数为(

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.

【解析】易知§={123,4,5,6,7,8,9},故图中阴影部分表示的集合为{2,4,8,9},共4个

元素，

故选：B.

3.sin300°cos0°的值为()

A.OB.)C.--D.

222

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.

【解析1sin3000cos00=sin(300°一360°)=sin(-60°)=一sin60°=—日.

故选：D.

4.己知函数/(x)=2sin(0x+°)(®＞0,0＜夕＜兀)的图象如图所示，则0=()

7171271

A.—B.—C.—

633

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用/(。)=1,得到sinQ=；,结合题意，

即可求解.

1

【解析】由函数/(%)的图象知，/(O)=2sin0=l,则sine=-一,

2

5兀,

因为。＞0,且x=0处在函数/(%)的递减区间，所以夕=2也+——，左GZ,

6

5兀

又因为0＜。＜兀，所以0=—.

6

故选：D.

3

5.函数/'（xblnx——的零点所在的区间是（）

X

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D,（3,4）

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点存在性定理即可求解.

3

【解析】由于y=ln%,y=——均为定义域（0,+a））内的单调递增函数，

x

所以函数/（%）在（。,+8）上单调递增，/（X）至多只有一个零点，

且/（2）=ln2—]<0,/（3）=ln3-l>0,故/（2>〃3）<0,

所以该函数的零点所在的区间是（2,3）.

故选：C.

6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradientsystem）.密位

制的单位是密位，1密位等于周角的密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短

6000

线隔开，例如1密位写成0-01,1000密位写成10-00.若一扇形的弧长为4兀，圆心角为40-00

密位，则该扇形的半径为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

4冗

【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为——，进而根据扇形的弧长公式即可

3

求解.

27T4兀

【解析】40-00密位的圆心角的弧度为4000义——=——，设该扇形的半径为r,由

60003

4兀.

——xr=471,

3

解得厂=3,

故选：B.

产1

7.已知函数外力=-4,则/（x）的图象大致为（

(%-2)2

【解析】

【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.

|0-2|2

e

【解析】因为/(o)=r_-4=——4<0,故C错误;

v'(0-2)24

|-x+4-2|e卜x+Z

又因为/(—X+4)=----------—4=〃尤),

17(-%+4-2)2?(—%+2f(x—

故函数/(%)的图象关于尤=2对称，故B错误;

|x-2|

当X趋近2时，/同趋近1,0—2)2趋近0,所以/(%)=(e2,—4趋近正无穷,故D

错误.

故选：A.

abmx-4m

8.在R上定义新运算=ad—be,若存在实数xe，使得WO成

d221x

立，则m的最小值为()

828

A.—B.——C.0D.-

333

【答案】A

【解析】

4x,令函数，

【分析】根据题意，转化为机？/(x)=xe

2口

x-lmin%—122'"

Q

函数的奇偶性和单调性，求得了(x'in=一§，即可求解・

bnvc—4m

【解析】由-ad-be,可得=x(mx-4)-m<0,

d1

IImx—4m

因为存在实数xe，使得]<0,gpm>

x

4x

令函数/(x)=—~-xe

2,2

由/(一%)=-/(x)，可得/(%)是奇函数，且"0)=。，

当0<x<g时，"")=二]，所以/(%)在上单调递减，所以—■|«/(x)<0,

X

1Q88

同理可得，当—5<x<0时，0</(x)<3,故=—§,即〃zN—

Q

所以实数加的最小值为

3

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知集合A={无卜=4%-3,勺eZ},B==2k2+1,eZ},贝5)()

A.7eAnBB.13eABC.A<JBD.

AB=B

【答案】BC

【解析】

【分析】依题意列举A、8中的元素，观察可得答案

【解析】依题意，

A={--,-3,1,5,9,13,17,21,},B^{,-3,-1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,.},

观察可知A,D错误，B,C正确,

故选：BC.

10.已知CV0</?<Q,贝!！()

A.ac+b<bc+aB.a3+c2>b3+c2

a+ca

c.----<——D

b+cb-

【答案】AB

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A、B、D,利用赋值法判断C.

【解析】因为，所以accbc，且/?<〃，故ac+Z?vbc+a,故A正确;

因为0<人<〃，所以〃3>83,故a3+c2>b3+c2,故B正确;

取a=4,Z?=l,c=,则〃+c=7,—=4,故C错误;

2b+cb

11

因为c<0，由一^=<一则一尸>一彳，故D错误,

yja7b7a7b

故选：AB.

H.下列函数在。,+8)上单调递增的为()

A./(%)=%+—B./(x)=lnx+2C./(x)=x2-2x+5D.

x

x+3,x<2

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，由对勾函数性质得到A错误；B选项，根据对数函数性质直接得到B正

确；C选项，配方后得到函数的单调性；D选项，求出〃2.1)<〃2),故D错误.

【解析】A选项，由对勾函数性质可知/(x)=x+d在(1,2)上单调递减，在(2,+")上单

X

调递增，故A错误；

B选项，/(%)=lnx+2在(0,+oo)上单调递增，故B正确；

C选项，/(%)=/—2x+5=(x—1『+4在。,+力)上单调递增，故C正确；

D选项，因为“2)=5,/(log25)=log25=5=/(2),故D错误.

故选：BC.

12.已知函数/(x)=sin®x+°)0>0,[同<],满足/(x)=/—g—x,

5兀

0,且在

12

A.1D.7

【答案】AB

【解析】

7T

【分析】%二-一对称，结合

12

5兀5兀

0可知石■是函数八％)的零点，进而得到折2〃+1,neZ,由“X)在

12

712兀

18，-9-上单调，可得。＜6,进而。=1,3,5,分类讨论验证单调性即可判断.

【解析】由，知函数/(%)的图象关于直线x=-\对称,

5兀Sir

又/0,即正是函数了(%)的零点,

12

,5TCTC/__\1/_<、12兀

则---1---=（2〃+1）—T=（2n+l）-----，neZ,

1212v74'74

即G=2〃+1,neZ.

上单调,

LI12兀、2兀兀71口门,

贝!J------>--------二一，即GK6,

2①9186

所以啰=1,3,5.

5兀571

当69=1时，由---（D—ku，k£Z,得0=------kit，k£Z,

1212

又时＜］，所以0=—11，此时当xe712兀,5兀13K7兀

时，X-—G

18，-9"-36-，-36

5兀712兀

所以/（x）=sinx---在---上单调递增，故。=1符合题意;

1218，-9"

5兀5兀

当①=3时，由—x3+0=kit，kE7J9得0=----Fkit，k£Z,

124

712兀715兀］

又冏<],所以夕=一：，此时当xe时，3x--G

18，-9-412512/

712兀

所以/(x)=sin13%一：)在

18，-9"上单调递增，故口=3符合题意;

5兀257r

当G=5时，由—x5+6?—ku，k£Z,得(p-------kit，k£Z,

1212

712兀,L717兀37K

又冏<],所以9=-暇，此时当xe时，5x----£

18，-9-1236^^6

所以〃x)=sin15x-目在心,和上不单调，故口=5不符合题意.

综上所述，。=1或3.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2—X

13.函数;'(月二坨一^的定义域为.

1+x

【答案】｛x\-l<x<2]

【解析】

【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域

2—YY—2

【解析】依题意，——>0,得^—<0o(x—2)(l+x)<0,则—1<X<2,故所求定

义域为｛司―1<》<2｝.

故答案为：｛x[—l<x<2｝

14已知0<王〈々<兀，满足sin%=sin%,则cos%；*2=.

【答案】0

【解析】

【分析】根据三角函数的对称性可得芯+9=兀，即可代入求解.

【解析】因为0«玉<々<兀，由sinX]=sin%2,得玉+々=兀，所以cos%=。.

故答案为：0

15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数丁=[M，其中[司

表示“不超过尤的最大整数”，如[3.14]=3,[0.618]=0,[—2.71828]=—3,则

402_1

1g-lg83+lg775+

7

log2510

【答案】1

【解析】

【分析】通过已知条件确定取整函数y=[x]的取值法则，即国=a,a<x<a+l；利用

A/Q2[

对数运算法则计算1g——-1g+lg7A/5+----------,进而确定

7log2510

1g些Tg£+lg77?+的值.

7log2510

【解析】1g吵—lg£+lg7^+丁二=lg[¥|x7j?1+lg25=:+21g5,

10

7lg25(7x4)2

因为y=lgx(x>0)为增函数，所以0=lgl<lg5<lgl0=l,l<|+21g5<2,

故lg^^--lg83+lg7V5+--=1.

7log2510

故答案为：1

21

—x—4%~\—%«0

16.已知函数/(x)=<2’,若存在实数a,b,c满足a<6<c,且

2A-2,x>0

/⑷=/9)=y(c),则(a+b)f(c)的取值范围是

【答案】（-18,-2]

【解析】

【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.

【解析】作出函数/（尤）的图象,

19

知a+/?=-4,—/(c)<—,

故—18<(a+»/(c)<—2,即(a+»/(c)的取值范围是(-18,-2].

故答案：（—18,—2]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（1）若a的终边经过点P（—2,4）,求tan[a+：J的值;

,且si/」]3

(2)若求sina的值.

I4J5

【答案】（1）-：；（2）述

310

【解析】

【分析】（1）首先根据正切定义求出tan1=-2,再利用两角和的正切公式计算即可；

（2）根据同角三角函数关系求出cos[c-；）=g,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【解析】（1）因为a的终边经过点P（—2,4）,

4

所以tanoc——=—2,

-2

所以tan]a+：tana+1-2+11

l-tano1-(-2)3

（71\71.f兀71)3八

（2）因为。"。，万],则a~,且nsinIa—7I=—>0,

4

4

所以1-sin

5

71717C71

所以sini=sinaH--=smla----Icos——Feosa-----sm—

444444

3V24V27A/2

二—X------1——X--------=---------

525210

18.己知幕函数"耳=尤"'的图象过点（25,5）.

⑴求”8）的值;

（2）若〃a+l）>/（3—2a）,求实数a的取值范围.

【答案】（1）/（8）=2&

（23'

（2）

（32J

【解析】

分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，

（2）根据函数的单调性，即可求解.

【小问1解析】

11

依题意，25M=5,解得m=3,故/（力=尤5（x>0）,

1

则/⑻=8?=2也.

【小问2解析】

易知/（X）=/在[。，+8）上是增函数，

a+1>0

23

依题意，{3-2a>0,解得—VQK—,

32

a+1〉3—2a

（23]

故实数〃的取值范围为5.

19.已知集合4=3（％-2）（%+3）40},5={x|a_l<尤<a+l},定义两个集合P,Q

的差运算：「一。二卜,^^且为©。}.

（1）当。=1时，求A—5与3—A；

（2）若“xeA”是“九的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）A-B={x|-3<x<0,^a=2},B-A=0.

（2）[-2,1]

【解析】

【分析】（1）用集合的新定义求解即可；

（2）由“xeA”是“尤eB”的必要条件得到再利用范围求出即可.

【小问1解析】

A=x|(x-2)(x+3)<oj={x卜3<x<2j,

当a=l时，B=|x|0<x<21,

B-A=0.

【小问2解析】

因为“xeA”是“xeB”的必要条件,

所以

tz-l>-3

故<

a+1<2

解得—2WaW1,

即实数a的取值范围是[—2,1].

20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小

明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万

元,此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产尤万斤司料.当0<x<46时,

年收入为1100-万元；当x»46时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为〃%）万

元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.

（1）写出年利润/（%）与生产饲料数量X的函数关系式；

（2）求年利润的最大值.

/、90--x,0<x<46

【答案】（l）/（x）=x+4

82-x,%>46

（2）54

【解析】

【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；

（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.

【小问1解析】

-10-x=90-^--x

由题意，当0vxv46时,小)=］。。-事

x+4

当x»46时，f(-X)=92-10-x=82-x；

90-一x,0<尤<46

所以y(x)=<%4+°°4

82-%,%>46

【小问2解析】

当0<x<46时,

,/、M400c”「400(八<94-2^-^x(%+4)=54,

fix)=90----------%=94----------+(%+4)

'7x+4x+411

当且仅当厘=苫+4即x=16时等号成立；

当x»46时，/(%)=82-x<82-46=36；

因为54〉36,所以当x=16时，年利润了(%)有最大值为54万元.

21.已知函数〃%)=5111%85%+51112%.

(1)求/(%)的最小值及相应X的取值；

(2)若把"％)的图象向左平移三个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在［0,兀］上的单

调递增区间.

【答案】⑴X=痴+个,获2时，"了)取得最小值与

八兀1371

(2)0,—,---，兀

2424

【解析】

【分析】(1)化简得到/(x)=#sin12x—：1

+—，根据正弦型函数的性质，即可求解;