函数模型及其应用（解析版）-2025高中数学一轮复习

专题14函数模型及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................9

【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程................................9

【考点2】已知函数模型解决实际问题..........................................15

【考点3】构造函数模型解决实际问题..........................................22

【分层检测】...............................................................27

【基础篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................36

【培优篇】.................................................................40

考试要求：

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直

1

线上升”等术语的含义.

2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题

的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

・知识梳理

1.指数、对数'幕函数模型性质比较

函数xn

y=ay=logaxy=x

性伍>1）（。>1）（〃>0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随〃值

图象随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表

变化而

的变化现为与y轴平行现为与X轴平行

各有不同

值的比较存在一个X0，当x>xo时，有log施

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=ax-\-b（a,6为常数，QWO）

二次函数模型fix）=ax1+bx+c（a,b,c为常数，QWO）

与指数函数相关的模型f（x）=bax-\-c（a,b,c为常数，a>0且aWl,6W0）

与对数函数相关的模型fix）—Z?log»x+c（a9b,c为常数，a>0且bWO）

与募函数相关的模型f（x）—axn+b（a,b,n为常数，〃W0）

常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加,

常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际

问题的合理性.

真题自测

一、单选题

2

1.（2020・全国•高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单

的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市

某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0Q5,志愿者每人每天能完成50

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020•山东・高考真题）基本再生数与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指

数模型：/（/）=」描述累计感染病例数/（t）随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与R。，T近似满足Ro

=1+”.有学者基于已有数据估计出R°=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍

需要的时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多选题

3.（2023・全国•高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20xlg2，其中常数为（A>0）是听觉下限阈值，？是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为则（）.

A.Pi^P2B.。2>1见

D.p<100/7

C.。3=100。0x2

三、填空题

4.（2019・北京•高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销"一次

购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则X的最大值

为.

四、解答题

5.（2019・江苏•高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥

ABC43是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点尸、Q,并修建两段直线型道路网、QA.规划要求:线段

PB、QA上的所有点到点。的距离均不小于阿O的半径.已知点4B到直线I的距离分别为NC和BD（C、

。为垂足），测得/2=10,NC=6,BD=12（单位:百米）.

（1）若道路依与桥垂直，求道路尸2的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路网和Q4的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、。两点间的距离.

参考答案：

1.B

【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900,

詈=18,故至少需要志愿者18名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

2.B

【分析】根据题意可得/（t）=e"=e°3、设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间

为"天，根据＞=2*3必，解得4即可得结果.

【详解】因为&=3.28,T=6,R°=l+rT,所以厂==0.38,所以/（。=e”=，

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为％天，

则0。软，+4）=2e“w,所以e"3M=2,所以0.3甑=In2,

4

In20.691门十

所以％=——«——el.8天.

10.380.38

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

3.ACD

【分析】根据题意可知4e[60,90],J450,60]=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：7；A6[60,90],Zfte[50,60],ZA=40,

对于选项A：可得4-£加=20、/且-20*啥也=20xlg■旦，

PoPoPi

因为纭“典，则4-4=20xlg且20,即1g互利，

PlP2

所以包21且0也>0,可得月上2，故A正确；

Pi

对于选项B：可得J一人=2°xlg三一20xlgR=20xlg巨，

PoPoPi

因为4一4=4一40之10,则20/吟.10,即吟4，

所以其》而且外>0,可得必上而°3，

23

当且仅当=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4=2°xlg乙=40,即映星=2,

PoPo

可得乙=100,即用=100。。，故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：41-=20xlg包，

Pi

-LD<90-50=40,则20xlg包440,

12

*P2

即lg且V2,可得包V100,且p1,0>O,所以回WIOO2,故D正确;

PlPl

故选：ACD.

4.130.15.

【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最

大值.

【详解】⑴x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为〉元,

5

y<120元时，李明得到的金额为7X80%，符合要求.

玲120元时，有（y-x）x80%»x70%恒成立，即8（k即xV佶1=15元.

所以x的最大值为15.

【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为

背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

5.（1）15（百米）；

（2）见解析;

（3）17+3近1（百米）.

【分析】解：解法一:

（1）过工作/ELBA,垂足为E.利用几何关系即可求得道路P3的长；

（2）分类讨论尸和。中能否有一个点选在。处即可.

（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当I最小时，P、0两点间的距离.

解法二：

（1）建立空间直角坐标系，分别确定点尸和点8的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路尸8的长；

（2）分类讨论尸和0中能否有一个点选在。处即可.

（3）先讨论点尸的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，尸、。两点间的距离.

【详解】解法一：

（1）过/作垂足为E.

由已知条件得，四边形NCL应为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为P2_L4B,

84

所以cosZPBD=sinZABE

105

所以PB=c——osZ—PB——D=—4=1i5J.

5

因此道路网的长为15（百米）.

（2）①若P在。处，由（1）可得E在圆上，则线段上的点（除3,E）到点。的距离均小于圆。的

6

半径，所以尸选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结40,由（1）知/£>=J/炉+ED?=I。,

从而cosABAD=3+初一=二>0,所以/BAD为锐角.

2AD-AB25

所以线段上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此，。选在。处也不满足规划要求.

综上，P和。均不能选在。处.

（3）先讨论点尸的位置.

当/。瓦290。时，线段PB上存在点到点。的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当NOAP290。时，对线段网上任意一点F,OF>OB,即线段网上所有点到点。的距离均不小于圆。的半

径，点P符合规划要求.

设耳为/上一点，且耳由（1）知，£3=15,

3

止匕时月。=42$山/42。=4335/£24=15、）=9；

当/。8尸>90°时，在48中，PB>RB=15.

由上可知,於15.

再讨论点。的位置.

由（2）知，要使得。/“5,点0只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q4=15时，

CQ=^QA2-AC2=V152-62=301.此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.

综上，当尸点。位于点C右侧，且。。=3历时，］最小，此时尸，。两点间的距离

PQ=PD+CD+CQ=17+3721.

因此，d最小时，P,0两点间的距离为17+3行1（百米）.

解法二：

（1）如图，过。作。8_L/,垂足为〃

以。为坐标原点，直线。”为y轴，建立平面直角坐标系.

7

因为8£＞=12,AC=6,所以。〃=9,直线/的方程为y=9,点/,8的纵坐标分别为3,-3.

因为48为圆。的直径，48=10,所以圆。的方程为/+产=25.

3

从而/(4,3),B(-4,-3),直线48的斜率为一.

4

4

因为网，/瓦所以直线的斜率为-1,

直线网的方程为y=4-三25.

所以尸(-13,9),PB=^(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路尸8的长为15(百米).

(2)①若P在。处，取线段3。上一点E(-4,0),则£。=4＜5,所以尸选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

3

所以线段40：y=一一x+6(-4・x・4).

4

在线段工。上取点“(3,，)，因为OM=＜出,+不=5,

所以线段4D上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此。选在。处也不满足规划要求.

综上，P和0均不能选在。处.

(3)先讨论点尸的位置.

当NO8尸＜90。时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当/。8尸290。时，对线段P8上任意一点凡OF＞OB,即线段P3上所有点到点。的距离均不小于圆。的半

径，点尸符合规划要求.

设月为/上一点，且4由(1)知，＜8=15,此时6(-13,9)；

当/。2尸＞90。时，在△尸耳8中，PB＞RB=15.

由上可知，於15.

再讨论点。的位置.

由(2)知，要使得°/丝5,点。只有位于点。的右侧，才能符合规划要求.

当。/=15时，设0(°,9),由NQ=痴-4)2+(9-3)2=15(。＞4),

得。=4+3后，所以0(4+3后，9),此时，线段。/上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.

综上，当P(-13,9),Q(4+3®，9)时，d最小，此时P,。两点间的距离

P0=4+3A/H-(-13)=17+3VH,

8

因此，d最小时，尸，。两点间的距离为17+3亚（百米）.

【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用

数学知识分析和解决实际问题的能力.

■考点突破

【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程

一、单选题

L（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一

周，。、尸两点连线的距离J与点尸走过的路程x的函数关系如图，那么点尸所走的图形是（）

必

2.（2022・甘肃酒泉•模拟预测）如图，在矩形/BCD中，AB=2,BC=1,。是48的中点，点尸沿着边BC、

CD与。/运动，记=将的面积表示为关于x的函数/（x）,则八尤）=（）

当x嘘人幺F37r时，

B.f(x)=-tanx

37ri

C.当xe子目时,/(x)=-tanx

当x£—，乃j时,

D./(x)=tanx

二、多选题

9

3.（2021・福建厦门•一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药

物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间f（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5二时

4.（22-23高一上新疆乌鲁木齐・期末）设/（无）=尤2,8（同=2*叫％）=10§2%,当xe（4,+8）时，对这三个函

数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（）

A./（x）的增长速度最快,力⑴的增长速度最慢

B.g（x）的增长速度最快,“X）的增长速度最慢

C.g（x）的增长速度最快,/（X）的增长速度最慢

D./（x）的增长速度最快,g（无）的增长速度最慢

三、填空题

5.（21-22高二下•江苏南通•期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒.若从喷洒

0.1%,09t*10

药物开始，教室内空气中的药物浓度了（毫克/立方米）与时间，（分钟）的关系为：J=0.1/-1

II/>10

根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少

分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过0.5毫克/立方米持续8分钟以上时，才

能起到消毒效果，则本次消毒效果（填：有或没有）.

6.（2020,江西南昌•三模）如图，有一块半径为R的半圆形广场，M为筋的中点.现要在该广场内以为

中轴线划出一块扇形区域。尸。，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆N和圆S）,使得圆N内切于扇形0也，

10

圆S与扇形。尸。的两条半径相切，且与圆N外切.记NPO"=e[o<8<W],则圆S的半径y可表示成e的

函数式为，圆s的半径j的最大值为.

参考答案：

1.D

【分析】

由点尸在第二条边上运动时，y的单调性可排除A,由图象的对称性可排除B,由一开始了与X是线性的可

排除C,对于D,当图形是正方形时，可以验证它满足题意.

【详解】对于A,点尸在第一条边上时，了=》，

但点尸在第二条边上运动时，V是随X的增大先减小（减到最小时V即为三角形的第二条边上的高的长度）,

然后再增大，

对比图象可知，A错误；

对于B,y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；

对于C,一开始V与x的关系不是线性的，C错误；

对于D,因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为。，

点尸在第一条边上时（即0V无V。时），>=x,

22

点P在第二条边上运动时（即aWxW2a时），y=^a+（x-a）,依然单调递增，

点P在第三条边上运动时（即2aVxV3a时），y=^a2+（3a-x）2，单调递减，

点尸在第四条边上运动时（即时），y=4a-x,单调递减，

且已知V与'的图象关于x=2a=g（其中/=4q）对称，D正确.

2

故选：D.

2.C

（jr（TT3乃37r）

【分析】分工£Oq、xel-,—、XG彳三种情况讨论，求出△尸的边上的高，结合三角形

的面积公式可得出/（X）的表达式.

JT______

【详解】：OB=OC=1,则NBOC=I，易得OC=OZ）=JF+Y=板,：,OC2+OD2=CD2，

11

所以,"七'则43%/手

IJI

当时，点尸在线段5。上（不包括点5）,贝iJPB=O5tanx=tanx,

此时,/(x)=—ABtanx=tanx；

2

此时/（x）=〈/、BC=l；

3〃i

当xe彳目时，点尸在线段D4上（不包括点A）,

=0/tan-x)=-tanx,则/(尤)=-PZ=-tanx.

故选：C.

3.AD

【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.

4（0〃<1）

【详解】由函数图象可知歹二口小丁、（E.,

当/=1时，y=4,即（；）~=4,解得a=3,

12

4%（0•/〈I）

3

，歹二rz八，故A正确,

1gi)

2

药物刚好起效的时间，当4f=0.125,即仁5，

药物刚好失效的时间(1r=0.125,解得f=6,

131

故药物有效时长为6-二二5二小时，

3232

药物的有效时间不到6个小时，故3错误，。正确；

注射该药物2小时后每毫升血液含药量为4x：=0.5微克，故C错误,

8o

故选：AD.

4.ACD

【分析】

做出三个函数〃x)=f,g(x)=2，，Mx)=lo&x的图象，结合图象，即可求解

【详解】藏1函数/(0=/在(》)=才,〃(力=104%的图象,如图所示,

结合图象，可得三个函数=2*,叫»=10&x中，

当xe(4,+⑹时，函数g(x)=2*增长速度最快，〃(x)=log2X增长速度最慢.

所以选项B正确；选项ACD不正确.

故选：ACD.

【分析】由已知只需(；)°g4；即可确定几分钟之后学生可进教室，计算出药物浓度超过0.5毫克/立方米的

时间段，即可判断是否有效果.

【详解】由题设，只需即0」”122,可得此30分钟，

13

所以30分钟后药物浓度不超过0.25毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习,

当O.ltzg,则此5,当（；严”心（，则0.17-141,可得IW20,

即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过0.5毫克/立方米，故20-5>8分钟,

所以本次消毒有效果.

故答案为：30,有.

Asin8(1-sin。)R_

(l+sin0)27

(R-q)sin6=a

【分析】设圆N的半径为。，有几何关系可得消去。即可得到圆s的半径y与。的函

(^R-2a-y^sin0=y

数关系；令l+sine=Ml</<2）,则”《-1+：-3,再由二次函数求出最大值，即可求出结果.

【详解】设圆N的半径为。，过N作STLOP,垂足分别为K、T,如下图所示：

即（E-Q）sin。=a；

在用VOTS中，可得——=sin6»BP^R-2a-y)sin0=y；

R-2a-y

(R-a)sin6=a_7?sin9(1-sin9)

(R_2q_y)sing=j/人"(1+sin^)2

Ml)")

令l+sin6=(l</<2),

贝ijy=,2

134

当1=-,即r=2时,R

t43

D

故圆s的半径y的最大值为

o

7?sin0（1-sin0）R_

故答案为：尸（l+si®7

【点睛】本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题.

反思提升：

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合,

14

从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

【考点2］已知函数模型解决实际问题

一、单选题

1.（2024•北京通州•二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间，（单位:

月）的关系式为S=（。＞0,且。/1）,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是％,&，4,贝此+，2=小

2.（2022•黑龙江哈尔滨•三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，N8为球门，在某次小区居民友谊

比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的尸点处接球，此时tan//尸8=捺，假设甲沿着平行边线的方向向

前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为

二、多选题

3.（2023・河南•模拟预测）若物体原来的温度为%（单位:。C）,环境温度为4（单位:。C）,物体的温度冷却

15

iQ_Q

到e（e>q,单位:。c）与需用时间/（单位:分钟）满足r=/（o）=71ngz才收为正常数.现有一杯开水（io（yc）

放在室温为20℃的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（eB2.7,ln2w0.7）,则（）

A.当左='时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40°C

B.当左=」时，这杯开水冷却到60°C大约需要14分钟

20

C.若〃60）=10*则/（40）=20

D.这杯水从100°C冷却至IJ80°C所需时间比从80°C冷却到60°C所需时间短

4.（2024・重庆•模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量

随时间/的衰变公式=既表示物质的初始数量，7是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2=0.7,右表

给出了铀的三种同位素t的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为工，与，月，贝！|（）

物质t的量纲单位T的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.r=Tln0.5B.T与7成正比例关系

C.工冯D.7；>100007；

三、填空题

5.（2023・上海长宁•一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值V（单位：dB）定义为

2122

y=101g；其中/为声场中某点的声强度，其单位为W/mJ0=10-W/m为基准值.若/=10W/n?,则其相

70

应的声强级为dB.

6.（2007・湖北•高考真题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室

内每立方米空气中的含药量了（毫克）与时间/（小时）成正比；药物释放完毕后，y与/的函数关系式为

t-a

7（。为常数）.根据图所提供的信息，回答下列问题:

16

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量v（毫克）与时间，（小时）之间的函数关系式为；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，

至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

参考答案：

1.B

【分析】由已知可得出5=2"\计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判

断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断

③的正误；利用指数运算可判断④的正误.

【详解】由已知可得=2,则S=2"L

对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-2?=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8（平方米），①错；

对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32（平方米），②对；

对于③，浮萍蔓延第〃至〃+1个月的增长率为22二;=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，

③错；

对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是JL，4，

则2田=3,2"+1=4，2'#=12=3x4=2"i•2'川=2"+"+2,所以％+4+1，④错.

故选：B.

2.B

【分析】先根据题意解出48长度，设QH=h,得到cos乙，­+匕。，再分析求值域，判

325/+22500

断取等条件即可求解.

【详解】设/8=x,并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

^VXtanZBPH=—=—=-,且tan//P3=2，

HP25531

17

52

所以tanZAPH=tan（NAPB+ZBPH）=3153

315

中AHAB+BHx+10，所以三^二^，解得》=即

又tan乙4PH=——5,/B=5,

PHPH25

设”=〃，0,25］,则40==，明+小？，

BQ=yjQH2+BH2=V/z2+102,所以在△4。8中,

4Q2+BQ2_AB?1+150

有cosZAQB=

2AQxBQV/?4+325A2+22500

令/=/+150(1504775),所以〃？二加一匕。，

一cosZAQB=］=］

所以，（加-150『+325（加-150）+22500卫5£+”十］，

\m2m

因为150V/HW775,所以二W’W工，则要使最大，

775m150

即厂可要取得最小值’即尸尹取得最大值'

Vmm

即一W3750+迫25+1在1441上41士取得最大值,

mm775m150

令/=-1-e—,/⑺=一3750产+25/+1,

m1775150」')

所以/⑺的对称轴为：/=工，所以/⑺在［上,工］单调递增，在［工,单调递减,

所以当'=工时，/⑺取得最大值，即最大，此时,=工，即机=300,

300m300

所以/=150,所以"=5几，即为获得最佳的射门角度(即最大),

则射门时甲离上方端线的距离为：576.

故选：B.

18

ABH

3.BCD

【分析】根据解析式/=/（夕）=；加乌二空中各量的意义，代入求解即可.

【详解】，=/（。）=71口十二十，左为正常数.

对于A,左=工,4=100,4=20/=10,

一八100-2080,

由10=10ln----------,得ZHI1n---------=1,

0-200-20

ononon

所以言=e'解得°=2。+%“2。+而小。’故人错误；

对于B,k==100,0X—20,0=60,

t=201n1Q°-2°=201n—=201n2«20x0.7=14,故B正确;

60-2040

j"r上“小、szn1.100-201,80c

对于c,由〃6。）=1。，得胪苟』=泮石=泮2=10,BP^=—ln2,

10

则“砌嗡啮竦小+=20,故C正确;

对于D,设这杯水从100℃冷却到80°C所需时间为1分钟,

1.100-201.4

则Z,=-In=-In—,

1k80-20k3

设这杯水从80°C冷却到60°C所需时间为G分钟,

则“Jin80-20

k60-20

l.'1八4।3、4x21.8八

泮厂,

rln3^3

所以乙<72，故D正确.

故选：BCD.

4.BD

19

【分析】A选项，根据半衰期的定义得到N«）=N°，从而得到方程，求出T=71n2；B选项，由A选

项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出",7],作商得到D正确.

【详解】A选项，由题意得N（f）=Nop_y，

又N（t）=Noe-故e：，两边取对数得，-ln0.5=-

T=71n2,A错误；

B选项，由A可知，7与7成正比例关系，B正确；

C选项，由B可知，T与了成正比例关系，由于铀234的了值小于铀235的7值,

故C错误；

D选项，7；=rln2=6.475xl09ln2,

7；=rln2=3.558x10sln2,

故选：BD

5.130

【分析】

将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.

-122

【详解】因为/=10W/m2,/0=10W/m,

所以其相应的声强级为y=101g蒜=101gl0"=130dB.

故答案为：130.

10/,0</<—

103

”6

【分析】（1）当。工云奈时，可设卜=〃，把点代入直线方程求得左，得到直线方程；当时'

把点（上代入]“求得。，曲线方程可得.最后综合可得答案.

20

「V

（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，可出

1

t>—

10

解此不等式组即可得解.

【详解】解：（］）依题意，当OV/wj时，设了=行，则士上=1，解得无=10,

1t-a

可，解得

将10代入y=I可得=1

5=151

10Z,0</<—

10

综上所述，y=,

I,z>To

⑵由题意可得”。25j因为药物释放过程中室内药量一直在增加,

即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室,

所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室,

1

「历<1

<4,解得/>[,

即，

1

t>——

10

3

由题意至少需要经过1小时后，学生才能回到教室.

10

；(2)|.

故答案为：（1）y=

f~io1

£I,z>To

反思提升：

1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数;

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【考点3】构造函数模型解决实际问题

一、单选题

1.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力;■满足公式f=^pCSv2,其中「是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

21

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=加.当.5不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则