14.4 全等三角形的判定的综合（第4课时）（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（沪教版）

14.4全等三角形的判定的综合（1）2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件主讲典例解题方法：模型介绍：夹角模型模型介绍：一线三等角模型介绍：添加辅助线法模型介绍：截长补短法①分析已有条件,准备所缺条件：

证全等时要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论全等三角形证明的基本步骤：例题1

如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，请说明△DAB与△EAC全等的理由解：因为∠BAC=∠DAE(已知)，所以∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE(等式性质)即∠EAC=∠DAB在△DAB与△EAC中AB=AC(已知)，∠DAB=∠EAC.AD=AE(已知)所以△DAB≌△EAC(S.A.S)EDACB模型介绍：夹角模型加减夹在中间的角，创造新的角相等.例题2

如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°AB=AC,点A在DE上，∠D=90°,∠E=90°.（1）说明∠BAD与∠ACE相等的理由（2）说明△BAD与△ACE全等的理由解(1)因为点A在DE上(已知)，所以∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°(平角的意义)又因为∠BAC=90°(已知)，所以∠CAE+∠BAD=90°(等式性质)因为∠ACE+∠CAE+∠E=180°(三角形的内角和等于180°),∠E=90°(已知)，所以∠ACE+∠CAE=90°(等式性质)因此∠BAD=∠ACE(同角的余角相等)ABCDE模型介绍：一线三等角例题2

如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC,点A在DE上，∠D=90°,∠E=90°.（1）说明∠BAD与∠ACE相等的理由（2）说明△BAD与△ACE全等的理由ABCDE（2)因为∠D=90°，∠E=90°(已知)所以∠D=∠E(等量代换)在△BDA与△AEC中∠D=∠E,∠BAD=∠ACE，AB=AC(已知)所以△BDA≌△AEC(A.A.S)线DE上有三个相等的角（直角）.例题3

如图，AB=AC，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：(1)∠DBE=∠DCF；(2)BE=CF．证明：(1)连接AD，在△ABD和△ACD中，

模型介绍：添加辅助线法ABCDEF

∴△ABD≌△ACD(SSS)，例题3

如图，AB=AC，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：(1)∠DBE=∠DCF；(2)BE=CF．模型介绍：添加辅助线法ABCDEF∴∠B=∠C，∵点E在AB上，点F在AC上，∴∠DBE=∠DCF．例题3

如图，AB=AC，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：(2)BE=CF．模型介绍：添加辅助线法ABCDEF(2)∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)∴BE=CF．如果原图没有明显的全等三角形模型，我们可以考虑“添加辅助线”的方法创造三角形全等.智慧锦囊例题4△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，(1)求证：AE⊥EC；(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，模型介绍：截长补短法ABCDEF例题4△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，(1)求证：AE⊥EC；(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．模型介绍：截长补短法ABCDEF在△BAD和△CAE中AB=AC

∠BAD=∠CAEAD=AE

∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC=∠ADB，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠AEC=90°，∴AE⊥CE；例题4△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，(1)求证：AE⊥EC；(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．模型介绍：截长补短法ABCDEF(2)解：截取CN=CF，N∵FC=NC，∴∠CFN=∠CNF，∴∠ENC=∠BFD，∵△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°,∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°－∠BDA=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BDF=∠NEC，例题4△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，(1)求证：AE⊥EC；(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．模型介绍：截长补短法ABCDEFN在△BDF和△CEN中，∠BFD＝∠CNE∠BDF

＝∠CENBD

＝CE∴△BDF≌△CEN(AAS)，∴BF=CN=CF，即BF=CF．截长补短法其核心思想是通过截取或延长某些线段，使得原本复杂或难以直接处理的问题变得简单明了。在应用截长补短的方法时，要特别注意细节。比如，截取或延长的线段长度要合适，不能随意选择。同时，要确保截取或延长后的图形与原图形有相同的性质。智慧锦囊1.下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是(____)A.含有45°角的两个直角三角形B.腰相等的两个等腰三角形C.边长相等的两个等边三角形D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形【解析】解：A、含有45°角的两个直角三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；C、边长相等的两个等边三角形，利用SSS可得一定全等，C选项符合题意；D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；故选：C．2.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，从①AB=AE，②BC=ED，③∠B=∠E，④∠C=∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有(____)A.1个B.2个C.3个D.4个解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；CABCDE12加④∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等，其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④．故选：C．3.如图，已知AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，则图中能判定全等的三角形有(____)A.1对B.2对C.3对D.4对解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，且AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠DCB，DABCDO

故选：D．4.已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为________．解：添加∠ACB=∠F或AC∥DF后可根据ASA判定△ABC≌△DEF．故填∠A=∠D．∠A=∠DABCDEF5.如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，从下列条件①∠B=∠C，②BE=CD，③AB=AC，④∠ADC=∠AEB中选择一个使得△ABE≌△ACD．(1)你选择的一个条件是__________(填写序号)．(2)根据你的选择，请写出证明过程．解：(1)∵AE=AD，∠A=∠A，可以利用SAS，AAS，ASA三种方法证明△ABE≌△ACD；故可以选择的条件可以是：①或③或④；(2)选择①：①或③或④ABCDE

6.如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AC于点M，AB=CE，说明△ABC≌△ECD的理由．解：因为DE⊥AC(已知)，所以∠CME=____°(_____________)．又因为∠CME+∠CED+∠MCE=180°(____________________)，所以∠CED+∠MCE=90°．又因为AB⊥BC(已知)，所以∠B=90°(_____________)，又因为∠B+∠A+∠ACB=180°(____________________)，90垂直的定义三角形内角和定理垂直的定义三角形内角和定理所以∠A+∠ACB=90°，所以∠A=______(__________________)．又因为DC⊥BC，所以∠DCE=90°，所以∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，____=______，____=____(_____)，∠A=______，所以△ABC≌△ECD(_____)．∠CED同角的余角相等∠B∠DCEABCE已知∠CEDASA【解析】解：因为DE⊥AC(已知)，所以∠CME=90°(垂直的定义)，又因为∠CME+∠CED+∠MCE=180°(三角形内角和定理)，所以∠CED+∠MCE=90°．又因为AB⊥BC(已知)，所以∠B=90°(垂直的定义)，又因为∠B+∠A+∠ACB=180°(三角形内角和定理)，所以∠A+∠ACB=90°，所以∠A=∠CED(同角的余角相等)，又因为DC⊥BC，所以∠DCE=90°，所以∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∠B=∠DCE，AB=CE(已知)，∠A=∠CED，所以△ABC≌△ECD(ASA)，故答案为：90；垂直的定义；三角形内角和定理；垂直的定义；三角形内角和定理；∠CED；同角的余角相等；∠B；∠