广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.log318-log32=()

A.4B.210g32C.log32D.2

2.已知集合4=卜€]\h-1)(》-4)<0},B=0cx<3},则()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

3.曲线V=-1)在x=l处的切线方程为()

A.x=lB.y=l

C.y=2x+lD.y=2x-2

/、fInx,x>1/、

4.已知函数/(x)=e「x<i，则不等式/(x)>l的解集为()

A.(T+«0B.(-1,3)

C.(1,+®)D.(-l,l)U(e,+oo)

5.已知复数Z[,z2,则N=z?”是“归+胃=匕2+中，的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知定义在R上的函数g(x)=e，-ef+/(x),其中g(x)是奇函数且在R上单调递减,

、

/logjX</(2)的解集为()

27

A.F]

B.

cJD.（4,+oo）

7.已知cos[x+；）=w5兀7兀,,,,sinx+cosx/、

正°<了，则嬴Fr<）

4

A.

3

试卷第1页，共4页

33…3

c.D.一;或三

444

8.在V/5c中，cosC+cosB(cosZ-sin4)=0且BC=2,若丽=反+(xeR),则

9的最小值为（）

A.交

C.V2D.2

2

二、多选题

9.设正实数冽，几满足加＞〃，且加+2〃=4,则下列说法正确的是（）

A.帆-4|+2,-4|=8B.n+^-＜—

m+2m

C.加"的最大值为2D.加2+/的最小值是4

10.将自然数1,2,3,4,5,…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16,…称为“拐弯数”,

则下列数字是“拐弯数”的是（）

A.37B.58C.67D.79

11.已知/（x）=2cos（0x+/）（。＞0,闷＜兀）在。上是单调函数，对于任意的xeR

满足小+：=且（爸，则下列说法正确的是（）

71

A.（p=—

3

B.若函数了=〃入）（力＞0）在［0,兀］上单调递减，则

C.若〃不）-/®）=4,则卜-引的最小值为］

D.若函数小）在上存在两个极值点，则詈答

填空题

12.若复数z满足2・(l-2i)=l+i,贝l]z=.

13.已知单位向量［满足B++B4则向量£+5在向量让的投影向量的模

试卷第2页，共4页

为.

14.已知函数〃x)=(x+6-l)e，+LG2+M_l(6>0)在R上单调递增，则如的最大值

2a

为.

四、解答题

15.已知等比数列｛%｝的各项均为正数，且。3=%%，al=a2+2a,.

(1)求数列｛与｝的通项公式；

(2)^^„=—+—+—+•••+—,求数列｛6“｝的通项公式.

a2。3。n

16.已知向量加二(百sin西,sing),n=(cos^x,sin^x),co>Q,函数/(x)=冽•〃，且/(x)

的最小正周期为兀.

57r

⑴若xe0,—,求〃尤)的值域；

(2)将［(X)的图象先向下平移g个单位长度，再向左平移机(m>0)个单位长度，最后将

横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=cosx的图象重合，求实数机的最小值.

17.记A48c的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=-l,ccosB=3.

(1)若6sinC=6，求VN2C的面积；

(2)求/的最大值.

18.已知函数/(x)=^L+ax+L.

XX

⑴当。=0时，求/'(X)的最大值；

(2)若/(x)存在极大值，求。的取值范围.

19.对于一个给定的数列｛%｝,令2=。,,+。加，则数列｛2｝称为数列｛%｝的一阶和数列，

再令C"=6"+6"+i，则数列｛cj是数列｛%｝的二阶和数列，以此类推，可得数列｛为｝的p阶

和数列.

⑴若｛。“｝的二阶和数列是等比数列，且q=0,%=1，4=0，%=3,求。7；

⑵若％，求｛%｝的二阶和数列的前〃项和；

试卷第3页，共4页

(3)若｛%｝是首项为1的等差数列，物,｝是｛%｝的一阶和数列，且3a

4+&+-+纥=1000,求正整数人的最大值，以及后取最大值时｛%｝的公差.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DADDCBACACACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】利用对数运算法则得到答案.

【详解］log318-log32-log39=2.

故选：D

2.A

【分析】解不等式可得/={1,2,3,4},再由交集运算可得结果.

【详解】由不等式(x-l)(x-4)40,得1VXW4,所以/={1,2,3,4},

又8=卜|0<》<3},可得/c8={l,2}.

故选：A

3.D

【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可

【详解】令/(x)=x(x2-l),则/'(x)=3x2_l,即/(1)=2,f⑴=0,

所以曲线在x=l处的切线方程为广0=2(x-l),即了=2x-2,

故选：D.

4.D

【分析】分工21和x<l两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集.

【详解】当时，lnx>l,解得X>e,

卜值>6}与门«21}求交集得{x|x>e},

当尤<1,et+1>1,解得x>-l,

(小>-1}与{司x<1}求交集得{x|-l<X<1},

故/(力>1的解集为(-M)U(e,+s).

故选：D

答案第1页，共12页

5.C

【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。

【详解】因为4=Z2,所以归+i|="+i|，充分性显然成立；

对于必要性，只需举一个反例即可，如句=1,z2=-l,此时区+其=|1+.=应，

H+4=k1+"=S'，

所以“4=z?”是“归+i卜卜+i卜的充分不必要条件.

故选:C

6.B

【分析】由g(x)是奇函数且在R上单调递减，函数y=-(e、-ef)也是奇函数且在R上单调

递减，得/(x)在R上单调递减，利用单调性解不等式.

【详解】定义在R上的函数ga)=e;e-，+/(x),

因为g(x)是奇函数，y=e'-eT也是奇函数，所以/'(x)是奇函数.

由〃x)=g(x)-(e=ef).

因为y=e，-ef是增函数，所以»=-⑹-尸)是减函数.

又因为g(x)是减函数，所以/(x)在R上单调递减.

因为dlogJ</(2),所以解得o<x<]

\2724

故选：B.

7.A

【分析】先由已知和余弦函数值确定二<尤+；<2兀，再由同角的三角函数关系化简计算即

24

可；

【详解】因57为r所77r以27?r<%+i£r<2兀，

12434

E、,,无)33%71

因为cos|x+:],所以:-<x+丁<2兀，

I4J524

答案第2页，共12页

71714

所以sinX+—X+-

3

~…sinx+cosx1+tanx71

所以------:-------=tanX-\—

cosx-sinx1-tanx<4)3

故选：A.

8.C

jr

［分析】确定B=~,构造平行四边形BCDA,借助图形得到BM的最小值即为点B到直线CD

4

的距离，即可求解.

【详解】因为cosC+cosB(cos/—sin/)二。，

所以一cos(/+B)+cos5cos/-cosBsin/=0,

BP-cosAcos5+sin^4sinB+cosBcosA-cosBsmA=0,

得sin力(sin5—cos8)=0,因为Z是VABC的内角，

所以sinZwO,故sin5=cos3,HPtanB=\,

TT

所以八7

以BC,BA为邻边作平行四边形BCDA,

由诙=而+.屈=而+x函，

即m在直线CA上,

所以即/的最小值即为点B到直线CD的距离,

TT

因为2=丁，BC=2,过B向CD作垂线，垂足为E,

BE=BCxcos(=e,所以3M■的最小值为近，

故选：C.

9.AC

【分析】对于A,根据题意得0＜〃＜机＜4,化简后可判断；对于B,利用作差法即可判断;

对于C,利用基本不等式可求最值；对于D,由题意得机=4-2〃，代入加2+/得关于〃的

二次函数，进而可求最值.

答案第3页，共12页

【详解】对于A选项，0＜”加＜4,故帆一4|+2]〃一4|=4一加+2（4-@=8,故A正确;

〃+2n加+2)—〃(加+2)2(m—n)

对于B选项，因为需>0,

m(m+2)m侬+2)

所以故B错误；

m+2m

对于C选项，因为。=，冽•因（加+2"]=2，当且仅当加=2〃，即加=2,〃=1时,

22^2）

等号成立，故C正确;

对于D选项，因为冽=4-2〃,

16

所以/+1二(4—2n)2+w2=5n2-16«+16=5

T

故当〃=|＞机=1时，/+〃2有最小值],故D错误.

故选：AC.

10.ACD

【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解.

【详解】不妨设第〃（neN,）个“拐弯数”为巴,

不隹现q=2,〃2=4=〃]+2,%=7=4+3,。4=11=。3+4,

所以。〃_。“一1=〃(H>2),

w+2w1

利用累加法得an-ax=2+3+--+n=(X~),

当〃=1时，也符合上式，

所以%J，+〃+2（„eN*）.

"2

代入选项验算可知A,C,D三个选项正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】根据函数/（X）的单调区间以及，可知/（X）关于点管，0]对称

且7=兀，可得。=2,再由式=当时，/（X）取得最小值可得夕=3即A错误，由

126

答案第4页，共12页

〃x)=2cos(2x+3并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得卜-司最小值

应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确.

【详解】对于A选项，因为小所以/,+胃+/17/0,

可得/(x)的图象关于点。］对称，

又因为对任意xeR,都有〃所以当x=||时，/(x)取得最小值.

因为/'(无)在偌，工］是单调函数，所以建工4=:得7=兀，所以。=§=2,

又因为函数/(X)在X=1|时取得最小值，所以由/1*2cos(*—=_2,

5兀71

得9+——=兀+2E，左EZ.解得。=—+2E，左EZ.

66

TT

又一兀＜。＜兀，所以。=故A错误；

6

对于B选项，易知=,所以y=/(/lx)=2cos12/lx+,

当xe［O,7i］时，22x+^-e?,2/1兀+(,若函数(彳＞0)在［0,兀］上单调递减，

则22"+FWTI,解得故B正确；

对于C选项，最小正周期为7=兀，当/(王)-/优)=4时，

则八国)，/6)分别为函数/'(x)的最大、最小值，所以卜-%L=；，故C正确；

对于D选项，/(x)在上单倜递增，在一上单调递减，在-后,—上

单调递增，

要使「(X)在上存在两个极值点，要满足等等，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数/(x)的

解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可.

_13.

12.——+-1

55

【分析】利用复数的除法运算即可得解.

【详解】因为z-0_2i)=l+i,

答案第5页，共12页

1+i(l+i)(l+2i)—1+3i13.

所以z=-———F-1

l-2i(l-2i)(l+2i)----5-------55'

13

故答案为：一,+1i.

13.1

【分析】由B++*可得到£%=o,再由投影向量的计算公式代入计算即可.

【详解】因为单位向量入刃满足|2+可=|£-@

可得：|Z+彳=*彳，也即/Rh-2abb

贝11Q.B=0，

a-b+b

则向量Z+B在向量g上的投影向量的模为w=1.

故答案为：1

14.-e2

【分析】/'(x)±0在R上恒成立，心0时,不合要求，。＜0时,/'(x)=0,解得占=皿-。),

x2=-b,分Inb,—b<ln(—a)和—6=ln(—a)二种情况，得至!J—6=In(—a),化简可得

a=-e-b,啦=-/+",由基本不等式求出舱的最大值为-e\

aa

【详角军】由题意，得/'(%)=e"+(x+b—l)e*+ax+ab=e"(x+b)+qx+ab=(e"+。)(％+6),

因为/(x)在R上单调递增，所以/'(x"0在R上恒成立.

当时，e"+a>0,在(f,-»上，r(x)<o,不符合题意；

当a<0时，令/'(x)=0,解得X]=ln(-a),x2=-b.

x

当ln(-a)<-6时,在(in(-a),-6)上，e+a>0,x+b<0,f'(x)<0,不符合题意；

x

当-6<ln(-a)时，在(-6,In(-a))上，e+a<0,x+b>0,f'(x)<0,不符合题意；

当一6=ln(-a)时，在(-co,-6)上，ex+a<0,x+b<Q,/'(x)>0；

在(-6,+oo),e*+a>0，x+b>0,f'(x)>Q-所以r(x)NO.

因此，有-b=ln(-a),化简可得°=_e-J故/_加工c?

答案第6页，共12页

当且仅当）=6,即6=1时，等式成立.

b

故如的最大值为-e?.

a

故答案为：-e2

15.⑴%I

⑵叫2

【分析】（1）利用等比数列定义可求得％=«=；,可得其通项公式；

（2）利用错位相减法以及等比数列前“项和公式计算可得b,=（"-l）2+i+2.

【详解】（1）设等比数列｛%｝的公比为4,

aq2=a2q

由题意得xx

ax=%q+

解得％=q=g（＜7=T舍去）,

即数列｛%｝的通项公式为%=[£].

（2）由（1）矢口勿=工+乙+二+•..+”=k2+2x22+3*2，+…+〃x2〃①，

。2。3a〃

所以26“=1x2?+2x2'+3x2’+…■+（x2+nxT②.

23+12x12

①一②得=2+2+2+•••+2'-nxZ=（Z）一”2-

"1-2

=2X（2"-1）-〃X2"M=（1-〃卜2"+1-2

所以也,=-1）x2"+、2.

'3'

16.⑴0,-

喏

【分析】⑴利用向量数量积公式和三角恒等变换得到/'（x）=sin[2sq]+（，根据最小

答案第7页，共12页

正周期得到0=1,得到函数解析式，利用整体法求出值域；

（2）利用伸缩和平移变换得到y=sin（x+2m-[J,结合y=cosx=sin[x+]j,得到方程,

冗jr

求出加=7+E,keZ,当左=0时，实数冽取得最小值一.

33

【详施军】（1）f（x]=m-n=VJsin<7zrcos^+sin2cox=——sin2处cos2吻+—

v7222

_•八八兀口

—sinZcoxH—.

I6J2

2

因为/（无）最小正周期为兀，所以2。=牛7r=2,解得。=1,

所以/（尤）=5亩（2了-3+；,

Lt、rC5兀LL,、rC兀兀2兀

因为工£0,--,所以21一工£,

12J6|_63_

贝Usin2x~—Gr1/

所以/（无）=sin卜,

\6J2[2J1

「57rl「31

所以当xe0,||时，/（x）的值域为0,-.

（2）向下平移3个单位长度得>=5吊,-.，

向左平移机（m>0）个单位长度得〉=$出]2（%+加）-£1=$出]2》+2加-高，

横坐标变为原来的2倍得y=sin+2加-J.

因为y=cosx=sin（x+j,

所以要使得V=sin（x+2加-1j与了=cosx的图象重合，

ITTTTT

则2加——=—+2左兀，kEZ,解得冽=—+为1,keZ

623

TT

当左=0时，实数冽取得最小值三.

17.(1)V3

Tt

【分析】（1）已知6cosc=T,ccosB=3,利用余弦定理化简得Q=2,结合bsinC=G，

可求V/5C的面积;

（2）解法一：已知Z?cosC=-l,ccos5=3,利用正弦定理得tanC=-3tanB,由

答案第8页，共12页

2tan52

tanA=-tan（5+C）=

"3tan»一，+3tan5,利用基本不等式求tan，的最大值，可得

tan5

A的最大值.

解法二：过点4作交5C于点凡CH=bcosZACH=-bcosAACB=1,

4HAHt

BH=ccosB=3,AH=t,则tan//CT/=------=t,tanB=---二一，得

CHBH3

/口人厂tanAACH-tanB2

tanABAC=—————=—利用基本不等式求tan乙g/C的最大值，可得/的

最大值.

【详解】（1）由余弦定理，得bcosC+ccosB=b•°'---\-c■a+C——=a=-1+3=2，

2ablac

所以邑加■仍sinC=；x2xVi=H

（2）解法一：因为bcosC=-l,ccos5=3,所以ccos5=-36cosC,

_Qh

由正弦定理^---=-----，可得sinCcosB=—3sinBcosC，

sinCsinB

则tanC=-3tanB,因为bcosC=-1<0,所以cosC<0,。是钝角，所以5是锐角,

tanB+tanC2tanB

所以tan4=tan［兀一（5+C）］=-tan（B+C）=-

1-tanBtanCl+3tan25

2<26

一，+3tan/M一三.

tan5

当且仅当3tan8=—时等号成立，此时，tan2=",B=[.

tanB36

又因为/为锐角，正切函数》=tanx在jo,：]上是增函数，所以0</43，故/的最大值

解法二:

因为6cosc=-1<0,贝IJcosCvO,所以C为钝角,

如图，过点/作/HL3C交3c于点区

答案第9页，共12页

BH=ccosB=3,

4HAHt

设/〃=，，则tan/4C7/=-----=t,tan5=-----=—,

CHBH3

所以

t

t——

tanAACH-tanB

tanABAC=tan(ZACH-B)=-二3

1+tanZACH-tan5

1+r-

3

当且仅当/=，，即时，等号成立,

又因为角力为锐角，正切函在0,曰上是增函数,

所以0<NB/C〈二，故/A4c的最大值为4.

66

18.(1)1

⑵

【分析】（1）利用函数的导数与单调性、最值的关系求解;

（2）利用导数与极值的关系，结合参数aWO和。>0讨论函数单调性，从而解决问题.

【详解】（1）由题可知/（X）的定义域为（0,+8）,

当°=0时，/(x)=—+-,/'(尤)=*.

令/("=0,解得x=l.

当0<x<l时，r（x）>0,/（x）单调递增;

当x>i时，r（x）<o,/（X）单调递减.

所以当x=l时，/■(“取极大值，也是最大值，故/(X)的最大值为/(1)=1.

_xX1-lnx1ax2-Inx

⑵z/(乃二^^+”以=^—•

2

令g(x)=ax-Inx,贝!Ig'{x}=2ax--^2ax一］.

xx

当aWO时，g'(x)<0,g(x)在(0,+oo)上单调递减，

当x.0时，g（x）f+8；g（2）=4a-ln2<0,根据零点存在定理，得g（无）在（0,2）内存在

唯一的零点％,

答案第10页，共12页

在(O,x°)上，g(x)>0,r(x)>0,/(x)单调递增；

在(％,2)上,5(x)<0,r(x)<0,/(x)单调递减，/(x)存在极大值.

当°>0时，令g'(x)=0,解得西=(舍去),

2a

上，g'(x)<0,g(x)单调递减；在上,g'(x)>0,g(x)单调递增.

工时,g(x)取极小值,也是最小值，故g(无)mi"

所以当x=

2a

11f+8,此时，在0,J—I_b,

当即0<〃时，由于当xf0时,g(x)

22a2e

g(x)必定存在唯一的零点为.

在(0,网)上，g(x)〉o,/'(x)>0,/(X)单调递增；在再,gO)<0,/'(x)<0,“X)

单调递减，/(x)存在极大值,

当心^时在(0,+8)上g(x"0,r(x)>0,/(x)单调递增不存在极大值.

2e

综上所述，°的取值范围是1-巩()

【点睛】利用导函数研究函数极值：通常利用导数研究含参函数的单调性，借助零点存在定

理，同时注意分类讨论.

19.(1)12

(2)2/+6