函数与导数中的新定义综合-2025年高中数学一轮复习

第01讲函数与导数中的新定义综合

（20类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种。

在新高考数学科目的考察中，函数与导数部分的新定义占据了举足轻重的地位，该部分内容主要检验

学生对函数的基本概念、核心性质及运算技巧的掌握程度，同时也涵盖了对导数概念的理解、计算能力的

展现以及其在多种场景下的应用。试题设计往往紧密贴合现实生活或科学情境，旨在评估学生运用函数与

导数知识体系解决实际复杂问题的能力。

新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问

题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移,

达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义

的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新

知识的获取理解能力，抓住关键点。对于以函数为背景的新定义问题的求解策略要紧扣新定义和用好函数

的性质，分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；同时时要

善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻;

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以

使用书上的概念.

为此，考生需对基础函数的各种属性、图象特征、运算规律有深入透彻的理解，并熟练掌握导数的基

本定义、其蕴含的几何与物理意义以及多样化的计算方法。进一步地，针对函数与导数在解决实际问题中

的典型应用，如求解最优化问题、分析变化率趋势、确定曲线在某点的切线方程等，考生应具备扎实的分

析思路和有效的解决策略。

综上所述，备考过程中，考生应高度重视基础知识的巩固与深化，同时加强针对实际问题的解题训练,

以提升自身的综合应用能力。

12•考点梳理•

1

考点1高斯取整函数

考点2二阶行列式

考点3狄利克雷函数

考点4cgnx函数

考点5最大值最小值函敷

考点6欧拉函数

考点7黎曼函数

考点8曲率

考点9极值点与拐点

考点10洛必达法则

考点11不动点与，合稳定点

考点12可移例数点

考点13泰勒展开

考点14麦克劳林展开

考点15拉格朗日中值定理

考点16帕德近似

考点17莱布尼茨

考点18函数凹凸性

考点19切线问题

考点20类型函数

考点一、高斯取整函数

典例引领

1.(2024•山东青岛•三模)定义[x]表示不超过x的最大整数.例如：==-2,则()

A.[x]+3=[x+y]B.VweZ,[x+n]=\x\+n

C./(x)=x-[x]是偶函数D./(x)=x-[x]是增函数

【答案】B

【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设了=次+〃]表示不超过x+〃的最大整数，可

得歹与X,"的关系，可得[尤]+〃=>,判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断

出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假.

2

【详解】A选项，取x=l.l,y=1.9,则[x]+3=l+l=2,[x+y]=3,显然印+aR[x+y],所以A不正

确；

B选项，设夕=[x+〃]表示不超过x+〃的最大整数，所以y<x+〃，

所以y-"Wx,所以[幻“-〃，所以[无]+〃“，即[x+〃]4y,

所以[x+〃]=y,所以口+附]=印+",故B正确；

C选项，/(x)=x-[x],因为〃0.1)=0.1-0=0.1〃一0.1)=-0.1-(一1)=0.9,

所以/(0.1)2/(-0.1),所以“X)不是偶函数，故C错误；

D选项〃0.1)=0.1/(1.1)=0.1,所以〃0.1)=/(1.1),所以“X)不是增函数,故D错误.

故选：B.

2.(2024•河南新乡•二模)函数/(力=[司被称为取整函数，也称高斯函数，其中国表示不大于实数X的最

大整数.若V加e(O,+s),满足[行+卜卜之堂，则尤的取值范围是()

m

A.[-1,2]B.(-1,2)C.[-2,2)D.(-2,2]

【答案】C

【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解-2W[x]41,即可根据取整函数的定义求

解.

【详解】Vme(0,+a))Z^=OT+l>2,当且仅当加=1时取等号，

mm

由[尤|2+国V可得[x]2+[小2n(卜]+2)(卜卜1)v0,

m

所以-2W[x]41,故-2Vx<2,

故选：C

3.(2024・重庆•模拟预测)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的称号，用

其名字命名的“高斯函数"定义为：对于任意实数X,记区表示不超过X的最大整数，则'=卜]称为"高斯函

数”.例如：>=[-3.5]=-4,y=[2.1]=2.

⑴设/(x)=[x]+x+J-[2x],xeR,求证：：是/'(x)的一个周期，且〃x)=0恒成立；

⑵已知数列｛%｝的通项公式为%=3+上+―~^+…+丁/("N*),设

nn+1n+2n+2nx'

e

a=J，+—+7(«N*).

\_an2J

2

①求证：n<—<n+l;

an

②求，+;+—的值.

_"1"202024_

3

【答案】⑴证明见解析；

⑵①证明见解析；②88.

【分析】⑴根据新定义的理解，计算可得(x+£|=/(x),结合当xe时/(x)=0即可求解；

(2)①：记.=3+±+；+…+「「贝利用放缩法可证得

nn+1n+2n+n-ln+1n

ii222

----7<an2<~f进而----。〃=+。〃2<—，即可证明；②：由①知一二"，由(1)可得b=G,则

w+1nn+\n

4n+i-y/n<—^-T=<Jn-y/n-1,令S=1+3+…+J—,结合裂项相消法计算可得88<S<89,即可求解.

2AMAb262024

【详解】(1)+*+；+卜+1]-[2x+l]=x+1+[x]+l-[2x]-l=：/(x).

故是〃x)的一个周期.

当工£0,；1时<X+^-G[0,1),2xe[0,l),故/(x)=0+0—0=0.

由于周期为:，故对任意XER,都有/(%)=0.

/、1111

(2)(T)记Q〃i=­rH—5-----1—:-------1-----1—；----------.

J"1n*12n2+ln2+2n2+n-l

111

aa

%2=--+--------7+•••+2、，则n=+nl-

n+nn+n+\n+2n

1〃111

•.----—-----=--------1---n-------'-----1---；-----

•n+1n+n“+川n+十n+.

1111

H---;-----+…+--------

1+2n+«-1

111n1

…+m，<1.

n

11

,.----------------------------------------1----------------\~|----------------

巾〃+]n2+2w+102+2/+1/+21+1/+2/+[

〃个

111

<Cl2-—；------1n------------112-------

nn+nn+n+\n+2n

111n+\11

----------1-----------P•••H--------------------——.1

n2+n+〃n2+nn2+nn•・•7<ani<

v----------------v----------------'n+1

2

・〃anl+an2<一，/.n<——<n+\

•^+1,“n

22

②由①知"<一<〃+l,贝I]—=〃.

4

由(1)知：对任意XER,都有[X]+X+'2=I2、】，

i］「iiir2

Aoiii

令S=]+/+…+—，

。2。2024

c

,.・一>亚—1+6-行+…+J2025-,2024=J2025—1=44；

2

C111OQ

—<—+亚—&+省—后+…+J2024—J2023=—+-2024—1<—+」2025—1二—.

22222

・..F1111QQ

:88<S<89,/.■—+•—H----H——=88.

_。1”202024_

【点睛】方法点睛：

学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决

问题.在新环境下研究''旧〃性质.主要是将新性质应用在''旧〃性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然

是数列求通项或求和.

即时检测

■____________

「13国_1

1.(2024•全国•一模)数学上,常用[可表示不大于x的最大整数.已知函数了=1Ht，则下列正确的是().

剩_1剩_1

A.函数y=在定义域上是奇函数B.函数>的零点有无数个

3W+1-3W+1

2国_1&[司_i

C.函数了=好1在定义域上的值域是(-1,1)D.不等式丫=；040解集是(-8,0]

【答案】B

o[x]_1

【分析】设/(%)=茜彳，A选项，注意到/(1.5)力-/(-1.5),可判断选项正误；B选项，等价于判断方程

3㈤一1=0根的个数；

1QM_1

C选项，通过分析方程上=:1根的存在性可判断选项正误；D选项，等价于解不等式3国-1«0.

33凶+1—

鼻国_1Q_11&-2_1A

【详解】设/=A选项，/(1.5)=1-4=4，/(-1,5)=^-^=--,

'、'3㈤+13+127v'3-2+15

因则/'(无)不是奇函数，故A错误；

「1乖]_1

B选项，令〃％)=0=33=ln[x]=0nxe[0,l),即函数>=加一^的零点有无数个，故B正确；

5

C选项，若/(x)=2,则心l=Ln3国=2,

')33W+13

但3㈤e/=｛x|x=3'，，eZ｝,则2e/,即函数y=1Hm在定义域上的值域不是(—1,1),故C错误.

D选项，V0n3“V1=>[x]W0nxe(-8,1),故D错误.

故选：B

2.(2024•河南开封•二模)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯

取整函数为7'3=3,团表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=-4,[2『=2.下列命题中正确的有()

A.BxeR,/(%)=xT

B.VxeR,〃eZ,/(%+«)=/(X)+M

C.V尤,y>0,/(lgx)+/(lgj；)=/(1g(xy))

D.3»eN-,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+--+/^gn)=92

【答案】BD

【分析】根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.

【详解】对于A,当xeZ时，f(x)=x,当尤eZ时，/(x)eZ,而x-1eZ,

因此/(X)HXT,A错误;

对于B,VxGR,nGZ,令/(%)=加，则加Wx〈冽+1,m+n<x+n<m+n+\,

因止匕/(%+〃)=加+〃=/(%)+〃，B正确；

对于C,取x=；,y=2,0<lg2<l,贝1]/(坨5=-1,/(映2)=0,/(lg(1x2))=/(0)=0,

显然/(炫；)+〃电2)3/(联42)),C错误；

对于D,〃cN*,当时，f(1g«)=0,当10V〃V99时，/(Ign)=1,而/'(IglOO)=2,

因此/(lg1)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg99)+/(lg100)=92,此时〃=100,D正确.

故选：BD

【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量词命题为假、

存在量词命题为真只需举例说明.

3.(2024・全国•模拟预测)(多选)函数>=国是取整函数，也被称为高斯函数，其中[可表示不超过X的最

大整数，例如：[3.9]=3,卜2』=-3.若在函数/(x)的定义域内，均满足在区间&,%+J上，是

一个常数，则称也｝为“X)的取整数列，称｛叫为“X)的区间数列.下列说法正确的是()

A./(x)=log?尤(x21)的区间数列的通项a„=2"

B./(尤)=log2x(x>1)的取整数列的通项bn=n-l

C.7•(力=1082(33力(21)的取整数列的通项“2"+5

D.若〃x)=log2x(l4x<2"),则数列(q用一为)｝的前〃项和S“=(〃-2)2"+2

6

【答案】BD

【分析】由在[2"i,2")上，得到%=2"'可判定A错误；根据6“=卜⑴]=〃-1,可判定B正确；结合

[/(%)]=[log2(33x)]=[log2^+log233]>[log2x]+[log233],可判定c错误；得到，(。用-%)=(〃-l)2"T,

利用乘公比错位相减法求和，可判定D正确.

【详解】对于A中，因为在[1,2)上，0<log2x<1,[log2x]=0,所以g=1,电=2；

在[2,4)上,l<log2x<2,[log2x]=l,所以出=2,%=4,

在[2"T,2")上，»-l<log2x<«,[log2x]=«-l,所以%=2"，所以A错误；

对于B中，由选项A知，bn=[/(x)]=[log2x]=n-l,所以B正确.

对于C中，因为[/(x)]=[log2(33切=[log2X+log233]邛og2x]+[log233]=[log2x]+5,

所以”2"+4,所以c错误；

对于D中，由选项A知,可得6"(%+「％)=("-D(2"-2"T)=R_

贝IK=0+lx2i+2x22+3x23+.-+("-l)x2"T,

=0+lx22+2x23+3x24+••­+(«-2)x2,,-'+(w-1)2",

两式相减S“=_(2i+22+...+2"T)+(〃_l)2"=_^^+(bl)2"=2-2"+(〃-l)2"=2+("-2)2",所以

D正确.

故选：BD.

考点二、二阶行列式

典例引领

abxx—a

1.（2024•福建宁德•模拟预测）定义=ad-bc若关于X的不等式c>2在R上恒成立，则实数

ca2x

。的取值范围为（）

3D.2

A.B.C.—,+oo

2

【答案】C

abxx—a

【详解】由,=ad-bc可得2x>2等价于/-2(x_)>2,即2“>*+2x+2,

ca

3

因为—%2+2x+2=—（x—I）?+3W3,所以24>3,所以Q>万,

所以实数。的取值范围为

故选：C.

7

即时检测

I____________________

abab“、

1.(2023•河南•三模)我们称,为"二阶行列式"，规定其运算为=ad-bc.已知函数/x的定义

caca

/\xf(y)

域为(-叫o)U(o,+s),且/x#0,若对定义域内的任意x，y都有［：=0,则()

yf(x)

A./(1)=1B./(x)是偶函数C.7(x)是周期函数D.7(x)没有极值点

【答案】D

【分析】经行列式运算后，得到关系式必'(x)-0(y)=O,将N替换为1代入，进而得到函数/(X)的解析式,

逐项判断即可.

【详解】由于ab，=泅一历，贝|xf［(y)：=0,

cdyf(x)

即为：3(“一.1/3)=0(*),

将》替换为1代入(*)式，得犷(力-/(1)=0,且xe(-*0)。(0,+<»),

得：〃x)=—,

对于A,取/(x)=--,显然满足(*)式，止匕时=故A错误;

对于B,/(x)定义域为(-*0)U(0,+⑹，

则/(f)=幽=一幽=一〃村成立，

-XX

所以/(无)是奇函数，故B错误；

对于C,假设非零常数T为函数/(x)的周期，即/(x+T)=〃x),

则〃x+7)=粤=皿=〃尤)，其中/⑴二0,

即得x+T=x,7=0,这与假设T为非零常数矛盾，

所以/(无)不是周期函数，故C错误；

对于D,由于/(x)=—,则/“)=-除，显然/'(x)=0没有实数解,

所以/(x)没有极值点，故D正确；

故选：D.

bab

2.(22-23高一下•江西萍乡•期中)把符号/称为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad-bc已

aca

/、cos0l-2sin^|

知函数〃。)=.

cos。|

8

(1)若2=g,6eR,求/(。)的值域；

x2-1

(2)函数g(x)=1,若对VJeR,都有g(x)-l2”6)恒成立，求实数4的取值范围.

17TI

_'3'

【答案】⑴-3,--

(2)-1<2<1

【分析】(1)根据新定义运算、同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质求得/(e)的值域.

(2)先求得g(x)的最小值，由此转化不等式g(x)-12/(0),利用换元法，结合二次函数的性质求得正确

答案.

【详解】(1)/(6»)=cos2^+22sin6i-2,%

则/(夕)=1一sin20+sin0—2=—sin20+sin0-\,

>=一/+苫-1的开口向下，对称轴为x=；,

_3

因为sin。£[一1,1],所以/（。）=一siYe+sine—le-3,

4

⑵g（上告+1=2-£,

VXG[-1,1],.-.X2G[0,1],令yf+i,贝/£[1,2],

函数g(x)转化为函数y=2」，

函数歹=1+2在作［1,2］上单调递增，故当;1时，几亩=1，

即函数g(x)的最小值为1,

2

由题知，（g（x）T）1m"⑹，即〃。）=COS8+24sin8-2W0对于\/夕£R恒成立,

即5也2。一2人由6+120对于\/。€口恒成立,

令〃=sin9,贝!］记力(")="2-2%"+1,ue［-1,1］,故只要〃(“心”20,

①当4V-1时，A(M)m,n=A(-l)=2+2A>0,解得彳2-1,.•<=-1,

2

②当一1<彳<1时，/；(w)min=7!(2)=1-2>0,解得一14X41,.-.-1<2<1,

③当时，/!(M)min=A(l)=2-2A>0,解得2W1,...2=1.

综合①②③得，T4X41.

【点睛】二次函数在闭区间上取得最值时的X,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点.因此，影

响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大

因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置

关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.

9

考点三、狄利克雷函数

典例引领

1.(2024•全国•模拟预测)德国数学家狄利克雷(Dirichlet)是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷

X为有理数

函数。(x)=：器的结论正确的是()

为无理数

A.D(£>(x))有零点B.。(无)是单调函数

C.£>(x)是奇函数D.。⑴是周期函数

【答案】D

【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由。。)=0或。(x)=l均为有理数求解A,根据

。⑴=〃2)=1,£)(&)=0即可判断单调性求解B,根据x和一尤同为有理数或同为无理数，即可求解C,根据

x和x+T同为有理数或同为无理数即可求解D.

【分析】对于A,因为。(x)=0或。(x)=l均为有理数，

所以。(D(x))=l>0,故以。⑴)没有零点,A错误,

对于B,因为。(1)=。⑵=1,。(收)=0,所以次2)=。⑴>£)(血)，

故D(x)不是单调函数，B错误，

对于C,因为x和f同为有理数或同为无理数，所以。(-x)=O(x),

故。(x)是偶函数，C错误，

对于D,设7为任意非零有理数，则x和x+T同为有理数或同为无理数，

所以。(x+T)=O(x),故。(x)是周期函数(以任意非零有理数为周期)，D正确，

故选：D.

2.(23-24高三上•广东惠州•阶段练习)(多选)狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定

义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很

重要的作用，其函数表达式为。X=:(其中0为有理数集，Qc为无理数集)，则关于狄利克雷函

〔0”0c

数说法正确的是()

A.。(。偌))=1B.它是偶函数

C.它是周期函数，但不存在最小正周期D.它的值域为[05

【答案】ABC

【分析】根据题意，由狄利克雷函数的性质，逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为。(e)=0,则。(D(e))=O(0)=l,故A正确；

若xeQ,贝！J-xeQ,贝I]£»(x)=。(-x)=1；若xwQ。，则-xe。。，贝I]Z>(x)==0,所以。(x)为偶函

数，故B正确;

10

设任意北eO/eQc，则D（/尤+幻\=I；1,XG；Q=0/（x\）,

[U,X£\JQ

当xeQ时，则Z＞（x+Tj=O,当xe0c时，。（》+72）=0或1,

则。（x+G）HD（x）,即任意非零有理数均是。（x）的周期，任何无理数都不是。（力的周期，故C正确;

函数。⑺的值域为他1｝,故D错误；

故选：ABC

■即_时__检__测___

1.（2024•广东惠州•三模）（多选）德国数学家狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）,是解析数论的创始人之一.他

fl尤是有理数

提出了著名的狄利克雷函数：。（工）=；曰「工用帖，以下对。（x）的说法正确的是（）

|0,x是无理数

A.D（D（x））=l

B.。⑺的值域为｛0,1｝

C.存在x是无理数，使得。（x+l）=D（x）+l

D.VxeR,总有。卜+1）=。（-1）

【答案】ABD

【分析】根据狄利克雷函数的定义判断选项A、B、C；分别对x是无理数和有理数进行分类讨论可判断选项

D.

fl、是有理数

【详解】由。（x）=jo,x是无理数，可得。⑺的值域为｛01｝，

所以。（。（幻）=1,故选项A、B正确；

因为当尤是无理数时，。（无）=0且x+1是无理数，

所以。（x+l）=0,

所以。（x+l）wZ）（x）+l,故选项C错误；

当x是无理数时，x+1,-》一1均为无理数，此时有。卜+1）=。（一工一1）=0,

当x是有理数时，x+l,-x-l均为有理数，止匕时有。（x+l）=。（-x-l）=l

所以VxeR,总有。（x+l）=D（-x-l）,故选项D正确.

故选：ABD

2.（2024・重庆•一模）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数

1,XGQ

了（“）0,xe%Q被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数“X）

的结论中，正确的是（）

11

A.函数/(x)为偶函数

B.函数/(x)的值域是[0,1]

C.对于任意的xeR,都有/(/(%))=1

D.在/'(x)图象上不存在不同的三个点A,B,C,使得V/2C为等边三角形

E.在/(只图象存在不同的三个点4SC,使得V/3C为等边三角形

【答案】ACE

【分析】选项A中注意“若xeQ,则-xeQ；则-xe4Q"即可；选项B中注意{0,1}N[0』；选

项C中，内层函数f(x)=l或0,函数值都是有理数；选项DE取特殊情况判断即可.

1,XGQ

【详解】由于〃X)=nAc，对于选项A,设任意xeQ,则-xeQ,/(-x)=l=/(x)；设任意尤e^Q,

则-xe为Q,/(-x)=0=/(x)

总之，对于任意实数x,f(-x)=/(久)恒成立，A正确；

对于选项B,7(尤)的值域为{0,1},{0,1}*[0,1],B错误;

对于选项C当xeQ,则/(0印,/(/(%))=/(1)=1：当xe率Q,则,/(x)=O/(/(x))=/(O)=l,C

正确；

对于选项DE,取“(0,1),C-，,0得到V/BC为等边三角形，D错误E正确.

故选：ACE.

考点四、sznx函数

典例引领

l,x>0

1.(2024•山东临沂•一模)已知函数sgn(x)=<0,x=0,贝!!“sgn(e*-l)+sgn(-尤+1)=0"是"x>1"的()

-l,x<0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】理解函数sgn(x)的性质，举反例说明充分性不成立，再利用指数函数与一次函数的性质说明必要性

成立，从而得解.

l,x>0

【详解】因为sgn(x)=<0,x=0,

—1,x<0

12

当sgn(e*_l)+sgn(_x+l)=0时，取x=-g,则e*_]<0,_尤+]>0,

此时sgn(e=l)+sgn(f+l)=T+l=O,则x>l不成立，即充分性不成立；

当x>l时，-x+l<0,所以sgn(e*-l)+sgn(-x+l)=l-l=O,即必要性成立,

所以"sgn(e*-1)+$811(-五+1)=0"是晨>1"的必要不充分条件.

故选：B.

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■一

1.（2024•北京•模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用sgn（x）

—1,x<0

来表示，其解析式为sgnx=<0,x=0.已知函数f（x）=2sinx-sgn（cosx）,给出下列结论：

l,x>0

①函数/（X）的最小正周期为兀；

②函数/（X）的单调递增区间为-］+桁,；+加（左eZ）；

③函数/（x）的对称中心为（析,0）（左£Z）；

④在［-2兀,2兀］上函数g（x）=力⑺-1的零点个数为4.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④

【分析】作出函数/'（x）的图象，通过图象讨论函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题.

-2sinx,cosx<0

【详解】函数/(x)=2sinx-sgn(cosx)=<0,cosx=0,画出函数的部分图象，如图所示:

2sinx,cosx>0

/(%+兀)=2sin(x+兀)sgn(cos(r+兀)卜一2sinr・sgn(COST)卜2sinx-sgn^osr}/X)，

结合函数图象可知，函数/（X）的最小正周期为兀，结论①正确；

由/停+析］=0,4eZ,结合函数图象可知，函数/（X）的单调递增区间为祈）（左ez）,结论

②错误；

结合函数图象可知，函数/（司的对称中心为［g,。］（左eZ）,结论③错误；

13

函数g(x)=犷(x)-1的零点,即方程犷'(X)-1=0的根，x=0时方程不成立,

方程等价于fG)=

函数/(无)与函数y的图象在［-2兀,2可上有4个交点，

所以在［-2兀,2可上函数8(尤)=犷@)-1的零点个数为4.结论④正确.

故答案为：①④

【点睛】方法点睛：由符号函数的定义，把/(x)表示为分段函数，作出函数图象，函数解析式结合图象,

解决函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题.

考点五、最大值最小值函数

典例引领

1.(22-23高三上•阶段练习)已知max{a,6,c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3,若函数

/(x)=max1-x12+4,-x+2,x+3},则/(无)的最小值为()

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数了=-/+4,y=-x+2,y=x+3的图象，根据函数的新定义可

得〃x)的图象，由图象即可得最小值.

【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数了=-Y+4,y=-x+2,y=x+3的图象，

因为/(x)=max{-x2+4,T+2,x+3},所以f(x)的图象如图实线所示：

y=-x2+4y=—x2+4y/5-1s/S+5

由可得/(-1,3),由可得8，-

y=-x+2(x<0)y=x+3(x>0)22~

由图知/(x)在(-8,T)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，在［。，无二)上单调递减，在［三二,+8)上单

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调递增,

所以当x=-l时，y=-(-l)2+4=3,

当X=^■时，y=^b_l+3=3,

2,22

所以/（X）的最小值为3,

故选：B.

（、\a,a>b（、\b,a>b

2-（2。24・广东韶关•二模）定义max,,*a，<6，min{S}=的“对于任意实数x>。”。,则

A.啦B.V2C.V3D.%

【答案】A

【分析】设max{2x,3y,*+_}=Af,则3Af22x+@+3y+己严构造函数/(x)=x+?(x>0),利用导数求出

函数/（X）的最小值进而得3屈23,化简即可求解.

23

【详解】设max{2x,3y,*+—}=%则〃22x,M±3y,〃N*+今，

得3M2+*+3*於=2'+）3『+（木，

设/（x）=x+r（x>0）,则/口）=1_彳=^£,

XXX

令…）<0=0<⑸八%）>0=%>⑸

所以函数/（幻在（0即）上单调递减，在（次,+oc）上单调递增，

故/(x)1ml=f雨=亚+,即/(X)-2

得“2x)23,/(31)2,

VV

所以*+春册丁6

3M+3y+=/(2x)+/(3y)N9工,

23

得”之l=蚯，即min{max{2x,3>=出".

2y

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由

3M>2x+-^+3y+-^=2x+I3y+构造函数/(%)=%+(■(%>0),利用导数求得M2次即为题意所求.

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即时校L

L（2024•全国•模拟预测）设max｛x,y,z｝为x,y,z中最大的数.已知正实数应6,记M,

则”的最小值为（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【分析】根据函数定义可知，M>2b,M>-^,再由基本不等式可得当a=[6=1时，”取得

y/ab4

最小值2.

【详解】由M=max,8a,26,-^得M>lb,M,

[y/abJ7ab

j4Q+b

所以Af+M2+26,即因为A/2匚,所以一尸二；

7ab7ab

由基本不等式可得4a+b>2〃而=,所以一币=24,

7ab

所以71/224，M>2,

当M=—，即。=』,6=1时，M取得最小值2.

y/ab4

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出"28°,M>2b,再结合基本不等式

7ab

求得M22.

2.（2024・湖北•一模）记器奇｛“X）｝，鬻串/（0｝分别表示函数/（X）在[见”上的最大值和最小值.则

【答案】2

【分析】根据题意，由卜+〃-2时=|（«-1）2+加-1|,设〃为变量，可通过分类讨论求出潞刈机+〃-2向:,

再求出当加4-3,3]时的最小值；或由|（6-1尸+机-1|在〃«0,9]时•的最大值只可能在〃=0或〃=1或〃=9

处取得，结合图象可得原式的最小值.

【详解】由1,+”-2占卜卜6-1）2+根-1],设〃为变量，

max\\m+n-27n>=max-lj+m-l>,

ne[0,9](II)ne[0,9]

令/=|(五一1『+加一”，当〃=0时，，=|加I，当〃=]时，t=|m-l|,当〃=9时，t=\m+3\,

最大值只可能在〃=0或〃=1或胃=9处取得，

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所以1=|（6-1）2+加-的最大值为max{|〃Ll|M+3]},

所以*ax』加+"—2而]加+3,2

〃巨o,9]（II）[-m+l,